大学高等数学人大版课后习题答案

★★★15．求由柱体
x 2 y 2 a 2 与 x 2 z 2 a 2 相贯部分的体积。
思路：由立体图形的对称性可知所求体积为第一象限内体积 V1 的 8 倍，用垂直于 x 轴的平行截面截 V1 ，
可得截面面积
A( x) ，以此计算体积 V1 ，见图 6-15
z
0
x
y
x
图 6-15
a
S D2
由 SD
1
a 1 a 0
y 2 2 3/2 1 a 2 2 ( 1 y )dy ( (1 y )3/2 y ) a 3 3 3 1 a 3 a 0
S D2 ，计算可得 a 3
★★★9．求星形线
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 (a 0) 所围图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积。
y sin x 和 y cos x 所围成的平面图形的面积。
解： S

2
0
sin x cos x dx
5 / 4

/4
0
(cos x sin x)dx
/4
(sin x cos x)dx
2
5 / 4
(cos x sin x)dx 4 2
★★★5．求由曲线
x a cos3 t , y a sin 3 t 所围图形面积。
思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域 D1 面积的 4 倍 解： D1 ：
0 xa ，（设 y y ( x) 是星形线函数） 0 y y ( x)
a x a cos3 t y a sin t
/6
/2
9 3 3 3 cos 2 tdt ， 8 3 4
B 3
3 3 2 3 3 4 3 3 ，∴ A / B 3 4 3 4 8 3 3
1 1 2 y 1 和 x 2 y 2 1 公共部分的面积。 3 3 1 2 2 思路：由图形的对称性可得所求面积是 x 0 和 y x 及 y x 1 所围在第一象限内区域 D1 面积 3
★★★3．直线
y x 将椭圆 x 2 3 y 2 6 y 分成两块，设小块面积为 A ，大块面积为 B ，求 A / B 的
值。
思路：由于 y x 和 x 3 y 6 y 的交点为 (0,0) 及 (3 / 2 , 3 / 2) ， 3 / 2 1 ，因此面积较小的一
2 2
思路：打一个以 y 轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积 V 是由 xoy 坐标面上，如图所示的平面
图形 D1 绕 y 轴旋转而成立体体积的两倍，见图 6-14
D1
D2
y
r
2 1 r2
x
图 6-14
y2 1 和 x r 的交点（ r , 2 1 r 2 解：设圆孔的半径为 r 则在 xoy 面上曲线 x 4
2
），
2 1 r 2 y 2 1 r 2 平面图形由 D1 D2 减 D2 部分组成， D1 D2 ： y2 0 x 1 4
D2 ：
；
2 1 r 2 y 2 1 r 2 0 xr
， V1

2 1 r 2



1, S min 2 1
★★★8．由曲线
y 1 x 2 (0 x 1) 与 x, y 轴围成的区域，被曲线 y ax 2 (a 0) 分为面积为相
等的两部分，求 a 的值，见图 6-8
y
1
y ax 2
D1
1
D2
y 1 x2 x
0 图 6-8
解：两曲线 y 1 x 2 (0 x 1) ， y ax 2 (a 0) 交于：（
S (t ) (t sin t ) sin t sin t [(
比较 S (0) ∴ S max

2
t ) sin t ] (2t
பைடு நூலகம்
2
) cos t 0 ，得 t

4
，

/2
0
sin xdx 1, S ( ) 2 1, S ( ) 1 ， 4 2 2

得到： a
5 3 5 ，因为只有一个驻点，∴可得满足所给条件的 a , b , c 0 。 4 2 4
2
y2 ★★★★14．在由椭圆域 x 1 绕 y 轴旋转而成的椭球体上，以 y 轴为中心轴打一个圆孔，使剩下 4
部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。 知识点：旋转体体积
解：因为抛物线 y ax bx c 过原点，所以 c 0 ，又当 0 x 1 时， y 0 ，所以该抛物线与
2
直线 x
1及 x 轴所围图形的面积 S (ax 2 bx)dx
0
1
a b 1 2 ，得 b (1 a) ， 3 2 3 3
又此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V ( a, b)
总习题六
★★★1．求由曲线
y 2 (4 x) 3 与纵轴所围图形面积。
3/2
思路：曲线 y 2 (4 x)3 ,( x 4) 关于 x 轴对称，又曲线的一条分支 y (4 x)
数，见图 6-1 可知用 y 型或用对称性求图形面积较为简单。
是关于 x 的减函
8
y
0
8
图 6-1
∴S
4S D1 y ( x)dx
0

3
4 a 2 sin 3 t 3cos 2 t ( sin t )dt
/2
0

/2
0
3a 2 (sin 2 2t cos 2t sin 2 2t )dt 2
3a 2 2

/2
0
1 cos 4t 3a 2 dt 2 4
y 轴旋转所得的侧面积在 a ∴V
xb
范围内叠加而成， dV
2xf ( x)dx
2 xf ( x)dx 。
a
b
★★★12．曲线
y ( x 1)(2 x) 和 x 轴围成一平面图形，计算此平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体体
积。
思路：用 y f ( x) 绕 y 轴旋转的旋转体体积求法 解：平面图形为：曲线 y ( x 1)(2 x) ，（ 1 x 2 ）和 x 轴围成
y sin x , 0 x
★★★★7． 设

