山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试数学(文)(带答案)

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山西省阳泉市2020年高三第一次(3月)教学质量检测数学(文)试卷答案(PDF版)

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山西省太原市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

2019～2020学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.设集合{}0,12A =，，{}1B x y x ==-，则下列图中阴影部分所表示的集合为（）A. {}1B. {}0C. {}1,2D. {}0,1 【答案】B【解析】集合B 表示函数1y x =-{}{}11B x y x x x ==-=≥. 故图中阴影部分所表示的集合为{}{}0,1,2{|1}0R A C B x x ⋂=⋂<=，故选B. 2.若复数13z i =+，则z =（）A. 12B. 32C. 1D. 2【答案】C【解析】试题分析：因为()()213132131313i z i i i ===++- 所以，2213122z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C. 考点：复数的概念与运算.3.命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（）A. 若a c b c +≤+，则a b ≤B. 若a b ≤，则a c b c +≤+C. 若a c b c +>+，则a b >D. 若a b >，则a c b c +≤+【答案】B【解析】【分析】根据命题“若p ，则q ”的否命题是“若￢p ，则￢q ”．【详解】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是“若a b ≤，则a c b c +≤+” 故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．4.tan105︒=（）A. 2B. 2-C. 2D. 2-【答案】D【解析】【分析】根据4505610︒=+，然后利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果.【详解】由4505610︒=+，所以 ()45tan tan1tan 60456045tan 6005tan 1tan ︒-+==+则11tan105︒==所以tan1052︒=--故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，关键在于将非特殊角转化为特殊角，识记公式，细心计算，属基础题.5.已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A. 1B. 1或2C. 2或-1D. -1【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由题设得：2111242a q a a q =+因为10a ≠，所以，220q q --=解得：2q 或1q =-故选C.考点：等差数列与等比数列.6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）3B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】根据三视图的还原以及直观想象，可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，然后根据长对正，高平齐，宽相等，可知四棱锥的底面边长以及高度结合锥体体积公式，可得结果.【详解】由图可知：几何体是底面为正方形的四棱锥且底面边长为3，四棱锥的高为1 所以该四棱锥的体积为：213133V =⨯⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查三视图的还原，考验空间想象能力以及对常见几何体的三视图的认识，属基础题.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x 的值为2，则输出v 的值为（）A. 721-B. 72C. 621-D. 62【答案】A【解析】【分析】采用依次计算，第一次：1,121k v ==⨯+，第二次：22,22+1k v ==+，…依次类推，直到6k >，简单计算，可得结果.【详解】当输入x 的值为2时第一次：1,121k v ==⨯+第二次：22,22+1k v ==+第三次：323,22+2+1k v ==+第四次：4324,22+2+2+1k v ==+第五次：54325,22+2+2+2+1k v ==+第六次：654326,2+22+2+2+2+1k v ==+则当7k =时，7>6，输出结果.所以()7654321122+22+2+2+2+1=12v ⨯-=+-即721v =-故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，掌握该算法的功能，细心计算，属基础题.8.函数()cos(2)2sin sin()f x x x θθθ=+++的最大值是（）A. 2 C. 1 【答案】C【解析】【分析】根据()2x x θθθ+=++，利用两角和的余弦公式展开化简，可得()cos f x x =，根据余弦函数的性质，可得结果.【详解】()cos(2)cos x x θθθ+=++⎡⎤⎣⎦所以()()cos(2)cos cos sin sin x x x θθθθθ+=+-+所以()()()cos cos sin sin f x x x θθθθ=+++即()()cos cos f x x x θθ=+-=⎡⎤⎣⎦由1cos 1x -≤≤所以可知max ()1f x =故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，重在于对公式的识记，属基础题.9.已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（）B. 12πD. 1212π- 【答案】D【解析】【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：222AB BC AC +=所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又三角形内角和为π，所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P 所以242122412ABC S P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.10.若对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. (,1]-∞-B. (,1]-∞C. [1,)-+∞D. [1,)+∞【答案】A【解析】【分析】构造函数()ln f x x x x a =--，利用导数研究函数()f x 在()0,∞+单调性，并计算()min 0f x ≥，可得结果.【详解】令()ln f x x x x a =--，()0,x ∈+∞则()'ln f x x =，令()'01f x x =⇒= 若01x <<时，()'0fx < 若1x >时，()'0f x >所以可知函数()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立所以()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.11.在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，QA //,60PC PBC AQB ︒∠=∠=，己四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球的半径分别为12,R R ，则12R R =（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算,PA CQ ，根据墙角模型以及直观想象，可知,PA CQ 分别为四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球直径，最后计算可得结果.【详解】设正方形的边长为2如图由PC ⊥底面ABCD ，QA //PC所以QA ⊥底面ABCD又60PBC AQB ︒∠=∠= 所以可知2323,PC QA == 根据墙角模型，将四棱锥P ABCD -补全是长方体PA 为该长方体的一条体对角线所以四棱锥P ABCD -的外接球的直径为PA同理四棱锥Q ABCD -的外接球的直径为QC22225PA PC BC CD ++=222221QC QA AB AD =++=所以12215223,R R PA QC ==== 所以12105R R = 故选：B【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，熟悉墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.12.已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是（）A. (0,]eB. 21,ee e -⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 11,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果.【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点且直线y kx e =+过定点()0,e如图根据图形可知：k 0<当直线y kx e =+与()11g x e x =+-相切时设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x =-，所以()'0201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x =所以()'124k g ==- 当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e e e e k e e+---==- 所以可知2114e k e--<≤ 故选：D【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数2()log f x a x x =+的图象过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则实数a =_________. 【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算，直接代值计算即可.. 