离散数学复习
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
离散数学复习知识点
复习知识点： 第1章1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化〔连接词〕设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为〔 D 〕A ．Q P ∧⌝B ．Q P →⌝C ．Q P ⌝→⌝D ．Q P ⌝→设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。
命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B )A ．R Q)(P →∧B ．R Q)(P →⌝∧C ．R Q)(P ↔⌝∧D ．R Q)(P ↔∧3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 Q P Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧→→∧→证明：6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。
解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。
将前提和结论符号化为P(x))x(T(x)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)y))),L(x,y(T(y)x(S (x)⌝→∀⇒⌝→∀→∀→∀∧∃〔1〕y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→∀∧∃ P 〔2〕y))L(a,y(T(y)S (a)→∀∧T1，ESQ)(P TQ)(P Q)Q (Q)(P Q Q)(P T)(Q Q)(P P))P ((Q Q)(P Q)(P P)(Q Q)(P Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))Q (Q)P ((Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧∨⇔∨⌝∧∨⇔∨⌝∧⇔∧∨⌝∧⇔∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∧∨∨⌝∧∨⌝⌝⇔∧→∨⌝∧∨⌝⇔∧→→∧→〔3〕S(a) T2，I 〔4〕y))L(a,y(T(y)→∀ T2，I 〔5〕b)L(a,T(b)→T4，US 〔6〕y)))L(x,y(P(y)x(S (x)⌝→∀→∀ P 〔7〕y))L(a,y(P(y)S (a)⌝→∀→ T6，US 〔8〕y))L(a,y(P(y)⌝→∀ T3,7，I 〔9〕b)L(a,P(b)⌝→ T8，US 〔10〕P(b)b)L(a,⌝→ T9，E 〔11〕P(b)T(b)⌝→T5,10，I 〔12〕P(x))x(T(x)⌝→∀T11，UG侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、12A B C D G G ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v j e B i v j e C i v j e D i v j e A B C D G G ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D9、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
A 、B 、C 、D 、14、 (C)。
任意平面图最多是（）色的。
A 、3B 、4C 、5D 、615、 (A)。
对与10个结点的完全图，对其着色时，需要的最少颜色数为（）。
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P157、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A⇔B的充要条件是A⇒B且B⇒A。
主要等价式：(1)双否定：⎤⎤A⇔A。
(2)交换律：A∧B⇔B∧A，A∨B⇔B∨A，A↔B⇔B↔A。
3)结合律：(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)，(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)，(A↔B)↔C⇔A↔(B↔C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：⎤(A∧B)⎤⇔A∨⎤B，⎤(A∨B)⎤⇔A∧⎤B。
(6) 等幂律：A∧A⇔A，A∨A⇔A。
(7) 同一律：A∧T⇔A，A∨F⇔A。
(8) 零律：A∧F⇔F，A∨T⇔T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)⇔A，A ∨(A∧B)⇔A。
(10) 互补律：A∧⎤A⇔F，(矛盾律)，A∨⎤A⇔T。
离散数学--总复习
第一部分：集合论知识点：集合关系（∈，⊆,⊂,∉,=）集合运算（并、交、差、对称差、补集、幂集），特殊集合（∅，E，P(A)）集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、补交转换律(A-B=A⋂~B)、德·摩根律~(B⋃C)=~B~⋂C，A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)）证明集合包含或相等（根据定义, 通过逻辑等值演算证明、利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明）1. 证:A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇔ x∈A∨(x∈B∧ x∈C) (并,交的定义)⇔(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (逻辑演算的分配律)⇔x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)2. 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂ ~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂ ~C ⋂ C) (分配律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂ ~C ⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂ ~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) – C第二部分：逻辑学命题的定义（凡具有确定真假意义的陈述句均称为命题。
