线性代数作业
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线代作业完整版
作业成绩班级 姓名 序号第1次作业 行列式的性质本次作业目的熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。
1. 用行列式性质证明下列等式：(1) 1111111122222223333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23； 证 (2) 2y z z x x y x yz x yy z z x z x y z xx yy z yzx ++++++=+++； 证(3)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++。
证作业成绩班级姓名序号第2次作业行列式展开克莱姆法则本次作业目的熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方程组，讨论方程组的解。
1.1121234134124206D−−=−，求3132342A A A++。
解2. 计算下列行列式：(1) 1111 1111 1111 1111xxyy+−+−；解(2)222b c c a a ba b ca b c+++；解作业成绩班级 姓名 序号第3次作业 矩阵及其运算本次作业目的掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。
1. 计算：(1) ；()123223−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解(2) 111213112312222321332333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠。
解2. 设，求3111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞==⎜⎝⎠αβ⎟，矩阵=A T αβ，其中T α是α的转置，求(为正整数)。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
《线性代数》作业
《线性代数》作业第一章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。
解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。
解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。
解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。
662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。
解：X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。
线性代数作业习题
第一章：行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2：：：：：2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 02 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解：|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式：1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。
所以第一列与第二列互换，得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。
0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算，得出= （-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝15、设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[1 3 2][2－4－1][3－2 0]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数作业及参考答案
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
线性代数作业
线性代数阶段测试1. (判断题) 设A是n阶方阵( n≥2 ), λ∈R ,则| λA |=λ| A | 。
(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：B标准答案：B解析：得分：42. (单选题) 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 ) T ，矩阵A=I−α α T ，B=I+2α α T ，则AB=(本题4.0分)A、0B、−IC、ID、I+ααT学生答案：C标准答案：C解析：得分：43. (单选题) 矩阵( 0 1 1 ?1 2 ,0 1 ?1 ?1 0 ,0 1 3 ?1 4 ,1 1 0 1 ?1 ) 的秩为( )。
(本题4.0分)A、1B、2C、3D、4"学生答案：C标准答案：C解析：得分：44. (判断题) 若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。
(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：B标准答案：B解析：得分：45. (判断题) 下面叙述是否正确？二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：A标准答案：A解析：得分：46. (判断题) 下面描述是否正确？(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：B标准答案：B解析：得分：47. (判断题) 对换行列式的两行, 则行列式变号. ( )(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：A标准答案：A解析：得分：48. (判断题) 如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。
(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：B标准答案：B解析：得分：49. (判断题) A 是n阶方阵，λ∈R ，则有| λA |=| λ|| A | 。
(本题4.0分)A、正确B、错误"学生答案：B标准答案：B解析：得分：410. (判断题) 设A是一个n阶方阵且方程组Ax=0 有非零解，则|A|=0 。
线性代数大作业(修改版)
一、矩阵初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10. 分块矩阵的初等变换二、遗传规律根据遗传学的知识，相对的性质由相对的基因控制，基因有显性和隐性的关系，因而有显性性状和隐性性状，隐性性状的基因在跟显性性状的基因同时存在时得不到表现，但没有消失，而是在子二代中得到表现，这种相对的基因称为等位基因.，在有性生殖的传代过程中，两代间唯一的联系是配子，即卵、花粉或精子.基因在上一代身体细胞里成双存在而在生殖细胞里成单存在.代表某个性状的相对基因以相等的可能性（概率）传给子代，父母双方对后代的遗传是相同的.配子通过受精或授粉成为合子，合子所含的基因又是成双存在了.根据这个规律，如果一个亲本是aa型，另一个亲本是Aa型，后代从aa亲本总是接受一个a基因，以同等的概率从Aa接受一个A基因或a基因，后代所具有的等位基因为Aa型或aa型的概率是相同的.假设某农场的试验中某植物的基因为AA，Aa，和aa，三种基因型植物各占a b c分别表示在第n代作物中三分之一，已知AA型基因属于优良品种.设,,n n nAA，Aa，和aa所占的比例，1,2,n .1．试建立遗传规律；即填下列表格2．为了有利于培养优良品种，试建立以下三种方案的数学模型，即建立,,n n n a b c 与111,,n n n a b c ---之间的关系（用矩阵方法表示）.方案（I ）采用AA 型的植物与每种基因型植物相结合的方法培育植物后代； 方案（II ）采用Aa 型的植物与每种基因型植物相结合的方法培育植物后代； 方案（III ）将具有相同基因型植物相结合的方法培育植物后代.三、矩阵在生命科学中的应用实例在生命科学中，脱氧核糖核酸 (DNA) 是遗传的主要物质基础。
线性代数作业
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==(B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数题(有答案)
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数 课程作业1（共 4 次作业） 学习层次：专升本 涉及章节：第1章 ——第2章1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）21141183---；（2）a b cb c a c a b。
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4 1 3 2； （2）1 4 6 2 3 5。
3.利用行列式性质计算下列各行列式：（1）4124120210520117；（2）ab ac ae bdcd de bf cfef---。
4.用克莱姆法则解下列方程组：12312312320,21,23;x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩5．设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求 32AB A - 及T A B 。
