大学高等数学人大版课后习题答案

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人大版线性代数课后习题答案

1 （ 3）计算 (A B) ，并说明其经济意义。
2 58 27 15 4
解：（1） A 72 30 18 5 ， 65 25 14 3
63 25 13 5 B 90 30 20 7 ；
80 28 18 5
（ 2） A B
121 52 28 9 162 60 38 12 ， 145 53 32 8
x1 1 1 1
将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，
100 x
1 1 0 1 x1
10 x0
Ｄ＝
－ x 1 x 1 1 － x0 x 1 1
1x00
11
1 x1
1
1000
将第二个
＝
4
x
。
9、设 A 为 m 阶方阵， B 为 n 阶方阵，且 det A a ， det B b 。如果
an2
0
a1n a2n
0
（因为 n 为奇数，且 | AT|=| A| ），故得 | A|=0 。
5、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，且满足 ABC=E ，则下列各式中哪些必定成立，理由
是什么？
（ 1） BCA=E ；
（ 2） BAC=E ；
（ 3） ACB=E ；
（ 4） CBA=E ；
（ 5） CAB=E 。
第 1章
矩
阵
习题一
(B) 1、证明：矩阵 A 与所有 n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是证明：先证明必要性。若矩阵 A 为 n 阶对角矩阵 . 即令 n 阶对角矩阵为：
A 为 n 阶对角矩阵 .
a1 0 0 a2
A=

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

高等数学课后习题及参考答案(第八章)

高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22ty tx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+=),()tan (2222y x f t y x xy y x t =-+=.3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2-2x +1); 解要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}. (2)y x y x z -++=11;解要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥, 于是有 x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}. (6)22arccos y x z u +=.解要使函数有意义, 必须 x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim y x xyy x +-→;解110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y yx . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim )0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)yxy y x )sin(lim)0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.(2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→. 证明如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x xy y x ;如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x xy y x .因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.8. 函数xy xy z 2222-+=在何处间断？解因为当y 2-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2 -2x =0处, 函数xy x y z 2222-+=间断.9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x . 证明因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+,所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y x xyy x y x .因此 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x . 方法二:证明因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤-+22|0|2222y x y x xy,所以 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8-21. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x xz -=∂∂,233xy x y z -=∂∂.(2)uvvu s 22+=;解 21)(uv v u v v u u u s -=+∂∂=∂∂,21)(vu u u v v u v v s -=+∂∂=∂∂.(3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理 )ln(21xy y y z =∂∂.(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅-⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -=根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz -=∂∂.(5)yx z tan ln =;解 yx y y y x yx x z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂,yx y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222-=-⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz ,]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xyxy xy y ++++=.(7)zy x u =;解 )1(-=∂∂z y x zy x u ,x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂,x x zy z y x x z u z yz y ln )(ln 22⋅-=-=∂∂.(8) u =arctan(x -y )z ;解 zz y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-, zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 2. 设g l T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l .解因为lg l T ⋅⋅=∂∂1π,gg g l g T 1)21(223⋅-=⋅-⋅=∂∂-ππ, 所以 0=⋅-⋅=∂∂+∂∂g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(yx ez +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.解因为2)11(1x ex z yx ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e yz y x ⋅=∂∂+-, 所以 z eeyz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .解因为x x x x f =-+=1arcsin )11()1 ,(,所以 1)1 ,()1 ,(==x f dx d x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？解因为242x x x z ==∂∂,αtan 1)5,4,2(==∂∂xz ,故 4πα=.6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;解 2384xy x xz -=∂∂, 2222812y x x z -=∂∂; y x y yz 2384-=∂∂, 2222812x y y z -=∂∂;xy y x y yy x z 16)84(232-=-∂∂=∂∂∂. (2)xyz arctan =;解 22222)(11y x y x y xy x z +-=-⋅+=∂∂,22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy yz +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +-=∂∂;22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +-=+-+-=+-∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y xz xln =∂∂, y y x z x 222ln =∂∂; 1-=∂∂x xy yz , 222)1(--=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂--y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x , f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0, 所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2, f yz (0, -1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z ,x xy y x z 122==∂∂, 023=∂∂∂y x z ,y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z -=∂∂∂. 9. 验证:(1)nx e y tkn sin 2-=满足22xy k t y ∂∂=∂∂;证明因为nx e kn kn nx e t y t kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne x y tkn cos 2-=∂∂, nx e n x y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 2222--=∂∂,所以 22xyk t y ∂∂=∂∂.(2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r xr -=∂∂-=∂∂, 由对称性知32222ry r y r -=∂∂, 32222r z r z r -=∂∂,因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r -+-+-=∂∂+∂∂+∂∂ rr r r r z y x r 23)(332232222=-=++-=. 习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22yx y z +=;解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分. 解因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12,所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=, 所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x y x ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yxy xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=x xxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明)()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y y e f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂.(2)) ,(zyy x f u =;解1211)()(f yz y x f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂, )()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f zy'⋅-=.(3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f x u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22yz ∂∂. 解令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422, f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1) z =f (xy , y );解令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)(1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=v fx u v f v u f x u f x 2222222vf v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和v f ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(1)1()(vfy y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂=y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=222112232221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2',z y=f1'⋅2xy+f2'⋅x2=2xyf1'+x2f2';z xx=y2[f11''⋅y2+f12''⋅2xy]+2yf2''+2xy[f21''⋅y2+f22''⋅2xy]=y4f11''+2xy3f12''+2yf2''+2xy3f21''+4x2y2 f22''=y4f11''+4xy3f12''+2yf2''+4x2y2 f22'',z xy=2y f1'+y2[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+2xf2'+2xy[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2y f1'+2xy3f11''+x2y2f12''+2xf2'+4x2y2f21''+2x3yf22''=2y f1'+2xy3f11''+5x2y2f12''+2xf2'+2x3yf22'',z yy=2xf1'+2xy[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+x2[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2xf1'+4x2y2f11''+2x3y f12''+2x3yf21''+x4f22''=2xf1'+4x2y2f11''+4x3y f12''+x4f22''.(4) z=f(sin x, cos y,e x+y).解z x=f1'⋅cos x+ f3'⋅e x+y=cos x f1'+e x+y f3',z y=f2'⋅(-sin y)+ f3'⋅e x+y=-sin y f2'+e x+y f3',z xx=-sin x f1'+cos x⋅(f11''⋅cos x+ f13''⋅e x+y)+e x+y f3'+e x+y(f31''⋅cos x+ f33''⋅e x+y)=-sin x f1'+cos2x f11''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e x+y cos x f31''+e2(x+y) f33''=-sin x f1'+cos2x f11''+2e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e2(x+y) f33'', z xy=cos x[f12''⋅(-sin y)+ f13''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y [f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13'+e x+y f3'-e x+y sin y f32'+e2(x+y)f33'=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'-e x+y sin y f32''+e2(x+y)f33'',z yy=-cos y f2'-sin y[f22''⋅(-sin y)+ f23''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y[f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23ts y +=, 证明2222)()()()(tu s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(yu x u ∂∂+∂∂=.又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222yu x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=22222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(22yu x u t t u t t u ∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂. 习题8-51. 设sin y +e x-xy 2=0, 求dxdy.解令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设xy y x arctan ln 22=+, 求dx dy.解令xy y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=, 22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, y x y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x ,F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z , 于是 13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F FF F y z x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明因为vu u v u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu v v u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22x z ∂∂. 解设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z-xy , xye yz F F x z zz x -=-=∂∂, 222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xy z yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ; 解视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂.(3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g x u g xv x vf x u x u f x u 21212)1()( , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx u u sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得dy v v e v dx v v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u u u u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而 1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u , ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u . 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tFy F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=. 证明由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dx dt t f x f dx dy , 移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F t F y F t fD 的条件下 yF t f t F x F t f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1.习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为 ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得y y 2='.。