）联结词（⌝、∧、∨、→、↔、↑、↓（公式转化为只含↑、↓的表达形式））例：将p → q化为只含↑的公式p → q ⇔⌝p ∨q⇔⌝(p∧⌝q) ⇔ p↑⌝q⇔p↑⌝( q∧q)⇔ p↑ q↑ q命题符号化(1、王晓虽然聪明，但不用功.2、张辉与王丽都是三好生.3、张辉与王丽是同学.4、除非天冷，小王才穿羽绒服.5、除非小王穿羽绒服，否则天不冷.)等值演算（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、蕴涵等值式A→B⇔⌝A∨B等价等值式A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位等值式A→B⇔⌝B→⌝A等价否定等值式A↔B⇔⌝A↔⌝B）证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p⌝∨q)∨r （结合律）⇔⌝(p∧q)∨r （德摩根律）⇔ (p∧q) →r （蕴涵等值式）判断下列公式的类型q⌝∧(p→q)解q⌝∧(p→q)⇔ q⌝∧(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔ q∧(p⌝∧q) （德摩根律）⇔ p∧(q⌝∧q) （交换律，结合律）⇔ p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.命题公式（重言式、矛盾式、可满足式），利用真值表判断，等值演算，范式。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
离散数学复习资料
1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。
2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。
(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。
6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。
(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。
(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。
9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习整理
百度文库离散数学复习整理离散数学复习整理离散数学复习整理函数***重点掌握：单射、满射、双射函数的概念一、函数的概念（和数学里面函数的概念差不多）A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。
|f|=|A|f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因此f≠f(x)。
⨯|A||B||A|从A到B的不同的关系有2个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|个。
(个数差别) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却为从零一直到|A|×|B|。
二、特殊函数单射：对任意x,x∈A，如果x≠x，有f(x)≠f(x)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应121212不同的y)；满射：如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射；（B的定义域都能通过函数f(x)求到）双射：若f是满射且是单射，则称f为从A到B的双射。
若A＝B，则称f为A上的函数；当A上的函数f是双射时，称f为一个变换。
定理：8.2.1设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。
典型(自然)映射：设R是集合A上的一个等价关系，g：A→A/R称为A对商集A/R的典型(自然) 映射，其定义为g(a)＝[a]，a∈A.R恒等函数：如果A=B，且对任意x∈A，都有f(x)=x，则称f为A上的恒等函数，记为I。
A常值函数：如果∃b∈B，且对任意x∈A，都有f(x)=b，则称f为常值函数。
上取整函数：对有理数x，f(x)为大于等于x的最小的整数，则称f(x)为上取整函数(强取整函数)，记为f(x)= ；下取整函数：对有理数x，f(x)为小于等于x的最大的整数，则称f(x)为下取整函数(弱取整函数)，记为f(x)= ；三、函数的复合运算不满足交换律，但满足结合律1.函数f和g可以复合⇔ranf⊆domg；2.dom(fog)=domf，ran(fog)⊆rang；3.对任意x∈A，有fog(x)=g(f(x))。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结1.集合论-集合的定义和运算：交、并、差、补、反转。
子集与真子集的概念。
-集合的基数：有限集、无限集、可数集、不可数集的定义与特性。
-集合的运算律：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律。
-集合的等价关系：等价关系的定义和性质，等价关系的划分和等价类。
