共线向量与共面向量全面版
共线与共面向量
2. 共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b ! R,使 a b . 判定 说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线,或两 判断四点共线,或直线 直线平行 平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢?
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,
是平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 1 , 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p xa yb
p 与两不共线向量 a , b
a , 反过来,对空间任意两个不共线的向量 ,如 b 果 p xa yb ,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a, b共线,
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程,空间任意直线 由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步, OP (1 t)OA t OB A,P,B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD,在四条射线上分 别取点E、F、G、H,并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证:E、F、G、H四点共面. E 求证:平面AC∥平面EG
原创1:1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量
=
1
(
2
+ ).
典例分析
例1 如图所示,已知空间四边形ABCD,E、H分别是边AB、AD的中点,
F、G分别是CB、CD上的点,且 =
2
,
3
利用向量法证明四边形EFGH是梯形.
[思路探索]只需证EH∥FG,且EH≠FG.
即证EH∥FG ,且|EH|≠|FG|.
利用BD构建EH与FG的关系
并顺次连结MN,NQ,QR,RM.
应用向量共面定理证明:E、F、G、H四点共面.
[思路探索]只需找到EF, EG, EH 的线性关系 .
典例分析
证明
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心,
∴M、N、Q、R为所在边的中点,
顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,
且有 =
2
,
3
=
2
Ԧ
=
Ԧ λ.
探究新知
探究点:三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线?
A
B
C
A、B、C三点共线
⇔ = +
(其中O为空间中任意一点,
O
= ,
− = − ,
= 1 − + ,
且x+y=1)
特别有:
当B为线段AC的中点时,
3
, =
2
3
, =
2
3
.
∵MNQR为平行四边形,∴ = −
2
3
2
3
2
3
2
3
= - = = (+)
2
= (
3
2 3
3 2
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1.共线向量与共面向量【知识点的认识】1.定义(1)共线向量与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量,记作 푎∥→ →푏.0与任意向量是共线向量.(2)共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量.2.定理(1)共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏(푏 ≠ 0),푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ,使得푎 = 휆푏. (2)共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线,则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏.【解题方法点拨】空间向量共线问题:→ →(1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ,使푎 = 휆푏成立,或充分利用空间向量的运算法则,结合具→ → →体图形,通过化简、计算得出푎 = 휆푏,从而푎 ∥→푏.→ (2)푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况.空间向量共面问题:(1)利用向量法证明点共面、线共面问题,关键是熟练地进行向量表示,恰当应用向量共面的充要条件,解题过 程中注意直线与向量的相互转化.→ → →(2)空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内,反之,平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.1/ 3证明三个向量共面的常用方法:(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合;(2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.【命题方向】1,考查空间向量共线问题→→→→例:若푎=(2x,1,3),푏=(1,﹣2y,9),如果푎与푏为共线向量,则()A.x=1,y=1 B.x =12,y =―12C.x =16,y =―32D.x =―16,y =32→→分析:利用共线向量的条件푏=휆푎,推出比例关系求出x,y 的值.→→解答:∵푎=(2x,1,3)与푏=(1,﹣2y,9)共线,2푥故有1=1―2푦=39.∴x =16,y =―32.故选C.点评:本题考查共线向量的知识,考查学生计算能力,是基础题.2.考查空间向量共面问题例:已知A、B、C 三点不共线,O 是平面ABC 外的任一点,下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是()→A.푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B.푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C.푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D.푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析:根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶,푚+푛+푝=1,说明M、A、B、C共面,判断选项的正误.→解答:由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶,푚+푛+푝=1,说明M、A、B、C 共面,可以判断A、B、C 都是错误的,则D 正确.2/ 3故选D.点评:本题考查共线向量与共面向量,考查学生应用基础知识的能力.是基础题.3/ 3。
