离散数学形成性考核作业7答案教程文件

Q ( x)) 。
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式 ．
解：设 P(x)：x 是人， Q(x)： x 努力工作． 命题“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式为 x( P( x) Q ( x))
四、判断说明题（ 判断下列各题，并说明理由．） 1．命题公式 P P 的真值是 1．
答：不正确。因为当 P 是真命题时，┐ P 是假命题，当 P 是假命题时，┐ P 是真 命题，所以┐ P∧P 是假命题，真值是 0。
( y)R( y, z) ．
解：（ 1）量词 ( x) 的辖域为 P( x, y) ( z)Q( y, x, z) ，量词 ( z) 的辖域为 Q( y, x, z) ，量词 ( y) 的辖域为 R( y, z) ；
（2）该公式的自由变元为 y, z ， y 自由出现 2 次， z 自由出现 1 次，约束 变元为 x, y, z ， x 约束出现 2 次， y, z 各约束出现 1 次。
4．设个体域为 D={ a1, a2} ，求谓词公式 y xP(x,y)消去量词后的等值式；
解：谓词公式 y xP(x,y)消去量词后的等值式为： ( P(a1, a1) P (a 2 , a1)) ( P(a1, a2 ) P (a 2, a2 ))
xP( x, a1 )
xP (x, a2 )
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五、证明 题 1． 试证明 (P (Q R)) P Q 与 (P Q) 等价．
证明： ( P (Q R)) (( P (Q R))
所以， (P (Q R))
P Q ( P (Q R))
P) Q
PQ
(P
P Q 与 (P Q)等价
PQ Q)
2．试证明 ( x)(P(x) R(x)) ( x)P(x) ( x)R(x)．
xP( x) ( yG( x, y) xP( x))
xP( x)
yG( x, y) xP(x)
( xP( x) xP (x))
yG ( x, y) 1
yG ( x, y) 1。
所以命题公式是永真式。
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) ( x)A( x) B(x)ห้องสมุดไป่ตู้
前提引入
(2) A(y) B(y)
(P Q) (R Q) ( P Q) (R Q)
( P R Q ) ( Q R Q) ( P R Q) (1 R) ( P Q R) 1
P Q R M4
所以 (P Q) (R Q)的主合取范式为 ( P Q R) ，即 M 4 。 则主析取范式为 m0 m1 m2 m3 m5 m6 m7 ，
3．设谓词公式 ( x)( P(x, y) ( z)Q( y, x, z)) （1）试写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．
命题“今天是晴天”翻译成命题公式为 P。
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式 ．
解：设 P：小王去旅游， Q：小李去旅游． 命题“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式为 P∧Q。
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式 ．
解：设 P：明天天下雪， Q：我就去滑雪． 命题“如果明天天下雪，我就去滑雪”翻译成命题公式为 P→ Q。
6．设个体域 D＝ {1, 2, 3} ， A(x)为“x 大于 3”，则谓词公式( x)A(x) 的真值为
0．
7．谓词命题公式 ( x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 y
．
8．谓词命题公式 ( x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为 x ．
三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 解：设 P：今天是晴天，
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式 ． 解：设 P：他去旅游， Q：他有时间．
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命题“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式为 P→Q。
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设 P(x)：x 是人， Q(x)： x 去工作． 命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为 x( P( x)
证明： (1) ( x)(P(x) R(x))
P
(2) P(c) R(c)
ES(1)
(3) P(c) (4) R(c)
T (2) E T (2) E
(5) ( x)P(x)
EG(3)
(6) ( x) R(x)
EG(4)
(7) ( x)P(x) ( x)R(x)
T (5) (6) E
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解： P Q R
P Q R M4
所以 P Q R 的析取范式为 P Q R ，
合取范式为 ( P Q R) ，
主合取范式为 ( P Q R) ，即 M 4 。 则主析取范式为 m0 m1 m2 m3 m5 m6
m7 ，
2．求命题公式 (P Q) (R Q) 的主析取范式、主合取范式．
解： ( P Q ) ( R Q )
离散数学形成性考核 作业 7 答案
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一、填空题
1．命题公式 P (Q P) 的真值是 1
．
2．设 P：他生病了， Q：他出差了． R：我同意他不参加学习 . 则命题“如果
他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (P∨ Q )→ R ．
3．含有三个命题变项 P， Q， R 的命题公式 P Q 的主析取范式是
US (1)
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答：不正确。因为 x的辖域是 A(x) ，不包含 B( x) ，所以根据全称量词消去规 则，只能得到 A( y ) B ( x) ，而不能得到 A( y ) B ( y) 。
四．计算题 1． 求 P Q R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
2．命题公式 P (P Q) P 为永真式．
答：正确。因为┐ P∧（ P→┐ Q） 以命题公式是永真式。
P ( P Q)
P ，┐ P∨P 1，所
3．谓词公式 xP( x) ( yG (x, y) xP( x)) 是永真式．
答：正确。因为 xP(x) ( yG( x, y) xP(x))
xP(x) ( yG ( x, y) xP( x))
(P Q R)∨ (P Q ┐ R) ．
4．设 P(x)：x 是人， Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为
x(P( x) Q( x)) ．
5．设个体域 D＝ { a, b} ,那么谓词公式 xA(x) yB(y) 消去量词后的等值式为
A(a) A(b) ( B(a) B(b)) ．