八上培优5半角模型
半角模型结论及证明过程
半角模型结论及证明过程嘿，朋友！咱们今天来聊聊半角模型，这可有意思啦！你知道吗？半角模型就像是一个藏着宝藏的神秘盒子，一旦你打开它，就能发现里面奇妙的规律。
咱们先来说说半角模型的结论。
比如说一个正方形，有一个角度是正方形内角一半的角，那围绕这个半角产生的一些线段和图形之间，就有着特别的关系。
就像有个例子，正方形 ABCD 边长是 a，∠EAF = 45°，E 在 BC 边上，F 在 CD 边上。
这时候你会发现，EF = BE + DF 。
是不是很神奇？那怎么证明这个结论呢？咱们一步步来。
先把△ABE 绕着点 A 顺时针旋转 90°，让 AB 和 AD 重合，新的点记作 E' 。
这样一转，BE 就变成了 DE' 。
这时候你看，∠EAF = 45°，∠DAE' = 45°，那∠FAE' 不也是 45°吗？再看看△AEF 和△AE'F ，AE = AE' ，AF 是公共边，∠EAF =∠E'AF ，这不就全等了嘛！全等之后，EF 不就等于 E'F 了？而 E'F 正好就是 DE' + DF ，也就是 BE + DF 。
你说这像不像走迷宫，找到一条正确的路，一下子就通了？其实啊，半角模型在很多数学问题里都能派上大用场。
比如说解决一些几何图形的面积问题，或者是判断线段之间的关系。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的锁。
想想看，如果在考试里遇到这样的题目，你一下子就用半角模型把答案找出来了，那得多厉害，多有成就感啊！所以说，半角模型可是数学里的一个宝贝，咱们可得把它好好掌握，让它成为咱们解题的利器！朋友，你觉得半角模型有趣不？是不是也想多练练，把它用得炉火纯青？。
人教版八年级数学 全等三角形之手拉手模型和半角模型 专题讲义
八年级数学全等三角形之手拉手模型和半角模型专题讲义
一、什么叫半角模型
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型（1）——正方形内含半角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
三、基本模型（2）——等边三角形内含半角
四、基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
手拉手模型。
半角模型(八年级人教版)
半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。
连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
八上培优半角模型
八上培优5 半角模型 方法：截长补短往往出现90。
套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2 求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第 49页，新观察在第34页，新观察培优 也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形 略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
4.如图 1.在四边形 ABCD 中. AB=AD / B+Z D=180，E 、F 分别是边 BC CD上的点，且/ BAD 二龙EAF全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
图形中, 套的情况。
求五边形ABCD 的面积.(1)求证：EF 二BE+DF(2)在(1)问中，若将△ AEF 绕点A 逆时针旋转，当点 E 、F 分别运动到BC顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索 线段BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90，?/?MAN=4°5 ,过点 C 作 NC?t AC 交AN 于点N,过点B 作BM 垂直AB 交AM 于点M,当/ MANS / BAC 内部时，求 证：BM+CN?=MN;G,使 BG 二CN 连接 AG 证^ABd A ACN(SAS)「AN 二AC /CD 延长线上时，如图 2所示，试探究EF 、BE DF 之间的数量关系.mi3.如图3, 在四边形 ABDC 中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D 为证明:延长MB 到点 FAE国2BAG二，/ NAC. !_•••/ GAM M GAB + / BAM=^ CAN+/ BAM=4°= L / MAN,<△ AMNm AMG(SAS),'二MN= MG= BM + BG= B十NC.证明二：（此证明方法见新观察培优第27页例3）⑵如图，在（1）的条件下，当AM和AN在AB两侧时，⑴的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二120 °套60 °2. 如图，△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为AB上一点，/ DCE=60 , / DAE二120°，求证:DE=BE 证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF，则△ CBF^A CAD △CED^A CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图,△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120，点E为AB上一点，/ DCE MDAE=60 °，求证:AD+DE= BE.证明：（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证△ CBF^A CAD△ CE医ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27 页例4如图，△ ABC是边长为1的等边三角形，△ BDC是顶角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB AC于M N,连结MN,试求△ AMN的周长.分析:由于/ MDN=60 , / BDC=120，所以/ BDMf Z CDN=60，注意至J DB=DC考虑运用“旋转法”将/ BDM RnZ CDN移到一起，寻找全等三角形。
初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。
（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。
2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。
八年级数学全等三角形“半角”模型
八年级数学全等三角形“半角”模型一、什么叫半角模型定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。
2、解题思路① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；② 证明与半角形成的三角形全等；③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
