天津大学2014-48学时工程力学材料力学第九章-压杆稳定
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2014秋 材料力学 第9章 压杆稳定 1
设： cr p 时， p
若 cr p， 则必有 p E
p
第9章 压杆稳定
E l ， － 压 杆 的 柔 度 ， p i
2 2 p
p－ 压 杆 的 判 别 柔 度
2 105 Q 235 钢： p 3.14 100 p 200 E
第9章 压杆稳定
三、两端铰支压杆的临界力
x
Fcr
x
当F=Fcr在不稳定平衡的直轴线状态下，材料仍处 于线弹性范围，而有关的一些弯曲理论仍适用，压 杆在Fcr 的作用下，保持微弯状态的平衡。
v( x)
Fcr
M(x)
M ( x) Fcr y ( x)
引入梁的挠曲线近似微分方程
l
(a)
Fcr
y
(b)
第9章 压杆稳定
F
根据强度条件，中心受压直杆承受载荷 F=[ σ ]A ，从理论上看，其平衡形式不变。丁字尺： 横截面60mm×5mm中心受压，理论上承受150kg力， 实际上只用手轻轻一按→弯曲，继续加力→折断。 受压直杆较细长远小于F=[σ]A破坏，因为受压 直杆的平衡与杆的长短粗细及材性有关，而不是仅 依据 F=[ σ ]A 来判断。当受压直杆较细长时，所加荷 载 F ＜＜ [ σ ]A →弯曲，由原来的直轴线中心受压， 变成弯曲变形，从而承受载荷能力大大下降。
l
第9章 压杆稳定
二、理想的中心受压直杆 实际压杆受压力作用时，将会发生不同程度的压弯现象， 可在理论研究时，通常将压杆抽象为均质材料制成，轴线为直 线且外加压力的作用线与压杆轴线重合的理想中心受压直杆这 线且外加压力的作用线与压杆轴线重合 一力学模型。 采用这一力学模型，由于不存在使压杆产生弯曲变形的初 始因素。因此在轴向压力下压杆就不能发生弯曲现象，为此在 分析中心受压直杆时，假象地在杆上施加一较小的横向力 Fs 使杆发生弯曲变形，随后撤除横向力。
材料力学第九章压杆稳定
明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
(Buckling of Columns)
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
(Buckling of Columns) 二、工程实例（Example problem）
(Buckling of Columns)
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
(Buckling of Columns)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,) EI
F
n2π l
2 2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
E π σp
206109 100 200 106
当 ＜1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此
时需用经验公式.
(Buckling of Columns) 三. 常用的经验公式 ( The experimental formula)
直线公式 或 令
σcr a b s
a s
b
σmax
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所
能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是
与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
π 2 n 2 EI l2
最小临界载荷
FPcr π 2 EI 2 l
第9章 压杆的稳定问题
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上 正弦半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同 支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈 曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度 的比值确定。
d2w M ( x) - EI 2 dx
d2w 2 k w0 2 dx
k2 FP EI
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
d2w 2 k w0 2 dx
k2
FP EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷 FP 尚未算出时，不 能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当 分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹 性范围，则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算 公式。这些都会给计算带来不便。 能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压 杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极 限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问 题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要 引进长细比（slenderness）的概念。
《建筑力学》第九章压杆稳定
cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）
cr
cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并 非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在 初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需 考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短
4 1 0.566 103 20
113
4
AC
lAC i
4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB
0.536
(0.536
材料力学第九章 压杆稳定 答案
第九章 压杆稳定