【详解】由题可知：21111()log 2222f a =+=- 则11122a a -+=-⇒= 故答案为：1【点睛】本题考查对数式的运算，属基础题.14.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.【答案】8-【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2y x =在可行域中平移，根据z 或含z 式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果.【详解】如图令0z =，可得目标函数2z y x =-的一条等值线2y x =则将2y x =移至点()4,0A 处，目标函数取最小值所以最优解为点()4,0A则min 0248z =-⨯=-故答案为：8-【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.15.若01,,,log b a b a b x a y b z a <<<===，则,,x y z 由小到大排列为_______________.【答案】x y z <<【解析】【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性以及借助特殊值1进行比较大小，可得结果.【详解】由01a b <<<，且xy a =单调递减所以b a a a <又a y x =在()0,x ∈+∞递增，所以1a a a b <<所以01b a a b <<<由log b y x =单调递减，所以log log 1b b a b >=所以log b a b a b a <<，即x y z <<故答案为：x y z <<【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，熟悉基本函数的单调性以及借助中间值比较大小，比如中间值常用：0，1，属基础题.16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【解析】【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠ 所以13AB =13AC AB == 所以)133913,0,B C ⎝⎭，()0,0A 又39sin sin sin BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以2713cos 1sin 26BAD BAD ∠=-∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠ 即2113339,2626D ⎛ ⎝⎭所以()2113339,13,0,AD AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 1339AC ⎛ =⎝⎭又AD AB AC λμ=+ 所以2113139132621333393913262λμλμμ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1) 0.040a =；中位数为82.5. (2)35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =；设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题18.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果. 【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2aC c b +=，得1sin sin sin sin 2A C C B +=，又由()sin sin B A C =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+. 由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =. （Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sin B =b a <，故cos B =因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=. 所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2Nn n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值. 【答案】（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果.【详解】（I ）由2n n S a n =-①当1n =时，可得111211S a a =-⇒=当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--②则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n n n n a a +=⇒=-所以2121121412n nn a --=-=⋅- 记13521n n T a a a a -=+++⋯+所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144...4143n n n --+++==- 所以()()4412411233n n n T n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，点D 是棱11B C 的中点，2AB AC ==，12BC BB ==.（Ⅰ）求证：1AC //平面1A BD ；（Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】【分析】（Ⅰ）连接1AB 交1A B 于点M ，连DM ，根据中位线定理可得1AC //DM ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（Ⅱ）计算11,ABC BDC S S ∆∆，根据等体积法，11D ABC A BDC V V --=，可得结果.【详解】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中连接1AB 交1A B 于点M ，连DM如图由四边形11ABB A 为平行四边形，则M 为1AB 中点又点D 是棱11B C 的中点，所以1AC //DM因为1AC ⊄平面1A BD ，DM ⊂平面1A BD所以1AC //平面1A BD（Ⅱ）设点D 到平面1ABC 的距离为h由1A A ⊥底面ABC ，AB底面ABC 所以1A A AB ⊥，由2AB AC ==12BC BB ==所以222AB AC BC +=，则AC AB ⊥由1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥ ()222211226AC AC CC =+=+=所以11132ABC S AB AC ∆=⋅⋅=1111112122BDC S DC CC ∆=⋅⋅=⨯⨯= 连接AD ，作AN BC ⊥交BC 于点N由三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1AN =又AN ⊂底面ABC ，所以1AN AA ⊥，又1AA //1CC ，所以1AN CC ⊥1,CC BC ⊂平面11B BCC ，1CC BC C ⋂=所以AN ⊥平面11B BCC由11D ABC A BDC V V --= 则111133ABC BDC S h S AN ∆∆⋅⋅=⋅⋅所以h【点睛】本题考查线面平行的判定以及使用等体积法求点到面的距离，识记线面平行的判定，熟练掌握使用等积法解决点到面的距离，细心观察，耐心计算，属中档题.21.已知函数()e ln x f x a x x =--.（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在区间(0,1)上存在极值点，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）10ex y --=；（Ⅱ）(0,e 1)-【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.【详解】解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln xf x e x x =+-，0x >. 所以()11x f x e x='+-，所以 ()11f e =-，()1f e '=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x --=-，整理得 10.ex y --=（Ⅱ）因为()ln x f x e a x x =--，0x >.所以()1x xa xe x a f x e x x '--=--=，依题意，()f x '在区间()0,1上存在变号零点.因为0x >，设()xg x xe x a =--，所以()g x 在区间()0,1上存在变号零点. 因()()11x g x e x ='+-，所以，当()0,1x ∈时，1x e >，11x +>，所以()11x e x +>，即()0g x '>，所以()g x 在区间()0,1上为单调递增函数，依题意， ()()00,10,g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,10.a e a -<⎧⎨-->⎩ 解得 01a e <<-.所以，若()f x 在区间()0,1上存在极值点，a 的取值范围是()0,1e -.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x = 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题23.已知f （x ）＝﹣x+|2x+1|，不等式f （x ）＜2的解集是M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）设a ，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分12≥-，x12-＜去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当12≥-时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．由f（x）＜2，得x＜1，所以12-≤x＜1．当x12-＜时，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣11x2-＜＜综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1 所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0 故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．。

