典中点二次函数专训3二次函数图像信息题的四种常见类型

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(一)二次函数图象信息题常见的四种类型

专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型►类型之一由系数的符号确定图象的位置1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是()图1－ZT－12．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的()图1－ZT－23．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是()图1－ZT－34．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限．►类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过()图1－ZT－4A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()图1－ZT－57．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为()图1－ZT－6图1－ZT－7►类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0图1－ZT－89.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc；(2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4图1－ZT－910．［2017·杭州］设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，( )A ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＞0B ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＜0C ．若m ＜1，则(m ＋1)a ＋b ＞0D ．若m ＜1，则(m ＋1)a ＋b ＜011．如图1－ZT －10，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．图1－ZT －1012．［2017·资阳］如图1－ZT －11，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点和该抛物线与y 轴的交点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，它的对称轴是直线x ＝1，有下列四个结论：①abc＜0，②a ＜－13，③a ＝－k ，④当0＜x ＜1时，ax ＋b ＞k.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1图1－ZT －11► 类型之四利用二次函数求一元二次方程的根13．小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图1－ZT －12，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是( )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x 1＝－1，x 2＝4图1－ZT －1214．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1－ZT －13所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞3图1－ZT －1315．［2018·马鞍山期中］已知二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的部分图象如图1－ZT －14，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax －3＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝( )A ．－1.3B ．－2.3C ．－0.3D ．－3.3图1－ZT －1416．［2016·淮南期中］如图1－ZT －15所示，一次函数y 1＝kx ＋n 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x 的不等式kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c 的解集为( )A ．－1≤x ≤9B ．－1≤x ＜9C ．－1＜x ≤9D ．x ≤－1或x ≥9图1－ZT －15 17．［2016·南宁］二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图1－ZT －16所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．不能确定图1－ZT －1618．［2017·遂宁］函数y ＝x 2＋bx ＋c 与函数y ＝x 的图象如图1－ZT －17所示，有以下结论：①b 2－4c ＞0；②b ＋c ＝0；③b ＜0；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋bx ＋c ，y ＝x 的解为⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3；⑤当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＞0.其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③⑤图1－ZT－17教师详解详析1．[解析] D∵a＜0，b＞0，c＜0，∴图象开口向下，对称轴在x轴的右侧，交y轴于负半轴．只有D选项中的图象符合题意．故选D.2．[解析] D当x＝1时，a＋b＋c＝0，即抛物线经过点(1，0)．当a＞b＞0＞c时，抛物线的对称轴x＝－b2a＜0，没有图形符合；当a＞0＞b＞c时，则抛物线的对称轴x＝－b2a＞0，选项D符合要求；而a＞b＞c＞0和0＞a＞b＞c都不符合a＋b＋c＝0.综上所述，本题选D.3．[解析] B由函数表达式y＝a(x＋m)2＋n(a>0)可知其图象开口向上，其顶点坐标为(－m，n)．又因为m＜0，n＜0，所以顶点在第四象限，排除A，C，D.故选B.4．[答案] 三、四[解析] ∵二次项系数为1，∴抛物线开口向上．又∵对称轴是直线x＝－a＜0，4a2－8a2＝－4a2<0，故与x轴没有交点，∴其图象不经过第三、四象限．5．[解析] D∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴为直线x＝－b2a＞0，a＞0，∴b＜0，∴y＝ax＋b的图象一定过第一、三、四象限．故选D.6．[解析] C∵一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＜0，在y轴左边．故选C.7．[解析] A由于一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象有两个不同的交点，且这两个交点都位于第一象限，所以方程ax2＋bx＋c＝x，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个不同的交点，且两个交点都在x轴的正半轴上．故选A.8．[解析] B∵图象的开口向下，∴a＜0.∵图象的对称轴为直线x＝－b2a＞0，∴b＞0.又∵图象与y轴的交点位于原点的下方，∴c＜0.故选项B符合题意．9．[解析] B∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，－b2a＝1，∴b＝－2a，∴b<0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0.∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵当x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0.故选B.10．[解析] C∵a＜0，∴函数y有最大值．当x＝1时，函数y的最大值为a＋b＋c①.当m＞1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c②.由②－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＞0，∴(m＋1)a＋b＜0，故选项A，B不一定正确．当m＜1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c③.由③－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＜0，∴(m＋1)a＋b＞0，故选项C正确，选项D错误．11．[答案] 0[解析] 方法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可知，点P(4，0)和点(－2，0)关于直线x＝1对称，因此点(－2，0)也在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，∴4a－2b＋c＝0.方法二：由题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，16a ＋4b ＋c ＝0.从而求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a .把b ，c 的值代入4a －2b ＋c 中，得4a －2b ＋c ＝0.12．[解析] A 由抛物线的开口向下，且对称轴为直线x ＝1可知a ＜0，－b 2a＝1，即b ＝－2a ＞0.由抛物线与y 轴的交点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上知c ＝1，则abc ＜0，故结论①正确．由①知y ＝ax 2－2ax ＋1.∵当x ＝－1时，y ＝a ＋2a ＋1＝3a ＋1＜0，∴a ＜－13，故结论②正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，∴a ＋b ＋1＝k ＋1，即a ＋b ＝k .又∵b ＝－2a ，∴a －2a ＝k ，即a ＝－k ，故结论③正确．由函数图象知，当0＜x ＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax 2＋bx ＋1＞kx ＋1，即ax 2＋bx ＞kx .又∵x ＞0，∴ax ＋b ＞k ，故结论④正确．综上所述，共有4个结论正确，故选A.13．[解析] D ∵二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于点(－1，0)和(4，0)，即当x ＝－1或4时，x 2＋ax ＋b ＝0，∴关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝4，故选D.14．D15．[解析] D 二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的图象的对称轴是直线x ＝－2a 2a＝－1.又∵x 1与x 2关于对称轴对称，∴1.3－(－1)＝－1－x 2，解得x 2＝－3.3，故选D.16．[解析] A 结合图象可知一次函数图象在二次函数图象上方时，对应的x 的取值范围即本题的答案，由图可知当－1≤x ≤9时，kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c .故选A.17．[解析] A 由图象可知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象的交点的横坐标之和大于0，即方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝23x的解中未知数x 的两个值的和大于0，可得ax 2＋bx ＋c ＝23x 变形为方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0后，它的两根之和大于0. 18．[解析] B ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点，∴b 2－4c ＜0，故结论①错误；当x ＝1时，y ＝1＋b ＋c ＝1，则b ＋c ＝0，故结论②正确；∵对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号．又∵a ＝1＞0，∴b ＜0，故结论③正确；根据抛物线与直线y ＝x 的交点知：方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋bx ＋c ，y ＝x 的解为⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3，故结论④正确；∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2＋bx ＋c ＜x ，∴x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，故结论⑤错误．综上所述，结论②③④正确，故选B.。