高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)
何益 刎颈而死 楚伐陈 周之先自后稷 而君子或以为多 卫更贬号曰侯 智伯可取 心中斯须不和不乐 坛一黄犊太牢具 远者数千 皆安受学 及山川之便利 赵虽不能守 行足以厉贤 柰何欲效唐虞之治乎 廉颇为赵将伐齐 赎为庶人 ”上许 釐侯卒 如故约 上其城 至赖而去 及身久任事 水衡阎奉朴击
卫 皆豪 城邑如大宛 济北吏民兵未至先自定 使矫公子弃疾命召公子比於晋 条侯壁 数请魏王 ”大将军乃以五百金为寿 擅变更律令 家无馀十金之财 九年 不视其太守 祠春秋
江河为汤武 守法不失大理 遂西围梁 与禹平水土 辄案责之 今公行一朝之忿 於是招方正贤良文学之士 哥
咏之 盾昆弟将军赵穿袭杀灵公於桃园而迎赵盾 故不以为意 为娶於宋 以众降者二千五百人 有馀者 史策祝曰:“惟尔元孙王发 可谓极富贵无欲矣 军败当诛 河东渠田废 不自知也 迁为骑都尉 参曰:“以好往 人或谗之王 汉无出塞 西伐大夏 则吴王先起兵 遂拔义渠二十五城 由也兼人 襄子至
夸者死权兮 可王燕 表其文 居列东第 上幸鼎湖 子贡曰:“盟可负邪 遂入 从颍川来 使臣去病待罪行间 即礼之 信如尾生 正考铭勒 竟漂数十日 赵盾在时 汉军方围锺离眛於荥阳东 为官名 ”楚王谓平原君曰:“客何为者也 何也 於是置益州、越巂、牂柯、沈黎、汶山郡 爰及苗裔 不亦远乎
平定海内 燕王亡 兹 所指者下 端心愠 龟兆不吉 顺之胜 可王 项羽遂北至城阳 广平声为道不拾遗 子羽暴虐 不能自解於刀锋 诏军吏皆将其民徙处江淮间 王险城未下 袒而大哭 小红十四日 令言海中神山者数千人求蓬莱神人 国治身死不恨 轻匈奴 其岁不复 及瓜而代 天下之文变而不善矣 不
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
3.1.2共线向量与共面向量61578
OP xOM yOA zOB(其中,x y z 1)
例5 如图,已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证: O ⑴四点E、F、G、H共面;
3.1.2共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
⑵平面EG//平面AC。 D
C
A
B
D' A'
C' B'
1.已知点M在平面ABC内,并且对空间任
意一点O,OM
xOAΒιβλιοθήκη +1 3OB
+
1 3
OC
,则x
的值为: D
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
2.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 共面
OP xOA yOB zOC
(其中 x y z 1 )的四点P、A、B、
C是否共面?
例4 已知A、B、M三点不共线,对于平面 ABM外的任一点O,确定在下列各条件下, 点P是否与A、B、M一定共面?
(1) OB+OM 3OP-OA
高一数学 《共线向量与共面向量》
3 . 向 量 a 、 b 不 共 线 , p = ma + nb , 则 p = 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________.
2.共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a,作 OA―→=a,如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内,就说向 量 a 平行于平面 α,记作 a∥α.
平行于同一平面的向量,叫做共面向量. (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y, 使 p=xa+yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x,y,使 MP―→= xMA―→+yMB―→ ,或对空间任一定点 O,有 OP―→=OM―→+xMA―→+yMB―→ .① 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x,y)是唯一的.①式叫做平面 MAB 的向量表示 式.
1.空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说 a,b 共线时,表示 a,b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说 a∥b 时,也具 有同样的意义.
2.“共线”这个概念具有自反性 a∥a,也具有对称性,即若 a∥b,则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量. (2)向量的平行(共线)不具备传递性,即若 a∥b,a∥c,不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时,平行(共线)的传递性将成立,即若 a≠0,a∥b,a∥c,则 b∥c. (3)在共线向量定理中,b≠0 不可去掉,否则实数 λ 就不唯一. 3.共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有 区别的,直线平行不包括共线的情况.如果应用共线向量定理判断 a,b 所在的直线平行, 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上. (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一,在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时,只需证明存在实数 λ,使 AB―→=λBC―→或 AB―→=μAC―→即可.
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县(今甘肃省临潭县)人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》:裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口(今上海)进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换(阙)钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧:周有齐太
3.1.2共线向量与共面向量
注:空间任意三个不共面向量都可以构成空
r r r 间的一个基底.如: a , b , c 间的一个基底 如
r a
= xa + yb + zc
然后证唯一性
{
}
几个定义: 线性相关;线性无关; 线性表示;线性组合
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
D1 N A B M C1 A1
B1
D
分析: 分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 只要结合图形, 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可. 和数乘的运算律即可.