山西省阳泉市第三中学高三数学文上学期期末试题含解析

山西省阳泉市第三中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知,则的大小为 ( )A. B. C. D.参考答案：A2. 已知i为虚数单位，则等于（）A. iB. 1C. －iD. －1参考答案：D【分析】利用的周期求解.【详解】由于，且的周期为4，，所以原式=.故选D【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．A中，。

B中，；。

C中，。

D中，。

参考答案：C4. 在△ABC中，若B、C的对边边长分别为，，则等于A．B．C．D．或参考答案：D略5. 已知为i虚数单位，若复数的虚部为－3，则（）．A．5 B．C．D．参考答案：C因为，所以，所以，所以，所以．故选．6. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），则命题P：“?x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017”是命题Q：“?x∈R，|f′（x）|＜2017”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由Q?P，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：命题Q：“?x∈R，|f′（x）|＜2017”??x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017；反之不一定成立，由?x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017可能得到：?x∈R，|f′（x）|≤2017．∴命题P是Q的必要不充分条件．故选：B．7. 设向量，，定义一种运算“”。

向量.已知，，点的图象上运动，点Q在的图象上运动且满足（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A. B. C.2D.参考答案：B.试题分析：由题意知，点P的坐标为，则，又因为点Q在的图象上运动，所以点Q的坐标满足的解析式，即.所以函数的最小值为-2.故应选B.考点：平面向量的坐标运算.8. 设函数则（）A．B．C．D．参考答案：D9. 已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则( )A．f（x）为偶函数B．f（x）在上单调递增C．x=为f（x）的图象的一条对称轴D．（，0）为f（x）的图象的一个对称中心参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式将函数f（x）进行化简，利用函数的周期求出ω即可得到结论．解答：解：f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）=f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx+﹣）=sin（ωx+）﹣cosωx+）=2sin（ωx+﹣）=2sinωx．∵f（x）的最小正周期为π，∴T=，解得ω=2，即f（x）=2sin2x．∵f（）=2sin（2×）=2sinπ=0，∴（，0）为f（x）的图象的一个对称中心．故选：D点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式求出ω是解决本题的关键．10. 已知条件p：|x﹣4|≤6；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A．[21，+∞）B．[9，+∞） C．[19，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B【考点】绝对值不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，由p是q的充分不必要条件，则条件p：|x﹣4|≤6的解集P，条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0）的解集Q，满足P?Q，构造不等式组，解不等式组即可得到答案．【解答】解：由已知，P：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m，因为p是q的充分不必要条件，则[﹣2，10]?[1﹣m，1+m]，即，故选B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f （x）=2x，则f（﹣log224）= ．参考答案：【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】根据题意，分析可得f（﹣log224）=f（log224）=f（4+log2）=f（log2），结合函数的解析式可得f（log2）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），则f（﹣log224）=f（log224）=f（4+log2）=f（log2），0＜log2＜1，又由当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（log2）==，即f（﹣log224）=；故答案为：．12. 已知两条直线和互相垂直，则等于；参考答案：略13. 如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的点，=3，O在线段CD上且不与端点重合，若=x+（1﹣x），则x的取值范围是．参考答案：（，0）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：结合图形，根据向量加法，，可以想着用来表示，根据已知条件知，其中0＜k ＜1，从而便可得到，从而x=，从而根据k 的范围即可求出x 的范围．解答：解：；O 在线段CD 上且不与端点重合；∴存在k ，0＜k ＜1，使；又；∴；∴=；又；∴；∴；∴x 的取值范围是．故答案为：（，0）．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，向量数乘的运算．14. 已知奇函数在时，，则在区间上的值域为参考答案：15. 设函数．若有唯一的零点（），则实数a ＝．参考答案：略16. 如图，正方形ABCD 中，AB =2，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，线段BD 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BF ，连接EF ，则图中阴影部分的面积是_______.参考答案：【分析】分别求出DC=BC=CE=2，BD=BF=2，求出∠DCE=90°，∠DBF ，分别求出△BCD 、△BEF 、扇形DBF 、扇形DCE 的面积，即可得出答案．【详解】过F 作FM ⊥BE 于M ，则∠FME=∠FMB=90°，∵四边形ABCD 是正方形，AB=2，∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，由勾股定理得：BD=2，∵将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，线段BD 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BF ，∴∠DCE=90°，BF=BD=2，∠FBE=90°-45°=45°，∴BM=FM=2，ME=2，∴阴影部分的面积S=S △BCD +S △BFE +S 扇形DCE -S 扇形DBF=×2×2+×4×2+-=6-π，故答案为：6-π．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．17. 如图所示，在南海上有两座灯塔A ，B ，这两座灯座之间的距离为60千米，有个货船从岛P 处出发前往距离120千米岛Q 处，行驶至一半路程时刚好到达M 处，恰好M 处在灯塔A 的正南方，也正好在灯塔B 的正西方，向量，则=．参考答案：﹣3600【考点】HU ：解三角形的实际应用．【分析】建立坐标系，设出A ，B 的坐标，用A ，B 的坐标表示出P，Q 的坐标，从而得出答案．【解答】解：以M 为原点，以MB ，MA 为坐标轴建立平面坐标系，设B （a ，0），A （0，b ），则直线AB 的斜率k=﹣，∵PQ⊥AB，∴直线PQ 的斜率为．∴直线PQ 的方程为y=，设P （m ，），∵M 是PQ 的中点，∴Q（﹣m ，﹣）， ∴=（﹣m ，﹣﹣b ），=（m ﹣a ，），∴=ma ﹣m 2﹣﹣am=﹣（m 2+），∵PM=PQ=60，∴m 2+=3600，∴=﹣3600．故答案为：﹣3600．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

数学(文)- 2020届高三上学期期末教学质量检测卷02(全解全析)

故选 C．
10．【答案】D
【解析】因为曲线 f (x) ax ln x 存在与直线 x 2 y 4 0 垂直的切线，
所以曲线 f (x) ax ln x 存在斜率为 2 的切线，所以 f (x) a 1 2 有解， x
所以当 x 0 时， a 2 1 有解，因为 1 0 ，所以 a 2 ，
2．【答案】A
【解析】由题可得 z z
|
z |2 |
2i 1 i
|2
| 2 i |2 |1 i |2

5
，故选
2

A．
3．【答案】D
【解析】因为 a

c
， b∥c
，所以
2

x

0，
3 1

y
，所以
1
x

2
，
y

3
，
所以 a b (5, x y) (5, 1) ，所以| a b | 52 (1)2 26 ，故选 D．
4．【答案】C
【解析】设大灯下缀 2 个小灯的灯球有 x 个，大灯下缀 4 个小灯的灯球有 y 个，
根据题意可得
x y 360 2x 4 y 1200
，解得
x

y
120 240
，故所求概率
P

240 120 240

2 3
，故选
C．
5．【答案】D
【解析】当 m∥ 时， m 与 n 可能平行，也可能异面，充分性不成立；当 m∥n 时， m∥ 或 m ，必要性不成立，所以“ m∥ ”是“ m∥n ”的既不充分也不必要条件．故选 D．

2020届山西省阳泉市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

由题意可得， a4 2 ， a3 4 ，
a1q3 2 a1q2 4
1 解得 q ， a1 16 ，
2
.
5. 已知数列 an 为各项均为正数的等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若 a42 4 ，且 a4 a3 6 ，则 S5 =（
）
A. 31
B. 32
C. 30
D. 29
【答案】 A
【解析】【分析】
结合已知可先求出公比 q 及首项 a1 ，然后根据等比数列的求和公式可求．
【详解】解：设等比数列的公比 q及首项 a1，
【解析】
【分析】
先写出向量
av
与
v 2b
，再计算其夹角即可
.
1
v ，所以 2b
62
3 ,1 3
cosva,2bv
所以
avn av n
v 2b
v 2b
13 23 23
1 2
3
所以向量
av
与
v 2b
的夹角为
3
故选 C.
【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题
考点：集合的交集运算
4 3i
2.复数 z
的虚部为（）
1 2i
A. i
B. i
3,2 P Q 2
C. 1
D. -1
【答案】 D
【解析】
4 3i 由z
1 2i
4 3i 1 2i 1 2i 1 2i
10 5i 2 i ，所以复数的虚部为
5
1，故选 D．
xy20 3.若 x, y 满足 x y 4 0 ，则 z 1 x y 的最大值为（）
山西省阳泉市 2019—2020 学年度第一学期期末考试试题高三文科数学