一、什么是压杆稳定？
二、临界压力的计算方法？
三、压杆的稳定性条件？
四、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。
其直径mm d 45=，长度mm l 703=。
钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。
计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa)。
试：（1）判断此压杆的类型；（2）求此杆的临界压力。
解：（1） 1=μ 86
21==P E σπλ 5.624
===d l i
l μμλ 由于12λλλ<<，是中柔度杆。
（2）MPa cr 301568.2461=-=λσ
kN A P cr cr 478==σ
四、图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序为？
六、图示托架各杆均以圆柱形铰链
联接和支承，BC 杆直径d =40mm ，
材料为A 3钢，压杆的大柔度限值
λ1=100，λ2=60。
试判定压杆BC 的类型和该杆临界应力的计算公式。
（14分）
解 惯性半径为 104
===d A I i z mm （4分）
柔度为 83.80==i
l μλ （4分） 属于中长杆，用经验公式计算临界应力，即 λσb a cr -= （6分）。
建筑力学第9章压杆稳定
• 压杆失稳时的压力比引起强度不足而破坏的压力要小得多，并且失稳 破坏是突然的，因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
材料力学9 压杆稳定
2.0
# 一端固定，另一端自由
0.7
Fcr
π 2 EI
2l 2
# 一端固定，另一端铰支
Fcr
π 2 EI
0.7l 2
Fcr
π 2 EI
(l)2
欧拉公式的普遍形式
第九章 压杆稳定
Fcr
π 2 EI (l)2
P297
杆端的约束愈强，则 µ值愈小，压杆的临界载荷愈高； 杆端的约束愈弱，则 µ值愈大，压杆的临界载荷愈低。
第九章 压杆稳定
例： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受 的轴向压力最大， 哪一根杆能承受的轴向压力最小？
P
P
P
a 1.3 a
1.6a
(1)
(2)
(3)
相当长度 (l)1 2a (l)2 1.3a
(l)3 0.7 1.6a 1.12a
l1 l2 l3
第九章 压杆稳定
讨论： 2
第二特征柔度，只与材料性质有关
① 适用范围: s cr a b s s (塑性材料)
a
ss
b
2
Q235 钢 ss 235MPa, a 304MPa, b 1.12MPa
2 60
② 2 1 中柔度杆或中长杆
③ 2 s cr s s
第九章 压杆稳定
讨论：
l
Fcr
π 2 EI
(l)2
长度因数 （反映杆端约束牢固程度）
相当长度
表明某种杆端约束情况下，长度为l 的压杆的稳
定性，与长度为l 的两端铰支压杆的稳定性相当
第九章压杆稳定
A
y O
W
xy
1 6 4 = = = 80 i 0.3
L
zy面内，=2.0
x
z
2 6 4 zy = = = 160 i 0.3
L
②求折减系数
木杆 : = 80时, = 0.47 木杆 : = 160时, = 0.117
③求许用压力
cr =
1.临界应力和柔度 临界应力可用临界力Pcr 除以横截面面积A 来求得。
Pcr 2 EI 2 Ei 2 2 E cr = = = = 2 2 2 A ( l ) A ( l )
令
i=
I A
=
l
i
2Ε cr = 2
截面的惯性半径
柔度(长细比)
2.欧拉公式的适用范围
Pcr =
2 EI y
l 2
3.142 10 109 8 10-5 = = 161kN 1 7 2
2 E 3.142 10 109 cr = 2 = = 6.73MPa 1212
（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。
如图（b）,截面的惯性矩为
P P M0 x L
P
EIy=- M ( x)=- Py+M P 2 2 2 M 令:k = y + k y = k EI P x M y = c cos kx + d sin kx + M(x) P
边界条件为:
y = - ck sin kx + dk cos kx M M M M = cos kx + y k sin kx c=,d = 0 , y = P P P P kL=2n kL = 2n 并 kL = n
材料力学第9章-压杆稳定1
W
≤ [σ ]
7-13 图示钢制圆截面梁，直径为 ，许用应力为[σ]，对下列几种受力情况分别指 图示钢制圆截面梁，直径为d， 出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图， 出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立 相应的强度条件。 只有 只有F 作用； 只有 只有M 作用； 相应的强度条件。(1)只有 和Mx作用；(2)只有 y 、Mz 和 Mx作用；(3) My 、Mz、 Mx 和F 同时作用。 同时作用。 同时作用，拉弯扭组合， 解： (3) My 、Mz、Mx 和F 同时作用，拉弯扭组合， 任一截面D 任一截面 1点是危险点
7-13 图示钢制圆截面梁，直径为 ，许用应力为[σ]，对下列几种受力情况分别指 图示钢制圆截面梁，直径为d， 出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图， 出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立 相应的强度条件。 只有 只有F 作用； 只有 只有M 作用； 相应的强度条件。(1)只有 和Mx作用；(2)只有 y 、Mz 和 Mx作用；(3) My 、Mz、 Mx 和F 同时作用。 同时作用。 只有M 作用，弯扭组合， 解： (2)只有 y 、Mz 和 Mx作用，弯扭组合，任一截 只有 面与总弯矩矢量垂直的直径两端点是危险点
应力状态： 应力状态：
σ τ
其中： 其中：
F F σ= N= A A
A=
πd2
4
W=
M M T τ= = x = x Wp Wp 2W
πd3
32
则有强度条件： 则有强度条件：
2 F Mx F Mx σ r3 = σ 2 + 4τ 2 = + = + 2 ≤ [σ ] A W A W 2 2 2
材料力学第9章压杆稳定
F
cr
A
δ
v
B
F cr
y
F M(x) y cr
m
m
yB
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F cr