例题1图证明：将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90° ，使点 D 与点 B ，点 F 与点 G 重合（△ADF ≌ △ABG），如下图所示：例题1旋转图在△AGE 和△AFE 中∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° ， AE = AE∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF∵ GE = GB + BE = DF + BE∴ EF= BE + DF2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120° ，∠EDF = 60° ，DE ，DF 分别交 AB ，AC 于点 E , F 。
求证： EF = BE + CF例题2图证明：将△BDE 绕点 D 旋转至△CDG ，使△BDE ≌ △CDG（注：题目中已知条件 DB = DC 且∠BDC = 120°，易证∠EBD = ∠GCD = 90°，F、C、G 三点共线）例题2旋转图在△EDF 和△GDF 中∵ ED = GD , ∠EDF = ∠GDF = 60° ， DF = DF∴ △EDF ≌ △GDF ∴ EF = GF∵ GF = GC + CF = BE + CF∴ EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点 D ,E 在 BC 上，且满足∠DAE = 45° 。
半角模型经典例题
半角模型经典例题摘要：一、半角模型的概念与性质1.半角模型的定义2.半角模型的性质二、半角模型的求解方法1.解析法2.数值法3.符号法三、半角模型的经典例题解析1.例题一2.例题二3.例题三四、半角模型在实际问题中的应用1.应用场景一2.应用场景二3.应用场景三正文：半角模型是一种在数学、物理等领域中广泛应用的模型，它具有重要的理论意义和实际价值。
本文将首先介绍半角模型的概念与性质，然后探讨半角模型的求解方法，接着通过解析经典例题来加深对半角模型的理解，最后讨论半角模型在实际问题中的应用。
一、半角模型的概念与性质半角模型是一个数学模型，其基本思想是将一个实际问题简化为一个具有特定性质的数学问题。
半角模型的定义如下：（定义）设函数f(x) 满足以下条件：1.f(x) 在区间[0,π/2] 上连续；2.f(0)=f(π/2)=0.3.0<f(x)<f(π/2) for 0<x<π/2.则称f(x) 为半角模型。
半角模型具有以下性质：（性质1）半角模型的图像关于y 轴对称；（性质2）半角模型的导数在x=0 和x=π/2 处不存在；（性质3）半角模型的二阶导数在x=0 处为正，在x=π/2 处为负。
二、半角模型的求解方法半角模型的求解方法有多种，下面介绍三种常用的方法：解析法、数值法、符号法。
1.解析法：通过求导、积分等数学方法，对半角模型的解析式进行求解。
2.数值法：利用数值分析的方法，如牛顿法、梯度下降法等，对半角模型的数值进行求解。
3.符号法：通过计算机符号计算工具，如Mathematica、Maple 等，对半角模型的符号表达式进行求解。
三、半角模型的经典例题解析以下是三个半角模型的经典例题：1.例题一：求半角模型f(x)=x^2 的解析式。
解析：根据半角模型的定义，可知f(x)=x^2 满足半角模型的性质。
因此，f(x)=x^2 是一个半角模型。
2.例题二：求半角模型f(x)=sin(x) 在区间[0,π/2] 上的数值解。
初二半角模型经典例题
初二半角模型经典例题初二半角模型是初中数学中重要的知识点之一，对于初学者来说，能够理解和掌握这一知识点是十分重要的。
本文将为大家介绍几道半角模型的经典例题，并且详细讲解解题思路和方法。
题目一甲乙两人联合生产产品，甲生产A产品一件需要10元，B产品一件需要5元；乙生产A产品一件需要5元，B产品一件需要8元。
如果他们合作生产A产品50件，B产品40件，问甲乙能不能合作。
解题思路首先，我们可以将甲之间生产A产品的成本记为 $10\\times50=500$ ，B产品的成本记为 $5\\times40=200$ ；乙之间生产A产品的成本记为$5\\times50=250$ ，B产品的成本记为 $8\\times40=320$ 。
然后，我们根据题目可以列出以下式子：$$ \\begin{cases} 10a + 5b = 750 \\\\ 5a + 8b = 680 \\\\ \\end{cases} $$式子中，a和b分别代表甲和乙生产的A和B产品的件数。
我们可以用消元法解出a=40，b=10，表示甲生产40件A产品和10件B产品，乙生产10件A产品和30件B产品。
这样，甲与乙合作能生产所需的产品，因此甲乙可以合作生产。
解题步骤•计算甲和乙分别生产A和B产品的成本•根据题目列出方程组•用消元法求出方程组的解•根据解的结果判断甲与乙是否能合作生产题目二甲乙两人联合发明一个新产品，甲出资6万元，占投资总额的$\\dfrac{3}{5}$，乙出资多少元，才能占投资总额的$\\dfrac{2}{5}$？解题思路设甲出资的金额为x，则乙出资的金额为y，根据题目可以列出以下方程组：$$ \\begin{cases} x + y = T \\\\ \\dfrac{x}{T} = \\dfrac{3}{5} \\\\ \\dfrac{y}{T} = \\dfrac{2}{5} \\\\ \\end{cases} $$其中，T表示投资总额。
初二数学半角模型
初二数学半角模型哎呀呀，说起初二数学的半角模型，这可真是个让我又爱又恨的家伙！就好像我们在游戏里打怪兽，半角模型就是那只特别厉害、特别难打的大怪兽。
你想想，平常的数学题就像小怪兽，我们稍微用点功夫就能打败它们。
可这个半角模型，就像拥有超级技能的大怪兽，不好对付！有一次上数学课，老师在黑板上画出了半角模型的图，然后问我们：“同学们，你们觉得这个半角模型像什么呀？” 有的同学说像个迷宫，有的同学说像个拼图。
我心里想：“这哪是像呀，简直就是个数学的陷阱！” 老师笑着说：“那咱们一起来攻克这个陷阱好不好？”大家齐声说：“好！”然后老师就开始给我们讲解，边讲边在图上写写画画。
我瞪大眼睛，紧紧盯着黑板，生怕错过了什么关键的地方。
老师说：“大家看，这里的角度关系就像一把钥匙，能打开这个难题的锁。
” 我心里嘀咕：“这钥匙也太难找了吧！”同桌捅了捅我，小声说：“我好像有点懂了，你呢？” 我摇摇头：“我还是一头雾水呢！” 老师看到我们在交流，就问：“你们俩讨论出结果了吗？” 我不好意思地低下了头。
经过老师一遍又一遍地讲解，我终于有点明白了。
我高兴地跟后桌说：“我好像找到窍门啦！” 后桌一脸怀疑：“真的吗？快给我讲讲。
” 我兴奋地给他讲起来，讲着讲着，突然发现自己还有点地方没搞清楚，哎呀，这可真尴尬！经过不断地做题、思考，我慢慢觉得半角模型也没那么可怕了。
它就像是一个藏着宝藏的神秘盒子，虽然打开它的过程很艰难，但是一旦打开，里面的宝贝（知识）可太珍贵啦！你说，数学是不是就像一个神奇的世界，到处都有这样有趣又难搞的“怪兽”等着我们去挑战？反正我觉得，虽然半角模型曾经让我头疼，但是只要我不放弃，总有一天能把它彻底拿下！。
初二几何 半角模型
