关于公式的推导 证明

A C D E αα+β

B F G βx y O 关于三角函数两角和正余弦公式的推导

课本中的推导方法如右图所示，其中有旋转的思想在内，且使用了两点间距离公式（为使用此公式，课本在此节还特地介绍了本属于解析几何内容的两点间距离公式），为了由C （α+β）公式得到其它公式，还推导并使用了Cos

（π/2－α）＝Sin α公式。上网查看两角和与差

三角函数公式的不同证明方法，有向量法、面积法、

弦长公式法等，其方法虽简单且精巧，但不是一般

人尤其学生所能想到的，因而也不利于进行探究式

的教学。

下面依三角函数的特征，给出一个新的证明：

如图，在单位圆中，设α，β都是锐角：

根据则 A （1，0）；B （cos α，sin α）；

C(cos （α+β），sin （α+β）)。 做CD ⊥OA 于D ，CF ⊥OB 于F ， 做FE ⊥OA 于E ，FG ⊥CD 于G ，

∵ OA ⊥CD ，OB ⊥CF ，

∴ ∠FCD=α。

∴OF ＝cos β，CF ＝sin β

∴OE ＝OF ·cos α＝cos β·cos α＝cos αcos β，

∴FE ＝OF ·sin α＝cos β·sin α ＝sin αcos β，

DE ＝GF ＝CF ·sin α＝sin β·sin α＝sin αsin β，

CG ＝CF ·cos α = sin β·cos α＝cos αsin β，

∴OD= cos （α+β） = OE - DE = cos αcos β- sin αsin β；

∴CD= sin （α+β） = CG + GD = CG + FE = cos αsin β+ sin αcos β；

即 cos （α+β） = cos αcos β- sin αsin β；

sin （α+β） = sin αcos β+ cos αsin β；

当α、β不是锐角时，根据诱导公式，可化cos （α+β）、sin （α+β）为cos （α’+β’）、sin （α’+β’）,其中α’、β’皆为锐角，公式依然成立。

（2）正弦定理的证明

例4、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC 中，设三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c . ∵AC ＋CB ＝AB ， ∴()AC AC CB AB AC ⋅+=⋅

∴2||AC AC CB AB AC +⋅=⋅

∴2||||||cos()||||cos AC AC CB C AB AC A π+⋅-=⋅

∴||||cos ||cos AC CB C AB A -=

∴b －a cos C ＝c cos A 即b ＝c cos A ＋a cos C …………………① 类似地有 c ＝a cos B ＋b cos A ， …………………②

a ＝

b cos C ＋

c cos B . …………………③

上述三式称为三角形中的射影定理.