中考培优竞赛专题经典讲义最值问题之将军饮马问题

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∵ C( 1 ， 0) ，∴ CN＝ 3﹣ 1 ﹣ 3 ＝ 1，在 Rt△ DNC 中，由勾股定理得： DC＝ 31 ，
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即 PA＋ PC 的最小值是 31 ． 2
【 思考 】
若把题中条件点“ C 的坐标为 ( 1 ， 0) ”改为“点 C 为 OA 边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2
∴ OE＝ 1 OA′＝ 2，A′E＝
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2 ＝2 3 ．
2
∴ AM ＋MP ＋ PN 的最小值为 2 3 ．
【巩固练习】
1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点
上有一点 P，使 PD ＋ PE 的和最小，则这个最小值为
．
E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC
；
(2) 求△ AMN 的周长最小值．
解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N，则 A′A″即为△ AMN 的周
长最小值． ⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠ BAE＝ 120°，∴∠ AA′A″＋∠ AA″A′＝ 60°，
PA＋ PC 最小值又是多少呢？
解答：∵ PA＋ PC＝PC ＋PD＝ CD≥ DN ＝ 3 3 ，∴ PA＋ PC 的最小值为 3 3 ．
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例题 2、某长方体的长、宽、高分别为 4、 3、 5，
(1) 如图 1，点 A、 B 分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点
A 沿长方体侧面爬到点 B，则最短路线
则 Rt△A′HA 中，∵∠ EAB＝ 120°，∴∠ HAA ′＝60°， ∵ A′H⊥ HA，∴∠ AA″H＝ 30°，∴ AH ＝ 1 AA′＝ 1，∴ A′H＝ 3 ， A″H＝ 1＋ 4＝5，
2 ∴ A′A″＝ 2 7 ，
例题 4、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE＝ 1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运动． (1) 求四边形 BMNE 周长最小值；
PQ QE EC CD
PQ 2 4
3
3
由对称性可求得 tan∠MBC ＝ tan∠PDC ＝ 2 ． 3
例题 5 、在平面直角坐标系中，已知点 A( 一 2， 0) ，点 B(0 ，4) ，点 E 在 OB 上，且∠ OAE＝∠ OBA ．如 图，将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ AE′ O′，连接 A' B、 BE' ．当 AB＋ BE' 取得最小值时，求点 E' 的坐标．
【提示】
将△ AEO 向右平移转化为△ AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线， 所以作点 E 关于该直线的对称点 E1，连接 AE1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即 可求出点 E 向右平移的距离．
例题 6、如图，已知正比例函数 y＝ kx( k＞ 0) 的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°，定点 A 的坐标为 (0 ，
A
． ．
E D
BM C
6、如图，在△ ABC 中， AB＝ BC＝ 4， S△ABC＝ 4 3 ，点 P、 Q、 K 分别为线段 AB、 BC、 AC 上任意一点，
则 PK＋QK 的最小值为
．
7、如图， AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 8，点 M 在⊙ O 上，∠ MAB ＝ 20°， N 是弧 MB 的中点， P 是直径 AB
作 A′E⊥ OD 垂足为 E，交 y 轴于点 P，交直线 y＝ kx 于 M ，作 PN⊥直线 y＝ kx 垂足为 N，
∵ PN＝ PE， AM＝ A′M ，∴ AM ＋PM ＋ PN＝ A′M ＋ PM＋ PE＝A′E 最小 ( 垂线段最短 ) ，
在 RT△ A′EO 中，∵∠ A′EO＝ 90°， OA′＝ 4，∠ A′OE＝ 3∠ AOM ＝ 60°，
旋形花圈的长至少
米．
答案： (1) (2) (3)
74 221 1789
(4) 9 2 16
例题 3、如图，在五边形 ABCDE 中，∠ BAE＝ 120°，∠ B＝∠ E＝ 90°， AB＝ BC＝ 1，AE ＝DE ＝2，在
BC、 DE 上分别找一点 M 、 N．
(1) 当△ AMN 的周长最小时，∠ AMN ＋∠ ANM ＝
由三角形面积公式得： 1 × OA× AB＝ 1 × OB× AM ，∴ AM ＝ 3 ，∴ AD ＝ 2× 3 ＝ 3，
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∵∠ AMB ＝ 90°，∠ B＝ 60°，∴∠ BAM＝ 30°，∵∠ BAO＝ 90°，∴∠ OAM ＝ 60°，