半角模型基本模型（1）——正方形内含半角（90°夹45°）1如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，（1）求证：EF=BE+DF.（2）AE平分∠BEF.AF平分∠DFE变式一：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC的延长线上的点，且∠EAF＝45°. 猜想:线段BE,DF,EF之间有什么关系并证明.变式（2）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝45°. 猜想：线段BE,DF,EF之间有什么关系.基本模型（2）——等腰直角三角形内含半角如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC ，点D 、E 在斜边BC 上，且∠DAE=45°,探究BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系,并对你的猜想给予证明.基本模型（3）——正三角形内含半角如图，已知：在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N,D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°, ∠BDC=120°,BD=DC.求证：BM+CN=MN4变式、如图，四边形 ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，∠ADC ＝60°，AB ＝BC ，E 、F 分别在 AD 、DC 延长线上，且∠EBF ＝60°，求证：AE ＝EF ＋CF ． E D C B AA B C M A N1． 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求PCQ 的度数。
A QP2、如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的任意一点，以点 A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°得△AB E 1 ，∠EA E 1 的平分线交 BC 边于点 F ，求证：△CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半．3．如图△ABC 是边长为3 的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交A B、AC 于M、N，连接M N，则△AMN 的周长为．34．已知如图，五边形ABCDE 中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：（1）AD 平分∠CDE；（2）∠BAE＝2∠CAD．。
八年级上册数学半角模型
八年级上册数学半角模型
半角模型是指以等腰三角形顶角的顶点为端点，引两条射线，与等腰三角形顶角相邻的边重合，这两条射线所形成的夹角为等腰三角形顶角的一半。
在八年级上册的数学中，半角模型可以用于解决一些几何问题。
例如，在一个等边三角形ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长到E 点，使得DE等于AE。
求证：角BAE等于角BCE。
这个问题可以通过半角模型来解决。
首先，将三角形ABD绕点A旋转到三角形ACD'的位置，使得AD'与AE重合。
由于旋转过程中只改变了角度，所以旋转前后的图形全等，因此角BAE等于角D'CE。
而由于DE等于AE，所以角D'CE 等于角BCE。
因此，角BAE等于角BCE。
总之，半角模型是一种有用的几何工具，可以用于证明一些等角、等线段的问题。
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案【模型展示】 【模型条件】BCD ECF D B DC BC ABCD ∠=∠︒=∠+∠=21180，，中，四方形 【模型结论】FD BE EF +=①BEF CE EFD CF ∠∠平分，平分②证明：【例6-1】如图正方形ABCD中∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F AE、AF分别交BD 于点G、H且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°当∠AEB＝55°时∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°（2）由四边形ABCD为正方形可知∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°∵∠AEB＝α∴∠EAB＝90°﹣α∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI可得E、B、I三点共线由旋转可知∠DAF＝∠BAI AF＝AI∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE在△EAF和△EAI中∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中已知∠MAN＝45°AH⊥MN垂足为H若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图在DC上截取DF＝BM连接AF△ABM和△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF∠BAM＝∠DAF∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°即MAF＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠MAN＝∠F AN＝45°在△MAN和△F AN中∴△MAN≌△F AN（SAS）∴MN＝NF∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM∴DN﹣BM＝MN；②∵△MAN≌△F AN∴∠HNA＝∠DNA∵∠H＝∠D＝90°AN＝AN∴△AHN≌△ADN（AAS）∴AD＝AH∵AD＝AB∴AH＝AB．【例6-3】如图（1）在平面直角坐标系中AB⊥x轴于B AC⊥y轴于C点C（0 4）A（4 4）过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB求证：CF＝CE．（2）如图（2）且∠ECF＝45°S△ECF＝6 求S△BEF的值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0 4）A（4 4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°则FG＝AE+OF CG＝CE∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值为4．【例6-4】如图在正方形ABCD中M、N分别是射线CB和射线DC上的动点且始终∠MAN＝45°．