6．计算下列乘积：(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()31,2,321⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；(3)()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。
7．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =。
8．求下列矩阵的逆矩阵：(1)1225⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭。
9．解下列矩阵方程：(1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
参考答案1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）201 141 183---；解201141183--=-2(4)30(1)(1)118⨯-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯0132(1)81(4)(1)-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-248164=-++-=4-。
（2）a b cb c ac a b。
解a b cb c ac a bacb bac cba bbb aaa ccc=++---3333abc a b c=---。
(精选)线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
西安石油大学函授《线性代数》作业全
作业1 行列式矩阵基础运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 BA9B10C11D122 / 25 单选题（4分）正确答案 CA4312B51432C45312D6543213 / 25 单选题（4分）正确答案 C若是5阶行列式中带有正号的一项,则的值是( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶行列式,则在行列式中的符号为( ).A正B负CD5 / 25 单选题（4分）正确答案 B行列式,. 若,则的取值为( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 A设为行列式中元素()的代数余子式,则( ). A0B1C2D37 / 25 单选题（4分）正确答案 A行列式( ).A0B1C2D38 / 25 单选题（4分）正确答案 B 行列式( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 C 排列的逆序数是( ).A10B11C12D1310 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A10B20CD11 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A20B200C2000D2000012 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A30B50C70D9013 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).ABCD14 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A512B1024C1536D204815 / 25 单选题（4分）正确答案 C阶行列式( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 A为阶方阵,为阶单位矩阵,则下面等式正确的是( ). ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 CABCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 C设阶方阵的伴随矩阵为,且,则( ).ABCD19 / 25 单选题（4分）正确答案 BAB,则称为的逆矩阵CD方阵可逆的充分必要条件是20 / 25 单选题（4分）正确答案 B设方阵经若干次初等变换变成方阵,则必成立( ). AB若,则C若,则D21 / 25 判断题（4分）标准排列是偶排列.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）( ) 正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）一个阶行列式与一个阶行列式,必不相等.( )正确错误正确答案错误作业2 矩阵性质向量基本运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 C设和均为阶矩阵,则必有( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 D设均为阶方阵,且,则必有( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 B为阶矩阵,下列运算正确的是( ).AB若可逆,,则CD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C为阶方阵,则( ).A或可逆必有可逆B与都可逆,必有可逆C或不可逆,必有不可逆D与都不可逆,必有不可逆5 / 25 单选题（4分）正确答案 DA非零矩阵的秩必大于零B如果阶方阵可逆,则的秩为C如果可逆,则D如果不可逆,则6 / 25 单选题（4分）正确答案 D设矩阵,且矩阵的秩,则( ). ABCD7 / 25 单选题（4分）正确答案 DA若且,则B若,则或C若,则D若,则8 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为3阶方阵,且,则( ).A1BCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B设是矩阵,且,而,则( ).A1B2C3D410 / 25 单选题（4分）正确答案 B设阶方阵都是非零矩阵,若,则与的秩( ). A必有一个等于B都小于C一个小于,一个等于D都等于11 / 25 单选题（4分）正确答案 A已知,满足,则( ).ABCD12 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知,,则( ).ABCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示,则( ). A当时,向量组Ⅱ必线性相关B当时,向量组Ⅱ必线性相关C当时,向量组Ⅰ必线性相关D当时,向量组Ⅰ必线性相关14 / 25 单选题（4分）正确答案 B向量组的秩为,则必有( ).ABCD15 / 25 单选题（4分）正确答案 A线性相关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 C线性无关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD以上均有可能17 / 25 单选题（4分）正确答案 D维向量组线性无关的充要条件是( ). A中任何两个向量都线性无关B存在不全为零的个数,使得C中存在一个向量不能用其余向量线性表示D中任何一个向量都不能用其余向量线性表示18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组的秩为,则( ).A必有B向量组中任意个数小于的部分组线性无关C向量组中任意个向量线性无关D若,则向量组中任意个向量必线性相关19 / 25 单选题（4分）正确答案 BA不含零向量的向量组一定线性无关B含有零向量的向量组一定线性相关C不含零向量的向量组一定线性相关D含有零向量的向量组一定线性无关20 / 25 单选题（4分）正确答案 C设向量组线性无关,则下列向量组中线性相关的是( ). ABCD21 / 25 判断题（4分）若,则或.( )正确错误正确答案错误22 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）若,且,则有.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若阶方阵的秩为,则的伴随矩阵的秩也为.