二次函数题型分类总结

二次函数题型分类总结二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是学生们经常接触到的数学题型之一。

在学习二次函数的过程中，我们会遇到各种不同类型的题目，这些题目涵盖了二次函数的基本概念、性质、图像、方程、不等式等多个方面。

为了帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，本文将对二次函数题型进行分类总结，以便学生们能够更系统地学习和应用这一知识点。

一、基本概念题型。

1. 求二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本性质；2. 确定二次函数的增减性、最值等相关问题；3. 根据二次函数的图像特点进行分析和判断。

二、方程与不等式题型。

1. 解二次函数的方程，包括一元二次方程和二元二次方程；2. 求二次函数不等式的解集，包括一元二次不等式和二元二次不等式。

三、图像与性质题型。

1. 根据给定的二次函数，绘制其图像；2. 根据图像，确定二次函数的各种性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等；3. 利用二次函数的图像进行相关问题的分析和解决。

四、应用题型。

1. 利用二次函数解决实际问题，如抛物线运动、优化问题等；2. 利用二次函数的性质解决相关的数学问题，如几何问题、物理问题等。

五、综合题型。

1. 将多个知识点进行综合运用，解决复杂的二次函数问题；2. 考察学生对二次函数整体理解和运用能力的题目。

通过以上分类总结，我们可以清晰地了解到二次函数题型的多样性和复杂性。

在学习和解答二次函数题目时，我们需要全面掌握二次函数的基本概念和性质，灵活运用相关的解题方法，善于将不同的知识点进行整合和应用。

同时，我们也要注重实际问题的应用，将抽象的数学知识与实际生活相结合，更好地理解和掌握二次函数的相关内容。

希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高解答二次函数题目的能力和水平。

同时，也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和积极性，不断提升自己的数学素养，为将来的学习和发展打下坚实的数学基础。

