抛物线与x轴的交点-初中数学习题集含答案

抛物线与x 轴的交点（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2019秋•西城区期末）下列关于抛物线的说法正确的是 A ．抛物线的开口方向向下B ．抛物线与轴交点的坐标为C ．当时，抛物线的对称轴在轴右侧D ．对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点2．（2020春•海淀区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点 ，点 ，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是 A ．3 BC ．D ．5二．填空题（共8小题）3．（2019秋•朝阳区期末）抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为 ．4．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为 ；若，分别为方程和的解，则，的大小关系是 ．22y x bx =+-()y (0,2)0b >y b x 2815y x x =-+x A B x C D (0,2)-E (0,6)-P 90DPE ∠=︒M PB CM CM ()72223y ax ax =--x (,0)m (,0)n m n +2(3)y x x =-3y x =-2(3)3x x x -=-m n 2(3)1x x -=31x -=m n5．（2020春•海淀区校级月考）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象不经过第三、四象限；乙：当时，随的增大而减小；丙：函数有最小值；丁：当时，．已知这四位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．6．（2020春•海淀区校级月考）二次函数（其中，，与轴的交点的横坐标分别为和（其中，则与的大小关系为 ．（填汉字“大于”或“小于”．7．（2020春•海淀区校级月考）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是 ．8．（2019秋•通州区期末）已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为 ．9．（2019秋•大兴区期末）已知抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，，则方程的解是 ．10．（2019秋•石景山区期末）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•昌平区期末）已知二次函数．（1）将二次函数化成的形式；1x <y x 1x ≠0y >()()y a x x αβ=--αβ<0)a >()()1y a x x αβ=--+x m n )m n <n βn β)287y ax x =+-x a x 24y ax bx =++x 20ax bx +=2(0)y ax bx c a =++≠x (3,0)-(2,0)20(0)ax bx c a ++=≠26y x x m =++x m 223y x x =--+2()y a x h k =-+（2）在平面直角坐标系中画出的图象；（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．12．（2019秋•昌平区校级期末）根据下列条件求关于的二次函数的解析式（1）图象经过，，，（2）当时，；时，，时，（3）抛物线顶点坐标为且通过点13．（2019秋•石景山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．（1）直接写出点，，的坐标；（2）画出这个函数的图象．14．（2019秋•西城区期末）下面给出六个函数解析式：，，，，，． 小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：223y x x =--+0y >x x (01)(10)(30)1x =0y =0x =2y =-2x =3y =(1,2)--(1,10)xOy 223y x x =--x A B A B y C P A C P 212y x=21y +21||2y x x =--223||1y x x =--22||1y x x =-++23||4y x x =---（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如： ，其中为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个 所有正确结论的序号是 ；（4）结合函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．15．（2019秋•东城区期末）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：0 1 2根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出的值和该二次函数图象的对称轴；（2）写出关于的一元二次方程的根；（3）若，求此二次函数的解析式．y =x xOy 22||1y x x =-++y (x m m >y x x m <-y x x x 22||1x x x k -++=-+2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x y x ⋯2-1-⋯2y ax bx c =++⋯t m 2-2-n ⋯c x 2ax bx c t ++=1m =-抛物线与x 轴的交点（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019秋•西城区期末）下列关于抛物线的说法正确的是 A ．抛物线的开口方向向下B ．抛物线与轴交点的坐标为C ．当时，抛物线的对称轴在轴右侧D ．对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：、由于中，所以该抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．、令，则，所以抛物线与轴交点的坐标为，故本选项不符合题意．、当时，与的符号相同，则抛物线的对称轴位于轴的左侧，故本选项不符合题意．、由于△，所以该抛物线与轴有两个公共点，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（2020春•海淀区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点 ，点 ，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是 22y x bx =+-()y (0,2)0b >y b x A 22y x bx =+-10a =>B 0x =2y =-y (0,2)-C 0b >a y D 280b =+>x D x 2815y x x =-+x A B x C D (0,2)-E (0,6)-P 90DPE ∠=︒M PB CM CM ()A ．3 BC ．D ．5【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到点为的中点，再根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于，此时的最大值为7，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【解答】解：解方程得，，则，抛物线的对称轴与轴交于点，点为的中点，，点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为，，的半径为2，延长交于，此时最大，最大值为，连接，是线段的中点，为为中位线，，的最大值为． 故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．二．填空题（共8小题）7228150x x -+=(3,0)A C AB P DE Q (4,0)-5AQ =Q e AQ Q e F AF AP 12CM AP =CM 28150x x -+=13x =25x =(3,0)A Q x C C ∴AB 90DPE ∠=︒Q ∴P DE Q (4,0)-5AQ ==Q e AQ Q e F AF 257+=AP M Q PB CM ∴ABP ∆12CM AP ∴=CM ∴72C x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x3．