( )正确错误正确答案正确作业3 向量组的线性相关性方程组可解性判断1 / 25 单选题（4分）正确答案 B设为维向量组,且秩为(),则( ).A线性无关B线性相关C任一向量都可以表示为其余向量的线性组合D任一向量都不可以表示为其余向量的线性组合2 / 25 单选题（4分）正确答案 C若向量组线性无关,向量组线性相关,则( ).A必可由线性表示B必不可由线性表示C必可由线性表示D必不可由线性表示3 / 25 单选题（4分）正确答案 C若矩阵中个列向量线性无关,则的秩( ).A大于B大于C等于D等于4 / 25 单选题（4分）正确答案 C至多为( ).A1B2C3D45 / 25 单选题（4分）正确答案 CA若向量与正交,则对任意实数,与也正交B若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交C若向量与正交,则,中至少有一个是零向量D若向量与任意同维向量正交,则是零向量6 / 25 单选题（4分）正确答案 A若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的解向量个数为( ).BCD不确定7 / 25 单选题（4分）正确答案 A设矩阵,方程组仅有零解的充分必要条件是( ).A的列向量组线性无关B的列向量组线性相关C的行向量组线性无关D的行向量组线性相关8 / 25 单选题（4分）正确答案 B齐次线性方程组,其中为矩阵,且,是该方程组的三个线性无关的解向量,则下列选项中哪个是的基础解系( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知是非齐次线性方程组的两个不同解,是其对应的齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且的秩,是的两个不同的解,则的通解为( ).BCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知齐次线性方程组有非零解,则为( ).A3B4CD12 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶方阵,且的秩,则的基础解系( ).A仅有唯一向量B有有限个向量C有无限个向量D不存在13 / 25 单选题（4分）正确答案 D为阶方阵,则可逆的充要条件是( ).A任一行向量都是非零向量B任一列向量都是非零向量C有解D14 / 25 单选题（4分）正确答案 D元线性方程组有唯一解的充要条件是( ).ABC为方阵且D,且可由的列向量线性表示15 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A若仅有零解,则有唯一解B若有非零解,则有无穷多个解C若有无穷多个解,则仅有零解D若有无穷多个解,则有非零解16 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为4元非齐次线性方程组的三个解向量,且,若,,为任意常数,则线性方程组的通解为( ).ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方程组无解,则( ).A1BCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是齐次线性方程组的一个基础解系,则该方程组的基础解系也可以是( ). A用表示出的向量组B与秩相同的向量组C与等价的一个向量组D与等价的一个线性无关向量组19 / 25 单选题（4分）正确答案 C与向量都正交的全部向量为( ).ABCD20 / 25 单选题（4分）正确答案 B若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为( ).A1B3CD21 / 25 判断题（4分）若两个维向量组等价,则这两个向量组的秩相等.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）若两个维向量组的秩相等,则这两个向量组等价.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）量.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若向量组线性相关,则必含有零向量.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若向量组线性无关,则必不含有零向量.( )正确错误正确答案正确作业4 线性方程组求解矩阵对角化1 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是的特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是非奇异矩阵的特征值,则矩阵有一个特征值为( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶矩阵的三个特征值分别为,则( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是方阵的一个特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD5 / 25 单选题（4分）正确答案 A如果矩阵与相似,则( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶方阵的特征值分别为,,则( ).A3BCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 C3阶方阵的特征值分别为,,则的特征值为( ). ABCD8 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知与相似,则( ).A1B2C3D69 / 25 单选题（4分）正确答案 D三阶方阵的特征值为,则的特征值为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是( ). ABCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 B若是矩阵的特征值,则( ).A0B1C2D312 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且为的个特征值,与相似,则( ).A0BCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D若为阶正交矩阵,则( ).A0B1CD14 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵相似,则下列结论不正确的是( ).A的秩必定相等B均可逆C必定等价D的行列式必定相等15 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵可对角化,则满足的条件为( ).ABCD16 / 25 判断题（4分）若,则方程组仅有零解.( )正确错误正确答案错误17 / 25 判断题（4分）若方程组有非零解,则方程组有无穷多解.( ) 正确错误正确答案错误18 / 25 判断题（4分）若方程组有无穷多解,则方程组有非零解.( ) 正确错误正确答案正确19 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案正确20 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案错误21 / 25 判断题（4分）若是阶方阵的一个特征值,则.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）设,则的内积等于0.( )正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）若为正交矩阵,则也是正交矩阵.( )正确错误正确答案正确24 / 25 判断题（4分）若可对角化,则必定可逆.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若可逆,则必可对角化.( )正确错误正确答案错误作业5 二次型1 / 20 单选题（5分）正确答案 A二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D32 / 20 单选题（5分）正确答案 B实二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D33 / 20 单选题（5分）正确答案 B设是正定矩阵,则应满足的条件是( ). ABCD4 / 20 单选题（5分）正确答案 B已知矩阵为正定矩阵,则一定满足条件( ).ABCD5 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵正定,则满足( ).ABCD6 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型正定,则满足( ).ABCD7 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型为正定二次型,则满足( ).ABCD8 / 20 单选题（5分）正确答案 C若二次型为正定二次型,则应该满足条件( ).ABCD9 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型的矩阵是( ).ABCD10 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵对应的二次型是( ).ABCD11 / 20 单选题（5分）正确答案 A已知方阵合同,则( ).A必定等价B必定相似C都可逆D都不可逆12 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型,下列哪个是它的标准型( ). ABCD13 / 20 单选题（5分）正确答案 D二次型的规范型为( ).ABCD14 / 20 单选题（5分）正确答案 A若是阶正定矩阵,则( ).A必为正定矩阵B必为负定矩阵C必为半正定矩阵D必为半负定矩阵15 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型的正定性是( ). A正定B负定C半正定D半负定16 / 20 判断题（5分）二次型的矩阵一定是对称矩阵.( )正确错误正确答案正确17 / 20 判断题（5分）若正定,则必定可逆.( )正确错误正确答案正确18 / 20 判断题（5分）若可逆,则必为正定矩阵.( )正确错误正确答案错误19 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案正确20 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案错误。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数-课后作业及参考答案
9.设矩阵A= ，已知α= 是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.