y
F M( x) y cr
m
m
F EIy" M( x) y y B cr
EIy" M x Fcr y
③ 当2（小柔度压杆）时，用轴向压缩公式计算
强度
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可
取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 的大小取决于压杆的力 学性能。例如，对于Q235 钢，可取 E=206GPa， P=200MPa，得
2E
cr
2
1
E 31.4
p
右图称为欧拉临界应力曲 线。实线部分是欧拉公式 适用范围的曲线，虚线部 分无意义。
Fcr F
315 120
2.63
nw
压杆是稳定的
（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等
Pcr A cr
cr
2E 2
h=60
1 l
xy
Iz
A
0.5
l
1
xz
Iy
A
2
I l z 4 2
I l y
1
l1 l
I z 4I y
y
z
x
例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环， P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数 nw=2.5，计算钢管壁厚t 。
n
cr
A
δ
v
B
F cr
y
F M(x) y cr
m
m
yB
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F cr
y
F M( x) y cr
m
m
F EIy" M( x) y y B cr
EIy" M x Fcr y
③ 当2（小柔度压杆）时，用轴向压缩公式计算
强度
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可
取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 的大小取决于压杆的力 学性能。例如，对于Q235 钢，可取 E=206GPa， P=200MPa，得
2E
cr
2
1
E 31.4
p
右图称为欧拉临界应力曲 线。实线部分是欧拉公式 适用范围的曲线，虚线部 分无意义。
Fcr F
315 120
2.63
nw
压杆是稳定的
（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等
Pcr A cr
cr
2E 2
h=60
1 l
xy
Iz
A
0.5
l
1
xz
Iy
A
2
I l z 4 2
I l y
1
l1 l
I z 4I y
y
z
x
例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环， P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数 nw=2.5，计算钢管壁厚t 。
n
9压杆稳定
作出正切曲线，与从坐标画出的 º斜直线相交， 作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点 的横坐标为
Pcr = (4.493) EI / l 2
2
弯矩为零的C点的横坐标 弯矩为零的 点的横坐标
1.352 xc = ≈ 0.3l k
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第九章
压杆稳定
§9-4 压杆的临界应力及临界应力总图
π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ
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第九章
压杆稳定
或写成
π 2E λ≥ σp
π 2E 记 λ1 = σp
欧拉公式的适用范围： 欧拉公式的适用范围：
λ ≥ λ1
满足该条件的杆称为细长杆或 满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆 细长杆
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第九章
压杆稳定
对Q235钢，当取 钢 当取E=206GPa，σp=200MPa, 则 ，
固定支座的边界条件是
x=0时， v = 0 时
dv =0 dx
x=l
时， v
=0
dv =0 dx
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第九章
压杆稳定
边界条件带入上面各式得
R R C1 + l = 0, C1 cos kl +C 2 sin kl = 0, kC 2 − =0 2 2 EIk EIk
解得
tan kl = kl
P k = EI
2
则有
v '' + k 2 v ' = 0
该微分方程的通解 通解为 通解
v = A sin kx &#A、B——积分常数，可由边界条件确定 ——积分常数， 积分常数
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第九章
材料力学 压杆稳定
y F
l
F
x
O h b
(a )
l1
F
F
x
z
(b )
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F
F A
A
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和 小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性 支承条件下弹性压杆的临界力。
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉
FP FP
Δ
压杆从直线平衡构 形到弯曲平衡构形的 转变过程，称为“屈 曲”。由于屈曲，压 杆产生的侧向位移， 称为屈曲位移。
FP FP
FP FP FP
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F 源自F AA影响压杆承载能力的因素:
1. 细长杆
Fcr
EI
2
L 2
影响因素较多,与弹性模量E，截 面形状，几何尺寸以及约束条件 等因素有关。
2. 中长杆
Fcr cr A a b A
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
EI
2
Fcr
L
2
EI
2
L
2
I max
1 32 12
3
mm
4
I min
32 1 12
3
mm
4
210 10
2 3
32 1 12
l
F
