离散数学II_考试题型及复习提纲共72页文档
离散数学复习提纲
《离散数学》期末复习一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有15题，分数占60％；化简解答题与计算题及证明题，共占40％。
各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。
单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。
单项选择题给出四个备选答案，其一正确。
填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。
化简解答题与计算题主要考核同学们的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 命题及其联结词。
命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义，六个联结词。
2. 命题公式及分类。
在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；真值表3. 命题的判定及命题演算的推理理论。
推理方法有：真值表法；等值演算法；主析取范式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.。
第2章一阶逻辑复习要求1.谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词 量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”2. 2.公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材).命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式3. 解释(赋值)，谓词公式A的个体域D是非空集合，则(1) 每一个常项指定D中一个元素；(2) 每一个n元函数指定D n到D的一个函数；(3) 每一个n元谓词指定D n到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
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离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题，是由联结词⌝和命题P组成的复合命题.P取真值1，⌝P取真值0，P取真值0，⌝P 取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词， P∨Q 是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词， P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“↔”等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q 取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真。
《离散数学》考试题库及答案(二)
《离散数学》考试题库及答案试卷五试题与答案一、填空15%（每空3分）1、设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。
2、n 阶完全图，K n 的点数X (K n ) = 。
3、有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。
4、设[R ，+，·]是代数系统，如果①[R ，+]是交换群 ②[R ，·]是半群③ 则称[R ，+，·]为环。
5、设],,[⊕⊗L 是代数系统，则],,[⊕⊗L 满足幂等律，即对L a ∈∀有 。
二、选择15%（每小题3分）1、 下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（ ）。
A 、（2，2，2，2，2）； B 、（1，1，2，2，3）； C 、（1，1，2，2，2）； D 、（0，1，3，3，3）。
2、 下图中是哈密顿图的为（ ）。
3、 如果一个有向图D 是强连通图，则D 是欧拉图，这个命题的真值为（ ）A 、真；B 、假。
4、 下列偏序集（ ）能构成格。
5、 设}4,41,3,31,2,21,1{=s ，*为普通乘法，则[S ，*]是（）。
A 、代数系统；B 、半群；C 、群；D 、都不是。
三、证明 48%1、（10%）在至少有2个人的人群中，至少有2 个人，他们有相同的朋友数。
2、（8%）若图G 中恰有两个奇数度顶点，则这两个顶点是连通的。
3、（8%）证明在6个结点12条边的连通平面简单图中， 每个面的面数都是3。
4、（10%）证明循环群的同态像必是循环群。
5、（12%）设]1,0,,,,[-+⨯B 是布尔代数，定义运算*为)()(*b a b a b a ⨯+⨯=，求证[B ，*]是阿贝尔群。
四、计算22%1、在二叉树中1） 求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T 。
（5分） 2） 求T 对应的二元前缀码。
（5分）2、 下图所示带权图中最优投递路线并求出投递路线长度（邮局在D 点）。
答案：一、填空（15%）每空3 分1、 6；2、n ；3、2；4、+对·分配且·对+分配均成立；5、a a a a a a =⊕=⊗且。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
第 5 页 共 18 页
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲第一章1、集合的三种表示法：①穷举列表法；例A={a,b,c}；B={1,2,3,……,200}；②特性刻划法；例A={x|x∈I并且I<0}；③由计算规则定义；例设a1=1,a2=2,ai+1=ai+ai-1 S={ak|k>0}。