2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

二次函数图象信息题的四种常见类型

抛物线开口向上的图像
1
特点
图像开口朝上，a>0。
2
性质在抛物ຫໍສະໝຸດ 的中心处，函数取得最小值，也称为“顶点”，坐标为(f(g),-h(f(g)))。
3
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的顶点是(-1,4)，则方程的形式是什么？
抛物线开口向下的图像
特点
图像开口朝下，a<0。
性质
函数的最大值位于抛物线的中心处，其坐标为(f(g),-h(f(g)))。
二次函数图象信息题的四种常见类型
在学习二次函数时，掌握常见的四种图像类型对于学生们是非常重要的。这个幻灯片将介绍这些类型，以及如何轻松应对与它们相关的信息问题。
什么是二次函数？
1 定义
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b，c为常数，a不等于零。图像为开口朝上或朝下的轮廓类似于一个U形。
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的最大值点是(2,5)，则a的值是多少？
两个实根的图像
特点
图像与x轴有两个交点（实根），a>0。
性质
当x趋近于正无穷或负无穷时，二次函数趋近于无穷大。此外，抛物线的轴线是根的平均值。
例题
给定二次函数y=-2(x-4)(x-3)，求它的零点是多少？
无实根的图像
1
特点
图像可以用a(x-h)^2+k的形式表示，其中a<0。
2
性质
在抛物线的中心处，函数达到最大值。图像完全位于或高于x轴上方。
3
例题
二次方程y=x^2+4x+13有实根吗？如果不是，图像是什么样子的？

中考重要考点二次函数的图像与性质，分类详解，归纳总结规律

中考重要考点二次函数的图像与性质，分类详解，归纳总结规律在初中的数学学习中，二次函数是非常重要的章节，而且里面涉及的考点非常的多，不管是在对应学期的各种考试，还是在中考时，都是比较热门的考点，而作为即将升入初三，面临着新的知识，同学们更应该将这部分内容理解掌握，也有利于最后的复习，今天我和同学们一起学习中考比较重要的一个基础考点，二次函数的图像与性质，这里不需要同学们死记硬背，而是学会运用观察法，比较法熟练的掌握，结合图像研究其性质及不同图像之间的相互关系，从简单的y=ax²(a≠0)开始通过分类详解，归纳总结，循序渐进的学习y=ax²+bx+c(a≠0),归纳出规律，从而彻底学会掌握。

一、二次函数y=ax²(a≠0)的图像和性质二次函数y=ax²(a≠0)图象的作法：①列表：在二次函数y=ax²(a≠0)中，自变量x的取值范围是全体实数，给出x的一些代表值，求出对应的y值，一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。

注意：二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0)。

需要特别提醒的是，二次函数以对称轴为“界”，在对称轴的左右两侧，它的增减性是恰好相反的，而且在做题的时候，一定要注意说明其图像是在对称轴的左侧还是右侧，否则可能会出现错误。

在做题的时候利用图像去分析是解决问题的最有效途径，数形结合思想也是本章重要的数学思想之一。

二、二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像和性质二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像也是一条抛物线，它是由y=ax²向上或者向下平移|k|个单位得到的。

2020春北师大版数学九年级下册第二章二次函数专题二二次函数图象信息题的四种常见类型

y=- 1 x2+ 5 x+4
分∠CAO.则此抛物线的函数表达式是 6 6
.
12.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的函数表达式;
解:(1)已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0),B(0,2),
所以
0 2