2
， 问 t 取何值， 右图中阴影部分的面积 S 1 与 S 2 之和 S 最小？最大？
y
S2
sin t
S1
0
t
图 6-7
t
/2
x
解： S1
(sin t sin x)dx, S
0
2

/2
t
(sin x sin t )dx ， S (t ) S1 S 2 ，
0
0
1
2
r
图 6-6
解：
1和 1 cos 相交于 / 2 ，
/2 0 / 2 ，B ： ， A 、 B 两部分组成， A ： 0 1 cos 0 1
∴ D1 由
∴ SD
1 5 2[ (1 cos ) 2 d ] 2 ，左边部分的面积 S D 2 4 2 /2 4 4
1 4
9
u y 5
4
4
4
16 u 2 du
160 2
★★★11．证明：由平面图形
b
0 a x b , 0 y f ( x) 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积为
V 2 xf ( x)dx
a
知识点：元素法的应用 证明：由平面图形 0 a x b , 0 y f ( x) 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积，可看作 y f ( x) 绕
∴V
2x( x 1)(2 x)dx
1
2

2
★★★★13． 设抛物线
当 0 x 1 时，y 0 ， 又已知该抛物线与直线 x 1 y ax 2 bx c 过原点，
及 x 轴所围图形的面积为 1 / 3 ，求 a , b , c ，使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。
2 0

a
进行变量代换， 可得 V
2
0
/2
a 2 sin 6 t 3a cos 2 td cos t 6a 3
/2
0
(1 cos 2 t ) 3 cos 2 td cos t

32 3 a 105
★★★10．求由圆
x 2 ( y 5) 2 16 绕 x 轴旋转而成的环体体积。
部分用 y 型做较简单，见图 6-3
y B
3/2 1
yx A
x
3/2 图 6-3
解：较小部分区域表达为： DA ：

0 y 3/ 2 2 y x 6 y 3y
x 3 cos t y sin t 1
则
A
3/2
0
( 6 y 3 y 2 y )dy


★★★4．求椭圆
x2
的 8 倍，见图 6-4
y
1 2 y x2 1 3
yx
D1
x
图 6-4
解：
0 y 3/2 D1 ： y2 y x 1 3
∴S
8S D1 8
3/2
0
y 3 sin t y2 2 ( 1 y )dy 8 3 6 cos 2 tdt 3 3 0 3 3
a 1 a 1 a ,
1
），
1 0 x D1 : 1 a ; 2 ax y 1 x 2
∴ SD
a 0 y 1 a D2 : 1 y x y a
1

1 1 a
0
(1 x 2 ax 2 )dx
2 3 1 a
2
y2 (1 )dy , V2 r 2 2 1 r 2 1 r 2 4
，
2 1 y2 4 8 2 3/ 2 (1 r ) ，由条件 V 2 (1 )dy ∴ V V1 V2 0 2 4 3 3
可得： 1 r
2

1 2
2/3
r 1 3 1 / 4 2r 4 3 16
解：垂直于 x 轴的平行截面截 V1 ，得截面为长： y
∴
a 0
a2 x2
；宽： z
a2 x2
(ax 2 bx) 2 dx (
0
1
a 2 ab b 2 )， 5 2 3
将b

a 2 a(1 a) 4(1 a) 2 2 4 1 )， V (a) (1 a) 代入可得 V (a) ( a 0， 5 3 27 5 27 3 27
4
x
解：曲线表达为 x 4 y 2 / 3 ，它和 y 轴的交点：（ 0,8 ）
∴S
(4 y 2 / 3 )dy 2 (4 y 2 / 3 )dy 2(32
8 0
8
8
3 5/3 y 5
8

0
128 5
★★★2．求介于直线
x 0, x 2
之间、由曲线
知识点：旋转体体积 思路：由于星形线关于 x、y 轴都对称，因此所求旋转体体积 V 是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形
绕 x 轴旋转一周形成的旋转体积 V1 的两倍
3 3 解：根据旋转体积的公式：V 2V1 2 y dx ，利用星形线的参数方程 x a cos t , y a sin t
思路：可以对照 y f ( x) 绕 y 轴旋转的旋转体体积求法，见图 6-10
x
x 16 ( y 5) 2
y
5 图 6-10 1 0
解：该体积是曲线 x 16 ( y 5) , (1 y 9) 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得体积的两倍
2
∴V
2 2y 16 ( y 5) 2 dy 4 (u 5) 16 u 2 du 20

/2
0
3 sin 2 2td (sin 2t ) a 2 8
★★★6．圆
1被心形线 1 cos 分割成两部分，求这两部分的面积
思路：设分割成的右边图形为 D ，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分 D1 面积的 2 倍，见图
6-6
r 1
D1
r 1 cos