南通2017届高三数学最后一卷

南通市2017届高三最后一卷

数 学 2017.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．

上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上． 1．已知集合{}|11=-<≤A x x ，{}|02=<≤B x x ，则=U A B ▲ ． 2．设复数()2

2=+z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．

3．根据如图所示的伪代码，当输入x 的值为e （e 为自然对数的底数）时，则输出的y 的值为 ▲ ．

4．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为 ▲ ．（选填“甲”或“乙”）

5． 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=75°，B=45°，

c=b 的值为 ▲ ．

6．口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球. 先从口袋中摸出1

只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐进线方程为=±y x ，且它的一个焦点与抛物线28=x y 的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．

8．已知函数()=y f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，且当(),0∈-∞x 时，()12=-x f x ，则当()0,∈+∞x 时，()f x 的解析式为()f x = ▲ ．

9．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E 、F 、F 1 、E 1，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 ▲ ．

10．如图，△ABC 中，M 是中线AD 的中点，若2=u u u r AB ，3=u u u r AC ，0

60∠=BAC ，

则⋅u u u u r u u u u r AM BM 的值为 ▲ ．

（第3题图）

8 1 9 9 1 2 3 7

甲 乙 （第4题图）

2 5

3 3 5

11．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=4，a 3=10，若{ a n+1－a n }是等比数列，则10

1==∑i i a ▲ ．

12．已知,∈a b R ，>a b ，若22240---=a ab b ，则2-a b 的最小值为 ▲ ．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为 ▲ ．

14．设函数()()21=---++f x x a x a x x a （a <0）,若存在[]01,1∈-x ，使()00≤f x ，则a 的取值范围为

▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知向量(sin ,1),),22

x x

m n ==u r r 函数()f x m n =⋅u r r

（1） 求函数()f x 的最小正周期 （2） 若22(),33f απ-=求(2)3

f π

α+的值

16、（本小题满分14分）

在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，0

90BAD ADC ∠=∠=，22DC AB AD ==，

BC PD ⊥，E ，F 分别是PB ，PC 的中点。

求证：（1）PC //平面DEF （2）平面PBC ⊥平面PBD

17、（本小题满分14分）

为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分），以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系

xoy （如图所示）

。景观湖的边界线符合函数1

(0)y x x x

=+>模型，园区服务中心P 在x 轴正半轴上，4

3

PO =百米。

（1） 若在点O 和景观湖边界线上一点M 之间修一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； （2） 若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短。

C

A

P

y

x O E

G

A

B

C

F

D

P

18、（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率是e ，D 为右准线上一点

（1） 若1

2

e =，点D 的横坐标为4，求椭圆的方程； （2） 设斜率存在的直线l 经过点3(,0)4

a

P ，且与椭圆交于A ，B 两点。若,OA OB OD DP l +=⊥u u u r u u u r u u u r ，

求椭圆离心率e 的取值范围

19、（本小题满分16分）

设区间[3,3]D =-，定义在

D

上的函数3

()1(0,)f x ax bx a b R =++>∈，集合

{|,()0}A a x D f x =∀∈≥

（1） 若1

6

b =

，求集合A （2） 设常数0b <

① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅

20、（本小题满分16分）

已知数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ，且22

112n n a n S λλ+--=，λ为正常数

（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 记*11,(,,22)n n n n n k n

S b c k n N k n a S S -=

=+∈≥+