误差理论与测量平差基础 协方差传播律及权
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其矩阵形式为： Y FX F0
第三章 协方差传播率及权
则有：
DYY FDXX F T DYTY
rr
而 DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
rt
E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ]
FE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
故有
DZZ KDXX K T
式中：DZZ DZTZ为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数
Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2n X n f 20
Yr f r1 X 1 f r2 X 2 f rn X n f r0
第三章 协方差传播率及权
DLL E L E(L)L E(L)T
nn
l2l21l1
l1l2 2
l2
T
l1ln
l2ln
式中：
lnl1
lnl2
2 ln
E(L) E(l1) E(l2 ) E(ln )T 为观测向量的期望；
2 li
D(li )
E
(li
E(li ))2
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵 §3-2 协方差传播率 §3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 §3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播率及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的
精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
L
n1
(l1
l2
ln )T
则其方差——协方差矩阵定义为：
第三章 协方差传播率及权
在近似值
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
处展开
Z
f
X
0 1
,
X
0 2
,,
X
0 n
f X
1
0
X1
X
0 1
f X
2
0
X
2
X
0 2
f X
n
0
Xn
X
0 n
二次以上项
当X与X0非常接近时，可以略去二次以上小项（影响非常小） 微分以后的系数均为具体数值，将常数提取出来，即得：
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0
第三章 协方差传播率及权
如果令：
dX i
Xi
X
0 i
i 1,2,, n
dX dX1 dX2 dXn T
dZ Z Z 0 Z f
X
0 1
,
X
0 2
,,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X 2
dX2 0
f X n
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播率及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X 1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
1n
2n
2 n
观测向量线性函数为
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
第三章 协方差传播率及权
Z的期望为 Z的方差为
E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
DZZ E[(Z E(Z ))(Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE( X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
则令
Z1
Z
t1
Z2
,
Zt
k11
K
tn
k21
kt1
k12 k 22
kt2
k1n
k2n
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ktn
K0
t1
k10
k 20
kt0
第三章 协方差传播率及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K0
为第i组观测值的方差；
2 lil j
E (li
E(li ))(l j
E(l j ))
为第i组观测值关于第j组观
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观
测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
FDXX K T
同理：
DZY KDXX F T DYTZ
tr
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题 习题：3.2.14
第三章 协方差传播率及权
5、观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
设观测向量 X 的非线性函数为： n1 Z f X1, X2, , Xn
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ 基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y ) E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
当随机变量 X1, X 2 ,, X n 两两独立时，有
E(X1X 2 X n ) E(X1)E(X 2 )E(X n )
即
KDXX K T
DZZ KDXX K T
万能公式
教材：例 3－1，3－2，3－3 P25下角例题 习题：3.2.07(1)，3.2.11(1)
第三章 协方差传播率及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2 k21X1 k22 X 2 k2n X n k20
第三章 协方差传播率及权
则有：
DYY FDXX F T DYTY
rr
而 DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
rt
E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ]
FE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
故有
DZZ KDXX K T
式中：DZZ DZTZ为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数
Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2n X n f 20
Yr f r1 X 1 f r2 X 2 f rn X n f r0
第三章 协方差传播率及权
DLL E L E(L)L E(L)T
nn
l2l21l1
l1l2 2
l2
T
l1ln
l2ln
式中：
lnl1
lnl2
2 ln
E(L) E(l1) E(l2 ) E(ln )T 为观测向量的期望；
2 li
D(li )
E
(li
E(li ))2
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵 §3-2 协方差传播率 §3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 §3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播率及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的
精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
L
n1
(l1
l2
ln )T
则其方差——协方差矩阵定义为：
第三章 协方差传播率及权
在近似值
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
处展开
Z
f
X
0 1
,
X
0 2
,,
X
0 n
f X
1
0
X1
X
0 1
f X
2
0
X
2
X
0 2
f X
n
0
Xn
X
0 n
二次以上项
当X与X0非常接近时，可以略去二次以上小项（影响非常小） 微分以后的系数均为具体数值，将常数提取出来，即得：
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0
第三章 协方差传播率及权
如果令：
dX i
Xi
X
0 i
i 1,2,, n
dX dX1 dX2 dXn T
dZ Z Z 0 Z f
X
0 1
,
X
0 2
,,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X 2
dX2 0
f X n
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播率及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X 1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
1n
2n
2 n
观测向量线性函数为
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
第三章 协方差传播率及权
Z的期望为 Z的方差为
E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
DZZ E[(Z E(Z ))(Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE( X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
则令
Z1
Z
t1
Z2
,
Zt
k11
K
tn
k21
kt1
k12 k 22
kt2
k1n
k2n
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ktn
K0
t1
k10
k 20
kt0
第三章 协方差传播率及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K0
为第i组观测值的方差；
2 lil j
E (li
E(li ))(l j
E(l j ))
为第i组观测值关于第j组观
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观
测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
FDXX K T
同理：
DZY KDXX F T DYTZ
tr
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题 习题：3.2.14
第三章 协方差传播率及权
5、观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
设观测向量 X 的非线性函数为： n1 Z f X1, X2, , Xn
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ 基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y ) E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
当随机变量 X1, X 2 ,, X n 两两独立时，有
E(X1X 2 X n ) E(X1)E(X 2 )E(X n )
即
KDXX K T
DZZ KDXX K T
万能公式
教材：例 3－1，3－2，3－3 P25下角例题 习题：3.2.07(1)，3.2.11(1)
第三章 协方差传播率及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2 k21X1 k22 X 2 k2n X n k20