1 b c, 0 0 c,
②当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),得 -1+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0, 解得m=0或2,x=-1或1. 当m=0时,x=-1, 所以Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当m=2时,x=1, 所以Q(1,0),P(2,-3).
③当四边形 BQCP 是平行四边形时,由 B(-1,0),C(0,-3),得 -1+0=x+m,m2-2m-3+0=-3+0, 解得 m=0 或 2,x=-1 或-3. 当 m=0 时,x=-1,所以 Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当 m=2 时,x=-3,所以 Q(-3,0),P(2,-3). 综上,存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为 (1+ 7 ,3)或(1- 7 ,3)或(2,-3).
10.已知二次函数 y= 1 x2+5x-10,设自变量的值分别为 x1,x2,x3,且-3<x1<x2<x3, 2
则对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系为 y1<y2<y3 .
根据函数图象确定函数表达式 11.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3,0),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平

(完整版)专题训练(一)二次函数图象常见四种信息题

专题训练（一）二次函数图象常见四种信息题►类型之一由系数的符号确定图象的位置1．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是()图1－ZT－12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的()图1－ZT－23．[2018·德州]如图1－ZT－3，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()图1－ZT－34．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限．►类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置5．2018·宁波如图1－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是()图1－ZT－4 图1－ZT－56．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为()图1－ZT－6图1－ZT－7►类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0图1－ZT－8 图1－ZT－98．[2018·毕节]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－ZT－9所示，有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0，其中正确的个数是() A．1B．2C．3D．49．设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，下列说法一定正确的是()A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0C．若m＜1，则(m＋1)a＋b＞0D．若m＜1，则(m＋1)a＋b＜010．如图1－ZT－10，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上，它的对称轴是直线x＝1，有下列四个结论：①abc＜0；②a＜－13；③a＝－k；④当0＜x＜1时，ax＋b＞k.其中正确结论的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1图1－ZT －10 图1－ZT －1111.如图1－ZT －11，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．► 类型之四利用二次函数求一元二次方程的根12．[2018·孝感]如图1－ZT －12，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是____________．图1－ZT －1213．[2018·襄阳]已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞214．[2018·马鞍山期中]已知二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的部分图象如图1－ZT －13所示，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax －3＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝( )A ．－1.3B ．－2.3C ．－0.3D ．－3.3图1－ZT －13 图1－ZT －1415．如图1－ZT －14，一次函数y 1＝kx ＋n 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x 的不等式kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c 的解集为( )A ．－1≤x ≤9B ．－1≤x ＜9C ．－1＜x ≤9D ．x ≤－1或x ≥916．[2018·湖州]在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a ≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－1或14≤a ＜13B .14≤a ＜13 C ．a ≤14或a ＞13D ．a ≤－1或a ≥1417．[2018·贵阳]已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图1－ZT －15所示)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )图1－ZT －15A ．－254＜m ＜3B ．－254＜m ＜2C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2教师详解详析1．[解析]D ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0，∴图象开口向下，对称轴在y 轴的右侧，交y 轴于负半轴．只有D 选项中的图象符合题意．故选D.2．[解析]D 当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝0，即抛物线经过点(1，0)．当a ＞b ＞0＞c 时，抛物线的对称轴x ＝－b 2a ＜0，没有图形符合；当a ＞0＞b ＞c 时，则抛物线的对称轴x ＝－b2a ＞0，选项D 符合要求；而a ＞b ＞c ＞0和0＞a ＞b ＞c 都不符合a ＋b ＋c ＝0.综上所述，本题选D.3．[解析]B A ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＜0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向下，故本选项错误；B ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，对称轴x ＝－－22a＞0，故本选项正确；C ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，对称轴x ＝－－22a＞0，和x 轴的正半轴相交，故本选项错误；D ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，故本选项错误．4．[答案]三、四[解析]∵二次项系数为1，∴抛物线开口向上．又∵对称轴是直线x ＝－a ＜0，4a 2－8a 2＝－4a 2<0，故与x 轴没有交点，∴其图象不经过第三、四象限．5．[解析]D 由二次函数的图象可知， a ＜0，b ＜0，当x ＝－1时，y ＝a －b ＜0， ∴y ＝(a －b )x ＋b 的图象在第二、三、四象限．6．[解析]A 由于一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个不同的交点，且这两个交点都位于第一象限，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，且两个交点都在x轴的正半轴上．故选A.7．[解析]B∵图象的开口向下，∴a＜0.∵图象的对称轴为直线x＝－b2a＞0，∴b＞0.又∵图象与y轴的交点位于原点的下方，∴c＜0.故选项B符合题意．8．[解析]D①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ab＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝－b2a＜1，∴－b＜2a，即2a＋b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故③正确；④当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故④正确．故选D.9．[解析]C∵a＜0，∴函数y有最大值．当x＝1时，函数y的最大值为a＋b＋c①.当m＞1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c②.由②－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＞0，∴(m＋1)a＋b＜0，故选项A，B不一定正确．当m＜1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c③.由③－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＜0，∴(m＋1)a＋b＞0，故选项C正确，选项D错误．10．[解析]A由抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝1，可知a＜0，－b2a＝1，即b＝－2a＞0.由抛物线与y轴的交点在一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上，知c＝1，则abc＜0，故结论①正确．由①知y＝ax2－2ax＋1.当x＝－1时，y＝a＋2a＋1＝3a＋1＜0，∴a ＜－13，故结论②正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，∴a ＋b ＋1＝k ＋1，即a ＋b ＝k .又∵b ＝－2a ，∴a －2a ＝k ，即a ＝－k ，故结论③正确．由函数图象知，当0＜x ＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax 2＋bx ＋1＞kx ＋1，即ax 2＋bx ＞kx .又∵x ＞0，∴ax ＋b ＞k ，故结论④正确．综上所述，4个结论都正确．故选A.11．[答案]0[解析]方法一：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，由对称性可知，点P (4，0)和点(－2，0)关于直线x ＝1对称，因此点(－2，0)也在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴4a －2b ＋c ＝0.方法二：由题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，16a ＋4b ＋c ＝0.从而求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a .把b ，c 的值代入4a －2b ＋c 中，得4a －2b ＋c ＝0.12．[答案]x 1＝－2，x 2＝1[解析]∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝1，即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.13．[解析]A ∵二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，∴Δ＝(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m ≤5.14．[解析]D 二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的图象的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1.又∵x 1与x 2关于对称轴对称，∴1.3－(－1)＝－1－x 2，解得x 2＝－3.3.故选D.15．[解析]A 由图可知当－1≤x ≤9时，kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c .故选A. 16．[解析]A ∵抛物线的表达式为y ＝ax 2－x ＋2.观察图象可知，当a ＜0时，x ＝－1，y ≤2，且－－12a≥－1时，满足条件，可得a ≤－1；当a ＞0时，x ＝2，y ≥1，且－－12a ≤2时满足条件，∴a ≥14.∵直线MN 的表达式为y ＝－13x ＋53，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ＋53，y ＝ax 2－x ＋2消去y ，得到3ax 2－2x ＋1＝0. ∵Δ＞0， ∴a ＜13，∴14≤a ＜13满足条件．综上所述，满足条件的a 的值为a ≤－1或14≤a ＜13.17．[解析]D 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y＝(x＋2)·(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)，当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有相等的实数解，解得m＝－6，所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.故选D.。