（1）如图1 当点M、N分别在线段BC、DC上时请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2 当点M、N分别在CB、DC的延长线上时（1）中的结论是否仍然成立若成立给予证明若不成立写出正确的结论并证明；【解答】解：（1）BM+DN＝MN理由如下：如图1 在MB的延长线上截取BE＝DN连接AE∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°∴∠ABE＝90°＝∠D在△ABE和△ADN中∴△ABE≌△ADN（SAS）∴AE＝AN∠EAB＝∠NAD∴∠EAN＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠EAM＝45°＝∠NAM在△AEM和△ANM中∴△AEM≌△ANM（SAS）∴ME＝MN又∵ME＝BE+BM＝BM+DN∴BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立 DN ﹣BM ＝MN ．理由如下：如图2 在DC 上截取DF ＝BM 连接AF则∠ABM ＝90°＝∠D在△ABM 和△ADF 中∴△ABM ≌△ADF （SAS ）∴AM ＝AF ∠BAM ＝∠DAF∴∠BAM +∠BAF ＝∠BAF +∠DAF ＝∠BAD ＝90°即∠MAF ＝∠BAD ＝90°∵∠MAN ＝45°∴∠MAN ＝∠F AN ＝45°在△MAN 和△F AN 中∴△MAN ≌△F AN （SAS ）∴MN ＝NF∴MN ＝DN ﹣DF ＝DN ﹣BM∴DN ﹣BM ＝MN ． 【模型拓展】【拓展6-1】如图 已知(,)A a b AB y ⊥轴于B 且满足22(2)0a b -+-=（1）求A 点坐标；（2）分别以AB AO 为边作等边三角形ABC ∆和AOD ∆ 如图1试判定线段AC 和DC 的数量关系和位置关系．（3）如图2过A 作AE x ⊥轴于E F G 分别为线段OE AE 上的两个动点 满足45FBG ∠=︒试探究OF AGFG+的值是否发生变化？如果不变请说明理由并求其值；如果变化请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：20a-=且20b-=解得：2a=2b=则A的坐标是(2,2)；（2）AC CD=且AC CD⊥．如图1 连接OC CDA的坐标是(2,2)2AB OB∴==ABC∆是等边三角形30OBC∴∠=︒OB BC=75BOC BCO∴∠=∠=︒在直角ABO∆中45BOA∠=︒754530AOC BOC BOA∴∠=∠-∠=︒-︒=︒OAD∆是等边三角形30DOC AOC∴∠=∠=︒即OC是AOD∠的角平分线OC AD∴⊥且OC平分AD AC DC∴=6075135ACO DCO∴∠=∠=︒+︒=︒36013513590ACD∴∠=︒-︒-︒=︒AC CD∴⊥故AC CD=且AC CD⊥．（3）不变．延长GA至点M使AM OF=连接BM在BAM∆与BOF∆中AB OBBAM BOF AM OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM BOF SAS∴∆≅∆ABM OBF∴∠=∠BF BM=9045 OBF ABG FBG∠+∠=︒-∠=︒45MBG∴∠=︒在FBG ∆与MBG ∆中 BM BF MBG FBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FBG MBG SAS ∴∆≅∆FG GM AG OF ∴==+ ∴1OF AG FG+=．【拓展6-2】如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上 点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分ACB ∠与y 轴交于D 点 90CAO BDO ∠=︒-∠．（1）求证：AC BC =；（2）在（1）中点C 的坐标为(4,0) 点E 为AC 上一点 且DEA DBO ∠=∠ 如图2 求BC EC +的长；（3）在（1）中 过D 作DF AC ⊥于F 点 点H 为FC 上一动点 点G 为OC 上一动点 （如图3) 当点H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时 始终满足GDH GDO FDH ∠=∠+∠ 试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系 写出你的结论并加以证明．【解答】（1）证明：90CAO BDO ∠=︒-∠CAO CBD ∴∠=∠．在ACD ∆和BCD ∆中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCD AAS ∴∆≅∆．AC BC ∴=．（2）解：由（1）知CAD DEA DBO ∠=∠=∠BD AD DE ∴== 过D 作DN AC ⊥于N 点 如右图所示： ACD BCD ∠=∠DO DN ∴=在Rt BDO ∆和Rt EDN ∆中BD DE DO DN =⎧⎨=⎩Rt BDO Rt EDN(HL)∴∆≅∆BO EN ∴=．在DOC ∆和DNC ∆中90DOC DNC OCD NCDDC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DOC DNC AAS ∴∆≅∆可知：OC NC =；28BC EC BO OC NC NE OC ∴+=++-==．（3）GH FH OG =+．证明：由（1）知：DF DO =在x 轴的负半轴上取OM FH = 连接DM 如右图所示： 在DFH ∆和DOM ∆中90DF DO DFH DOM OM FH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()DFH DOM SAS ∴∆≅∆．DH DM ∴= 1ODM ∠=∠．122GDH ODM GDM ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠．在HDG ∆和MDG ∆中DH DM GDH GDM DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()HDG MDG SAS ∴∆≅∆．MG GH ∴=GH OM OG FH OG ∴=+=+．【拓展6-3】如图1 ACB ∆为等腰三角形 90ABC ∠=︒ 点P 在线段BC 上（不与B C 重合） 以AP 为腰长作等腰直角PAQ ∆ QE AB ⊥于E ．（1）求证：PAB AQE ∆≅∆；（2）连接CQ 交AB 于M 若2PC PB = 求PC MB的值； （3）如图2 过Q 作QF AQ ⊥交AB 的延长线于点F 过P 点作DP AP ⊥交AC 于D 连接DF 当点P 在线段BC 上运动时（不与B C 重合） 式子QF DP DF-的值会变化吗？若不变 求出该值；若变化 请说明理由．【解答】（1）证明：ACB ∆为等腰三角形 90ABC ∠=︒ 点P 在线段BC 上（不与B C 重合） 以AP 为腰长作等腰直角PAQ ∆ QE AB ⊥于E ．AP AQ ∴= 90ABP QEA ∠=∠=︒ 90QAE BAP BAP APB ∠+∠=∠+∠=︒ QAE APB ∴∠=∠在PAB ∆和AQE ∆中ABQ QEA QAE APB AQ PA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAB AQE AAS ∴∆≅∆；（2）解：PAB AQE ∆≅∆ AE PB ∴=AB CB = QE CB ∴=．在QEM ∆和CBM ∆中QME CMB QEM CBM QE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()QEM CBM AAS ∴∆≅∆ME MB ∴=AB CB = AE PB = 2PC PB =BE PC ∴=2PC PB =2PC MB ∴= ∴2PC MB=； （3）式子QF DP DF -的值不会变化． 