10.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规形为.
11.若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线性相关，则ｔ＝。
A.A=0B.B C时A=0
C.A 0时B=CD.|A| 0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A.1B. 2
C. 3D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
（Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合；
（Ｃ）Ａ中必有一行是零行；
（Ｄ）Ａ的列向量组线性无关；
18.若ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，则（ ）。
（Ａ）组中增加一个向量后也线性无关；
（Ｂ）组中去掉一个向量后也线性无关；
（Ｃ）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出；
（Ｄ）ｍ＞ｎ。
19.若方程组 存在基础解系，则λ等于（ ）。
（Ａ）２； （Ｂ）３； （Ｃ）４； （Ｄ）５。
20.若ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｒ＜ｎ，则方程组ＡＸ＝０的基础解系所含向量个数等于（ ）。
（Ａ）ｒ； （Ｂ）ｍ－ｒ； （Ｃ）ｎ－ｒ； （Ｄ）ｒ－ｎ。
21.设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解的充要条件是（ ）。
（Ａ）方程组ＡＸ＝０只有零解；
（Ｂ）Ａ的列向量组线性无关，而 的列向量组线性相关；
线性代数作业答案
第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 一、计算下列行列式 1、22cos sin cos sin 1sin cos αααααα-=+=2、2220a abab ab b b=-= 3、4019219441105110=⋅=二、解方程1、010143=-x x x解：计算行列式得2430x x -+=，因此1,3x x ==2、100130123x x -= 解：计算行列式得3(1)023x x -=，得(1)(36)0x x --=，因此1,2x x ==1.2 n 阶行列式定义及性质 一、计算下列行列式1、2572572025057071012570349349=⋅= 2、1031002041031204314199200395100199239510012520003013006003013600130=⋅=⋅--=3、11110034212234820111120--===--4、1234540522295816106=-⋅=-⋅=---5、1234220030304004将第2、3、4列乘以-1加到第一列得82340200823419200300004-==-⋅⋅⋅=- 6、5111151111511115 将第2、3、4行全部加到第1行 888811111511151181151115111151115==⋅ 将第1行乘以-1加到第2、3、4行11110400851200400004=⋅= 二、计算下列行列式1、111111111-abac ae bd-cd de abcdef bfcf-ef -=-- 第1行加到第2、3行11102002(1)420020abcdef abcdef abcdef -==⋅-=2、00000000x y x y x y y x按第1列展开4400000000x y y x xy y x y x y x xy=⋅-=- 3、xy y x y x y x 00000000 按第4行展开4400000000x yxy xy x x y y x yxy=-⋅+=- 4、4433221100000000a b a b b a b a 按第1行展开22221331331423231423234400()()a b a b a b a b b a a a a a b b b b a a b b a b =⋅-=---14142323()()a a bb a a b b =--5、2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b ba a a a 第1列乘以-1加到第2、3、4列 2222212325212325212325212325a a a ab b b b cc c cd d d d ++++++=++++++ 第2列乘以-1加到第3、4列 222221222122021222122a ab bc cd d ++==++计算下列n 阶行列式：1、aba b a b a 00000000 按第1列展开 11000000(1)(1)0000n n n na b b a a b aba b ab++=+-=+-2、0111101111011110 将第2、3、…、n 行全部加到第1行1111111110111011(1)11011101111111n n n n n ----==-第1行乘以-1加到以下各行111110100(1)(1)(1)00100001n n n --=-=---- 3、1212121333122211111---n n n n n n范德蒙行列式 [][](1)(2)21(2)(3)2121n n n n =--⋅⋅--⋅⋅⋅⋅23223(2)(1)n n n n --=⋅⋅--4、已知62211765144334321-=，计算4241A A + 和 44434241A A A A +++.解：4142123411341343133443044110444041215671467414676111001000A A +===-==-=将上式设为1D414243441234334415671111A A A A +++=，此式设为2D ，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做： 题目中的原行列式设为D 由行列式的性质得：121234123412342343344334433443442156715671567567112211002222111D D D +=+===则：2111()(612)322D D D =+=-+=三、解下列方程1、04321432143214321=++++x x x x 解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得12340000000x x xx x x x+-=--将1、2、3列加到第4列得123100000000000x x x x+=将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此3(10)0x x +=，因此0x =，10x =-2、094321112=x x 解：此行列式是范德蒙行列式，得(32)(2)(3)0x x ---=因此2x =，3x =3、2323231111111111111123212512480114151141502512111x x x x x x x x x -++=解：由行列式的加法则232311111111124812480114150251211x x x x x x +=， 再相加23111112480139271x x x =，此行列式为范德蒙行列式 得(21)(31)(32)(1)(2)(3)0x x x ------= 因此1,2,3x x x ===1.4 克莱姆法则 一、解线性方程组1、1232493x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：111123(21)(31)(32)2149D ==---=11112231349D ==-，21111234139D ==，31111221143D ==-解得11,2,22x y z =-==- 2、⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x解：1212135111D -=-=--- 12211135011D --=-=--，21212131011D -=-=---，3122211511D --==-- 解得1231,2,1x x x ===二、求一个二次多项式),(x f 使得.2)1(,3)1(,2)0(=-==f f f解：设2012()f x a a x a x =++，0012012(0)2(1)3(1)2f a f a a a f a a a ==⎧⎪==++⎨⎪-==-+⎩，解得01221212a a a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 三、已知线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，求λ的取值范围． 