典中点二次函数专训5用二次函数解决问题的四种类型

典中点二次函数专训5 用二次函数解决问题的四种类型◐名师点金◑利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．类型：建立平面直角坐标系解决实际问题题型1：拱桥(隧道)问题1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．题型2：建筑物问题2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m题型3：物体运动类问题3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4 m，AC＝3 m，网球飞行最大高度OM＝5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？类型2：建立二次函数模型解决最值问题题型1：利用二次函数解决图形高度的最值问题4．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________．题型2：利用二次函数解决图形面积的最值问题5．工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm,如的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)。

典中点二次函数专训2求二次函数表达式的常见类型

典中点二次函数专训2 求二次函数表达式的常见类型◐名师点金◑求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解题过程简便．类型1：由函数的基本形式求表达式方法1：利用一般式求二次函数表达式1．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点是A(－2，0)．(1)求二次函数的表达式，并写出图象的顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y<0时，求x 的取值范围．方法2：利用顶点法求二次函数表达式2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线 y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6 3．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3：利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y 轴交于点C ，且AB ＝BC ，求此抛物线对应的函数表达式．方法4：利用平移法求二次函数表达式5．把二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．6．已知y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离．方法5：利用对称轴法求二次函数表达式7．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．8．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．方法6：灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．类型2：由函数图象中的信息求表达式10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是( ) A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝－12x 2－12x ＋2C ．y ＝－12x 2－12x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋211．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？类型3：由表格信息求表达式12．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与 x 之间的函数关系式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3 D ．y ＝x 2－4x ＋813．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 ax 21 ax 2＋bx ＋c83x …－32－1 －1212132…y …－54－2 －94－2 －5474…则该二次函数的表达式为______________．类型4：几何应用中求二次函数的表达式14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )类型5：实际问题中求二次函数表达式15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．。