如下图2所示：作HA AC ⊥交QF 于点HQA AP ⊥ HA AC ⊥ AP PD ⊥90QAH HAP HAP PAD ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90AQH APD ∠=∠=︒ QAH PAD ∴∠=∠PAQ ∆为等腰直角三角形AQ AP ∴=在AQH ∆和APD ∆中AQH APDAQ AP QAH PAD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AQH APD ASA ∴∆≅∆AH AD ∴= QH PD =HA AC ⊥ 45BAC ∠=︒HAF DAF ∴∠=∠在AHF ∆和ADF ∆中AH ADHAF DAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHF ADF SAS ∴∆≅∆HF DF ∴= ∴1QF DPQF QH HFDF HF HF --===．。
半角模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题02半角模型模型1：正方形中的半角模型模型2：等腰直角三角形中的半角模型解题策略【例1】．（2020·山西晋中·八年级阶段练习）如图所示：已知ΔABC中，∠BAC=90°,AB=AC，在∠BAC内部作∠MAN=45°,AM、AN分别交BC于点M，N.[操作]（1）将ΔABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图中画出ΔACQ;(不写出画法)[探究]（2）在(1)作图的基础上，连接NQ，求证：MN=NQ;[拓展]（3）写出线段BM,MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．【例2】（2022·全国·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC 上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．经典例题(1)∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；(2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠P AQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQ=；BM(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证：BM2＋DN2＝MN2．【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．【例4】．（2020·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．培优训练一、解答题1．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在∠BAD，小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得∠EAF=12BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE′的位置，然后证明△AFE≌△AFE′，从而可得EF=E′F．E′F=E′D+DF=BE+DF，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：∠BAD，直接写出EF，BE，DF之间的如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF=12数量关系．∠BAD，求证：EF＝BE＋(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠EAF=12DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是⊙O的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系．3．（2021·重庆·九年级专题练习）将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF 的长．4．（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．∠MBN＝12（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为．若∠MBN＝125．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：__________；是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系．26．（2021·辽宁·沈阳市南昌中学（含：西校区、光荣中学）九年级阶段练习）如图，菱形ABCD与菱形EBGF 的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且∠BCD=∠BGF=120°，对角线AC、BD相交于点O．的值为；（1）如图1．当点F与点O重合时，直接写出AEFD（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，CG⊥BG，且CG=BC，试探究CG与DF的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．7．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，∠ACD=∠BCF．（1）求∠ACE+∠BCF的度数；（2）以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索△EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．8．（2021·河南平顶山·九年级期中）（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把△ADE 绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．易证△AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在△ABC中，AB＝AC＝√6+√2，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，请直接写出线段BD的长．9．（2022·全国·八年级专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：＋＝．（不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP 绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．11．