(完整版)高等数学课后习题答案

习题答案习题1.11.（1）⇒-≥⇒≥+34043x x 4[,)3-+∞（2）()()⇒≠≠⇒--=+-=121222322x x x x x x y 且(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ （3）⇒≤⇒≥-101x x [1,1]- （4）⇒>-+011xx(1,1)- （5）⇒>+≥+0102x x 或(1,0)(0,)-+∞（6）⇒≤≤120x 1[0,]2（7）(,)-∞+∞；（8）,().4x k k Z ππ≠+∈2.（1）[1,1]-；（2）[,1]a a --；（3）[2,(21)],().k k k Z ππ+∈3.（1）不相同；（2）相同；（3）相同；（4）相同.4. 0;;;;.2342ππππ--5.（1）⇒+=-+-2)2()2)(2(x x x x (,2)(2,)-∞+∞；（2）(,).-∞+∞6. 2;6-；()1,112,1x x f x x x +<-⎧+=⎨+≥-⎩；()1,11.,1x x f x x x -<⎧-=⎨≥⎩7.()()2233.x x x x +∆+∆ 8. ()21.x x -9. 偶函数；奇函数；奇函数；非奇非偶函数.10.（1）2,31uy u x ==-；（2）2ln ,1y u u v x ===-；（3）2,cos ,31y u u v v x ===-；（4）21ln ,tan ,2x y u u v v +===；（5）32,arcsin,1y u u v x ===-；（6）1,cos ,2.y u v v w w x ==+==11. ()22,(0,).2aV a x x x =-∈12. 232,[0,].3R h V h H H π=∈习题1.21 ()0lim 1x f x -→=，()0lim 1x f x +→=，()0lim 1x f x →=； ()1lim 2x f x -→=，()1lim 1x f x +→=，()1lim x f x →不存在. 2 略 3=-+=-→12)(25lim x xx f x 14不存在==→x x f x )(lim 22422)(lim 3=-=→x x f x4 （1）21；（2）13-；（3）4；（4）23x ；（5）12；（6）0；（7）3；（8）1；（9）0；（10）32；（11）14；（12）1.2-5 （1）,1x x →∞→；（2）2,x x →±→∞；（3）1,x x →→+∞；（4）,();,().2x k k Z x k k Z πππ→+∈→∈6 （1）0；（2）0；（3）0；（4）0；（5）35；（6）∞；（7）0；（8）0. 7 （1）269x x ++是比3x +高价的无穷小；（2）等价.8 （1）23；（2）1；（3）2；（4）23；（5）1；（6）1；（7）1；（8；（9）2e ；（10）6e ；（11）2e -；（12）1ee ；（13）3e ；（14）.e习题1.31 在12x =处连续；在1x =处不连续；在2x =处连续. 2 （1）1x =-是第二类间断点，无穷间断点；（2）2x =是第二类间断点，无穷间断点；1x =是第一类间断点，可去间断点；（3）0x =是第一类间断点，跳跃间断点；（4）0x =是第一类间断点，可去间断点.3 （1）[2,7]；（2）(,1),(1,2),(2,)-∞+∞；（3）(,0),(0,5)-∞；（4）(,1),(1,).-∞+∞4 略.复习题11（1）偶函数; （2）偶函数; （3）奇函数.2 （1）43;（2）164-;（3）43;（4）4-;（5）1;（6）2a ;（7）12;（8）1e -;（9）ke -;（10）2;（11）1-;（12）0. 3 0,18.a b == 4 1, 2.a b ==-5 ()1lim 2;x f x +→=()1lim 2;x f x -→=-()1lim x f x →不存在. 6 1a =.7 ln 2c =. 8 略. 9 略习题2.11 （1）正确；（2）正确.2 （1）199200x ；（2（3）72x 3 (1,1).4 11(,)24,14y x =-. 习题2.21 （1）732481x x ++；（2）2cos x ；（3）cos sin x x x -；（4）23x x e +；（5）2ln 22x x +；（6）1xe x+； 2 （1）99200(21)x -；（2）22(41)xxx e ++；（3）3cos(3)x π+；（4）sin 2x -; （5）2(2sin cos )xe x x +；（6）221xx +；（7）22sec 2x ；（8）23csc 3x -. 3 （1）10；（2）9sin(31)x -+.习题2.31 22x e ,ln(1)x +,2ln 2x .2 1.00067.3 （1）(2cos )x x dx +；（2）2sec xdx ；（3）()xxe xe dx +；（4）99200(21)x dx -. 4 0.0033..习题2.41 略.2 （1）8；（2）3；（3）0；（4）2.习题2.51 (,)-∞+∞.2 (,0)-∞单增,(0,)+∞单减.3 e ,0.习题2.61 略.复习题 21 (1)x 4-; (2) 32x -; (3) 332x. 2 2ax b +，b ，a b +，0.3 27.4 096=--y x .5 0=x ，32=x . 6 不可导，因为)1()1(+-'≠'f f . 7 可导.8 (1) 16-x ; (2) 1)(-++b a xb a ; (3) 211x x +;(4) 34x x -; (5) xx x 2153+-; (6) x x 262-;(7) )11(21x x +-;(8) )13(21+x x;(9)b a a +;(10) )(2b a x +-; (11) ])([111-+--+++b a b a x b a x x ab .9 (1) 111232++x x ;（2)1ln +x ;(3))1ln (1+-x n x n ;(4)a x ln 21; (5) 2)1(2--x ;(6) 222)1(55x x +-;(7) 2)2(43x -- ; (8) 21)(n n cx b acnx +--; (9) 2)ln 1(2x x +- ; (10)22)1(42x x x+--.10 (1) x x cos ; (2) 2)cos 1(sin cos 1x x x x ---;(3) x x x tan sec )1(2--; (4) xcos 15+; (5)xxx x x x x x 22sin cos sin sin cos -+-; (6) x x x x x x sin ln cos ln sin ++. 11 0=-+πy x . 12 点)1,0(.13 (1) )541)(1(22x x x +++ ; (2) 34-x ;(3) )161120()45()53(42+++x x x ; (4)23511645x x x ++ ; (5)2)3()2)(4(+++x x x ; (6) 22ax x-; (7) 32)1(1x -; (8)a x x ln )1(22+ ;（9) 222a x x - ; (10) )ln 11(21x x +;(11) )1(1x x -; (12) nx n cos ; (13) x x n n cos sin 1-;(14) n n x nx cos 1-;(15) x n x n n )1cos(sin 1+-; (16) 2sin 2cos 232x x -;(17) 2tan 212x;(18)x x csc sin 1=; (19) x x x 1cos 1sin 2-;(20)x x ln 1; (21) 221ax -; (22) x x n n 1cos sin +;(23) 22)sin (cos x x x x +; (24) a x a x a x a x a cot csc tan (sec 222-. 14 (1)241x -; (2)211x +;(3) 212x +;(4) 2221)1(arccos 11x x xx x --+-- ; (5)242arcsin2x x-; (6) 212x - ; (7) 0.15 (1) x y x y --22 ; (2) ax y ay -; (3) 1-y y; (4) yy xe e -1.16 (1)x e 44; (2))1(ln +a e a x x ;(3) 22x xe --;(4) x e e e x---； (5) a a ax x a ln 1+-;(6) x e x121-;(7) )3sin 33(cos x x e x +--; (8) 2222cos )12(-+-++x x x x e e x ;(9) x e x x 1tan 221sec 1⋅-; (10) 2)(4x x e e -+;（11）)1(ln ln +x e xx ; （12）)3cos 33sin 23sin 2(2x x x x x xe x +--.17 (1) )111(112xx x x x --+-; (2) ])9(39112[)3(312322x x x x x x x x --+-+⋅+--; (3) 221)1(xn x x n +⋅++;(4) )()()()(22112121nn a n a a a x a a x a a x a a x a x a x n -++-+-⋅--- . 18 (1) )]21sin[ln(212x x ++-; (2) )ln 1ln (ln )(ln xx x x +; (3) xx e xx xx xe x x x e xex x ++++⋅+++)1(ln 2)1ln 2(221; (4) xxy -; (5) ])()([)()(x f x x x f e x f e e f e ⋅'+⋅';(6) )1(arcsin 112x f x x '--;(7) ))((1-++'e x e x ex e x e f ;(8) )](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'; (9) 2)1(1x +-. 19 略.20 略. 21 略.22 (1) a a n x ln ; (2) nn x n )1()!1()1(1+---; (3) )2cos(x n +π; (4) n m n x n m m m y -++--=)1)(1()1()( ，特别当m 为正整数时，若n m >时，结果与前相同；n m =，!)