∵ DN ⊥OA ，∴∠ NDA＝ 30°，∴ AN＝ 1 AD＝ 3 ，由勾股定理得： DN＝ 3 3 ，
则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，
当 BM ＋ EN＝BM＋ FM ＝ BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小，
由∠ FEQ ＝∠ ACB＝ 45°，可求得 FQ ＝ EQ＝ 1，
∵∠ DPC ＝∠ FPQ ，∠ DCP ＝∠ FQP ，∴△ PFQ ∽△ PDC ，
∴
PQ
＝ PQ ，∴ PQ ＝ 1 ，解得： PQ＝ 2 ，∴ PC＝ 8 ，
基本结论：
①△ A1OA2 必为等腰三角形，且腰长等于线段 ②∠ A1OA2＝ 2∠ MON ．
OA 的长．
四边形 ABPQ 周长最小的模型，最小值即为线段 AB＋ A' B' 的长度和．
【 模型拓展 4】 问题：求 AB ＋ BC＋CD 的最小值问题
解析：作点 A 关于 ON 的对称点 A' ，点 D 关于 OM 的对称点 D ′，连接 A' D ′，最小值即为线段 A' D ' 的长度． ( 作点 A 和点 D 的对称点的过程中，也可以直接将 OM 、 ON 整个对称过去，使得图形更加完整 )
．
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解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP ，过 D 作 DN⊥ OA 于 N，
则此时 PA＋ PC 的值最小，
∵ DP ＝ PA，∴ PA＋ PC＝ PD＋ PC＝ CD，∵ B(3 ， 3 ) ，∴ AB＝ 3 ， OA＝ 3，
∵ tan∠ AOB＝ AB ＝ 3 ，∴∠ AOB＝ 30°，∴ OB＝2AB＝ 2 3 ， OA 3
将 A 点向右平移 MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为
MN ＋ A2B
【例题讲解】
例题 1、如图，在平面直角坐标系中， Rt△ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (3 ， 3 ) ，

点 C 的坐标为 ( 1 ， 0) ，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为
4) ， P 为 y 轴上的一个动点， M 、 N 为函数 y＝ kx( k＞ 0) 的图像上的两个动点，则 AM ＋ MP ＋ PN
的最小值为
．
解：如图所示，直线 OC、 y 轴关于直线 y＝ kx 对称，直线 OD、直线 y＝ kx 关于 y 轴对称，点 A′是点 A 关
于直线 y＝ kx 的对称点．
最值问题之将军饮马问题
最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在 压轴位置。 模型讲解 【 基本模型 】
问题：在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋ PB 的值最小 解析：连接 AB，与直线 l 交点即为点 P( 两点之间线段最短 ) 【 拓展模型 1】 问题：在直线 / 上找一点 P，使得 PA＋ PB 的值最小
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm．
10、如图，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为 (1 ， 3 ) ，动点 D 、E 分别在射线 OC、 OB
上，则 CE＋DE ＋DB 的最小值是
．
11、如图，点 A( a， 1) 、B( － 1， b) 都在双曲线 y＝－ 3 ( x＜ 0) 上，点 P、 Q 分别是 x 轴、 y 轴上的动点， x
当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是
．
y
B
A P
Q
O
x
12、如图，点 P 是∠ AOB 内任意一点， OP＝ 5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△
PMN 周长的最小值是 5cm，则∠ AOB 的度数是
∠AA′A″＝∠ A′AM，∠ AA″A′＝∠ EAN，∴∠ CAN＝ 120°－∠ AA ′A″－∠ AA″A′＝ 60°， 也就是说∠ AMN ＋∠ ANM ＝ 180°－ 60°＝ 120° . ⑵过点 A′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，
∵ AB＝ BC＝ 1，AE＝DE ＝ 2，∴ AA′＝ 2BA＝ 2，AA ″＝ 2AE＝ 4，
思维转化：将线段 AB 移动，点 P 不动，理解为线段 AB 不动，点 P 在直线 CD 上移动，将模型转化为 最基本模型
【 模型拓展 3】 问题：∠ MON 内一定点 A，点 P、 Q 分别为 OM 、 ON 上的动点，求△ APQ 周长的最小值．
解析：点 A 作关于 ON 和 OM 的对称点 A1、 A2，，连接 A1A2，与 ON、 OM 交点即为 Q、P，线段 A1A2 的长 度即为△ APQ 周长的最小值．
解析：点 A 作关于 l 的对称点 A' ，连接 BA' ，与直线 l 的交点即为点 P，此时 PA＋ PB 的最小值即为线段 BA′的长度．
【 练习 】 1、尺规作图：在直线 MN 上找一点 P，使得∠ APN＝∠ BPN ． ( 保留作图痕迹 )