2020年山西省阳泉市高三第一次(3月)教学质量检测文科数学试题(word版含答案)(精编)

B.40
C.30
15 D.
2
D.{-1,0,1,2,3} 200 名学生进行调查，则抽取的高中生人数
D.20
(4)已知 a
log 1 3, b
1 ()
0.2 , c
( 1 )0.3 ,则
2
2
2
A.a<b<c
B.a<c<b
(5)某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测
这批产品的中位数为
C.c<a<b
D.b<c<a
(单位 :mm), 下图是检测结果的频率分布直方图
,据此估计
A.20
(6)函数 y
B.22.5
2|x| sin 2x 的图象可能是
C.22.75
D.25
(7)执行如图的程序框图，则输出的 S 的值是
A.14
B.26
C.30
D.62
(8)已知锐角 α满足 sin(
3
)
, 则 tan2 α＝
ln x x2
f ( x) 1nx 2e (e 为自然对数的底数 )有且只有一个零点 ,求实数 a 的值 .
(二 )选考题
请考生在第 (22) 、(23) 二题中任选一题做答 .注意 :只能做所选定的题目 .如果多做，则按所做的第一个题目计分，
作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
的.
3 2i
(1)设 z
, 则 |z|=
2i
2
3
A.
B.
2
2
13 C.
2
(2)已知集合 A={1,2,3},B={x| (x+1)(x-2)<0,x ∈ Z }, 则 A∩ B=

2021-2022学年山西省阳泉市城区中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省阳泉市城区中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.2. 设纯虚数z满足，则实数等于（）A．1 B．-1 C．2 D. -2参考答案：B3. 函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是（）A．是奇函数又是减函数B．是奇函数但不是减函数C．是减函数但不是奇函数D．不是奇函数也不是减函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】首先由奇函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可判函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是奇函数；然后利用分类讨论的方法去绝对值符号，由于奇函数的图象关于原点对称，且对称两侧的单调性相同，所以只需讨论0≤x≤1与x＞1时即可；最后根据化简后的分段函数画出其图象，则f（x）的单调性一目了然．【解答】解：因为函数f（x）=的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=|﹣x|（|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|）=|x|（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．又因为当0≤x≤1时，f（x）=x（﹣x+1﹣x﹣1）=﹣2x2；当x＞1时，f（x）=x（x﹣1﹣x﹣1）=﹣2x，所以f（x）的图象如图：所以f（x）既是奇函数，又是减函数．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性定义及它的图象性质，同时考查数形结合的方法研究函数的单调性．4. 已知命题，命题，则( )A.命题是假命题B.命题是真命题C.命题是真命题D.命题是假命题参考答案：D略5. 已知集合，，，则中元素个数是A． B． C． D．参考答案：C略6. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinωx的图象，则φ等于（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用三角函数的周期性求得ω的值，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，f（x）=sin（x+φ）．且其图象向右平移个单位后得到函数y=sin[（x﹣）+φ]=sin（x+φ﹣）=g（x）=sin x的图象，则φ=，故选：C．7. 函数y=sin（ωx+φ）在区间上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A． B． C． D．参考答案：A8. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，面积S=3，则a为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinA，再由面积公式可得c值，由余弦定理可得．【解答】解：在△ABC中cosA=，∴sinA==，∵b=2，面积S=3，∴S=bcsinA，∴3=×2c×，解得c=5，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，=b2+c2﹣2bccosA=13，即a=．故选：A．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．9. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D ．参考答案：A，，故为假命题，为真命题，因为，，所以命题：，，为假命题，所以为真命题，为真命题，故选A.10. 函数的图像大致为（）参考答案：D奇函数，排除A；当时，排除B；有无数个零点，排除C，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 先将函数y=ln的图象向右平移3个单位，再将所得图象关于原点对称得到y=f（x）的图象，则y=f（x ）的解析式是．参考答案：f （x ）=lnx【考点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】依据各步的规则进行图象变换逐步求出相应的函数解析式即可．【解答】解：函数y=ln的图象右平移3个单位得到y=ln的图象，而y=ln的图象关于原点对称的函数是y=lnx，故答案为：f（x）=lnx．【点评】本题考查了函数的图象变换以及函数解析式的求解，熟练掌握图象的对称变换、平移变换是解决本题的基础．12. 已知数列{a n}前n项和为S n，a1=1，a n+1=3S n，则a n= ．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】由题意可得，a n+1=3S n，a n=3S n﹣1（n≥2）可得，a n+1﹣a n=3S n﹣3S n﹣1=3a n即a n+1=4a n（n≥2），从而可得数列{a n}为从第二项开始的等比数列，可求通项公式【解答】解：由题意可得，a n+1=3S n，a n=3S n﹣1（n≤2）两式相减可得，a n+1﹣a n=3S n﹣3S n﹣1=3a n∴a n+1=4a n（n≥2）∵a1=1，a2=3S1=3≠4a1数列{a n}为从第二项开始的等比数列∴a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2），a1=1故答案为：【点评】本题主要考查了由等比数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意检验n=1时是否适合通项公式，以确定是写成一个通项还是分段的形式．13. 小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有▲种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为▲ .参考答案：32；超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，如果掏出纸币50元，则2张20元，1张10元，或3张10元，1张20元，共有；如果掏出纸币60元，则2张20元，2张10元，或3张20元，共有；如果掏出纸币70元，则3张20元，1张10元，或2张20元，3张10元，共有；如果掏出纸币80元，则3张20元，2张10元，共有；如果掏出纸币90元，则3张20元，3张10元，共有；综上，共有种.设“如果不放回的掏出4张，刚好是50元”为事件，则所有的基本事件的总数为，中含有的基本事件的总数为，故.所以分别填.14. 已知各项均为正数的数列满足（），则___________．参考答案：【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【试题分析】因为①，所以，当时，②，①-②得，，所以,也适合此式，所以，，所以数列是首项为，公差为4的等差数列，所以，故答案为.15. 在平面直角坐标系中，若点同时满足：①点都在函数图象上；②点关于原点对称，则称点对是函数的一个“望点对”（规定点对与点对是同一个“望点对”）。