解：系数行列式为32111132(1)(2)011λλλλλλλ=-+=-+≠，因此1,2λλ≠≠-四、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解，则λ应取何值？若线性方程组的右端变为2，3，2，则λ为何值时，新的线性方程组有唯一解？ 解：系数行列式为2111112(2)(1)12λλλλλλ-=--=-+ 则当1,2λλ=-=时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当1,2λλ≠-≠时方程组有唯一解．第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且4=A ，则21()2A =14. 说明：22231111()2444A A A === 2、))((22B A B A B A -+=-的充分必要条件是AB BA =.二、选择题1、设B A ,都是n 阶矩阵，则2222)(B AB A B A ++=+的充分必要条件是（ C ）.(A)A I = (B) 0=B (C) AB=BA (D)B A =2、设B A ,都是n 阶矩阵，则（ C ）. (A)B A B A +=+ (B) BA AB = (C)BA AB = (D) B A B A -=-3、设C B A ,,为n 阶矩阵，若CA AC BA AB ==,，则ABC 等于（ C ）.(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D)CAB说明：由题意知矩阵B 与C 不能交换，因此只有（C ）正确．4、设B A ,都是n 阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) A B +也是对称矩阵 (B) AB 也是对称矩阵(C)mmB A +(m 为正整数) 也是对称矩阵 (D)TTAB BA +也是对称矩阵理由：()TTTAB B A BA AB ==≠，因此（B ）错误．三、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A ,I 为二阶单位阵，B 满足I B BA 2+=, 求B .解：由I B BA 2+=得2BA B I -=，即()2B A I I -=，两边取行列式得22B A I ⋅-=，而11211A I -==-，因此2B =． 四、1、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=320131A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111202B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=311221C ，求;C B A +-C B A 23++-．结果为2591121114136-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1231A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2103B ，求222)(,,AB BA AB B A -+．结果为160511⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3303-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 66242034⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=143125A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=102023B ，求B A 52-，T AB ，T BA ．结果为251421687-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 19917--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 19197--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦4、计算()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111,3,2A ，()1,3,2111-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B结果为0 231231231-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦5、计算()112,3,11k⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0k ;I =2311231231k ;-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦10k ;>五、设),(21I B A +=证明：2A =A 当且仅当2B I =． 证：必要性，已知2A =A ，即211()()42B I B I +=+，则2222B B I B I ++=+，得2B I =． 充分性，已知2B I=，则22211111111()()44244242A B I B B I I B I B I A =+=++=++=+=，因此2A =A ．2.2 逆矩阵 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且2=A ，则12A -= 4 ，A *=4 ，1()A *-=14． 说明：113224A A--==，3114A A A A A -*-===，11*1()4A A-*-== 2、设A 为33⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，||1,||2,A B ==-则B A = -8 ． 说明：38B A BA ==-3、设A 为n n ⨯矩阵，则||0A ≠是A 可逆的 充分必要 条件．4、已知A A =2，且A 可逆，则A =I ． 说明：等式两边同时左乘1A -5、A 为三阶方阵，其伴随阵为*A ，已知21=A ，则1*(3)2A A --=1627-． 说明：1*1111112(3)2(3)233A A A A A A A A -------=-=-=-=二、选择题1、若由AC AB =必能推出,C B =其中C B A ,,为同阶方阵，则A 应满足条件（ B ）（A ）0≠A （B ）0≠A （C ）0=A （D ）0=A2、设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ C ） （A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ，可逆，1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111211120B ，可逆，113511112022A ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2、解矩阵方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡311221434321X 解：12112313422--⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，134241121310--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 21212412711311313219101022X -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、利用逆矩阵，解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++.2,122,12132321x x x x x x x解：系数矩阵为111022110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则111021112111A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 则1231110221131112221112x x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、设方阵A 满足方程0422=+-I A A ．证明：I A +和I A 3-都可逆，并求他们的逆矩阵． 证：22()(3)232477A I A I A A I A A I I I+-=--=-+-=-因此，IA +和IA 3-都可逆，且11()(3)7A I A I -+=--，11(3)()7A I A I --=-+2.3 初等变换与初等矩阵 一、填空题20092008010100001111212111001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡＝111221111--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． 