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；∠BAD，（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12求证：EF=BE+DF；（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF=1∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．212．（2021·辽宁沈阳·一模）（1）思维探究：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G，B，E在同一条直线上，然后证明△AEF≌即可得证结论；（只需填空，无需证明）（2）思维延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45°，猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；（3）思维拓广：如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．13．（2021·河南安阳·八年级期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）14．（2020·四川成都·八年级期末）已知，∠POQ=90∘，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OA=OB，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C．点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF．（1）求证：OA=OB=AC=BC；（2）如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且∠ECF=45∘时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且∠ECF=135∘时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N．请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论．15．（2020·江西育华学校八年级阶段练习）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BGF≌△BEF，可得出结论，他的结论就是______________；探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．16．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上．（1）如图①，当MN//BC时，则△AMN的周长为______；（2）如图②，求证：BM+NC=MN．17．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．（1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；（2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数；（3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．18．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC ＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF ＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．19．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB到点G，使BG＝，连接AG；（2）证明：EF＝BE＋DF20．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2√3，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．21．（2020·重庆江津·八年级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD．（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？22．（2022·江苏·八年级专题练习）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB 的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．23．（2022·河南开封·八年级期末）（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；=；此时QL（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．24．（2022·全国·八年级课时练习）如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）．（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．。
八上培优5-半角模型
八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2α套α的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉与，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.ACBFEACBFED4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;NNN证明:延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L ∵∠GAM=∠GAB + ∠BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.F解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二120°套60°2. 如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°，求证:DE=BECCF证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.CBAECBAE F证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N,连结MN,试求△AMN 的周长.A BDP分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM 十∠CDN=60°，注意到DB=DC ，考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起，寻找全等三角形。
半角模型锐角三角函数培优
半角模型锐角三角函数培优在三角函数的学习中，我们经常会接触到两种类型的角：锐角和钝角。