山西省阳泉市牛村镇中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省阳泉市牛村镇中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（A）(B)(C)(D)参考答案：A因为直线过定点。

作出函数的图象如图，，要使函数与直线恰有三个公共点，则，因为，所以实数的取值范围是，即，所以选A.2. 已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是A．a>一2 B．一2<a<一1 C．a≤一2 D．a≤一参考答案：C3. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：B【知识点】柱体、椎体的体积G2解析：由几何体的三视图可知原几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，所以体积为，故选B.【思路点拨】由几何体的三视图可知原几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，再利用体积公式计算即可。

5. 曲线在点M处的切线的斜率为()A．B．C．－D．参考答案：B略6. 已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C7. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，则是( )A. 钝角三角形 B．直角三角形 C. 锐角三角形 D.等边三角形参考答案：A略8. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种 C．18种D．20种参考答案：B 9. 已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于A. B. C. D.参考答案：C设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设，由，得，.又，∴，∴，即，解得，选C.10. 设函数，则下列结论错误的是( )A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.参考答案：12. 已知，则展开式中的常数项为参考答案：6略13. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN所成角的余弦值为.参考答案：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.14. 袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．参考答案：0.6【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，∴这2只球颜色不同的概率为p=．故答案为：0.6．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若,，且，则A=____;若△ABC的面积为，则△ABC 的周长的最小值为_____.参考答案：6【分析】先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.【详解】由得得,∴∴；∴又所以（当且仅当时等号成立）【点睛】（1），若垂直，则有：；（2）取等号的条件是：.16. 函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．参考答案：π略17. 已知变量满足约束条件，则的最大值为；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年山西省阳泉市阳煤集团第二中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年山西省阳泉市阳煤集团第二中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列三个结论：（1）若命题为真命题，命题为真命题，则命题“”为真命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为A．个B．个C．个D．个参考答案：C为真，则为假，所以为假命题，所以（1）错误.“若，则或”的否命题为“若且，则”，所以（2）错误.（3）正确.选C.2. 下列函数在(0,2)上是增函数的是（）A．B．C．D．参考答案：D3. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=A．45 B．60 C．120 D．210参考答案：【知识点】二项式定理 J3C的展开式中，含的系数是：含的系数是：含的系数是含的系数是∴．故选择C.【思路点拨】由题意依次求出，项的系数，求和即可．4.定义在R上的函数为奇函数，且函数的周期为3，若f（1）=2007，f（2006）+f（2007）的值应等于（）A．0 B．－2007 C．2007 D．4013 参考答案：答案：B5. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不能确定参考答案：A6. 全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.参考答案：A7. 下列命题中正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线必平行B．垂直于同一平面的两个平面必平行C．一条直线至多与两条异面直线中的一条平行D．一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直参考答案：C8. 一个由半圆锥和平放的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1+B．1+C．+D．+参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】一个由半圆锥和平放的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）组成的几何体，分别求出体积，相加可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个由半圆锥和平放的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）组成的几何体，三棱柱的底面如主视图所示：故底面面积为×2×1=1，棱柱的高为1，故棱柱的体积为：1；半圆锥的底面如俯视图中半圆所示，故底面面积为：，半圆锥的高为：1，故半圆锥的体积为：=，故组合体的体积V=1+，故选：B9. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A. 3 B .4 C.5 D. 6参考答案：B略10. ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b， c.若，则A=A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为_________.参考答案：12. （5分）（2015?泰州一模）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．参考答案：﹣1【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．13. 比较大小：（填“”，“”或“”）参考答案：14. 用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f（x）＝min{，}，那么由函数y＝f（x）的图象、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为_____________．参考答案：略15. 若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意函数是偶函数，由偶函数的定义可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），进而得到ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，即可判断出a的取值得到答案【解答】解：函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）∴ax=﹣ax在函数的定义域中总成立∴a=0故答案为0【点评】本题考查对数的性质及函数偶函数的性质，解题的关键是理解ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，由此判断出参数的取值16. （几何证明选讲选做题）如图，在中，//，//，若，则的长为__________ ．参考答案：17. 已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．参考答案：21【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年山西省阳泉市十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2020-2021学年山西省阳泉市十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 必要条件D. 既不充分条件也不必要条件参考答案：A2. 如图为一个半圆柱, 是等腰直角三角形, F是线段CD的中点, ,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB与EF所成角的正弦值为（）A．B． C. D．参考答案：B本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力.设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为所以.3. 下列命题中的假命题是A. B.C.D .参考答案：A4. 已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（A）①③（B）①④（C）②④（D）②③参考答案：5. 在平面直角坐标系xoy中，过动点P分别作圆和圆圆的切线PA,PB(A,B为切点)，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 2参考答案：B略6. “”是“是函数的极小值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A，则，令或.检验：当时，，为极小值点，符合；当时，，为极小值点，符合.故“”是“函数的极小值点为”的充分不必要条件.7. 设，，给出下列三个结论：① ＞；②；③，其中所有的正确结论的序号是（）.A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③参考答案：【知识点】不等式的性质E1D①，，又，，正确；②由指数函数性质，可得，正确；③，而，正确；故选D.【思路点拨】由不等式性质，结合其他性质，加以计算可得.8. 是集合A到集合B的一个函数，其中，则为单调递增函数的概率是（）A B C D参考答案：D略9. 已知函数，则不等式的解集为（）A .B . C. D.参考答案：D10. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．参考答案：30012. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 __________钟，该病毒占据64MB内存.（其中，1MB=210KB）参考答案：4513. 已知函数满足，函数关于点对称，，则_________参考答案：略14. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则，.参考答案：2，15. 已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 切于点（1，3），则a ，b 的值分别为．参考答案：﹣1和3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k 的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k 列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，然后把切点坐标和a 的值代入曲线方程，即可求出b 的值．解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，求导得：y′=3x 2+a ，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1，把（1，3）及a=﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b=3，则b 的值为3．故答案为：﹣1和3．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题． 16. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．参考答案：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即可得出结论．【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即=π．故答案为π． 17. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