说明：由于2001010100I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100001010I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 因此20082009001111100111010212001212100111010111----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣二、选择题：1、设A 为n 阶可逆矩阵，则（ B ） （A ）若CB AB =，则C A =； （B ）A 总可以经过初等变换化为I ；（C ）()I A .对施行若干次初等变换，当A 变为I 时，I相应地变为1-A ； （D ）以上都不对． 说明：（B ）为定理，正确；（A ）少条件，若加上矩阵B 可逆，才能正确； （C ）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，1010100001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则必有（ C ）（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--122212221，逆矩阵为：12212129221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，逆矩阵为：143153164--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 3、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1234012300120001，逆矩阵为：100021*********1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000000000121n n aa a a ，其中，.,,3,2,1,0n i a i =≠1210001000000010000000100001n na a a a -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将最后1行调整到第1行121000000100010000001000010nn a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11112111000000010000000100000010n n a a a a -----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300002010A ，求()1*A -解：由于*AA A I =，则()1*AAA-=，由6A =-，因此()1*010********A AA -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭． 四、已知B A AB +=2，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，求矩阵1)(--I A ．解法1：由B A AB +=2得：2AB B A -=，即()2A I B A -=，此式两边同时左乘1)(--I A ，再右乘1A-，得111()2A I BA ---=（1） 再由B A AB +=2得：2AB A B-=，即(2)B I A B -=，两边同时右乘1A -，得1(2)B I BA --=，此式与（1）式结合得：10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭解法2：将B A AB +=2变形得20AB B A --=，可得()20A I B A --=，两边加2I 得：()222A I B A I I --+=，即()2()2A I B A I I ---=，则1()(2)2A IB I I --=，因此10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．五、已知A BA B =-2，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122101011A ，求矩阵B ．解：由A BA B =-2得：2AB B A +=，即(2)A I B A += 因此1(2)B A I A -=+，由1102121223A I -⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭，则1431(2)531641A I ---⎛⎫ ⎪+=-- ⎪⎪-⎝⎭，1962(2)10721283B A I A --⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪--⎝⎭六、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100001010A AP P B 1-=，P 为三阶可逆矩阵,求220082A B -．解：2010010100100100010001001001A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4A I =200812008111120081()()()()BP AP P AP P AP P AP P AP P IP I------=====因此，2008213221311B A I -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2.5 矩阵的秩 一、填空题1、 在秩是r 的矩阵中，所有的1r ≥+阶子式都 为0 ．2、设A 是54⨯矩阵，()3R A =，10002300456078910B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R AB = 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩． 3、从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则(),()R A R B 的秩的关系为()()R B R A ≤．4、设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111, 秩3)(=A ，则=k -3 ． 说明：111111111111k k A k k=将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子3k +1111111(3)111111k k k k=+ 将第1行乘以-1加到以下各行31111010(3)(3)(1)001001k k k k k k -=+=+---，因此当1k =或3k =-时，()4R A <，但1k =时显然()1R A =，因此3k =-． 5、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=5202401131102121321k A , 秩3)(=A ，则=k 1 ．说明：1231123112321205600010113011301111040333000202504430k k k A ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢=→→⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣二、求下列矩阵的秩 1、100110011001312501280128113501360012A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()3R A =2、310211211121112111213102046504651344134404350000A ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()2R A = 3、615021364013640136406150201941242235182351809798403504035001227110A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦10643106430241241902412419087990015787670027111200271112--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，()4R A =三、设1111222k A k kk-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1）求A ；2）求秩)(A （要讨论）． 