（2019秋•朝阳区期末）抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为　2　．【分析】根据根与系数的关系解答即可．【解答】解：抛物线与轴交于两点，分别是，，． 故答案是：2．【点评】考查了抛物线与轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根与系数的关系求得答案．4．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为　3　；若，分别为方程和的解，则，的大小关系是 ．【分析】利用图象，通过函数的图象与函数的图象的交点个数判断方程的解的个数；利用函数和的图象与直线的交点位置可判断、的大小关系．【解答】解：函数的图象与函数的图象有3个交点，则方程的解有3个； 方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标，的解为一次函数与直线的交点的横坐标，如图，由图象得．223y ax ax =--x (,0)m (,0)n m n +Q 223y ax ax =--x (,0)m (,0)n 22a m n a-∴+=-=x 2(3)y x x =-3y x =-2(3)3x x x -=-m n 2(3)1x x -=31x -=m n 2(3)y x x =-3y x =-2(3)3x x x -=-2(3)y x x =-3y x =-1y =m n 2(3)y x x =-3y x =-2(3)3x x x -=-2(3)1x x -=1y =31x -=3y x =-1y =m n <故答案为3，．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．会利用图象的交点的坐标表示方程或方程组的解．5．（2020春•海淀区校级月考）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象不经过第三、四象限；乙：当时，随的增大而减小；丙：函数有最小值；丁：当时，．已知这四位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．【分析】根据二次函数的性质得到，△，再利用当时，可判断抛物线的顶点坐标为，然后取一个正数可得到一个满足条件的二次函数解析式．【解答】解：函数图象不经过第三、四象限，，△，当时，，抛物线的顶点坐标为，当取1时，对应的抛物线解析式为．故答案为．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6．（2020春•海淀区校级月考）二次函数（其中，，与轴的交点的横坐标分别为和（其中，则与的大小关系为　小于　．（填汉字“大于”或“小于”．【分析】按照二次函数与轴的交点坐标、及的图象整体向上平移一个单位之后其与轴的交点的情况，可得答案．m n <x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x 1x <y x 1x ≠0y >2(1)y x =-0a >0…1x ≠0y >(1,0)a Q 0a ∴>0…Q 1x ≠0y >∴(1,0)a 2(1)y x =-2(1)y x =-x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x ()()y a x x αβ=--αβ<0)a >()()1y a x x αβ=--+x m n )m n <n βn β)()()y a x x αβ=--x 0a >()()1y a x x αβ=--+x【解答】解：二次函数与轴的交点坐标为：，二次函数开口向上的图象由整体向上平移一个单位，与轴的交点的横坐标分别为和（其中与的大小关系为：故答案为：小于．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点坐标问题及二次函数平移之后的交点变化问题，明确二次函数的相关性质是解题的关键．7．（2020春•海淀区校级月考）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是　且　． 【分析】直接利用根的判别式进行计算，“图象和轴有交点”说明△，．【解答】解：二次函数的图象和轴有交点，△，，其中． 故答案为：且． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，易错点是漏掉，主要考查的是根的判别式的应用．8．（2019秋•通州区期末）已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为　0或　．【分析】由图可知可以看作是函数的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与轴的交点个数进行解答Q ()()y a x x αβ=--x (,0)α(,0)β0a >Q ∴()()y a x x αβ=--()()1y a x x αβ∴=--+()()y a x x αβ=--αβ<Q ()()1y a x x αβ=--+x m n )m n <m n αβ∴<<<n ∴βn β<x 287y ax x =+-x a 716a -...0a ≠x 0...0a ≠Q 287y ax x =+-x ∴2464280b ac a =-=+ (716)a ∴-…0a ≠716a -…0a ≠x 0a ≠x 24y ax bx =++x 20ax bx +=3-2y ax bx =+24y ax bx =++x【解答】解：抛物线与轴的交点为，，关于的方程的根是，，对称轴是直线 又将抛物线的图象向下平移4个单位而得到抛物线，抛物线与轴的交点坐标是、．关于的方程的根为 0或．故答案是：0或．【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．9．（2019秋•大兴区期末）已知抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，，则方程的解是　，　．【分析】根据抛物线与轴的交点的意义得到当或时，，即可得到方程的解．【解答】解：抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，，当或时，，即方程的解为，．故答案为，．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：抛物线与轴的交点的意义就是当取交点的横坐标时，函数值等于0，即方程的解为交点的横坐标．10．（2019秋•石景山区期末）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　9　．【分析】利用△决定抛物线与轴的交点个数得到△，然后解关于的一次方程即可．【解答】解：根据题意得△，解得．故答案为9．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题可转化为解关于的一元二次方程．对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•昌平区期末）已知二次函数．Q x (4,0)-(1,0)∴x 240ax bx ++=14x =-21x =32x =-Q 24y ax bx =++2y ax bx =+∴2y ax bx =+x (0,0)(3,0)-∴x 20ax bx +=3-3-x 2(0)y ax bx c a =++≠x (3,0)-(2,0)20(0)ax bx c a ++=≠13x =-22x =x 3x =-2x =0y =20ax bx c ++=Q 2(0)y ax bx c a =++≠x (3,0)-(2,0)∴3x =-2x =0y =20ax bx c ++=13x =-22x =13x =-22x =2(0)y ax bx c a =++≠x x x y 20ax bx c ++=26y x x m =++x m 24b ac =-x 2640m =-=m 2640m =-=9m =x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠24b ac =-x 223y x x =--+（1）将二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出的图象；（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，再确定抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）；（2）抛物线的顶点坐标为，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，；如图，2()y a x h k =-+223y x x =--+0y >x 2230x x --+=x (3,0)-(1,0)y x 223y x x =--+2(211)x x =-++-2(1)4x =-++(1,4)-0x =2233y x x =--+=y (0,3)0y =2230x x --+=11x =23x =-x (3,0)-(1,0)（3）．