x
O h b
(a )
l1
F
F
x
z
(b )
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F
F A
A
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和 小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性 支承条件下弹性压杆的临界力。
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉
FP FP
Δ
压杆从直线平衡构 形到弯曲平衡构形的 转变过程，称为“屈 曲”。由于屈曲，压 杆产生的侧向位移， 称为屈曲位移。
FP FP
FP FP FP
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F 源自F AA影响压杆承载能力的因素:
1. 细长杆
Fcr
EI
2
L 2
影响因素较多,与弹性模量E，截 面形状，几何尺寸以及约束条件 等因素有关。
2. 中长杆
Fcr cr A a b A
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
EI
2
Fcr
L
2
EI
2
L
2
I max
1 32 12
3
mm
4
I min
32 1 12
3
mm
4
210 10
2 3
32 1 12
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
12 材料力学第九章 压杆稳定
令 L
i
即： cr
2E 2
i I A
26
说明：挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此
只有材料在线弹性范围内工作时，即只有cr≤p时，欧拉公
式才能适用。
实验表明： 粗短压杆没有失稳现象； 中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界
力并不符合； 细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。
稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一 般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安全系 数规定为1.5～2.2，甚至更大。
37
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。 注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因
或
2E p
E
p
p
28
二、中小柔度杆的临界应力计算
1. 直线型经验公式
①P<<S 时： crab c rabs
as
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验
②S< 时：
crs
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈服
29
表9−2 一些常用材料的a、b、p、s值
材料
a (MPa) b (MPa)
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy
h3b /12b 40
薄壁容器 失稳
浅拱失稳
17
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
材料力学第9章 压杆稳定
BC ≈ 0.7l
FACcr =
( 2 × 0.3l )
π 2 EI
2
=
( 0.6l )2π 2 源自I2, FBCcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
综合得： 综合得：
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
（9.4） ）
三、欧拉公式的普遍表达式 π 2 EI 1、公式： 、公式： Fcr = 2 ( µl ) 2、常见约束压杆的长度系数： 、常见约束压杆的长度系数： •两端铰支： 两端铰支： µ=1 两端铰支 •一端固定，一端自由： 一端固定， µ=2 一端固定 一端自由： •两端固定： 两端固定： µ=0.5 两端固定 •一端固定，一端铰支： 一端固定， µ≈0.7 一端固定 一端铰支：
w = A sin kx + B cos kx
3、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 由x=0时w=0得： A sin k ⋅ 0 + B cos k ⋅ 0 = 0 时 得
B=0
由x=l时w=0得：A sin k ⋅ l = 0 时 得
A≠0 sin kl = 0
π EI Fcr = = 2 ( µl )
2
π × (210 ×10 Pa ) ×
2 9
π
64
d4
(1×1.25m) 2
解得： 解得： d = 0.0246m = 24.6mm 取为： 取为：d=25mm。 。
4、校核计算： 、校核计算：
1×1250mm λ= = = 200 25mm i 4 π 2E π 2 × (210 ×109 Pa) λ1 = = = 97 6 σP 220 ×10 Pa
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工程实际中的压杆不允许失稳。
对于稳定问题，关键是求出临 界压力 Pcr ，这样，只要工作压力小 于临界压力，就不会发生稳定问 题。
工程力 学
失稳产生的原因 •横向干扰力的存在。 •轴向加压作不到精确对心，存在偏心 现象。 •受压构件初始形状不严格为直线。 •材质不均匀。
工程力 学
失稳现象的特点 •多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、 壳、柱） •整体性。构件失稳引起受力重新分 配。整体失效、整体分析。 •破坏的突然性。应力在弹性范围，类 似脆性破坏。
工程力 学
x
δ −v
v M
x
δ
P P
∴
EIv″ + Pv = Pδ v″ + k2v = k2δ
通解为
v = c1sinkx + c2coskx + δ
P k = EI
2
边界条件: x = 0 v (0) = 0 x = 0 v' (0) = 0 x = l v (l ) = δ v(0) = c1sink ·0 + c2cosk ·0 + δ = 0
否则 v ≡ 0
与假设矛盾
n = 0，1，2，……
nπ 即 k = l
P EI = k
2
nπ 2 = ( ) l
2