解：211111111110112222220022k k k A k kk k kkkkk ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦则222(1)(1)2(1)(1)A k k k k =--=+- 当1k ≠±时，()3R A =； 当1k =-时，()2R A =； 当1k =时，()1R A =．四、讨论矩阵的秩2312323211121A λλλμ-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦． 解：2233123212323211088531210442A λλλλλμλμλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---++⎣⎦⎣⎦232123208853000212λλλμλλλ-⎡⎤⎢⎥→-+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 当12μ=且0λ=、1λ=、12λ=-时，()2R A =；其它情况，()3R A =．第三章 向量3.1 向量的概念及其运算 1、已知()()12=110,11TTαα=，-，0，，,()30,Tα=3，，-2求12αα-，23+3TT αα 及12332ααα+-.结果：121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭[]915-014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、已知1(3,5,7,9)α=,2(1,5,2,0)α=-,α满足1223ααα+=，求α.结果：754633⎛⎫---- ⎪⎝⎭3、设1232()3()5()αααααα-++=-，其中1(2,1,3,0)α=-，2(1,0,2,1)α=-，3(0,2,1,1)α=-，求α． 结果：741716363⎛⎫-⎪⎝⎭4、写出向量1234(1,1,0,4),(3,2,2,1),(0,4,5,1),(2,0,4,3)αααα=-=-=-=-的线性组合，其中：（1）12341,0,4,2k k k k ====- （2）12341,3,0,2k k k k =-===- 结果：1）()315122- 2）()145147--5、已知向量组1(8,3,1),(1,2,3,)T T βα=-=-，23(3,1,0),(1,1,1)T T αα=-=--问：向量β是否可以由向量123,,ααα线性表示？若可以，写出其表达式；解：设112233k k k αααβ++=即123131821133011k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得方程组：12312313382331k k k k k k k k -++=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，用克拉默法则可得：1312111301D -=--=--，183131119101D =--=--，218123115311D -=-=--- 313821356301D -=-=- 123191556k k k =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 则向量β可以由向量123,,ααα线性表示，123191556αααβ-+-=．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）2104,30010αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）214,031αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3）2111,1,1112αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111190112--=-≠-，因此向量组线性无关．4）2134,4,0312αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．αβγ+=5）10221,1,1,10133αβγη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关． 2、填空题 1） 设向量组12(1,2,1),(1,0,2),TTαα==3(1,8,)Tk α=--线性相关，则k = 2说明：12110242018k k=-=--，则2k = 2） 设向量组12(,0,),(,,0),a c b c αα==3(0,,)a b α=线性无关，则,,a b c 必满足关系式0abc ≠说明：00200a cbc abc a b=≠ 3） 若n 维单位向量组12,,,n εεε可由向量组12,,,r ααα线性表示，则r ≥n说明：书72页推论1 3、选择题 1）向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是（C ）()A 向量组12,,,n ααα中必有两个向量的分量对应不成比例()B 向量组12,,,n ααα中不含零向量()C 向量组12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余的1n -个向量线性表示()D 存在全为零的数12,,,n k k k ，使得1122,n n k k k αααθ+++=2）设()11221,0,0,,(1,2,0,),αλαλ==3344(1,2,3,),(2,1,5,)αλαλ=-=-其中1234,,,λλλλ是任意实数，则（C ）()A 向量组123,,ααα总线性相关 ()B 向量组1234,,,αααα总线性相关 ()C 向量组123,,ααα总线性无关 ()D 向量组1234,,,αααα总线性无关4、已知向量组123,,ααα线性无关，证明： (1)112123,αααααα+++，线性无关证明：设112123123()()0k k k αααααα+++++= 即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=，由123,,ααα线性无关得123233000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，即12300k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此112123,αααααα+++，线性无关．(2)122331,αααααα---，线性相关证法1：设112223331()()()0k k k αααααα-+-+-=即131212323()()()0k k k k k k ααα-+-+-=，由123,,ααα线性无关得132132000k k k k k k -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，当1230k k k ==≠时方程组成立，因此122331,αααααα---，线性相关．证法2：由122331()()()0αααααα-+-+-=，得122331,αααααα---，线性相关．5、已知1(1,2,3),T α=2(1,1,4),T α=-3(3,3,2)T α=-，(4,5,5)T β=，问：向量β能否由向量组123,,ααα唯一线性表示？解：设123113421353425k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即方程组123123123342353425k k k k k k k k k -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩ 系数行列式12D =-，136D =-，212D =，30D =因此β可由向量组123,,ααα唯一线性表示，123βαα=-．3.3 向量组的秩 1、填空题（1）若1234(,,,)4R αααα=，则向量组123,,ααα是线性 无关说明：由1234(,,,)4R αααα=知1234,,,αααα线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关． （2）设向量组()I 的秩为1r ，向量组()II 的秩为2r ，且()()I II ≅，则1r 与2r 的关系为12r r = 2、选择题（1）若向量组12,,,r ααα是向量组12,,,,,r n αααα的极大线性无关组，则论断不正确．．．