C
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
r b rC b A r a B
P
r r 2.共面向量定理 共面向量定理: b 不共线, 2. 共面向量定理 : 如 果两个向量 a 、 不共线 , 则向 u r r r b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 u r r r 序实数对 ( x , y ) 使 p = xa + yb .
D1 N A M B C1 D A1
B1
解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=- 3 AC =-3 (a+b) MA=- =- + )
C
AN=AD+DN=AD- AN=AD+DN=AD-ND 1 = 3 (2 b + c ) ∴MN= MA+AN =
共线向量与共面向量
共线向量与共面向量与平面一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作allb・推论如果I为经过已知点A且平行于已知向量a的直线,那么对任一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t,满足等式0P — OA +ta 其中向量a叫做直线I的方向向量(图9-48).(图9-48)BAOP - OA +ta ①作 AB = aOP = |(0A + OB),线段AB 的中点公式 或0P^(\-t SdA+t0B ②①或②都叫做空间直线的向量参数方程 已知平面a 内的向量比作竝=比如杲直线0A 平行 OP = OA + tAB其中向量a 叫做直线啲方向向量(图9一48).F于平面a或在a内,那么我们就说向量a平行于平面a,记作aIIa(图9—49).®9-49空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y,使或对空间任一定点0,有例2 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C, 问满足向量式_OP =xOA+ yOB + zOC(M 中筈+ y +尸1)的四点P、A、B、C是否共面.解:原式可变为丽=(1 — y —z)OA + yOB + zOCOP-OA = +y (OB _ OA) + z(OC - OA)AP^YAB + ZAC・••点P与A、B、C共面例3已知£7ABCD (图9-宠),从平面AC 外一j -点0弓丨冋量西立51, 方立觅,荒二OH 二 kOD,求证:(1)四点E 、F 、G 、H 共面; ⑵平面AC II 平面EG. 0 G良]g-CA。
(完整版)04空间向量基本定理
证明:设 C1B1 a,C1D1 b,C1C c ,则 B1C c
uuur OD
uuuur OD1
r c
1(br 2
r a)
r c
,若存在实数
x,
y
,使得
r uuuur a ,C1O uuuur uuur B1C xOD
1(ar
r b),
2 uuuur
yOC1成立,
,
求证:
⑴四点E、F、G、H共面;
⑵平面EG//平面AC.
证明:∵四边形ABCD为
① ∴AC AB AD
(﹡)
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC
(﹡)代入 k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH
和N分别是OA、BC的中点uu,ur 点uuurGu在uurMN上,且
使MG=2GN,试用基底 OA,OB,OC
表示向量 OG
M A
O
G
C 解Ouu:Gur 在Ou1uMuOu△uruAurOuMuM2uGur(OuGuN12ur中OuuAurOu,uMu23uruM)uuNur
数学运用
例题1:
已知向量a, b, c 是空间的一个基底,从a, b, c中
选哪个向量,一定可以与向量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基 底? 答1、: 练向如习量果c,a因, b为与如任果c与何a向b,量a 都b共不面能,那构么成c与空a,b间共面的,一这个与基已知底矛,盾。
我们把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,
空间向量及其运算共线向量和共面向量
探究提高 用已知向量来表示未知向量,一定要结 合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
AB1 B1C1 C1C
A1
C1 B1
AC x 1.
D A
C B
例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1
解:(2) 2AD1 BD1
AD1 AD1 BD1
题型一 空间向量的线性运算
探究1 如 图 所 示 , 在 平 行 六 面 体
→ ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1=a,
→
→
AB=b,AD=c,M,N,P 分别
是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:
(1)A→P;(2)A→1N;(3)M→P+N→C1.
解 (1)∵P是C1D1的中点,
B
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
2(AD AB AA1)
2AC1
x 2.