2020年山西省阳泉市平定县第一中学高三数学文期末试卷含解析

2020年山西省阳泉市平定县第一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量的集合到的映射为，其中为常向量，若映射满足对任意恒成立，则用坐标可能是A. B. C. D.参考答案：D略2. 已知函数满足：A. B. C. D.参考答案：D略3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 90B. 72C. 68D.60参考答案：B4. 为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限参考答案：B略5. 若函数存在反函数，则方程（为常数） ( )A.有且只有一个实根B.至少有一个实根C.至多有一个实根 D.没有实根参考答案：C6. 在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的取值范围是（）A. B. 或 C. D.或参考答案：A略7. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A． B．C． D．参考答案：B8. 等差数列中,若,则的值为（）A．180 B．240 C．360 D．720参考答案：C9. 如右下图是向阳中学筹备2011年元旦晚会举办的选拔主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4．84 B．84，1．6C．85，1．6 D．85，8参考答案：C略10. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是A．[2,6] B．[4,8] C．D．参考答案：A解答：由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的准线方程是 .参考答案：12. 设曲线在点(0,0)处的切线方程为，则a=_______．参考答案：-1【分析】求导得导函数解析式，然后通过曲线在点处的切线方程为即可得出曲线在点处的切线斜率，最后利用导数的计算即可得出结果。

山西省阳泉市南坳镇职业中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省阳泉市南坳镇职业中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的反函数为(A) (B)(C) (D)参考答案：C略2. 已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则（）（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：A3. 要得到函数的图像，需要把函数的图像（）A. 向右平移个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向左平移个单位，再向下平移1个单位D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位参考答案：B略4. 已知{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．-5D．-7 参考答案：D略5. 已知等差数列的前项和为，＝4，＝110，则的最小值为（）A．7 B.C． 8 D.参考答案：D由＝4，＝110，得，所以，解得，，所以，。

因此（时取等号），故选择D。

6. 已知全集U=R，集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：,所以，故选A．考点：集合的运算．7. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )A.1B.－1C. 2D.参考答案：A8.函数y = log a x 和y = (1－a )x+a 的图象只可能是…………………………（）A ．B ．C ．D ．参考答案：答案：D9. 设两圆C1，C2都与坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆的圆心距｜Cl C2｜＝（） A. 4 B 、4C 、8D 、8－4参考答案：C【知识点】圆的标准方程．H3解析：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a ，a ），则有|a|=，∴a=5+2，或 a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2 ）和（5﹣2，5﹣2 ），故两圆心的距离|C1C2|==8，故选C ．【思路点拨】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a ，a ），则有|a|=，解方程求得a 值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值． 10. 已知是各项均为正数的等比数列，，则A.20B.32C.80D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的渐近线的夹角为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=±x ，直线y=x 的倾斜角为，直线y=﹣x 的倾斜角为，则其渐近线的夹角为，故答案为：．12. 一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是．参考答案：13. 若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为．参考答案：由曲线的解析式可得：，令可得：(舍去负根)，且当时，，则原问题转化为求解点与直线的距离，即：，综上可得：点到直线的最小距离是.14. 已知△ABC 的面积为2，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，A=，则a 的最小值为．参考答案：2【考点】正弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA 的值代入，利用基本不等式求出a 的最小值即可．【解答】解：由三角形面积公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，则a≥2，即a 的最小值为2，故答案为：2．【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．15. 如果点P 在平面区域内，点Q 在曲线上，那么的最小值为_________________ .参考答案：16. 若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x -1的图象关于原点对称，则f(2)=______.参考答案：17. 从原点O 向圆C :作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．参考答案：(写成1:2也对).把圆的方程化为标准方程为，得到圆心C的坐标为(0, 6),圆的半径,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90?，且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60?+60?=120? 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为(写成1:2也对).三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年山西省阳泉市柏井中学高三数学文测试题含解析

2020年山西省阳泉市柏井中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )A. B. C. D.参考答案：D2. 右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸（单位:）,可知几何体的表面积是（）A． B．C． D．参考答案：D，由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积。

3. 已知集合，B＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B4. 已知直线：，曲线：，则“”是“直线与曲线有公共点”的( ▲ ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A5. 执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6. 若函数的定义域是,则其值域为（）A.B.C.D.参考答案：答案：D7. 已知复数z是一元二次方程的一个根，则的值为（）A. 1B.C. 0D. 2参考答案：B由题意可得：或，则：的值为.本题选择B选项.8. 在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为A.2B.C. D． 2参考答案：B9. 已知函数，R，则是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数参考答案：C10. 函数的图象大致是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）参考答案：①④12. 已知a，b，c是正实数，且abc＋a＋c＝b，设，则p的最大值为．参考答案：13. .已知实数x ，y 满足，则的最大值是______________.参考答案：4 14. 函数单调递减区间为 ▲参考答案：略15. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为，直线，分别交抛物线于，两点，若三点共线，则_______.参考答案：216. 一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为个．参考答案：4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得：原几何体为三棱锥P ﹣ABC ：PA⊥平面ABC ，BC⊥平面PAC ．即可得出答案．【解答】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥P ﹣ABC ：PA⊥平面ABC ，BC⊥平面PAC ．因此表面4个三角形都为直角三角形．故答案为：4．17. 设是等差数列的前项和，且，则参考答案： 25本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的计算，难度较低。

2019-2020学年山西省阳泉市东关中学高三数学文测试题含解析

2019-2020学年山西省阳泉市东关中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最小正周期为，则为A． B． C． D．参考答案：2. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A．B．C．D．参考答案：D3. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为（）A． B. C． D．参考答案：B4. 已知θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=，则sin(2π－θ) －sin(－θ)的值是（）A. B . C. D .参考答案：D5. 椭圆的焦点坐标是（）A (0,)、(0,)B (0,-1)、(0,1)C (-1,0)、(1,0)D (,0)、(,0) 参考答案：A略6. 对于函数=(其中,,),选取,,的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4 D.1和2参考答案：D7. 已知定义域为R的函数f（x）在区间（4,+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则（）A．f（2）>f（3） B．f（2）>f（5） C．f（3）>f（5） D．f （3）>f（6）参考答案：D略8. 设为的边上一点，为内一点，且满足，，则（）A．B． C． D．参考答案：B9. 已知函数有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值可能是（）A． B． C．D． -参考答案：C略10. △ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a=（）A．2 B．C．3 D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，∴由余弦定理可得cosA=?，代入数据可得=，解方程可得a=2故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．参考答案：a＞1或a＜﹣．略12. 已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则该函数的极小值为_______．参考答案：略13. 已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在x∈(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．参考答案：(-2,-1)略14. 已知直线l：mx＋ny－1＝0与圆O：x2＋y2＝3相交的弦长，则m2＋n2参考答案：115. 计算： = （i是虚数单位）参考答案：i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】i2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，原式====i，故答案为：i．16. （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为。

