双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]

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信息与计算科学

双曲型偏微分方程的求解及其应用

一、前言部分

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。

应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。

随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.

双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有

着广泛的应用。这两类方程一般可转化为常微分方程（组）。它们在解的结构形式和解的稳定性研究方面都有共同之处。

求解双曲型方程边值问题的方法有很多,诸如变分原理,分离变量,有限差分法,有限元法等，各有其特色和弊端。

依赖于时间的物理过程，例如，热传导、分子扩散、机械振动、声波和气体与流体的运动等，均可归结为发展方程（包括双曲与抛物型偏微分方程等）的初值问题或初边值问题。

二、主题部分

偏微分方程的起源[3]

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

另外，解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础。微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一[4、5]。

双曲型偏微分方程的求解及其应用

首先，我们解释一下定解条件和定解问题的概念问题[6、7]。

弦振动方程、热传导方程、拉普拉斯（Laplace）三种典型的方程，分别描述了各种物理状态的规律。但是，仅有方程还不足以确定在特定条件下，某个具体的规律。例如，端点固定和端点不固定的情形，尽管弦的振动规律满足同一方程，但振动显然是不同的。又如物体表面绝热和物体表面与外界有热交换，物体的温度分布是不会相同的。说明研究对象的边界状态对物理规律是有影响的。因此，描述某个物理规律，除方程外，还需要附加描述初始状态的条件，即初始条件。

另外，物理规律还与初始状态有关。如弦在开始时是平衡状态还是有位移，开始时具有初速度还是初速度为零，必然影响弦的振动情况。所以，还需要附加描述初始状态的条件，即初始条件。

初始条件和边界条件统称为定解条件。一个偏微分方程连同与它相应的定解条件组成一个定解问题。

所有含未知函数偏导数的方程统称为偏微分方程。当所研究的自然现象需用多元函数描述的时候，往往就会遇到偏微分方程。求解偏微分方程的问题，由于区域的复杂性，要比求解常微分方程的问题困难的多，求精确解一般是不可能的，因此近似解尤为迫切、重要。用数字电子计算机的工具解偏微分方程问题，一般地采用数值方法。当今，应用于解偏微分方程的主要数值方法是差分法和有限元法。我们用差分法（如Euler方法）去解常微分方程的初值问题，实际上它也是求解各类型偏微分方程的传统数值方法，早在1928年，Courant、Friedrichs与Lewy就对差分方法作过很好的论述。有限元法是20世纪中后期发展起来的解偏微分方程问题的一类新型数值方法。

另外，网域G h 和网点的概念[8、9]

。

以二维Poission 方程的第一边值问题

-∆u = f （x,y ）， （x,y ）∈G （1）

u = α（x,y ）， （x,y ）∈Γ

为例来介绍边值问题的差分解法。这里G 是（x,y ）平面上的一个有界区域，其边界Γ=∂G 为分段光滑的简单闭曲线。

构造边值问题（1）差分逼近的第一步，是用一个离散点集去近似代替区域G =G ⋃Γ。一个简单作法是：取定正数h 和l （称为网格步长），用两族平行直线

x = x 0

+ ih ， i=0，±1，±2，… y =y 0

+jl ， j=0，±1，±2，… 将（x,y ）平面分割成小矩形。两族直线的交点（x 0+ ih ，y 0

+jl ）称为网点，简记为（i ，j ）。用G h 表示属于G 的所有网点（也可以包括某些G 外但与Γ很接近的网点）的集合，称G h

为网域。 根据上述概念，我们用差分解法求解双曲型方程[10、11、12、13]。

作为二阶线性双曲型方程的一个典型，考虑如下一维波动方程

22t u

∂∂ - 222x u

c ∂∂ = 0 （2）

的初值问题：求函数u(x,t)，它在满足方程（2）的同时并适合初值条件