在本文中，我将讨论半角模型的锐角三角函数的培优。
首先，我们来复习一下什么是锐角。
锐角是指角度小于90度的角。
对于任意锐角θ，它的半角可以表示为θ/2、而对于锐角三角函数，我们可以用sin(θ/2)、cos(θ/2)和tan(θ/2)来表示。
现在，让我们来探索锐角三角函数的一些性质。
首先，我们来看sin(θ/2)。
根据半角公式，我们知道sin(θ/2) =±√[(1 - cosθ)/2]。
这个公式可以简化计算，同时也可以帮助我们理解锐角三角函数之间的关系。
首先，当0 < θ < 90度时，sin(θ) > 0，那么我们可以确定sin(θ/2) > 0。
另外，θ越接近0度，sin(θ/2)也越接近0。
另外，当θ接近90度时，sin(θ/2)趋近于1接下来，我们来看cos(θ/2)。
根据半角公式，我们知道cos(θ/2)= ±√[(1 + cosθ)/2]。
与sin(θ/2)类似，当0 < θ < 90度时，cos(θ) > 0，那么我们可以确定cos(θ/2) > 0。
与sin(θ/2)不同的是，当θ接近0度时，cos(θ/2)趋近于1、而当θ接近90度时，cos(θ/2)趋近于0。
最后，我们来看tan(θ/2)。
根据半角公式，我们知道tan(θ/2) =±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]。
当0 < θ < 90度时，tan(θ/2) > 0。
与sin(θ/2)和cos(θ/2)不同的是，tan(θ/2)的取值范围是从0到无穷大。
现在，我们来看一些实际应用中的例子。
假设我们需要计算一个直角三角形的斜边长度。
已知直角三角形的一个角是30度，那么锐角三角函数的半角就是15度。
我们可以利用半角公式计算sin(15度/2)和cos(15度/2)，然后利用勾股定理计算斜边长度。
八年级数学——半角模型
例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。
求证：EF=BE+DF；解析：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF特征描述：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。
这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.题型识别：“等线段、共顶点、半角度”解决方法：①以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合；②找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。
如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．求证：AH=AB；分析：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，根据旋转的性质可得DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，然后求出∠EAF =∠EAG =45°，再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH =AB ．证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，由旋转的性质得，DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ．∵∠F AG =∠BAG +∠BAF =∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°，∠EAF =45°，∴∠EAF =∠EAG =45°．在△AEF 和△AEG 中，AF AG EAF EAG AE AE =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AEG （SAS ），∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高，∴AH =AB ．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________．（2）如图2：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C ，使DG =BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________．请你帮小王同学写出完整的证明过程．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点（点D在点E的左侧，并且菁优网点D不与点A重合，点E不与点B重合），设AD=m，DE=x，BE=n．（1）判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；（2）当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．（1）如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．完成解题过程．解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．（2）类比猜想请，同学们研究：如图（2），在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当∠BAD =120°，∠EAF =60°时，还有EF =BE +DF 吗？请说明理由．如图，在等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取两点M 、N ，使∠MCN =45°，记AM =m ，MN =n ，BN =k ．试猜想：以m 、n 、k 为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）__________．（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）已知：如图1在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45度．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若12MBN ABC ∠=∠仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．。
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八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2α套α的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;NNGBAN证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.F解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120°套 60°2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BECF证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.CBAECBAE F证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.A BDP分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。