(m y n =；n m <，0)(=n y .23 (1) 222)1(22x x +- ;(2) x 1;(3)212arctan 2x x x ++;(4) )23(222x xe x +; (5) 32ya -.24 kt ake --；kt e ak -2；ak -；2ak . 25 略.26 (1)0, 1,- 1; (2)0.09,- 0.1,- 0.01;;(3)0.0099,- 0.01,- 0.0001.27 （1) xdx 6; (2) dx xx21--;(3) dx x 2;(4) dx x x 222)1(1-+; (5) dx x x e x)sin (cos +--; (6) dx xx 221-;(7) dx x a 22-;(8) dx y a xb 22- ;(9) dxx x )1(2332--;(10) dx e e x x )2(22--; (11) dx x 2sec 212; (12) dx ye y-2.28 (1) 99.0; (2) 0017.2 ;(3) 01.0;(4) 05.1;(5) 495.0;(6) 7954.0.29 (1)满足,41=ξ; (2) 满足 ,0=ξ; (3) 满足,2=ξ; (4) 满足,0=ξ.30 (1)满足, a 33=ξ;(2) 满足,2ln 1=ξ; (3)满足,3435-=ξ（或3435+=ξ舍去）. 31 略.32 略 . 33 略.34 (1) 2;(2) 1 ; (3) ∞ ; (4) 0 ;(5) ∞;(6) 0;（7）1 ;（8）0 ;（9）21;（10）e ;（11）1;（12）1.35 (1) )1,(--∞∈x ，y 单调递减；),1(∞+-∈x ，y 单调递增 ; (2) ),(∞+-∞∈x ，y 单调递增;(3) )1,0()1,(⋃--∞∈x ，y 单调递减；),1()0,1(∞+⋃-∈x ，y 单调递增； (4) )0,(-∞∈x ，y 单调递增； ),0(∞+∈x ，y 单调递减； (5) ),0()2,(∞+⋃--∞∈x ，y 单调递增；)0,1()1,2(-⋃--∈x ， y 单调递减；(6) )21,0(∈x ，y 单调递减；),21(∞+∈x ， y 单调递增.36 略. 37 略.38 (1) 极大值70==x y ,极小值32==x y;(2) 极大值11==x y ,极小值11-=-=x y ;(3) 极大值2321==x y ; (4) 极小值00==x y ,极大值224-==e y x ;(5)极小值051===-=x x yy ,极大值32118881==x y ;(6) 极大值32==x y ;(7) 极大值00==x y ,极小值35225453-==x y ; (8) 极小值4273==x y . 39 (1) 极大值01=-=x y,极小值323-==x y; (2) 极大值27437==x y ,极小值03==x y ; (3) 极小值2ln 421-==x y;(4) 极小值222ln 21=-=x y .40 (1) 最小值41=±=x y,最大值132=±=x y ;(2) 最小值00==x y ,最大值5ln 2==x y;(3) 最小值00==x y ,最大值21121===-=x x yy ; (4) 最小值00==x y,最大值64==x y.41 底边长6米,高3米. 42 长18米,宽12米. 43 底半径3150π米,高为底半径2倍.44 12次/日, 6只/次. 45 2小时. 46nx x x n+++ 21.（4）上凹，无拐点.48 (1)水平渐近线0=y ;(2)水平渐近线0=y ;(3) 铅垂渐近线0=x ; (4)水平渐近线1=y ，铅垂渐近线0=x ;(5) 铅垂渐近线1-=x ,水平渐近线0=y ; (6) 斜渐近线x y =; (7) 铅垂渐近线0=x ,斜渐近线x y =; 49 略 .习题3.11 略.2 略.3 略.习题3.21 (1) sin 20(1);42x e dx e πππ<<⎰ 1321(2)4(435)16.x x --<-+<⎰2 (1) 1120(1).xdx x >⎰⎰习题3.31(1) ();f x x '=(2) ()x ϕ'=(3)2()sin 2sin ,x x x x ϕ'=- (0)0.ϕ'= 23cos .ydy x dx e =-3 (1)2; (2)2习题3.42 (1)ln 3arcsin ;x x C -+ (2)522;5x x C ++ (3) 322ln ;3x x e x C ---++1(4)arctan ;x C x -++ (5)1(tan cot );4t t C -++ (6).1ln x x a e C a ++3 1).y =习题3.51 (1)81(23);16x C --++ (2)1cos();t a C ωω-++;C +210(4);2ln10x C + (5);C + (6)21ln 32.4x C --+ 211(7)(13);6x C --++ 21(8);4C -+ ()319;3e x C --+(10);C + ()322(11)ln ;3x C + (12)ln ln ;x C +(13)ln arcsin;2x C + (14)2cot ;C - (15)31sin sin ;3x x C -+(16);C + (17)arctan ;x e C + (18)31tan tan ;3x x C ++(19)(arcsin ;C + (20) 11ln.43xC x++-2 ()()()53222211111;53x x C ---+ ()(22ln 1;C ++()3ln ;C -+ ()14;2C a +()15;2C + ()16arccos ;C x + ())734;x e C ++ (8) ()8.C +;3π(2);16π (3)2;2π-(4)(5) )21; (6)27.144π 4 略5 ()1arccos ;x x C ()[]2ln ln(ln )1;x x C -+()()21322;x x x C e-+++ ()424;C +()5;x x C ++ ()[]65(cos 22sin 2);10xe x x C -++()27tan ln cos ;2x x x x C +-+ ()[]8sin(ln )cos(ln ).2xx x C -+6 (1) 11;22π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) ()12;5x e -(3) 121;e ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4) 0;(5)35;128π (6) .2π 习题3.6(1);2π (2) 1; (3) ;π (4) 发散.习题3.7125.3 2 18. 3 1.3 4 12.5 45.86 1ln 2.2-7 128.3839 (1) 256; ()2 ()(318ln 2.+310.2π 11(1);2π (2)2.π12 8.5π(13ln 2.+14 22.a π复习题31 ()3311tan ;ln 33x x x C -++()45272333339912;573a x a x a x x C -+-+()()2231311;3x C -+ ()134ln ;52x C x -++()25ln 3;x x C -+()()6ln 1;x x e C -++()2317(31)(2);5x x C +++()218arctan ;21x x C x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭()9arcsin ;x C - (10) ()102sin 4cos ;22x xx C ++()211;x xe C --+ ()12tan lnsin .x x x C -+2 (1) 251ln 26;22-(2)0; (3) 42arctan 2;- (4) 2;2π- (5) ;π (6) 1;84π-()7;3π- (8) 125;e --(9) 62;e - (10) 22.e - 3 (1)1;2π-(2) 1.4 (1) 1; (2) 1.25 .e6最小值为0.7 690.8 2ln 2.y x x =-9 12.e e +-10 ()12.3π+11 15.2π习题 4.11（1）√;（2）×;（3）×;（4）√. 2（1）!;n （2）11(1);21n n ---（3）1;ln(1)n n +（4）2;1n n -+（5）31(1);!n n n --（6）2.2!n x n 3（1）收敛 1;2（2）发散;（3）收敛4;11（4）发散;（5）发散;（6）发散;（7）发散;（8）收敛35;（9）发散. 4 收敛 5.45 .m习题 4.21（1）收敛;（2）收敛;（3）收敛;（4）发散.2（1）收敛;（2）发散;（3）发散;（4）发散;（5）发散;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）收敛.3（1）绝对收敛;（2）绝对收敛;（3）条件收敛;（4）发散;（5）条件收敛;（6）绝对收敛;（7）发散;（8）绝对收敛;（9）绝对收敛.习题 4.3 1（1）(-1,1);（2）(-∞,+∞);（3）[-2,2);（4）[-1,1];（5）(-2,2);（6）(-∞,+∞);（7）{0};（8）[-1,1];（9）[-34,32). 2 (1)21,(1)x -()1,1;x ∈-(2)11ln ,21xx+- ()1,1;x ∈- (3)(1)ln(1),x x x --+[)1,1.x ∈- 习题 4.41201(1),!nn x n ∞=∑(),;x ∈-∞+∞()202(1),nnn x ∞=-∑()1,1;x ∈-()201(1)43,2(2)!n n nn x n ∞=-⋅∑(),;x ∈-∞+∞()21211(1)4,2(21)!n n n n x n ∞--=--∑(),;x ∈-∞+∞()11(1)5,2n n nn x n -∞=-∑(]2,2;x ∈-()06(1)(1),nnn n x ∞=-+∑()1,1;x ∈-()01(1)72,52n n nn n x ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑11,;22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()210(1)8,(21)(21)!nn n x n n ∞+=-++∑(),.x ∈-∞+∞ 2 ()110111(4),23nn n n x ∞++=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑()6,2;x ∈--（2）()20(1)(1)2(1).3n n n n n x ∞+=-+-∑ 3（1）0.156;（2）1.099;（3）3.003;（4）0.946.