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．12．（2019秋•昌平区校级期末）根据下列条件求关于的二次函数的解析式（1）图象经过，，，（2）当时，；时，，时，（3）抛物线顶点坐标为且通过点【分析】（1）根据交点式设二次函数的解析式为：，把代入可得结论；（2）设二次函数解析式为一般式，，是常数，，借助于方程组求系数的值；（3）根据顶点坐标和图象上一点坐标，所以设二次函数解析式为顶点式方程：，，是常数，，将点代入可得结论．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：，把代入得：，， ； （2）设二次函数解析式为一般式，，是常数），31x -<<x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x x (01)(10)(30)1x =0y =0x =2y =-2x =3y =(1,2)--(1,10)(1)(3)y a x x =--(0,1)2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠2()(y a x h k a =-+h k 0)a ≠(1,10)(1)(3)y a x x =--(0,1)31a =13a =∴2114(1)(3)1333y x x x x =--=-+2(y ax bx c a =++b c则，解得：， ； （3）设二次函数的解析式为：，把点代入得：，，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．13．（2019秋•石景山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．（1）直接写出点，，的坐标；（2）画出这个函数的图象．【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与轴、轴的交点，将题目中的函数解析式化为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；（2）根据（1）中求得的各点的坐标，可以画出该函数的图象．【解答】解：（1）二次函数，当时，，；当时，；该函数的顶点坐标是，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为， 点的坐标为，点，点；（2）如右图所示．02423a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴213222y x x =+-2(1)2y a x =+-(1,10)4210a -=3a =223(1)2361y x x x ∴=+-=++x xOy 223y x x =--x A B A B y C P A C P x y Q 2223(1)4(3)(1)y x x x x x =--=--=-+∴0y =13x =21x =-0x =3y =-(1,4)-Q 223y x x =--x A B A B y C P ∴A (1,0)-(0,3)C -(1,4)P -【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．14．（2019秋•西城区期末）下面给出六个函数解析式：，，，，，． 小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：　，，是常数，　，其中为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小x 212y x=21y +21||2y x x =--223||1y x x =--22||1y x x =-++23||4y x x =---y =2||(ax b x c a ++b c 0)a ≠x xOy 22||1y x x =-++y (x m m >y x x m <-y x④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个 所有正确结论的序号是 ；（4）结合函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．【分析】（1）观察这些函数解析式，它们都具有共同的特点，即可以表示；（2）用描点法将这个函数的图象补充完整即可；（3）观察图象即可得结论；①函数图象关于轴对称；②有些函数既有最大值，或有最小值；③存在某个函数，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个；（4）观察函数图象即可得结论．【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：，，，是常数，故答案为：，，，是常数，．（2）图象如图1所示．（3）观察图象可知：①函数图象关于轴对称，正确；②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；③存在某个函数，，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，正确； ④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．故答案为①③．x x 22||1x x x k -++=-+y (x m m >y x x m <-y x x 2||y ax b x c =++(a b c 0)a ≠2||y ax b x c =++(a b c 0)a ≠y 212y x =(x m m >y x x m <-y x x（4）观察图2可知，关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为，0．故答案为，0．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的最值，解决本题的关键是准确画出函数图象并根据图象回答问题．15．（2019秋•东城区期末）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：0 1 2根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出的值和该二次函数图象的对称轴；（2）写出关于的一元二次方程的根；（3）若，求此二次函数的解析式．【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与轴的交点，即可求得的值； （2）根据二次函数的对称性即可求得；（3）根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数的图象过点，，对称轴为直线，； （2）根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根； x 22||1x x x k -++=-+1-1-x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x y x ⋯2-1-⋯2y ax bx c =++⋯t m 2-2-n ⋯c x 2ax bx c t ++=1m =-y c 2y ax bx c =++(0,2)-(1,2)-∴01122x +==2c =-(2,)t -12x =(3,)t 2-x 2ax bx c t ++=（3）若，则抛物线经过点，，，代入得，解得， 此二次函数的解析式为． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．1m =-(1,1)--(0,2)-(1,2)-2y ax bx c =++122a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12122a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴211222y x x =--。