专训二次函数图象信息题的四种常见类型(4)

专训二次函数图象信息题的四种常见类型名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键．根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号1．【2015·孝感】如图，二次函数y＝2＋＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且＝.则下列结论：①＜0；②＞0；③－b＋1＝0；④·＝－.其中正确结论的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1(第1题)(第2题)利用二次函数的图象比较大小2．二次函数y＝－x2＋＋c的图象如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是( )A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集3．【中考·黄石】二次函数y＝2＋＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( ) A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3(第3题)(第4题)4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝2＋＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程2＋＝0的根是．根据抛物线的特征确定其他函数的图象5．【中考·聊城】二次函数y＝2＋的图象如图所示，那么一次函数y＝＋b的图象大致是( )(第5题)6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝2＋－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的解析式．(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△的面积．(第6题)答案1．B2341＝0，x2＝2 56．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y1＝－x＋m，得m＝－1；将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y2＝2＋－3，得解得∴y2＝x2－2x－3.(2)易知C点的坐标为(0，－3)，一次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，－1)．∴S△＝×[－1－(－3)]×1＋×[－1－(－3)]×2＝×2×1＋×2×2＝3.。

2021春北师版九年级数学下册第2章 2.5.3 二次函数图像信息题的四种常见类型

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类型 4 根据二次函数图象的特征确定其他函数的图象
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( D )
返回பைடு நூலகம்
7．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m
与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；解：将点A(－1，0)的坐标代入y1＝－x＋m，
其中正确的个数为( )C
A．1 B．2
C．3
D．4
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类型 2 利用二次函数的图象比较大小
2 ．二次函数 y ＝－ x2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，若点
A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，
则y1与y2的大小关系是( B )
A．y1≤y2
等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( A )
A．－1≤x≤9
B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9
D．x≤－1或x≥9
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5．(中考·阜新)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是___x_1_＝__0_，__x_2＝__2___．
∴BC∥x轴．
∴S△ABC＝
1 2
×(2－0)×[0－(－3)]＝
12×2×3＝3.
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第二章二次函数与一元二次方程
2.5 二次函数与一元二次方程第3课时二次函数图像信息题的四
种常见类型
1
2
3
4
5
6
7
类型
1
根据二次函数图像的特征确定 a,b,c及与其有关的代数式的符号

二次函数易考查经典题型

二次函数全章高频考点专项训练一：求二次函数及反比例函数的表达式的方法求二次函数及反比例函数的表达式是解决二次函数及反比例函数的重要保证，求表达式时，一般都选用待定系数法，根据不同条件，设出恰当的表达式，往往会起到事半功倍的效果。

训练角度一：巧求二次函数表达式的方法类型一：一般式已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．类型二：顶点式已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3）,求这条抛物线的解析式。

类型三：两点式抛物线与x 轴交于 A(1,0),B(-3,0) 两点，与y 轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.训练角度二：巧求反比例函数表达式的方法类型一：已知坐标求反比例函数的表达式已知与x成正比例,与x成反比例,若的图像经过点(1、2),,则y与x的函数表达式类型二：已知面积求反比例函数的表达式类型三：利用根与系数的关系求反比例函数的表达式专项训练二：巧解反比例函数中的面积问题许多反比例函数问题都是与三角形，四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有，已知反比例函数的表达式，数函数图像围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的表达式等题型。

训练角度一：已知面积求反比例函数的表达式训练角度二：已知反比例函数的表达式求图形的面积训练角度三：利用点的坐标及面积公式求面积如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．训练角度四：利用对称性解决反比例函数中的面积问题如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线表达式分为y=与y=-。

