湖北省襄阳市普通高中2016届高三1月调研统一测试数学(文)试题(图片版-word答案)
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2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试
高三数学(文史类)参考答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。
3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一.选择题:BCCDC DCADA BC
二.填空题:13.47 14.644π+ 15.12
16.3
三.解答题:
17.(1)解:在△ABC 中,依题意有:222b c a bc +=+
2分 ∴2221
cos 22b c a A bc +-==
4分 又(0)A π∈,,∴3A π
=
6分
(2)解:由3a A π==及正弦定理得:2sin sin sin b
c
a
B C A === ∴222sin 2sin 2sin 2sin()2sin()33b B c C B π
π
θθ====-=-,
8分
故22sin 2sin()3y a b c π
θθ=+++-
即)6y π
θ=+10分 由203πθ<<得:5666πππ
θ<+<
∴当62ππ
θ+=,即3π
θ=时,max y =.
12分
18.(1)证:∵PD ⊥CD ,平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 与平面ABCD 相交于CD ∴PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥BC
2分
在△ABD 中,∠A = 90°,AB = AD = 2,∴BD =ADB = 45°
在△ABD 中,∠BDC = 45°,BD =DC = 4
∴222
cos 452BD DC BC BC BD DC +-︒=⇒=⋅
由BD 2 + BC 2 = 16 = DC 2知BD ⊥BC
4分 ∵PD ⊥BC ,BD 、PD 相交于D ,∴BC ⊥平面PBD
6分 (2)解:过E 作EF ∥PD 交DC 于F ,由(1)知EF ⊥平面ABCD
由CE = 2PE 得:23EF CE PD PC ==,∴4
3EF =
8分 112
339P BDE P BCD E BCD BCD BCD BCD V V V PD S EF S S ---=-=⋅-⋅=V V V
10
分
1142422
BCD S CD AD =⋅=⨯⨯=V ∴89
P BDE V -= 12
分 19.(1)解:由a 3 + a 4 = 3(a 1 + a 2)得:a 1 + 2d + a 1 +3d = 3(a 1 + a 1 + d ) ⇒ 2a 1 = d ① 2分 由a 2n -1 = 2a n 得:a 1 + (2n -1)d -1 = 2[a 1 + (n -1)d ] ⇒ a 1 = d -1 ② 由①②得:a 1 = 1,d = 2,∴a n = 2n -1 4分
(2)解:当n ≥2时,1111112()222n n n n n n n n a a n b S S m m ----++-=-=-
--= 6分 ∴1221221(1)()24
n n n n n c b n ---==-⨯ 8分 012111110()1()2()(1)()4444
n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L 12311111110()1()2()(2)()(1)()444444
n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L 10分 两式相减得:123111()311111144()()()()(1)()(1)()1444444414
n n n n n T n n --=++++--⨯=--⨯-L 1311()334
n n +=-⋅ ∴14311()994
n n n T -+=-⋅ 12分
20.(1)
解:由已知22222225251114
2c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22
24155
y x += 2分 (2)解:由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:229(24)12430k x kx +--= ① 4分
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根 ∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++, 6分 设P (0,p ),则1122()()PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ,,, 22121212121212112()()()()333
p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 8分
若PA PB ⊥u u u r u u u r ,则0PA PB ⋅=u u u r u u u r
即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立
10分
∴2218450
3624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩
此方程组无解,∴不存在定点满足条件
12分
21.(1)解:()ln 1a
g x x x +-,21()a
g x x x '=-
2分 g (x )在点(2,g (2))处的切线与直线x + 2y -1 = 0平行 ∴11
(2)4242a g a '=-=-⇒=
4分 (2)证:由(1)()ln 1b x h x x x -=-+得:222
1(1)(1)2(1)1
()(1)(1)b x b x x b x h x x x x x +--
+-+'=-=++
∵h (x ) 在定义域上是增函数,∴()0h x '>在(0,+∞)上恒成立
∴22(1)10x b x +-+>,即2
21
2x x b x ++<恒成立
6分
∵221
1
112222x x x
x x ++=++=≥ 当且仅当1
1
222x
x x ==,时,等号成立
∴b ≤2,即b 的取值范围是(-∞,2]
8分 (3)证:不妨设m > n > 0,则1m
n > 要证ln ln ||2m n m n m n --<+,即证ln ln 2m n m n
m n --<+,即2(1)
ln 1
m
m
n m n n -<+
10分 设2(1)
()ln (1)1x h x x x x -=->+
由(2)知h (x )在(1,+∞)上递增,∴h (x ) > h (1) = 0 故2(1)ln 01m m n m n n -->+,∴ln ln
||2
m n m n
m n --<+成立
12分
22.(1)证:∵OA = OC ,∴∠OAC = ∠OCA
2分 ∵CD 是圆的切线,∴OC ⊥CD
4分 ∵AD ⊥CD ,∴AD ∥OC ,∴∠DAC = ∠OCA
故∠DAC = ∠OAC ,即AC 平分∠BAD
6分 (2)解:由(1)得:»»BC CE =,∴BC = CE
8分 连结CE ,则∠DCE = ∠DAC = ∠OAC ,∴△CDE ∽△ACD ,△ACD ∽△ABC ∴CE DE CE AB BC AB ==,故2AB
DE
BC CE ⋅==
10分