习题 4.5 1（1）相等;（2）0 , 0 , 2 , n n 2)1(1+-;（3）π , []1)1(22--nn π, 0. 2（1）14sin(21)(),21n An xf x n π∞=-=-∑(),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（2）132sin(21)(),221n n x f x n ππ∞=-=+-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （3）212cos(21)sin ()(1),4(21)n n n x nx f x n n ππ∞=⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（4）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=--∑ ();x -∞<<+∞ （5）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=+-∑ ();x -∞<<+∞ （6）1233()(1)sin ,n n f x nx n n ππ∞=+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （7）21(1)()sin ,19n n nf x nx nπ∞=-=-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （8）18(1)()2sin(21),21n n f x n x n π∞=-=+--∑1,(),.2x x k k Z π⎛⎫-∞<<+∞≠+∈ ⎪⎝⎭习题 4.61（1）2214sin2(1)2()[]sin ,2n n n n xf x n n ππππ∞=-=-∑ (),2,;x x k k Z -∞<<+∞≠∈ （2）11(1)()8sin ,2n n nxf x n -∞=-=⋅∑ (),2,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈(3) 2211cos 2(21)sin 2()[(1)],4(21)n n n x n x f x n n ππππ∞=-=-+--∑ ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,212,; （4）nx nn nx f n n2cos ]2sin)1([11613)(12∑∞=--+=πππ,⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,4)12(,π; 2 ∑∞=--+=1234cos 141232sin 2)(n t n n E t E Ex f ππππ, ()+∞<<∞-x ; 3 ∑∞=---=12sin )1(41)(n n x n n x f ππ, ()22<<-x ; 4 x n n x f n )12sin(121)(1--=∑∞= ()0,≠<<-x x ππ, （1）2π=x ,（2）3π=x ; 5 ∑∞=--+--=1332sin ])1(1)1(34[)(n n n x n n n x f πππ, )210(<<x ; ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n nx n x f π, )210(≤≤x . 习题 4.71 ()∑∞+≠-∞=+=024sin4)(n n x n i e nn ee xf πππ. 复习题41 （1）×;（2）√;（3）√;（4）√;（5）×.2 （1）A;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C.3 （1）收敛;（2）收敛;（3）绝对收敛;（4）发散;（5）当10≤<a 时，发散；当1>a 时收敛;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）发散;（10）发散;（11）收敛;（12）发散.4 （1）x x x x -+-+arctan 2111ln 41 , ()1,1-∈x ;（2）3)1(2x -, ()1,1-∈x ; 5 （1）∑∞=0!)(ln n nn x n a , ()+∞∞-∈,x ;（2）∑∞=121n n n x n , [)2,2-∈x ;（3）∑∞=-+12)!2(4)1(1n nn n x n ,()+∞∞-∈,x ;（4）∑∞=+++-+111)1()1(n n n x n n x ,(]1,1-∈x ;（5）∑∞=-⋅⋅⋅+12!)21(23211n n x n n ()1,1-∈x ; （6）∑∞=+-+-01])1(31[41n nn n x ,()1,1-∈x .6 （1）∑∞=--0)2(2)1(21n nn n x , ()4,0∈x ;（2）∑∞=---11)1(2)1(n n nn x n , ()+∞∞-∈,x . 7 （1）1.3956;（2）0.9848;（3）1.9991;（4）0.4940.8 （1）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=12sin )1()12()12cos(343)(n n n nx n x n x f ππ , ()Z k k x x ∈+≠+∞<<∞-,)12(,π;（2）nx n n x f n n sin 52)1(52)(1∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ππ, ()Z k k x x ∈≠+∞<<∞-,,π; （3）∑∞=--+-=112)12(2sin 123)(n n x n x f π, ⎪⎭⎫⎝⎛∈≠+∞<<∞-Z k k x x ,2,;（4）∑∞=---=122)12(2)12(cos223)(n n x n x f ππ, ()+∞<<∞-x . 9 ∑∞=--=12sin 2)1(2)(n n nx n Ax f π, )2,0(ππ≠≤≤x x ; x n n A A x f n n )12cos(12)1(22)(11---+=∑∞=-π, )2,0(ππ≠≤<x x . 10 ()x n i x n n e n ix f )12(021)12()1(2)(--∞≠-∞=-∑---=π. 习题 5.11（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）二阶.2（1）是；（2）否；（3）否；（4）是. 4 2'y x =. 52dp pk dT T=，其中k 为比例常数. 习题 5.21（1）是；（2）否；（3）否；（4）是；（5）否. 2（1）arcsin arcsin y x C -=；（2）cos xy Ce -=；（3）ln x y e C =-+；（4）Cxy e =；（5）441y x =-；（6）2y x =；（7）21ln 11xy -+=；（8）22y x =;（9）sin ;yCx x= （10） 2yx y Ce =.3 6xy =.4 10102ln 25050t t es ⋅==⋅5 )39/()31000()(33t t t y +⋅= ,500)6(=y （尾）.习题5.31（1）2321x y Ce=-；（2）2211()22xy Ce x x =-++；（3）2121x y Ce =-；（4）()xy e x C -=+；（5）sin ()xy ex C -=+；（6）1(cos )y x C x=-+. 2（1）x a e e ab y x -+=；（2）3(21)y x x -=-；（3）.cos x y x=3 3(1).xy e x =--4 2.a x Cy y=±习题 5.41（1）412;12x y C x C =++ （2）21214x y e C x C =++；（3）212()2xx y x C e C =-+++；（4）12ln y C x C =+；（5）1121C xC y C e -=；（6）12arcsin().x y C C =±++2（1）y =；（2）4(1).2xy =+3 3 1.62x xy =++ 4 23.ty e =-+习题 5.51（2）（3）（6）线性相关,（1）（4）（5）（7）（8）线性无关.