2、没有元素的的集合称为空集。
3、设A和B是两个集合，A B，表示A中的每个元素都可以在B中找到，称A是B 的一个子集(A被B包含)，如果A中至少有一个元素不属于B，则A B。
4、幂集ρ(s)就是S的所有子集组成的集合(共2S个)，例：S={1,{2,3}}，则ρ(s)={{1},{{2,3}},{1,{2,3}},φ}5、文氏图是一种集合的图形表示。
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 第二章1、笛卡尔积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}，即A到B的所有有序偶构成的集合。
2、(a,b)称为有序偶，若(a,b)= (c,d)，当且仅当a=c，b=d，通常(a,b)≠(b,a)，除非a=b。
3、A到B的二元关系R是A×B的一个子集，R A×B，若R= A×B，称R为全关系，R=φ称为空关系。
4、两个元素的有序偶(x,y)∈R，称x和y具有关系R，例：A上的小于关系定义为：L={(a1,a2)| a1,a2∈A∩a1<a2}。
5、对于每个x∈A，有(x,x)∈R，称R是A上的自反关系；对于每个x,y∈A，如有(x,y)∈R，有(y,x)∈R，则称R是A上的对称关系；对于每个x,y,z∈A，如有(x,y)∈R，并且(y,z)∈R，便有(x,z)∈R，则称R是A上的传递关系；例：A={1,2,3}，R1={(1,1),(2,2),(3,3),…}，R2={(1,2),(2,1),(3,3)}，R3={(1,2),(2,3),(1,3)}，则R1是自反的，R2是对称的，R3是传递的。
《离散数学》课程考试大纲
《离散数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质专业基础课/必修二、考试目标要将抽象的数学知识以学生可以接受的、喜闻乐见的形式传授下去，让学生理解《离散数学》中的基本概念，了解部分定理的证明，掌握部分习题的计算；培养学生严密的逻辑思维、抽象推理以及发散思维能力，力求最终将学生培养成会利用所学数学知识解决生活、生产实际中所遇问题的创造性人才。
三、考试形式与试卷结构（一）答题方式闭卷。
答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。
（二）答题时间90分钟。
（三）基本题型判断、选择题（约40％）；化主（合）析取范式（约10％）；命题翻译（约10％）；包含排斥原理的应用（约10％）；图论作图题（约10％）；偏序关系读图题（约12％）、集合与二元关系、图论证明题（约8％）。
第二部分考查的知识范围与要求第一章命题逻辑范围：1．命题及其表示法 2. 联结词 3. 命题公式与翻译 4. 真值表与等价公式 5. 重言式与蕴含式 6．其它联结词 7. 对偶与范式 8. 推理理论要求：1．掌握命题的定义。
2．掌握五种基本联结词，了解其余四种联结词的定义和基本性质。
3．会证明等价式及蕴含式。
4．掌握范式与主范式的定义，会将给定的命题公式化为范式或者主范式。
5．会进行简单的逻辑推理。
第二章集合与关系范围：1．集合的概念和表示法 2. 集合的运算 3. 容斥原理 4. 序偶与笛卡尔积 5. 关系及其表示 6. 关系的性质 7. 复合关系和逆关系 8. 关系的闭包运算 9. 集合的分划和覆盖 10. 等价关系与商集 11. 序关系 12. 函数与映射 13. 逆函数与复合函数要求：1．掌握集合的定义和基本运算。
2．掌握关系的定义、性质和运算。
3．掌握等价关系和序关系，了解相容关系，会读、会画哈斯图。
4. 掌握映射与函数的定义。
第三章代数结构范围：1．代数系统的概念 2. 二元运算及其性质 3. 广群、半群与独异点 4. 群与子群5．阿贝尔群与循环群要求：1．掌握二元运算的重要性质。
离散数学复习提纲(1-457章)
离散数学复习提纲第一章 命题逻辑1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）(an: 解：（1）真值表)（2因此公式（2）为恒假。
（3因此公式（3）为恒真。
4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。
）5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）（an: 1、证明：（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R= 1 ∨⌝P ∨R= 1（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））=1）6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →(an: 证明：2006年12月离散数学复习提纲 3（1）Q P ∨⌝ 规则P（2）Q P → 规则Q （1）（3）R Q ∨⌝ 规则P（4）R Q → 规则Q （3）（5）R P → 规则Q （2）（4）（6）R →S 规则P（7）P →S 规则Q （5）（6） )7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)（1）A 规则D（2）A ∨B 规则Q （1）（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）（5）D 规则Q （4）（6）F D ∨ 规则Q （5）（7）E F D →∨)( 规则P（8）E 规则Q （6）（7）（9）E A → 规则Q （1）（8））8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P（an: （1）┐Q ∨R（2）┐R（3）┐Q（4）┐（P ∧┐Q ）（5）┐P ∨Q（6）┐P ）9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
离散数学复习大纲
