天津大学2014-48学时工程力学材料力学第九章-压杆稳定

Pcr = ( 2l )
2
v ( x ) = δ (1 − cos
π
2l
x)
(0≤x≤l)
其中δ为未定常数。这表明屈曲位移是不 确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于 任意微弯状态是一致的。
工程力 学
对比： L A 半个正弦波 MA=MB=0 B A L L A
1 个正弦波 4
Leabharlann Baidu
MA=MA′ =0
工程实际中的压杆不允许失稳。
对于稳定问题，关键是求出临 界压力 Pcr ，这样，只要工作压力小 于临界压力，就不会发生稳定问 题。
工程力 学
失稳产生的原因 •横向干扰力的存在。 •轴向加压作不到精确对心，存在偏心 现象。 •受压构件初始形状不严格为直线。 •材质不均匀。
工程力 学
失稳现象的特点 •多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、 壳、柱） •整体性。构件失稳引起受力重新分 配。整体失效、整体分析。 •破坏的突然性。应力在弹性范围，类 似脆性破坏。
P y
L 工程力 学
P x
由平衡条件，易得 EIv″ = − M = −pv ∴ EIv″ + pv = 0
p v′′ + v=0 EI
2
M(x) = pv
P y P y x
L M
代入挠曲线近似微分方程
P x
p 记 k = EI v″ + k2v = 0
v
x P
––– 二阶常系数，线性微分方程
工程力 学
否则 v ≡ 0
与假设矛盾
n = 0，1，2，……
nπ 即 k = l
P EI = k
2
nπ 2 = ( ) l
2
EI ( n π ) P = 2 l
工程力 学
临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向 压力 2 EI π ––– 欧拉公式 ∴ Pcr = 2 l 2 EI π 杆件失稳 ––– 由直线变成曲线 P = Pcr = 2 l
工程力 学
§ §9-2 9-2 两端简支细长杆的临界压力 两端简支细长杆的临界压力
如前所述，临界压力Pcr是这样一个值： 当P < Pcr ，杆能保持直线平衡状态 ； 当P = Pcr ，杆处于微弯平衡状态 ； Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。
工程力 学
求临界压力的思路： 假设杆处于微弯的平衡状态，求此 时最小的轴向压力。 假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图 示)，
主讲教师：李林安
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工程力 学
压杆稳定
问题
1、什么是稳定平衡？什么是不稳定平衡？ 什么是失稳？ 2、如何计算压杆的临界载荷？ 3、如何提高压杆稳定性？
§ §9-1 9-1 压杆稳定的概述 压杆稳定的概述
工 程 背 景
压杆
工程力 学
工 程 背 景
受压
工程力 学
工程背景
压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
工程力 学
∴
c2 + δ = 0
c2 = −δ
v '(x) = kc1coskx − kc2sinkx v '(0) = kc1cos(k ·0) − kc2sin(k ·0) = 0 ∴ ∴ kc1 = 0 c1 = 0 v(x) = δ(1− coskx)
工程力 学
k =
P ≠ 0 EI
∵v(l)=0
通解： v = c1sinkx + c2coskx
边界条件： x = 0 x=l v( 0 ) = 0
v( l ) = 0 c2 = 0
v(0) = c1sink.0 + c2cosk.0 ∴ v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
工程力 学
∵ ∴ ∵
c1 ≠ 0 sinkl = 0 kl = nπ
工程力 学
x
δ −v
v M
x
δ
P P
∴
EIv″ + Pv = Pδ v″ + k2v = k2δ
通解为
v = c1sinkx + c2coskx + δ
P k = EI
2
边界条件: x = 0 v (0) = 0 x = 0 v' (0) = 0 x = l v (l ) = δ v(0) = c1sink ·0 + c2cosk ·0 + δ = 0
工程力 学
P1<PCr
P2=PCr
压杆失稳试验图
工程力 学
(1) 在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直 线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆 端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来 回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。 我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状 态，此时的平衡具有抗干扰性。 扰动除去后，结构能够恢复到原始平衡构形(状 态)，则称原来的平衡构形是稳定的。
工程力 学
(2) 当P2等于某个临界值Pcr时，若没有干扰，杆 件可保持直线平衡状态，只要一加干扰，杆 件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状 态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形 式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定 的。 扰动除去后，结构不能够恢复到原始平衡构形 (状态)，则称原来的平衡构形是不稳定的。
2
EIπ Pcr = 2 l
相当长为2l的两端简
2 π EI 支杆 Pcr = (2l ) 2
工程力 学
图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的 弯矩为 0 ，故可设想此处有一铰，而将压 杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两 端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公 式，就可得到原支承条件下的临界压力公 式。两拐点间的长度 μl 称为原压杆的相 当长度，即相当 μ l 这么长的两端铰支 当长度 杆。
v(l) = δ (1− coskl) = δ
Qδ coskl = 0 ∴ cos kl = 0
2n + 1 ∴ kl = π 2
2
n = 0，1，2，……
2n + 1 π 2 ∴k = ( ) 2 l
工程力 学
2n + 1 π 2 ) n = 0，1，2，…… P = EI ( 2 l 2 EI π
–––
v = c1 sin
π
l
x
(0≤x≤l) ––– 半个正弦波
工程力 学
§ §9-3 9-3 不同杆端约束下细长杆的临界 不同杆端约束下细长杆的临界 压力欧拉公式 压力欧拉公式 ⋅⋅ 压杆的长度系 压杆的长度系 数。 数。
工程力 学
例 求一端固定，一端自由细长杆的临界 L 压力。 由平衡条件 M(x) = −P(δ − v) y 代入挠曲线近似微分方程 EIv″ = − M(x)=P(δ − v)
工程力 学
由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状 态称为失稳。 失稳 压杆失稳 ––– 直线平衡状态改变为微弯平衡 状态。其变形表现为突然的纵向 弯曲，因此也称为屈曲。屈曲是 压杆失稳的形式 P < Pcr P = Pcr Pcr ––– 临界压力 压杆处于稳定平衡 压杆失稳 临界力 临界载荷
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