习题 5.61（1）312xxy C eC e--=+；（2）2212xxy C e C e =+；（3）212xy C C e =+；（4）212()x y C C x e =+；（5）12cos 2sin 2y C x C x =+；（6）512()xy C C x e -=+；（7）12()xy e C C -=+；（8）1212(cossin ).22x y e C x C x -=+ 2（1）342xxy e e =+；（2）/2(2)x y x e -=+；（3）4xx y ee -=-；（4）23sin 5.xy e x -=3 6sin 2.ts e t -=习题 5.71（1）221211()23xxxy C e C e x x e -=++-；（2）2212(cos sin )2x x x e y C e C e x x =+-+；（3）341215xx x y C eC e e -=++；（4）12cos sin 2(1)xy C x C x x e =++-；（5）12cos sin 2cos y C x C x x x =+-；（6）2212142(cos 2sin 2)()525125xxy e C x C x x x e =+++-；（7）2312(cos 25sin 2).52xxxe y C eC e x x -=+-+2 22cos 2sin 2cos 4.33s t t t =-- 提示：取平衡位置o 为原点，s 轴的正向向下，由牛顿第二定律，物体的运动满足微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-===2,04cos 400200500022t t dt ds s t s dtsd 复习题 51（1）2y x C -=；（2）0ln 33=+x y ；（3）cos sin x y C =；（4）12()xy C C x e-=+；（5）21y x =+；（6）2().y x Ax Bx C =++2（1）A;（2）D;（3）A;（4）C;（5）C;（6）B;（7）A;（8）C;（9）B;（10）B;（11）A （12）C.3（1）21x y Ce =-；（2）6313xx y Cee =-；（3）12()x y e C C -=+；（4）3121(1)4x x x y C e C e x e -=+-+；（5）21268()cos sin .2525xy C C x e x x =++-4（1）24y x =；（2）cos x y x =；（3）(42)xy x e -=+；（4）45511.16416x y e x =-+5 1.xy ex -=+-6 2.4分.7 (1）0.1452017tH e-=+；（2）变为20℃；（3）当日7时36分.习题 6.11（1）133-s ; （2）21+s ; （3）1332+s s ; （4）222+s ; （5）1642+s ; （6）)2(2--s s .2（1）t t u t u sin )]()([π--, 11)]([2++=-s e t f L sπ.（2）)()2(2t u t u --, s e t f L s 12)]([2-=-.（3）)2()1(---t u t u , se e tf L ss 2)]([---=.（4）)()cos ()(cos π-⋅--⋅t u t t t u t , ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-111)]([222s s s se s s tf L s ππ. 3 略4（1） +-+-+=)2()1()()(t u t u t u t f ;（2）[] +-+--⋅=)2()()()(T t u T t u E t u t TEt f ; （3）[] --+--=)2(2)(2)()(b t u b t u t u A t f ;（4） +--+--+=)2sin()2(2)sin()(2sin )()(ππππt t u t t u t t u t f .习题 6.21（1）s -11;（2）)1(31+s ; （3）9124-s ; （4）253382++-s s s ; （5）224s s+; （6）32269s s s +-; （7）1722+-s s; （8）3)7(2-s ; （9）22)9(6+-s s ; 2（1）)100(2002+s s ;（2）362+-s s ;（3）ss s s 223ππ+-;（4）33222+-⋅s s ; （5）443127223+-++-s s s e t;（6）222)4(82+-s s ;（7）9)2(22+--s s ;（8）)25)(1(153222+++s s s ; （9）323)4(242+-s s s ; （10）s s 1arctan 1或⎪⎭⎫ ⎝⎛-s s arctan 21π ;（11）22]9)2[(126+++s s ; （12）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--s ss s e s s ππ222111. 3（1）23)(+=s t y ;（2）)1)(4(1)(2++=s s s t y ;（3）)()(222ωω+=s s t y ;（4）22)(ωω+=s t y .43+s s. 习题 6.31（1）te 2;（2）2321te -;（3）t 5cos 2;（4）t 23sin 31;（5）t t 4sin 454cos 3-;（6）4322416121t t t t -+-;（7）t t 3sin 33;（8）t e t cos 2-;（9）t t e e 2346---. 2（1）t t e e 352123---;（2）tt t e te e --+412141;（3）t e t 23cos 121-+; （4）()t e t t 2212283-++-;（5）t t 52sin 54110sin 1023-;（6）t t e t sin cos 22+-;（7）tte 21+;（8）t t e e 22121--+-; （9）)2cos 42sin 3()2sin 32cos 4(2t t e t t e tt-++-.习题 6.41（1）t e t t y 44343)(--+=;（2）t e t t y )1()(+=;（3）)cos sin 1(21)(t t t y --=; （4）tte e t y 2342)(-+=;（5）t t t t y 24cos 34sin )(++-=; （6）t t t e e e t y 237431)(-+=-. 2（1）⎪⎩⎪⎨⎧==t t e t y e t x )()(;（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--te t y t e t x ttcos )(sin )(.3（1）)1(4)(5tet i --=;（2）)(5)(53t t e e t i ---=;（3）)5sin 5cos (25)(5t t e t i t+-=-. 4 )4(51)(221tt e e t y -+=.5 As s W ρ=)(.复习题61（1）√;（2）×;（3）×;（4）×;（5）√;（6）×.2（1）拉氏, 象, 拉氏逆 , 原象;（2）)(s sF ,)(2s F s ;（3）)(λ-s F , )(a t f -. 3（1）15962+++s s ;（2）13612++-s s s ;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--s ss e s s ππ2222211121;（4）3)3(2-s s . 4（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+3221t t e t;（2）)cos (sin 21t t t +;（3）)3sin 23cos 3(t t e t +-; （4）te t t -+22sin 222cos ;（5）t t e e ---242（6）tt t te e e 2223-+-.5（1）)cos 1()(t e t y t-=-;（2）t t t y 2cos sin 2)(--=;（3）t t t y 3sin 61)(=; （4）t tte ee t y 3232)(+-=.6（1）⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=----tt tt ee t y e e t x 22242)(23)(;（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==tt y t t x 2sin 53)(2cos 51)(.7 RCte RE t i -=)(.8 RCsRCss W +=1)( , )()(T t u e e t u RC Tt RC t R --=--.习题7.11（1）平面平行z 轴；（2）平面过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,38,0且平行于xoz 平面；（3）平面过y 轴；（4）过坐标原点. 2 (0,6,0). 3 表示球心在⎪⎭⎫⎝⎛21,0,21，半径为1的球面. 4（1）012382648333222=++--++z y x z y x ；（2）0112622=++--z y x z .5. （1）14)2()3()1(222=++-+-z y x ;（2）0222=-++z y x .习题 7.21 1，),(2y x f t . 2 yyxy x f +-=11),(2. 3 （1）{}012),(2>+-=x y y x D ;（2）{}0,0),(>->+=y x y x y x D（3） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D ; （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=1),(x y y x D . 4 （1）6π ；（2）41-；（3）0；（4）0. 5 略.6（1）{}02),(2=-=x y y x D ;（2）πk x =或πk y =（k 为整数）.习题7.31（1）;,12yxx y z y y x z -=∂∂+=∂∂ （2）;)(12,)(112222y x yy z y x x z -+-=∂∂-+=∂∂（3）;)cos()()sin(,)cos()()sin(y x y x y x yzy x y x y x x z-+--=∂∂-++-=∂∂（4） ;)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ 2 1.3（1）;812,16,812222222222x y y z xy y x z y x x z -=∂∂-=∂∂∂-=∂∂ （2）.)1(,)ln 1(,ln 22212222---=∂∂+=∂∂∂=∂∂x x x y x x yz y x y y x z y y x z 习题7.41 （1）;sin cos ydy e ydx e dz xx-= （2） ;)11()1(2dy yx dx y y dz -++= （3）;)(1dy dx xye x dz x y--= （4）.)