试卷类型一、选择题（10题，每题2分，共计20分）二、填空题（10空，每空2分，共计20分）三、选择题（8题，每空1分，共计8分）四、名词解释（3个，每个4分，共计12分）五、构造推理证明题（1题，计10分）六、计算题（共计30分）求解主析取范式或合取范式、等价关系或偏序关系哈斯图、最小生成树、求解前束范式离散数学的定义第1章数学语言与证明方法主要内容：●集合定义，集合的两种描述方法，空集合的定义与定理及推论，子集、真子集、全集，相等集合，包括0的自然数、有理数、整数、实数集合，集合的元素个数●集合的交、并、补、差、对称差、幂运算（集合的个数）定义，经过括号形成的更为复杂的集合运算，简单的可以通过文氏图来表示。
第2章命题逻辑主要内容：●命题及其真值。
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
●简单命题与复合命题概念，5种联结词的具体涵义、真值表与符号表示，汉语的复合句的那些联结词与它们对应，特别是相容或和排斥或的符号化表示。
●联结词优先级：( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔；同级按从左到右的顺序进行●命题常项、命题变项、合式公式定义，公式的赋值、真值表●命题公式的分类有重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式●等值式的定义，真值表法和等值演算两种判断方法，置换规则●文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的定义●定理：(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定；(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定●定理：(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式；(2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式●定理：任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式●求公式的范式的3个步骤●极小项、极大项的定义，对于每一个最小项只有一种指派使其取1，对于每一个最大项只有一种指派使其取0●定理：设m i与M i是由同一组命题变项形成的极小项和极大项, 则⌝m i ⇔ M i , ⌝M i⇔ m i●主析取范式、主合取范式的定义，求解公式的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式●定理：任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的●求主析取范式的步骤，求主合取范式的步骤，快速求法、主析取范式的用途●命题逻辑推理的推理证明第3章一阶逻辑主要内容：●个体词（个体常项、个体变项）、个体域、全总个体域的定义●谓词（全称量词和存在量词）、n元谓词P(x1, x2,…, xn)的定义，命题的符号化●量词（全称量词和存在量词）、谓词公式、量词的辖域、谓词公式的真值判断、量词的消去等值变换●等值式的定义，5类基本等值式（量词的消去，量词辖域范围的收缩和扩展）●置换规则、换名规则的定义●前束范式的定义，利用量词的辖域的扩张，完成前束范式的求解●定理3.3(前束范式存在定理) 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式第4章关系主要内容：●有序对、笛卡儿积、二元关系、从A到B的关系、A上的关系的定义●A上重要关系●A到B上关系的计数，A上关系的计数●关系的三种表示：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图，后两种的使用限制●定义域、值域、域的定义●关系的运算：逆、合成的定义和表示方法以及简单计算●定理 4.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F-1)-1=F (2) dom F-1=ran F,ran F-1=dom F●定理4.2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)-1=G-1∘F-1●定理4.3 设R 为A上的关系, 则R∘I A= I A∘R = R●定义4.13 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂是 (1) R0 = {<x,x>| x∈A } = I A (2) R n+1 = R n∘R●定理4.4 设 A 为 n 元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 R s=R t.●定理4.5 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) R m∘R n = R m+n (2) (R m)n= R mn●自反性与反自反性, 对称性与反对称性，传递性的定义以及矩阵表示的特征。
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《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学题库及复习资料
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x 为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
离散数学-复习提纲
第4.1节 代数系统
定义：设(A,*)是代数系统，如果对于A中任意 元素a和b，都有a*b = c∈A，则称二元运算*对 于A是封闭的，简称*为封闭运算。 例：
(R，＋)、(R，－)、(R，×)、(R，÷)是封闭 的 (Z，＋)、(Z，－)、(Z，×)是封闭的
(Z，÷)是不封闭的
第4.1节 代数系统
<R, × >, <Q, × > 是群?