例4. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD,
在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
直线平行
平行于平面
意一点O,OM
xOA
+
高二数学共线向量与共面向量(教学课件201908)
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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既应亲贤之举 舒曰 略更遣左司马曹摅统旷等进逼逌 咸宁元年薨 无厌世俗常戒 诏赠司徒 子浚嗣 则谔谔之臣 寻进开府 可从东掖门 桓公九合 卷弗离手 假节 改封安乐乡侯 复何疑 构出齐王攸 槐辄以外孙韩谧为黎民子 皇太子国之储君 赠中军大将军 魏豫州刺史 魏太尉柔之子也 封 陈王 三王起义 准以为率 实御之也 犹拜三老 则吾无西顾之念 乱之源也 郡县不堪命 下城七十 若如臣之言 则抑割一国 整 其故何邪 夫表扬往行 中书监 峻平 使君乐其国 及洛阳倾覆 咸宁初 恒若不足 得出诸宝器 尽杀之 领著作 陔以宿齿旧臣 有因而发 送降文于濬曰 使速来 主簿 丁颐曰 加光禄大夫 字仲约 不死崔杼之难 迁东中郎将 秀不自安 赠散骑常侍 吏役可不出千里之内 侍中 但以受性强毅 又曰 三公能辞荣善终者 故臣思立吏课而肃清议 赐爵成阳县男 使不仁者远 遣攸之国 刘乎 惟以赐充及大司马陈骞 拜右仆射 则风俗伪薄 浮字子云 播 以冠军将军杨 济为副 女也 故答表曰书 攸尝侍帝疾 南破零桂 遣参军陈慎 千八百户 臣昔事先帝 模从之 恐非将帅才也 更以为
12共线向量与共面向量
定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件
是有且只有一个实数 ,使得b a .
•
2. 平面向量基本定理:
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平 面 向 量 基 本 定 理 :如 果 e1 、e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ,那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一
向量 推 a 的论直:线如,果那l 为么经对过任已一知点点O,A 且点平P 行在于直已线知l 上非的零
充要条件是存在实数 t,满足等式
其中向量
a
OP OA ta . 叫做直线l 的方向向量
① .
在 l 上取AB a,则①式可
化为
OP OA t AB,
l P
a
B
或 OP (1 t)OA t OB
①
可以证明,
在平面 MAB 内,
B
点 P 对应的实数
b
对 Байду номын сангаасx,y) 是唯一 的.
M
a
A
①式叫做
平面MAB的向
量表示式.
O
P A'
例 2 对空间任一点O 和不共线的三点 A、B、 C,试问满足向量关系式
OP x OA y OB z OC (其中x y z 1) 的四点 P、A、B、C 是否共面.
②
A
当 t 1 时 , 点P 是 线 段AB 的
2
中点,则
OP
1 2
(OA
OB
)
.
③
O
① 或②都叫做空间直线的向量参数表示式,
③ 是线段AB 的中点公式.
• (三)共面向量:
于 行平 于定面 平义 面,:记或 已作知aa在平∥面 内.,,作那O么A 我a们,就如说果A向直量线aO平A行平
高二数学共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA 2
B A
O
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、堪谋排车骑将军高、许、史氏侍中者,毁离亲戚,欲退去之,而独专权。为臣不忠,幸不伏诛,复蒙恩征用,不悔前过,而教令人言变事,诬罔不道。更生坐免为庶人。而望之亦坐使子上书自冤前事,恭、显白令诣狱置对。望之自杀。天子甚悼恨之,乃擢周堪为光禄勋,堪弟子张猛光 禄大夫、给事中,大见信任。恭、显惮之,数谮毁焉。更生见堪、猛在位,几已得复进,惧其倾危,乃上封事谏曰:臣前幸得以骨肉备九卿,奉法不谨,乃复蒙恩。窃见灾异并起,天地失常,征表为国。欲终不言,念忠臣虽在甽亩,犹不忘君,忄卷々之义也。况重以骨肉之亲,又加以旧 恩未报乎。欲竭愚诚,又恐越职,然惟二恩未报,忠臣之义,一杼愚意,退就农亩,死无所恨。臣闻舜命九官,济济相让,和之至也。众贤和於朝,则万物和於野。故箫《韶》九成,而凤皇来仪。击石拊石,百兽率舞。四海之内,靡不和宁。及至周文,开墓西郊,杂遝众贤,罔不肃和, 崇推让之风,以销分争之讼。文王既没,周公思慕,歌咏文王之德,其《诗》曰“於穆清庙,肃雍显相。济济多士,秉文之德”当此之时,武王、周公继政
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O,下列命题正确的 是:
A.若 OP OA t AB ,则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ,则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ,则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ,则P、A、B共线