()(2322xdy ydx y x x dz -+-=2 .125.0,119.0-=-=∆dz z习题7.51).cos (sin )cos (sin 2sin ),sin (cos 2sin 2333332y y x y y y x yz y y y x x z +++-=∂∂-=∂∂ 2 .cot )sin ln(2,)sin ln(2223222y yx y x y x y z y x y x y x x z +-=∂∂+=∂∂ 3 ).6(cos 22sin 3t t e t t -- 4.)43(1)21(6232t t t t ---5 z y z x f f y z f f x z '+'=∂∂'+'=∂∂1,1 6 .2cos 2xyy e y x--习题7.61 极大值 (3,2)33f -=, 极小值 .3)0,1(-=f2 极大值 41)21,21(=z . 3 ),(y x 达最大时，总产量为10；max 64;80;(6,4)500.x y p L L =====、4 应做成棱长为3V 的正方体时用料最省.5 当矩形的边长为32p 及 3p时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大. 复习题71 （1）;22≤≤->x y x 且（2）;51)(,)(,1)(,1)(d c b a 无定义 (3) ;1)(,0)(,0)(,0)(2kk d c b a +（4）;21（5）;12)(,3)(,2)(c b a （6）);(31dy dx + （7）;)3()3(222x x e x x x+-+（8）.0),(;0),(),()],([000000200<''<''''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy2 （1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）正确;（5）不正确；（6）在一般情况下，不连续不行.3 ;)1(B ;)2(C ;)3(D ;)4(A ;)5(A ;)6(B ;)7(A .)8(C4 极小值为.1)1,1(-=z5 .52=d习题8.11 23))DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰（（.2 (1) 28I ≤≤；（2）36100I ππ≤≤；（3）02I ≤≤.习题8.21 (1)763；(2) 655；(3) 9；(4) 83；(5) 2e -；(6) 18.2 (1) 4(1)e π-；(2)2ln 214π-；(3) 2364π；(4) 439π-. 习题8.31 (1)163；(2) 83.2 (1) 196π；(2)321)3π. 复习题81 (1) 0; (2) 100π; (3)10(,)ydy f x y dx ⎰; (4) 211(,)yy dy f x y dx -⎰⎰;(5)223cos 04()d f r rdr πθπθ⎰⎰; (6) 0.2 (1) A ; (2) B ; (3) D ; (4) C ; (5) A .3 (1) 2- ; (2)458 ; (3) 11(1)2e-; (4) 94.4 (1) 34π; (2) 26π-; (3) 264π .592. 6 16.习题8.11 （1）4;（2）0；（3）18；（4）-40.2 （1）8;（2）136;3 （1）14;（2）0;（3）120;（4）1;（5）abcde; (6) 1.4 （1）1213x x =-⎧⎨=⎩; （2）123213x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩.5 略.习题8.21 1,2x y =-=-.2（1）304751--⎛⎫ ⎪---⎝⎭; （2）013411⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭. 3 （1）242436-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）3145⎛⎫ ⎪⎝⎭;（3）234355004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭039449198⎛⎫ ⎪-⎝⎭;（4）234355004⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 4 三公司生产成本最少. 5 略.习题8.31（1）是; （2）不是; （3）不是; （4）是.2（1）100220105500111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; （2）110000100001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）1001010100100000⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭;（4）1010010000010000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 3 略.习题8.41（1）3; （2）2 ; （3）3 ; （4）3. 2 有可能存在r 阶子式为零.习题8.51（1）2A =; （2）*111022113A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭; （3）1111222011113222A -⎛⎫-⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 2 （1）23112-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭;（3）1210121002⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）1324411122201⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 3（1）020.615 1.8110.4X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）50291911X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.4 略.习题8.61（1）1211558855001001x c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）x O =（零解）.2（1）121133*********x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）523101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 123,,P P P 分别组装2万只、1万只、3万只.4 略.复习题81 （1）()ab b c -; （2）51.2 413a -<<.3 （1）0;（2）3142531524a a a a a -;（3）()22na b -;（4）()()()1221n n i i b a b a b a b b a b =⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦∑.4 （1）220206372-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭;（2）157524348⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）25105389710⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）0710********⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.5 证明略.6 （1）26101333545--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭; （2）略. 7（1）d b ad bcad bc c a ad bcad bc -⎛⎫ ⎪--⎪- ⎪⎪--⎝⎭; （2）121012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;（3）3500120000230034-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（4）2262617175201310214153--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--- ⎪--⎝⎭. 8（1）1; （2）2; （3）3; （4）2.9 （1）121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; （2）511201x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （3）12221010102001x c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）12311411010001x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）12374130100602100100001x c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6）212x⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭;（7）x O=（零解）; （8）128 1.50050.51001x c c--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10（1）唯一解 ; （2）无解.11 生产过程中的消耗依次为：613元，2169元，974元，1450元.12 总收入分别为824万、853万、800万；总利润分别为193万、201万、188万.13 分别取30kg，20kg，50kg.14 价格因素首先考虑.。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