2.逻辑与命题关系-命题与命题符号：命题的定义、真值表和含有逻辑连接词的复合命题。
-命题逻辑：命题的蕴涵、等价、否定、充分条件和必要条件。
-谓词逻辑：命题的全称量词、存在量词及其关系。
-命题逻辑推理：假言推理、析取推理、拒取推理、类比推理等。
3.图论-图的基本概念与术语：顶点、边、邻接、路径、回路、连通、子图、生成树等。
-图的分类：无向图、有向图、简单图、多重图、完全图。
-图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、度矩阵等。
-图的遍历算法：深度优先、广度优先。
-图的最短路径算法：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法。
4.代数系统与半群-代数结构：代数系统的定义、代数公理、代数性质。
-半群：半群的定义与性质，封闭性、结合律和单位元。
-半群的子半群与同态：子半群的概念，同态映射的定义与性质。
-有限半群与无限半群：有限半群的定义和性质，无限半群的特点与例子。
5.数论与代数-整数与整数集合的性质：整数的除法原理、整除、公约数、最大公约数和最小公倍数。
-同余关系与同余类：同余关系的定义、同余类的性质、同余关系的基本定理。
-质数与素数：质数的定义、素数的性质、素数的判定方法。
-线性同余方程：线性同余方程的解法、同余方程的应用。
以上仅是《离散数学》中的部分重要知识点总结，该教材还包括很多其他内容，如排列组合、概率论、布尔代数等等。
期末复习时，建议从教材中选取一些重点章节进行深入学习和复习，同时要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和掌握。
祝你在期末考试中取得好成绩！。
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离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学复习资料
《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3≠6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3≠6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a)可表示为:P→Qb)可表示为: ┐P→Qc)可表示为: P→┐Qd)可表示为：┐P→┐Qe)可表示为：S∧Rf)可表示为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
《离散数学》期末复习
《离散数学》期末复习第一篇：《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(∅)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。
π直接证明法：A→B为真π间接证明法：“A→B为真” ⇔“ ¬B→¬A为真” π归谬法(反证法)： A∧¬B→0为真π穷举法： A1→B, A2→B,…, Ak→B 均为真π构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B π空证明法：“A恒为假” ⇒“A→B为真” π平凡证明法：“B恒为真” ⇒“A→B为真” π数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。
命题的定义和联结词(¬, ∧, ∨, →, ↔)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。
2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用 7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树 7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树第二篇：离散数学期末复习试题及答案(二)第二章二元关系1.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={(a,b)|a=b+2}，S={(x,y)|y=x+1 or y=x2} 求R⋅S,S⋅R,S⋅R⋅S,S2,S3,S⋅Rc。
离散数学复习题
一、选择题1．若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”可符号化为（ ）A. Q P ∨B. Q P ～∨C. Q P ～∧D. Q P ～→2．P 、Q 为命题变元，则Q P →的对偶式为（ ）A . Q P →B . P Q →C . Q P ～∧D . P Q ～∧3．谓词公式),(y x yP x ∃∀的否定式为（ ）A .),(y x P y x ～∀∀B .),(y x P y x ～∀∃C .),(y x P y x ～∃∀D .),(y x P y x ～∃∃4．A = {1, 2, 3}，R = {<x , y >| y x A y x =∧∈,}为A 上的一个二元关系，则下列命题中（ ）为真。
A . R 不是自反的B . R 不是对称的C . R 不是传递的D . R 不是反自反的5．若A 为集合，则I A 是A 上的（ ）。
A . 全序关系B . 偏序关系C . 半序关系D . 拟序关系6．A = {1, 2, 3}，在下列A 上的二元关系中，（ ）不是可传递的。
A . {<1, 2>}B .{<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>}C .A A ⨯D . I A7．二部图K 2, 3是（ ）A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 非平面图D. 平面图8．5阶无向完全图的边数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 209．下列命题中不正确的是（ ）。
A. ∅∈∅B. ∅⊆∅C. {}∅∈∅D. {}∅⊆∅10．在A = {a , b , c }上可以定义（ ）个不同的二元关系。