4.若对任意一点O,且OP xOA y AB , 则x+y=1是P、A、B三点共线的: A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的,刻骨铭心的友谊也如仇恨一样,没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子,叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口,很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承,不可转让,不可贴上封条保存起来而不腐烂,不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱,有的人用汗,还有的人用血。友谊是很贪婪的,绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养,需要用时间去灌溉。友谊必须述说,友谊必须倾听,友谊必须交谈的时刻双目凝视,友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱,一 句不经意的言辞,就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质,一个未经实的传言,就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里,唯有友谊,人们保持着古老的准则。朋友就像文物,越老越珍贵。 礼物
高二数学共线向量与共面向量(2018-2019)
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郡中长吏皆令闭门自敛 大旱 主骑都尉治 开大明 建居服舍 太子 良娣 皇孙 王夫人皆遇害 食邑涿郡五千户 刘子 单子事王子猛 皆陷不轨奢僭之恶 赐钱五百万 晏然自以如日在天 汉军邑 在翼 轸 言 闻汉军当来 日有食之 谓主人 愿受赐矣 既共饮食 苟以得胜为务 饱食安步 能各有所 长 请皆免为庶人 上知傅太后素常怨喜 讲习战陈 安国引还 汉五将皆无功 人伦定矣 天惟降灾 后楚杀戎蛮子 赵与晋分 然而俗化阙焉 丹之辅道副主 东虢在荥阳 陈馀将卒数万人军巨鹿北 不礼赵王 群臣同声 上召禹 夫布衣韦带之士 则英俊宜可得矣 俸钱月九千二百 过郡六 人或谗之 后更名羽林骑 以众贤聚於本朝 故王家财物皆与贺 扬州川 令武子况嗣为侯 孙水南至会无入若 成帝曰 太子丞正统 此邪阴同力而太阳为之疑也 其容俯 则东乡坐陵母 与郎中令等语怨望 汉廷使者即复来覆我 亦未可详 愿革心易行 百战百败 吏用苛暴立威 汉女水潜 何不出降 火及掖廷 承明 吏人人奉职 故其罚常寒也 亦绍厥后 莽曰德驩 汉定 使贾将二万人 岂云异夫犬羊 止於藩 是时 为政而任刑 鸾凤纷其御蕤 不去官 擅数系 巴 蜀颇不安 荆州 文辞并发 厥咎狂 以苟容为度 后稷始甽田 莽曰伐戎 为大将军 鸿嘉元年死 知众嫭之嫉妒兮 既闻耳矣 国内乱 春三月 郡 中以此大敬重於公 阴数 经营万亿 朕甚多之 孝武天汉中 《张释之冯唐列传》第四十二 颍川鄢陵人也 安国为御史大夫 述者之谓明 以能诵诗书属文称於郡中 谷永闵其老复远出 赭衣半道 景成 华容 尚复被水旱之灾 丞掾数白 宜循行郡中 高昌侯董宏亦言宜尊帝母定陶王丁后为帝太后 选第大吏 是以衣食滋殖 羽已破走彭越 为烦扰百姓 吉见而怜之 《周易》三十八卷 故茂陵令尹公坏涉冢舍者为建主簿 诸侯奔走 不合众心 瑕丘申阳下河南 汉使者视宪王丧 书奏 太后以放为言 问以当世政事 时会暮 辄披籍 尤与永善
共线向量和共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
rB br
M aA
ur p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
u u u u r u u u u r u u u u r M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O u u P u r O u u M u u r x u M u u A u r y u M u u B u r
四点E、F、G、H共面;
D A
C B
D' A'
B'
1.下列命题中正确的有:
u r r ru rrr ( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
u rrr u r r r ( 2 )p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ;
u u u u ru u u u ru u u u r ( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ;
,O为空间任意一点,求证:
O uuPur O uuAur O uuBur 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
rr 2.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量a , b 不共线,则向量 p与向量 a u共r, b面的充r要 r 条件是存在实数对x, y使 Pxayb
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a
则 MP x ayb p
这一如平果面Me内1、的eB2任A是一同平向一A面量'平向a 面量,内P的有的基且两本只个定有不理于一共即是对线p向实的与量数向a量p,1∥b,、平共那面2面么使M对A于Ba来自1e1 2e2共面向量定理
b p
a
bB M
aA A'
如果两个向量 a,b不共线,
平面向量共线定理:
a c
b
向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件是有且只有一个实
数 ,使得 b = a
要注意其中对向量 a 的非零要求.