高等数学中国人民大学答案

高等数学中国人民大学答案出版社高数(第四版)习题1-3答案观察一般项xn如下的数列?xn?的变化趋势，写出它们的极限：；（2）xnn（1）xn（5）xn?13n???1?n1n；（3）xn?2?1n3；（4）xn?n?2； n?2???1?n知识点：数列定义。

思路：写出前几项，观察规律。

解：（1）,131,9127,1???0； 811111,?,,?,??0； 23451111,2?,2?,???2；（3）2?1,2?,2?8276412544441?1?,1?,1?,?1?,??1（4）xn?1?n?2345100（2）?1,（5）?1,；2?3,4,??? 。

★★2．利用数列极限定义证明：（1） lim11?3n3n?2k?0lim?limsinn?0。

（为正常数）；（2）；（3）2n??nkn??4n?1n??4n?2知识点：极限定义。

思路：按定义即可。

证明：（1） lim11?0：对任意给定的正数，要使＊?0???kn??nkn，即??1???n，只要取 ???1?0n??nk1k1??k11??n?????，则对任意给定的??0，当n?n时，就有k?0?? ?????n??，即lim1??k1??（注，只要保证n的取值能够让n以后的所有项的值满足＊式即可，因此n可取大于或等于???????????的整数）；（2）lim1?3n33n?137?：对任意给定的正数?，要使＊????，只要n??4n?144n?144(4n?1)，∴取nn?7?4?16?3n?13?7?4??，则对任意给定的??0，当n?n时，就有??????4n?14?16??，∴lim1?3n3?n??4n?14n?2sinn?0 （3） lim2n??n?2证明：由于n?2n?21sinn?0??n2?2n2?2n?2，因此对任意给定的正数?，要使（计算时为方便不妨设n取nn?2sinn?0??2n?2，只要11??，即n??2?n?2?2，因为前面的有限项对极限无影响），n?2?1????2?，则对任意给定的??0，当n?n时，就有2sinn?0???n?2??n?2sinn?0n??n2?2∴ lim★ 3．设数列1n?cos。

高等数学教材答案中国人民大学

高等数学教材答案中国人民大学高等数学是大学阶段必修的一门学科，对于中国人民大学的学生而言，高等数学的学习是非常重要和必要的。

然而，学习过程中难免遇到一些问题和难题，往往需要参考教材答案来进行自我检查和巩固知识。

下面是针对中国人民大学高等数学教材的一些答案，旨在帮助学生更好地掌握数学知识和解题方法。

第一章函数与极限1.1 函数的概念及其基本性质答案略1.2 极限与连续答案略1.3 无穷小量与无穷大量答案略第二章导数与微分2.1 导数的基本概念答案略2.2 导数的基本运算法则答案略2.3 高阶导数与隐函数求导答案略第三章微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理答案略3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性答案略3.3 函数的极值与最值答案略第四章不定积分4.1 原函数与不定积分答案略4.2 不定积分的性质与基本积分公式答案略4.3 分部积分法与换元积分法答案略第五章定积分与反常积分5.1 定积分的概念与性质答案略5.2 牛顿—莱布尼兹定理与定积分的计算答案略5.3 反常积分答案略通过以上几章的答案解析，希望能够对中国人民大学的高等数学学生们有所帮助。

注意，在使用答案时应遵循正确的学习方法，不能过分依赖答案而忽略自己的思考和理解。

答案只是参考，学生们仍需通过大量的练习和思考，才能真正掌握高等数学的知识与技巧。

总之，高等数学教材答案是中国人民大学学生学习高等数学的重要辅助资料。

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高等数学上册习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类

第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

大一高等数学教材答案人教版

大一高等数学教材答案人教版大一高等数学教材答案-人教版第一章：函数与极限1.习题解答：1）证明：利用数列极限的定义，设有两个数列{a_n}和{b_n}，且满足a_n ≤ x_n ≤ b_n。

由于lima_n = limb_n = A，根据夹逼定理得limx_n = A。

2）计算：题目1：已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(2)的值。

解：将x代入函数表达式，得f(2) = 2^2 - 3×2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。

题目2：已知函数f(x) = 2x^3 - x，求f(-1)的值。

解：将x代入函数表达式，得f(-1) = 2(-1)^3 - (-1) = -2 + 1 = -1。

第二章：导数与微分1.习题解答：1）求导：题目1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。

解：根据函数求导法则，对幂函数按指数减一求导，得f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

题目2：求函数f(x) = (1 - x^2)(1 + x)的导数。

解：利用乘法法则和求导法则，得f'(x) = (1 + x)(-2x) + (1 - x^2)(1) = -2x^2 - 2x + 1 - x^2 = -3x^2 - 2x + 1。

2）求微分：题目1：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求x = 1处的微分。

解：根据微分定义，微分值df = f'(x)dx，代入函数f(x)和x = 1，得df = (3x^2 - 6x + 2)dx = (3 - 6 + 2)dx = -dx。

题目2：已知函数y = sin(x^2)，求dy在x = 0处的微分。

解：根据微分定义，微分值dy = y' dx，其中y'为函数y对x的导数。

对y求导得y' = cos(x^2)2x，代入函数y和x = 0，得dy = (cos(0)2×0)dx = 0。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解