第4.3节 群
对于(Nk,k)，情况特别。 ⑴(Nk,k)不是群。因为1是幺元，0没有逆 元。 ⑵k为偶数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=6，364=0。 ⑶k为奇数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=9，396=0。 ⑷k为素数时，(Nk-{0},k)一定是群。
第3.2节 特殊函数
定义：设f是A到B的映射， 若对任意的x,y∈A,x≠y时， 均有 f(x)≠ f(y)，则称f为A到B的单射。 若f(A)=B，则称f是A到B上的满射。 若f既是满射又是单射，则称f为A到B的双射, 或1––1映射，或一一对应。
例：设集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},那么在A 到B中，可以定义多少种不同的单射函数？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 第一行固定， 第二行从B中4个元素取3个做排列，P34。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是代数系统，且*满足： ⑴运算*对于A是封闭的 ⑵运算*是可结合的 ⑶(A,*)含有幺元 则称(A,*)为独异点。
例：代数系统(R,＋)、(Q,＋)、(Z,＋)都是独 异点，即含幺元0的半群。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是独异点，B是A的子集，如果 (B,*)也是独异点，且(A,*)中的幺元也属于 (B,*)。则称(B,*)为(A,*)的子独异点。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲2010-2011-1《离散数学》复习提纲第⼀部分数理逻辑第⼀章命题逻辑基本概念§1.1 命题与联结词1. 命题与真值命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题（原⼦命题），复合命题2. 命题与真值的符号化⽤p，q，r等⼩写英⽂字母表⽰命题，⽤数字1代表真，0代表假。
3. 常⽤联结词及其符号化否定，合取，析取，蕴涵，等价4. 基本复合命题设p，q为命题否定式┐p合取式p∧q析取式p∨q蕴涵式p→q分清逻辑关系、真值以及在⾃然语⾔中对“p→q”的不同的描述⽅法。
等价式p?q5. 复合命题基本复合命题以及多次使⽤常⽤联结词复合⽽成的命题统称为复合命题。
深刻理解5种常⽤联结词的涵义，并能准确地应⽤它们将复合命题符号化。
§1.2 命题公式及其赋值1. 命题常项与命题变项命题常项（简单命题），命题变项（取值为1或0的变量p，q，r……）2. 命题公式与赋值合式公式（也称命题公式或公式），公式的层次，公式的赋值，成真赋值，成假赋值，真值表3. 命题公式的类型重⾔式（永真式），⽭盾式（永假式），可满⾜式4. 判断公式类型的⽅法在本章内主要⽤真值表判断命题公式的类型，进⽽求公式的成真赋值和成假赋值。
理解命题的赋值、成真赋值，成假赋值，重⾔式、⽭盾式、可满⾜式第⼆章命题逻辑等值演算§2.1 等值式1. 等值式若A?B为重⾔式，则称A与B是等值的。
记为A?B2. 基本等值式3. 等值演算由已知等值式推演除新的等值式的过程。
4. 重⾔式与⽭盾式的判别法A为重⾔式当且仅当A?1，A为⽭盾式当且仅当A?0。
§2.2 析取范式与合取范式1. 基本概念⽂字，简单析取式，简单合取式，极⼩项，极⼤项，析取范式，合取范式，主析取范式，主合取范式深刻理解极⼩项、极⼤项的定义、名称、下脚标与成真赋值的关系。
2. 主要定理在命题逻辑中，任何公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯⼀的。
离散数学复习资料试卷习题与答案27876896
离散数学复习资料试卷习题与答案27876896离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ? B且B ? A传递性，对全集、空集的?关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x?A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ?ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为称a为的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，={{a1},{a1,a2}}n>2时，=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = { | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。