2020-2021学年山西省阳泉市高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x≥0}2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．4．如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则＝（）A．1B．C．D．5．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（）A．720B．960C．1020D．16806．若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．7．设变量x，y满足约束条件，则（x﹣3）2+（y﹣1）2的最小值为（）A．2B．3C．4D．108．在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x2+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a9}，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66B．132C．﹣66D．﹣1329．执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A．B．C．D．10．已知函数，若a＝log34，b＝log68，c＝log912，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（c）＞f（a）11．若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．12．已知函数，现有命题：①f（x）的最大值为0；②f（x）是偶函数；③f（x）的周期为π；④f（x）的图象关于直线对称．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（共4小题）.13．已知曲线y＝xlnx在点（x0，y0）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则x0＝．14．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF2的面积为．15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的．会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小锐角为θ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，tanθ＝．16．已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N*），若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm，“长度误差”为|a﹣40|cm，只要“长度误差”不超过0.03cm 就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值．18．在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝3，．（Ⅰ）若，求sin A；（Ⅱ）若AB边上的中线长为，求AB的长．19．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．20．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（Ⅰ）若|AF|+|BF|＝4，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求的值．21．已知函数f（x）＝me x﹣ln（x+1）+lnm．（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x≥0}解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|y＝＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3解：∵＝（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3＝0，解得a＝3．故选：D．3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．解：行人至少等待25秒才出现绿灯，说明行人到的时间为0～35秒之间，则对应的概率为＝，故选：C．4．如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则＝（）A．1B．C．D．解：如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，四边形ACDB是正六边形的一半，＝，则＝•（+）＝＝1+1×1×cos60°＝．故选：B．5．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（）A．720B．960C．1020D．1680解：设该校高一年级学生人数为x人，则＝，解得x＝960．所以该校高一年级学生人数为960人．故选：B．6．若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．解：由题意知，F1（﹣c，0），A（0，c），因为，即A为线段F1B的中点，所以B（c，2c），将其代入双曲线的方程中，有﹣＝1，即﹣＝1，又e＝，所以e2﹣＝1，解得e2＝3+2或3﹣2，因为e＞1，所以e2＝3+2，所以e＝1+．故选：D．7．设变量x，y满足约束条件，则（x﹣3）2+（y﹣1）2的最小值为（）A．2B．3C．4D．10解：由约束条件作出可行域如图，（x﹣3）2+（y﹣1）2的几何意义为可行域内的动点到点P（3，1）距离的平方，则（x﹣3）2+（y﹣1）2的最小值为．故选：A．8．在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x2+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a9}，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66B．132C．﹣66D．﹣132解：∵在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x2+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a9}，∴a3，a9是方程x2+24x+12＝0的两个根，由韦达定理得a3+a9＝﹣24，则数列{a n}的前11项和等于：S11＝＝＝＝﹣132．故选：D．9．执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A．B．C．D．解：输入的ε为0.001，x＝1，S＝0，执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.05，x＝1，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，x＝，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S＝1+，x＝，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S＝1++，x＝，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S＝1+++，x＝，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S＝1++++，x＝，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S＝1+++++，x＝，不满足退出循环的条件；第七次执行循环体后，S＝1++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第八次执行循环体后，S＝1+++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第九次执行循环体后，S＝1++++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第十次执行循环体后，S＝1+++++++++＝2﹣，x＝＜ɛ，满足退出循环的条件；则输出S＝2﹣，故选：C．10．已知函数，若a＝log34，b＝log68，c＝log912，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（c）＞f（a）解：当x≤1时，f（x）＝（x﹣1）3为增函数，且f（x）≤0，当x＞1时，f（x）＝lnx为增函数，且f（x）＞0，综上f（x）在R上为增函数，a＝log34＝log3（3×）＝1+log3＞1，b＝log68＝log6（6×）＝1+log6＞1，c＝log912＝log9（9×）＝1+log9＞1，∵log3＜log6＜log9，∴＞＞，∴＜＜，∴log3＞log6＞log9，∴1+log3＞1+log6＞1+log9，∴a＞b＞c＞1，∵当x＞1时，f（x）＝lnx为增函数，∴f（a）＞f（b）＞f（c），故选：A．11．若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，且三棱柱的底面是边长为2的正△ABC，侧棱长是1，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO是外接球的半径，如图所示：因为△ABC是边长为2的等边三角形，MN＝1，所以AM＝×＝，OM＝，所以外接球的半径为R＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝．故选：B．12．已知函数，现有命题：①f（x）的最大值为0；②f（x）是偶函数；③f（x）的周期为π；④f（x）的图象关于直线对称．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：＝sin2x﹣．