高等数学一第5章课后习题详解课后习题全解习题5-1★★1.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =，x b =()b a >及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义思路：根据求定积分的三步骤做解:将[],a b 分成n 等分,取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间1[(),()]i ia b a a b a n n-+-+-的右端点,则,i b a x n λ-=∆=,i b aa i nξ-=+ 显然, 0,n λ→⇔→∞于是根据定积分的几何意义,该图形面积lim ()nbi i ai A ydx y x λξ→===∆∑⎰ 21lim [()1]nn i b a b aa in n→∞=--=++∑ 22221()lim [12]n n i b a b a b a a ai i n n n →∞=---=+++∑222211()lim [(1)2]nn n i i b a b a b a n a a i i n n n →∞==---=+++∑∑ 22232()(1)()1lim{()[1(1)(21)]}26n a b a n n b a b a a n n n n n →∞-+-=-+++++ 221()11()lim[1()(1)(1)(2)]6n b a b a a a b a n n n→∞-=-++-++++222()()[1]3b a b a a ab a -=-++-+33().3b a b a -=+- ★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义思路：根据求定积分的三步骤做(1)baxdx ⎰()a b <.解:易见函数[](),f x x C a b =∈，从而可积，将[],a b 分成n 等分，则,i b ax nλ-=∆=于是0,n λ→⇔→∞；取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间的右端点，则,0,1,2,,1,ib aa ii n nξ-=+=-所以110lim ()lim ()n n bi i an i i b a b axdx f x a in nλξ--→→∞==--=∆=+∑∑⎰1()lim{[(0121)]}n b ab a na n n n→∞-=-+++++-2(1)()lim[]2n b a n n b a a n →∞--=-+1()lim[(1)]2n b a b a a n→∞-=-+-221()()().22b a b a a b a -=-+=- (2)1ln exdx ⎰解:用分点(0,1,,)i ni x e i n ==划分区间[]1,e ：11,1,2,,i i nni i i x x x e e i n --∆=-=-=，取i ξ是区间右端点，则 ,()ln()ln ,i i nnii i i ix e f e nξξξ=====作和，并取极限得： 1101ln lim ()lim ()i i nnenn i i n n i i i xdx f x e e n ξ-→∞→∞===∆=-∑∑⎰111111lim{[()]}i i i nnn n n n i i i i e e e n n n --→∞==-=-+∑∑11111(1)lim lim (1)i nn n n i n e e e e n n e -→∞→∞=-=-=--∑111(1)lim ()1n n e e n e →∞=--- 记()1x x g x e =-，则当0x →时，()g x 是0型的，由洛必达法则，有 001limlim 11x xx x x e e →→==---从而，当n →+∞时，有111lim11n nn e→+∞=--，故1ln (1) 1.exdx e e =+-=⎰★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)121xdx =⎰.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:等式左边为直线2y x =与x 轴和1x =三条直线所围成的面积，该面积等于11212==等式右边. (2)sin 0xdx ππ-=⎰解: 等式左边为正弦曲线sin y x =与x 轴在x π=及x π=-之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数. 则sin ()0xdx A A ππ-=-+==⎰等式右边★★4.用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:=是以2a b +为圆心，2b a -为半径的上半圆，其面积为：2221()()2228b a b a S r πππ--===由定积分的几何意义知：2().8ab a π-=⎰★★★5.试将和式的极限112limp p pp n n n +→∞+++(0)p >表示成定积分. 知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分解: 112112limlim [()()()]p p p p pp p n n n n n n n nn +→∞→∞+++=+++11lim ()n pn i i n n→∞==∑设()pf x x=，则用定义求解1()f x dx ⎰为：①、等分[0,1]为n 个小区间：11[,], 1,2,, i i ii n x n nn-=∆=②、求和：取区间1[,]i i n n -上的右端点为i ξ，即i i n ξ=，作和：111()n ni i i i i f x nn ξ==∆=⨯∑∑ ③、求极限：011111lim ()lim ()lim ()n nn p pi i n n i i i i i f x nn n n λξ→→∞→∞===∆=⨯=∑∑∑∴1101121lim lim ()p p p n p pp n n i n i x dx n n n+→∞→∞=+++==∑⎰ ★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即1()()ii x i i x f x f x dx ξ-∆≈⎰，若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：111[()()]()2i i x i i i x f x f x x f x dx --+∆≈⎰。

中国人大高等数学教材答案

中国人大高等数学教材答案一、导数及其应用1.1 导数的定义在数学中，导数是描述函数变化率的概念。

给定函数f(x)，在点x 处的导数表示函数在该点的变化速率或斜率。

导数的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示极限中的变化量。

1.2 导数的性质导数具有一些重要的性质，包括：1) 导数的线性性质：若f(x)和g(x)是可导函数，a和b是常数，则有 (af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x)。

2) 函数和它的导数的关系：若函数f(x)在某一点x处可导，则在该点处，函数的增量与自变量的增量之间有以下关系：Δy ≈ f'(x)Δx。

3) 导数的乘法法则：若函数f(x)和g(x)都可导，则有 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

1.3 导数的应用导数在实际应用中有广泛的应用，例如：1) 切线和法线的求解：通过求解导数，可以得到曲线在某一点处的切线和法线。

2) 最值问题的求解：通过求解导数，可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量的值。

3) 函数图像的描绘：通过求解导数，可以确定函数的增减性和凹凸性，进而描绘出函数的整体图像。

二、定积分2.1 定积分的定义定积分是求解曲线下面的面积的一种数学工具。

给定函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的面积，记作∫[a,b] f(x) dx。

2.2 定积分的性质定积分具有以下性质：1) 积分的线性性质：若函数f(x)和g(x)可积，a和b是常数，则有∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x)dx + b∫[a,b] g(x) dx。

2) 积分与导数的关系：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且可导，则有∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)。

高等数学教材课后答案人教版

高等数学教材课后答案人教版高等数学是大学阶段的重要学科之一，对于培养学生的数学思维和逻辑推理能力至关重要。

而课后习题则是巩固知识、检验学习效果的关键。

为了帮助同学们更好地学习高等数学，我整理了人教版高等数学教材的课后答案，供大家参考。

第一章函数与极限1. 函数与映射1) 习题1-1解答：（略）2) 习题1-2解答：（略）2. 一元函数的极限1) 习题2-1解答：（略）2) 习题2-2解答：（略）第二章一元函数的微分学1. 导数与微分1) 习题1-1解答：（略）2) 习题1-2解答：（略）2. 微分中值定理与导数的应用1) 习题2-1解答：（略）2) 习题2-2解答：（略）第三章一元函数的积分学1. 定积分的概念与性质1) 习题1-1解答：（略）2) 习题1-2解答：（略）2. 不定积分与定积分的计算1) 习题2-1解答：（略）2) 习题2-2解答：（略）第四章一元函数的级数1. 数项级数1) 习题1-1解答：（略）2) 习题1-2解答：（略）2. 幂级数与函数展开1) 习题2-1解答：（略）2) 习题2-2解答：（略）第五章二元函数与多元函数的微分学1. 二元函数的概念与性质1) 习题1-1解答：（略）2) 习题1-2解答：（略）2. 多元函数的偏导数与全微分1) 习题2-1解答：（略）2) 习题2-2解答：（略）以上是人教版高等数学教材的部分课后习题及其答案。

希望这些答案能够对同学们的学习有所帮助。

同时也要提醒大家，课后答案仅供参考，在解题过程中要注重思考，避免简单机械地依赖答案。

只有通过自己的思考和实践，才能真正掌握高等数学的知识和方法。

祝愿大家在学习高等数学的道路上取得优异的成绩！希望我的整理对你们有所帮助！。

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