共线向量与共面向量全面版

a
则 MP x ayb p
这一如平果面Me内1、的eB2任A是一同平向一A面量'平向a 面量，内P的有的基且两本只个定有不理于一共即是对线p向实的与量数向a量p,1∥b，、平共那面2面么使M对A于Ba来自1e1 2e2共面向量定理
b p
a
bB M
aA A'
如果两个向量 a，b不共线，
平面向量共线定理：
a c
b
向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件是有且只有一个实
数 ,使得 b = a
要注意其中对向量 a 的非零要求．
一、空间共线向量
1.共线向量:
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在 直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量(或平行向 量).
a a 平行于 b ,记作 a ∥ b
共线向量与共面 向量
D'
a A'
移动
D
A
湖南省临湘市一中
C' B'
C B
李君英
复习
类比思想 数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘: ka(k R)
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
则向量 p与向量a，b共面
的充要条件是存在实数对x， y ，使
pxayb
P
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x,y使
M P x M A yM B
或对空间任一点O,有 O P O M x M A y M B
B
P
M A A'
平面MAB 的向量表达
式。
O
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
空间向量 具有大小和方向的量
数乘: ka(k R)
加法交换律 abba 加法结合律 (ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
平面共线向量的定义：
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．
规定: 0与任一向量共线.
由于任何一组平行向量都可以平 移到同一条直线上，所以平行向 量也叫做共线向量．
2
线段AB的中点公式
OP1 OAOB 2
a
B
A
O P(1t)O AtOB
O
l
O P xOA yO(x B y1) P、A、B 三点共线
练习
1.下列说法正确的是( D ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
是存在实数使 ab
注意: 1.该定理中的 b0不能忽视,
否则 不存在或不唯一
a
2.定理的应用 ①必要性是共线向量的性质定理
b
c
②充分性是空间向量共线的判定定理
当用向量共线判断直线平行时,要注意向量平行与直线平行 的区别
3.在 ba中,对于确定的 和 a , ba表示空间与 a
平行且长度为 a 的所有向量
说明:此推论是证明点在平面内(点共面)的依据.
例 1.对空间O 任 和一 不点 共线 A,B 的 ,C,三 试点 问满 向量关 O系 P xO 式A yOB zO(C 其x 中 yz1) 的四 P,点 A,B,C是否.共面
注：
此结论与共面向量的 推论只是形式不同， 实质是一样的，都可 用来证明四点共面。
已知向量 a,b, p
⑴若 a // b ,则这三个向量一定共面 a bp
⑵若a ,b不共线, 空间任一向量 p在什么条件下与它们共面? bp
a
若 p与 a ,b 共面,根据平面向量基本定理,一定存在
实数对x,y使 pxayb
反之,若存在实数对(x,y)使 pxayb
bp
作MA' xa
A' Pyb
注意: 规定零向量与任意向量共线.
b
c
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0) , a // b 的充要条件
是存在实数 使 ab
符号语言: a,bb0 abR a//b
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0), a // b 的充要条件
推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a
l 的直线，那么对任一点O，点P在直线 上的充要条件是存
t 在实数 满足等式： OP OAta
空间直线的向 或 O P(1t)O AtOB
直线l 的方
（量注参意数：表点示P在式 l上的位置与t存在一一对应关系）
向向 量
当 t 1 时，点P是线段AB的中点，此时有： P
2.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：( A ) A.若 O P O A tA B，则P、A、B共线
B.若 3 O P O A A B ，则P是AB的中点 C.若 O P O A tA B ，则P、A、B不共线
D.若 O P O A A B ，则P、A、B共线
B
P
A
C
O
例２.如图：PA⊥平面ABCD,ABCD是 矩形,M、N分别是AB、PC中点。
求证：MN//平面PAD
MN ME EN
P
1
AD AP 2
1 AF
A
2
MN // AF MN // 面 PAD
M
B
F
N D
E C
例3.已知平行四A边 BC形 ,D 从平A面C外一O 点引向量
OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD,
求证:
(1)四点 E,F,G,H共面 .
(2)平面 EG//平面 AC.
O
D
C
A
B
H
G
E
F
练习
1.下列命题中正确的有：
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
( 2 ) p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共 面 M P x M A y M B ；
二.共面向量
1.向量与平面平行的定义
已知平面与向量 a,作 OAa
如果直线OA平行于平面 或 a在内,就说向量 a平行于平面
记作 a//
a
O
A
a
A
B
D
C
2.共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量
思考:⑴共面向量一定是在同一平面吗?
⑵空间中任意三个向量一定是共面向量吗?
3.空间中三个向量共面的条件