对于①，因为函数y＝，在（0，+∞）上，单调增加，sin2x≤1⇒sin2x﹣≤0，当x＝时等号成立，所以①对；对于②，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（﹣x）＝f（x），⇒f（x）是偶函数，所以②对；对于③，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（x+π）＝f（x），⇒f（x）的周期为π，所以③对；对于④，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（2•﹣x）＝f（π﹣x）＝f（x）⇒f（x）的图象关于直线对称，所以④对；故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知曲线y＝xlnx在点（x0，y0）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则x0＝e．解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，∴，由曲线y＝xlnx在点（x0，y0）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，得lnx0+1＝2，即x0＝e．故答案为：e．14．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF2的面积为5．解：由椭圆的方程可得：a2＝9，b2＝5，则a＝3，b＝，c＝2，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：y＝k（x+2），与椭圆方程联立可得：（5+9k2）x2+36k2x+36k2﹣45＝0，设A（x1，y1）），B（x2，y2），则x，所以|AB|＝＝＝＝5，解得k，即k＝，所以直线AB的方程为：y＝，所以点F2到直线AB的距离为d＝，所以三角形ABF2的面积为S＝，故答案为：5．15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的．会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小锐角为θ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，tanθ＝2﹣．解：设大正方形的边长为1，则面积为1，∵小正方形的面积是大正方形面积的一半时，∴小正方形的面积S＝，则直角三角形的两个直角边分别为sinθ，cosθ，则小直角三角形的面积S＝sinθcosθ，则四个小直角三角形面积之和为4×sinθcosθ＝2sinθcosθ＝sin2θ＝，则2θ＝30°，即θ＝15°，则tanθ＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝＝＝2﹣，故答案为：2﹣．16．已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N*），若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）．解：∵S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N+），∴S2+S1＝4，a1＝a，可得2a1+a2＝4，∴a2＝4﹣2a．S n+1+S n＝（n+1）2，可得：a n+1+a n＝2n+1，变形为：a n+1﹣（n+1）＝﹣（a n﹣n），①a≠1时，数列{a n﹣n}是等比数列，a2﹣2＝2﹣2a，公比为﹣1的等比数列．∴a n﹣n＝（2﹣2a）×（﹣1）n﹣2，∴a n＝n+（2﹣2a）×（﹣1）n﹣2，∵对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立，∴n+（2﹣2a）×（﹣1）n﹣2＜（n+1）+（2﹣2a）×（﹣1）n﹣1，化为：1+（4﹣a）×（﹣1）n﹣1＞0，n＝2k（k∈N*）时，可得：1﹣（4﹣a）＞0，解得a＞3．n＝2k+1（k∈N*）时，可得：1+（4﹣a）＞0，解得a＜5．∴3＜a＜5，a≠4．由a1＜a2可得：a＜16﹣2a，解得a＜，综上可得：3＜a＜5，a≠4．②a＝4时，a1＝4，a2＝8，由a n+1﹣4（n+1）＝﹣（a n﹣4n），可得：a n＝4n，a n+1＝4（n+1）对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立．综上①②可得：3＜a＜5．∴a的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm，“长度误差”为|a﹣40|cm，只要“长度误差”不超过0.03cm 就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值．解：（1）因为合格的长度为39.97cm∽40.03cm，所以昼批次有2件不合格产品，故昼批次生产的产品的合格率为1﹣＝，所以夜批次有4件不合格产品，故夜批次生产的产品的合格率为1﹣＝，（2）昼批次的利润：1000×＝900件，即900×10﹣1000×5＝4000（元），夜批次的利润：1000×＝800件，即800×10﹣1000×5＝3000（元），则昼夜总利润为：4000+3000＝7000元，故这台车床一天的总利润的平均值为7000元．18．在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝3，．（Ⅰ）若，求sin A；（Ⅱ）若AB边上的中线长为，求AB的长．解：（Ⅰ）因为a＝3，由正弦定理可得＝＝，整理可得：cos B+cos A cos C＝sin A cos C，因为cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C，可得sin A sin C＝sin A cos C，因为sin A≠0，可得tan C＝，由于C∈（0，π），可得C＝，由正弦定理，可得，解得sin A＝．（Ⅱ）设AB边上的中线为CD，则2＝+，所以4||2＝（+）2＝b2+a2+2ab cos∠ACB，可得37＝b2+9+3b，整理可得b2+3b﹣28＝0，解得b＝4，或﹣7（舍去），所以AB＝c＝＝＝．19．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．∴MN∥A1C1，又A1C1∥AC，∴MN∥AC，MN＝A1C1＝＝，MP＝＝，NP＝＝＝，∴MN2+NP2＝MP2，则MN⊥NP，∴AC⊥NP；（Ⅱ）解：连接MB1，B1P，取B1C1中点Q，连接MQ，CQ，由B1Q∥CP，B1Q＝CP，可得四边形CPB1Q为平行四边形，得到CQ∥PB1，CQ＝PB1，同理可证MD∥CQ，MD＝CQ，则MD∥PB1，MD＝PB1，则四边形DMB1P为平行四边形，则＝＝×．20．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（Ⅰ）若|AF|+|BF|＝4，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求的值．解：（Ⅰ）设直线l的方程为y＝（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线y2＝3x的方程可得x2﹣（t+3）x+t2＝0，所以x1+x2＝＝2t+①，x1x2＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t+＝4，解得t＝，所以直线l的方程为y＝x﹣．（Ⅱ）若＝3，则y1＝﹣3y2，所以（x1﹣t）＝﹣3×（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t③，由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，所以点P坐标为（1，0），所以＝＝＝＝＝4．21．已知函数f（x）＝me x﹣ln（x+1）+lnm．（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），f′（x）＝me x﹣，∵f（x）在x＝0处取到极值，∴f′（0）＝m﹣1＝0，解得：m＝1，m＝1时，f′（x）＝e x﹣，f″（x）＝e x+＞0，故f′（x）在（﹣1，+∞）递增，而f′（0）＝0，故x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，故x＝0是f（x）的极小值点，符合题意；（Ⅱ）结合（Ⅰ），令f′（x）＝me x﹣＝0，得me x＝，即存在x0∈（﹣1，+∞），使得m＝①，两边取对数得：lnm＝﹣ln（x0+1）﹣x0，使得x∈（﹣1，x0）时，f′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故f（x）min＝f（x0）＝m﹣ln（x0+1）+lnm≥1，①两边取对数得：lnm＝﹣ln（x0+1）﹣x0，②结合①②故f（x0）＝﹣（x0+1）﹣2ln（x0+1），令t＝x0+1，则g（t）＝﹣t﹣2lnt（t＞0），则g′（t）＝﹣﹣1﹣＝﹣＜0，故g（t）在（0，+∞）递减，而g（1）＝0，故t∈（0，1）时，g（t）＞0，即x0∈（﹣1，0）时，f（x）≥1，此时m＝∈（，+∞）．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），可得（x﹣4）2+（y﹣5）2＝25cos2t+25sin2t＝25，即为x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，由x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0；曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，可得ρ2＝2ρsinθ，由ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y，可得x2+y2﹣2y＝0；（Ⅱ）将ρ＝2sinθ代入ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0，可得cosθ（cosθ﹣sinθ）＝0，即有cosθ＝0，或cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，因为ρ≥0，0≤θ＜2π，由cosθ＝0，可得θ＝，ρ＝2；由tanθ＝1，可得θ＝，或θ＝，解得ρ＝，或ρ＝﹣（舍去），则C1与C2交点的极坐标为（，），（2，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．。