EI ( n π ) P = 2 l
工程力 学
临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向 压力 2 EI π ––– 欧拉公式 ∴ Pcr = 2 l 2 EI π 杆件失稳 ––– 由直线变成曲线 P = Pcr = 2 l
主讲教师：李林安
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工程力 学
压杆稳定
问题
1、什么是稳定平衡？什么是不稳定平衡？ 什么是失稳？ 2、如何计算压杆的临界载荷？ 3、如何提高压杆稳定性？
§ §9-1 9-1 压杆稳定的概述 压杆稳定的概述
工 程 背 景
压杆
工程力 学
工 程 背 景
受压
工程力 学
工程背景
压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
工程力 学
(2) 当P2等于某个临界值Pcr时，若没有干扰，杆 件可保持直线平衡状态，只要一加干扰，杆 件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状 态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形 式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定 的。 扰动除去后，结构不能够恢复到原始平衡构形 (状态)，则称原来的平衡构形是不稳定的。
–––
v = c1 sin
π
l
x
(0≤x≤l) ––– 半个正弦波
工程力 学
§ §9-3 9-3 不同杆端约束下细长杆的临界 不同杆端约束下细长杆的临界 压力欧拉公式 压力欧拉公式 ⋅⋅ 压杆的长度系 压杆的长度系 数。 数。
工程力 学
例 求一端固定，一端自由细长杆的临界 L 压力。 由平衡条件 M(x) = −P(δ − v) y 代入挠曲线近似微分方程 EIv″ = − M(x)=P(δ − v)
工程力 学
§ §9-2 9-2 两端简支细长杆的临界压力 两端简支细长杆的临界压力
如前所述，临界压力Pcr是这样一个值： 当P < Pcr ，杆能保持直线平衡状态 ； 当P = Pcr ，杆处于微弯平衡状态 ； Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。
工程力 学
求临界压力的思路： 假设杆处于微弯的平衡状态，求此 时最小的轴向压力。 假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图 示)，
工程力 学
由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状 态称为失稳。 失稳 压杆失稳 ––– 直线平衡状态改变为微弯平衡 状态。其变形表现为突然的纵向 弯曲，因此也称为屈曲。屈曲是 压杆失稳的形式 P < Pcr P = Pcr Pcr ––– 临界压力 压杆处于稳定平衡 压杆失稳 临界力 临界载荷
工程力 学
工程力 学
∴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c2 + δ = 0
c2 = −δ
v '(x) = kc1coskx − kc2sinkx v '(0) = kc1cos(k ·0) − kc2sin(k ·0) = 0 ∴ ∴ kc1 = 0 c1 = 0 v(x) = δ(1− coskx)
工程力 学
k =
P ≠ 0 EI
∵v(l)=0
v(l) = δ (1− coskl) = δ
Qδ coskl = 0 ∴ cos kl = 0
2n + 1 ∴ kl = π 2
2
n = 0，1，2，……
2n + 1 π 2 ∴k = ( ) 2 l
工程力 学
2n + 1 π 2 ) n = 0，1，2，…… P = EI ( 2 l 2 EI π
工程力 学
P1<PCr
P2=PCr
压杆失稳试验图
工程力 学
(1) 在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直 线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆 端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来 回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。 我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状 态，此时的平衡具有抗干扰性。 扰动除去后，结构能够恢复到原始平衡构形(状 态)，则称原来的平衡构形是稳定的。
Pcr = ( 2l )
2
v ( x ) = δ (1 − cos
π
2l
x)
(0≤x≤l)
其中δ为未定常数。这表明屈曲位移是不 确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于 任意微弯状态是一致的。
工程力 学
对比： L A 半个正弦波 MA=MB=0 B A L L A
1 个正弦波 4
MA=MA′ =0
2
EIπ Pcr = 2 l
相当长为2l的两端简
2 π EI 支杆 Pcr = (2l ) 2
工程力 学
图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的 弯矩为 0 ，故可设想此处有一铰，而将压 杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两 端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公 式，就可得到原支承条件下的临界压力公 式。两拐点间的长度 μl 称为原压杆的相 当长度，即相当 μ l 这么长的两端铰支 当长度 杆。
P y
L 工程力 学
P x
由平衡条件，易得 EIv″ = − M = −pv ∴ EIv″ + pv = 0
p v′′ + v=0 EI
2
M(x) = pv
P y P y x
L M
代入挠曲线近似微分方程
P x
p 记 k = EI v″ + k2v = 0
v
x P
––– 二阶常系数，线性微分方程
工程力 学
通解： v = c1sinkx + c2coskx
边界条件： x = 0 x=l v( 0 ) = 0
v( l ) = 0 c2 = 0
v(0) = c1sink.0 + c2cosk.0 ∴ v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
工程力 学
∵ ∴ ∵
c1 ≠ 0 sinkl = 0 kl = nπ