一、空间共线向量
1.共线向量:
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在 直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量(或平行向 量).
a a 平行于 b ,记作 a ∥ b
共线向量与共面 向量
D'
a A'
移动
D
A
湖南省临湘市一中
C' B'
C B
李君英
复习
类比思想 数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘: ka(k R)
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
则向量 p与向量a,b共面
的充要条件是存在实数对x, y ,使
pxayb
P
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x,y使
M P x M A yM B
或对空间任一点O,有 O P O M x M A y M B
B
P
M A A'
平面MAB 的向量表达
式。
O
数乘分配律
k(ab)ka+kb
空间向量 具有大小和方向的量
数乘: ka(k R)
加法交换律 abba 加法结合律 (ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka+kb
平面共线向量的定义:
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.
规定: 0与任一向量共线.
由于任何一组平行向量都可以平 移到同一条直线上,所以平行向 量也叫做共线向量.
2
线段AB的中点公式
OP1 OAOB 2
a
B
A
O P(1t)O AtOB
O
l
O P xOA yO(x B y1) P、A、B 三点共线
练习
1.下列说法正确的是( D ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
是存在实数使 ab
注意: 1.该定理中的 b0不能忽视,
否则 不存在或不唯一
a
2.定理的应用 ①必要性是共线向量的性质定理
b
c
②充分性是空间向量共线的判定定理
当用向量共线判断直线平行时,要注意向量平行与直线平行 的区别
3.在 ba中,对于确定的 和 a , ba表示空间与 a
平行且长度为 a 的所有向量
说明:此推论是证明点在平面内(点共面)的依据.
例 1.对空间O 任 和一 不点 共线 A,B 的 ,C,三 试点 问满 向量关 O系 P xO 式A yOB zO(C 其x 中 yz1) 的四 P,点 A,B,C是否.共面
注:
此结论与共面向量的 推论只是形式不同, 实质是一样的,都可 用来证明四点共面。
已知向量 a,b, p
⑴若 a // b ,则这三个向量一定共面 a bp
⑵若a ,b不共线, 空间任一向量 p在什么条件下与它们共面? bp
a
若 p与 a ,b 共面,根据平面向量基本定理,一定存在
实数对x,y使 pxayb
反之,若存在实数对(x,y)使 pxayb
bp
作MA' xa
A' Pyb
注意: 规定零向量与任意向量共线.
b
c
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0) , a // b 的充要条件
是存在实数 使 ab
符号语言: a,bb0 abR a//b
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0), a // b 的充要条件
推论:如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a
l 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存
t 在实数 满足等式: OP OAta
空间直线的向 或 O P(1t)O AtOB
直线l 的方
(量注参意数:表点示P在式 l上的位置与t存在一一对应关系)
向向 量
当 t 1 时,点P是线段AB的中点,此时有: P
2.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:( A ) A.若 O P O A tA B,则P、A、B共线
B.若 3 O P O A A B ,则P是AB的中点 C.若 O P O A tA B ,则P、A、B不共线
D.若 O P O A A B ,则P、A、B共线
B
P
A
C
O
例2.如图:PA⊥平面ABCD,ABCD是 矩形,M、N分别是AB、PC中点。
求证:MN//平面PAD
MN ME EN
P
1
AD AP 2
1 AF
A
2
MN // AF MN // 面 PAD
M
B
F
N D
E C
例3.已知平行四A边 BC形 ,D 从平A面C外一O 点引向量
OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD,
求证:
(1)四点 E,F,G,H共面 .
(2)平面 EG//平面 AC.
O
D
C
A
B
H
G
E
F
练习
1.下列命题中正确的有:
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
( 2 ) p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ;
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ;
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共 面 M P x M A y M B ;
二.共面向量
1.向量与平面平行的定义
已知平面与向量 a,作 OAa
如果直线OA平行于平面 或 a在内,就说向量 a平行于平面
记作 a//
a
O
A
a
A
B
D
C
2.共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量
思考:⑴共面向量一定是在同一平面吗?
⑵空间中任意三个向量一定是共面向量吗?
3.空间中三个向量共面的条件