另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5 如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分∠ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1, AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ. 试判断△CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2. BD⊥BC交y轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°. 当F在AC上移动时，结论: ①CE+CF值不变; ②CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.x分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA ⊥AC, 连结DA, 加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF≅△BDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2α°套α°1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．解：（1）如图所示，作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA（AAS），∴EC=DF=4，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM-MF=AM-MN=AN，∴AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0 （1）求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P 点坐标；（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0，∴a-b=0，b-4=0，∴a=4，b=4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）FG2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）求证：∠PAC=∠PBC；（2）作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，求S△PCE：S△PBE；（3）若M 、N 分别是边AC 、BC 上的点，且∠MPN=12∠APB ，则线段AM 、MN 、BN 之间有何数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，过点P 作PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，∵PC 平分∠DCB ， ∴PE=PF ，在Rt △PAF 和Rt △PEB 中， PF ＝PE PA ＝PB ，∴Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴∠PAC=∠PBC ，（2）如图2，过点P 作PF ⊥AC 于F ，∵PE ⊥BC ，CP 是∠BCD 的平分线， ∴PE=PF ，∠PCF=∠PCE ， ∵PC=PC ，∴△PCF ≌△PCE ， ∴CF=CE ，由（1）知，Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴AF=BE ，∵AF=AC+CF ，BE=BC-CE ，∴AC+CF=BC-CE ，∴5+CF=11-CE ， ∴CE=CF=3，∵△PFC ≌△PEC ， ∴S △PFC =S △PEC ，∵Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴S△PAF =S △PEB ，∴S △PCE ：S △PBE =S △PFC ：S △PFA =12CF ×PF ：12AC ×PF =CF ：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如图3，在BC 上截取BQ=AM ， 在△PMA 和△PQB 中，PA PB PAM PBQ MA BQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△PMA ≌△PQB ， ∴PM=PQ ，∠MPA=QPB ，∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB ， 即：∠APB=∠MPQ ，∵∠MPN=12∠APB ， ∴∠MPN=12∠MPQ ，∴∠MPN=∠QPN ，在△MPN 和△QPC 中，PN PN MPN QPN MP QP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MPN ≌△QPC ， ∴MN=QN ，∴BN=AM+MN ．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ，是一道中等难度的中考常考题．∴∠FAK=∠FKA ，∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，∵∠BFD=60°，∴∠AKF＝12∠BFD＝30°，∵△GBA≌△EAC，∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，在△GAK与△EFC中，AG＝CE∠AGB＝∠AECKG＝FE，∴△GAK≌△EFC，∴∠CFE=∠AKF，∴∠CFE=∠AKF=30°；方法二：只要证明△ADB≌△BFC即可解决问题；（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，∵∠BFE=∠BAC，∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，∴∠EAC=∠FBA，在△ABK与△ACF中，AB＝AC∠ABK＝∠FACBK＝AF，∴△ABK≌△AFC，∴S△ABK=S△ACF，∠AKB=∠AFC，∵∠BFE=2∠CFE，∴∠BFE=2∠AKF，∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，∴∠AKF=∠KAF，∴△FAK是等腰三角形，∴AF=FK，∴BK=AF=FK，∴S△ABK=S△AFK，∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF，∴ABFACFSSVV=2故答案为：2．。