A . 9 B. 18 C . 81 D . 51212．设G 是简单连通平面图，G 有11个顶点，5个面，则G 有（ ）条边。
A . 10 B. 12 C . 14 D . 1613．一个连通无向图，如果它的所有顶点的度数是偶数，则它具有（ ）。
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。
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离散数学复习
第一章命题逻辑基本概念
1．掌握命题及相关概念
2．理解各联结词的逻辑关系
3．会将复合命题符号化
4．会求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值、成假赋值及判断公式的类型
第二章命题逻辑等值演算
1．记住基本等值式，会应用它们进行公式的等值演算
2．了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念
3．理解极大项、极小项的概念
4．掌握求主析取范式和主合取范式的方法(等值演算和真值表法)
5．会用主范式判断公式的类型及进行简单应用
6．了解联结词完备集的概念
第三章命题逻辑的推理理论
1．理解并记住推理形式结构的两种形式：
(1) A1∧A2∧…∧A k→B
(2) 前提：A1, A2, … , A k
结论：B
2．掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）3．记住自然推理系统P系统中的推理规则
4．掌握自然推理系统P系统中的推理方法
第四章一阶逻辑基本概念
1．会进行命题的符号化
2．理解公式的解释
3．理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系
4．对于给定的解释会判断公式的真值，或判定真值不确定（即仍不是命题）
第五章一阶逻辑等值演算与推理
1．理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们
2．会使用置换规则、换名规则(约束条变项)、代替规则(自由变项)
3．会求给定公式的前束范式
4．正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之间的关系
5．在F系统，对给定的推理，正确地构造出它的证明
第六章集合代数
1. 掌握集合的表示法
2．能够判别元素是否属于给定的集合
3．能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系
第七章二元关系
1. 掌握二元关系、空关系、全域关系、恒等关系、关系的定义域、值域、域、逆关系、
左复合、右复合、限制、像的概念；
2．掌握关系的集合表达式、关系矩阵和关系图三种表示法；
3．掌握关系的基本运算和关系的幂的运算性质，掌握关系的五个性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等五个性质；
4．掌握关系的闭包的概念，会应用关系的性质求出关系的闭包（自反闭包、对称闭包和传递闭包）；
5．掌握等价关系、等价类的概念，理解商集和划分的概念，理解等价关系和划分的关系，会判断并求等价关系，会求等价类和商集，会应用划分求等价关系；
6．掌握偏序关系及偏序关系的哈斯图表示方法，会求偏序关系中最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、最小上界和最大下界。
第八章函数
考核要求
1．掌握函数的概念给定f, A, B, 判别f是否为从A到B的函数；
2．掌握单射、满射和双射的概念，会判别函数f：A B的性质（单射、满射、双射）；
3．会计算函数的值、像、复合以及反函数；
第十章代数系统
1．掌握一元运算、二元运算的概念；
2．掌握交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律、单位元、零元、逆元、消去律等二元运算的主要性质；
3．判断给定二元运算的性质和特异元素；
4．掌握代数系统的概念，判断给定集合和运算能否构成代数系统。
第十一章半群与群
1．掌握半群、独异点、同态、群、有限群、无限群、平凡群、交换群、子群、循环群、置换群的概念；
2．判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群；
3．理解群的同态与同构的概念；
4．会求循环群的生成元及其子群；
5．知道n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群。
第十二章 *环与域
1．知道环、整环、域的概念；
2．判别给定代数系统是否为环、交换环、含幺环、无零因子环、整环和域。
第十三章格与布尔代数
1．掌握格、分配格、有补格的概念；
2．能够判别给定偏序集或者代数系统是否构成格；
3．了解格的同态及其性质；
4．能够判别给定的格是否为分配格、有补格；
第十四章图的基本概念
1．理解顶点、边、有向边、无向图、有向图、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念，掌握零图、平凡图、平行边、端点、端点的出度、入度、度的概念；
2．理解握手定理并会进行简单应用；
3．知道非负整数是否可图化；
4．了解图的同构的概念；
5．掌握通路、回路、初级通路、初级回路、连通图、分离图的概念；
6．理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念；
7．会判别有向图连通性的类型；
8．掌握图的关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵的表示法；
9．理解关联矩阵和邻接矩阵的性质，会用邻接矩阵的性质求回路和通路数。
第十五章欧拉图与哈密顿图
1．理解欧拉图、半欧拉图的定义及判别定理，会判断给定图是否是欧拉图或半欧拉图；
2．理解哈密顿图、半哈密顿图的定义，会用充分条件判断某些图是哈密顿图。
第十六章树
1．理解无向树及性质，会画n阶(n较小)非同构的无向树；
2．理解生成树、最小生成树的概念，会求给定无向连通带权图的最小生成树。