现用四条钢条固定这四条曲线。

已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？专项训练三：建立坐标系，利用二次函数解决实际问题建立坐标系解决实际问题时，要注意数形结合思想的运用，依据徒刑特弟妹构建恰当的平面直角坐标系，选择恰当的二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的，常见的类型有：拱桥问题，运动型抛物线问题，荡秋千问题等训练角度一：拱桥（隧道）问题有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式。

初三二次函数图象与性质分类题型

初三二次函数图象与性质分类题型一、二次函数图像的基本特点1、张口方向2、极点坐标、对称轴3、增减性例1、已知对于 x 的函数y (1 m2)x22(m 1)x 1 (m 为常数 ) 。

（1）写出函数及其图像的名称。

不论 m为什么值，这些函数图像有什么共同性质？（2）当 m=0，m=2时，分别写出图像的张口方向、极点坐标和对称轴。

1-1 、写出以下各二次函数图像的极点坐标、对称轴以及与 y 轴交点的坐标：（1）y2(1 1 x2 ) ；（2）2y4x 24x1；（ 3）y ( x1)( x 2) ；（4）y23x2。

1 x251-2 、已知抛物线y ax2bx c(a 0) 的对称轴是直线x 1 ，且该抛物线经过点A（－1，y1）和B（2，y2）, 试比较 y1和 y2的大小 .1-3 、假如抛物线经过A（1，1）、B（5，1）、 C22（0，92）三点，那么该抛物线能否必定经过点D（6，92）？试说明原因。

二、图像的平移抛物线平移什么不变？改变什么？怎样改变？1、上下平移2、左右平移3、复合平移例 2、已知抛物线 C ：225。

1y x（1）将抛物线 C1向左向下分别平移 2 个单位，求所得的抛物线 C2的表达式；（2）若抛物线 C1经过上下、左右各一次平移得到抛物线 C3的表达式为y 2x24x 1，写出平移的过程；（3）若抛物线C1是由抛物线C4：y2x26x 1经过上下、左右各一次平移获得，写出平移的过程。

2-1 、已知直线y x 3 与抛物线 y x2，设该直线244与x 轴、y 轴分别订交于点 A、B，把抛物线经过两次平移，使之经过A、B 两点，求平移后抛物线的极点坐标和对称轴，并写平移过程。

2-2 、已知抛物线y x22x。

（1）沿着与 y 轴平行的方向平移，使它经过点（0,3 ），求所得抛物线的函数表达式；（2）沿着与 x 轴平行的方向平移，使它经过点（0,3 ），求所得抛物线的函数表达式。

典中典初三数学阶段核心归类专训二次函数的图象和性质的九种常见类型共50页文档

典中典初三数学阶段核心归类专训二次函数要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

北师版数学下册2.5.3二次函数图象信息题的四种常见类型(练习题课件)

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2．二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)， B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1<x2<1，则 y1 与 y2 的大小关系是( B ) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
3．【中考·黄石】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( D ) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1 或 x＞3
②当 y1＝－x2－2x＋8 时，解－x2－2x＋8＝0，得 x＝－4 或 x＝2， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标是(－4，0)和(2，0)．∵y2 随着 x 的增大而增大，且 y2 过点 A(－1，5)，∴y1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点(－4，0)．
－k＋b＝5，把点(－1，5)，(－4，0)的坐标分别代入 y2＝kx＋b，得－4k＋b＝0，解得
4．如图，一次函数 y1＝kx＋n 与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c 的图象相交于 A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于 x 的不等式 kx＋n≥ax2 ＋bx＋c 的解集为( A ) A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1 或 x≥9
*5.【中考·阜新】如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋3 的图象经过点 A(－1，0)，B(3，0)，那么关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＝ 0 的根是_x_1_＝__0_，__x_2_＝__2____．
kb＝＝3253， 0，∴y2＝53x＋230.综上，y2 的表达式为 y2＝5x＋10 或 y2＝53x＋230.
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R版九年级上
第二十二章二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程第3课时二次函数图象信息题
的四种常见类型
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1D 2B 3D 4A
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5 x1＝0，x2＝2 6D 7 见习题
类型
1．【2018·毕节】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
探究培优
5．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程 ax2＋bx＝0的根是___x_1＝__0_，__x_2_＝__2___．
夯实基础
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( D )
探究培优
3．【中考·黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( D )
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
探究培优
4．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c 的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( A )