的是（ B ）()A n α可由12,,,r ααα线性表示 ()B 1α可由12,,,r r n ααα++线性表示()C 1α可由12,,,r ααα线性表示()D n α可由12,,,r r n ααα++线性表示（2）设n 维向量组12,,,s ααα的秩()r s <，则（ B ）()A 向量组12,,,s ααα线性无关 ()B 向量组12,,,s ααα线性相关()C 存在一个向量()1i i r α≤≤可以由其余向量线性表示()D 任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若12,,,r i i i ααα和12,,,t j j j ααα都是向量组12,,,n ααα的极大线性无关组，则（C ）()A r n = ()B t n = ()C r t = ()D r t ≠3、求下列向量组的秩（必须有解题过程） （1）123(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)ααα===解：由110206003=，得向量组的秩为3． （2）12(1,1,1),(,1,1),T T a αα==23(1,,)T a a α= （要讨论） 解：222111111110110111101100a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0a ≠，1a ≠时秩为3； 当0a =时秩为2； 当1a =时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． （1）12(1,2,1,3),(4,1,5,6),αα==---3(1,3,4,7)α=---解：1411014114152130950101915409500000367018100000⎛⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝12,αα为极大线性无关组，且31211599ααα=-+． （2）12(1,1,2,4),(0,3,1,2)αα=-=,34(3,0,7,14),(1,2,2,0)αα==-,5(2,1,5,10)α=解：103121031210313021033130112172501101000421401002242000⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ →→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝10302011010001000000⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭124,,ααα为极大线性无关组，3123ααα=+，5122ααα=+5、已知向量组1234(1,2,1,3),(2,3,0,1),(3,5,1,1),(2,4,4,),T T T T k αααα=-===-的秩为3， 1）求k2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． 解：（1）12321232123223540110011010140242001131105860036k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭123201100011009k ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭，9k =（2）123210121003011001100101001100110011000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123,,ααα为极大线性无关组，41233αααα=+-．6、设n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，证明向量组12,,,n ααα线性无关．证明：由n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，且n 维单位向量12,,,n ααα可由n 维向量组12,,,n εεε线性表出，因此这两个向量组等价，由12,,,n εεε的秩为n ，因此12,,,n ααα的秩为n ，因此12,,,n ααα线性无关．7、设()123,,3R ααα=，11223βαα=+，2234βαα=+，3135βαα=+，证明：123,,βββ线性无关． 证明：设1122330k k k βββ++=，即112223313(23)(4)(5)0k k k αααααα+++++=则131122233(2)(3)(45)0k k k k k k ααα+++++=由()123,,3R ααα=得：1312232030450k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，系数行列式201310220045=≠因此123,,βββ线性无关．8、设123(),,;I ααα1234(),,,II αααα1235(),,,III αααα，若各向量组的秩分别为： ()()3R I R II ==，()4R III =，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4．证明：反证法，假设向量组12354,,,ααααα-的秩小于4， 由()3R I =知，123,,ααα线性无关，根据书69页定理5知：54αα-可由123,,ααα线性表示， 设为54112233k k k ααααα-=++，即51122334k k k ααααα=+++ （1）再由()3R II =，得1234,,,αααα线性相关，再由刚才定理知：4α可由123,,ααα线性表示，设为4112233αλαλαλα=++，代入（1）得：51122331122331112()(k k k k k ααααλαλαλαλα=+++++=++因此5α可由123,,ααα线性表示，则1235(),,,III αααα线性相关，与()4R III =矛盾．因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4．3.4 向量空间 1、设111{(,,)|0}T n i n V x x x R x x =∀++=∈且211{(,,)|1}T n i n V x x x R x x =∀++∈且=问12V V ，是不是向量空间，为什么？解：1V 是向量空间，2V 不是向量空间．（大家自己证明） 2、向量(2,1,0)-在基)0,1,1(，(1,0,1)，)1,1,0(下的坐标是133,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭．说明：设方程123110*********k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之即可．3、略4、试证：由12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=生成的向量空间就是3R ，并求3R 的一组标准正交基．证：由0111010110≠，则12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=线性无关，3R β∀∈，则123,,,αααβ为四个三维向量，必线性相关，且β可由123,,ααα线性表示，因此，123,,ααα所生成的向量空间为3R ． 由施密特正交化法：11011βα⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，1222111110(,)1101(,)221112βαβαβββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭13233312112221310(,)(,)111211(,)(,)2323011223βαβαβαββββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得：10γ⎛⎫⎪ ⎪=，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，为3R 空间的一个标准正交基．第四章 线性方程组 1、填空题1）线性方程组b AX =无解，且()3R A =， 则()(,)R A b 应满足 ＝4 ；线性方程组b AX =有解，且()3R A =，则()(,)R A b 应满足 ＝32）设A 是方阵，线性方程组X AX =有非零解的充要条件是0A I -=．说明：由X AX =，得()0A I X -=3）设n 元线性方程组θ=AX 有解，若()2R A n =-，则θ=AX 的解空间维数为 2 ． 说明：解空间的维数+()R A 结果为n ．4）设b AX =为四元非齐次线性方程组，()3R A =，123,,ααα是b AX =的三个非零解向量，()121,2,0,4,Tαα+=()321,0,0,1Tαα-=，则b AX =的通解为1(1,0,0,1)(,1,0,2)2TT k +．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组0AX =的基础解系中应包括一个向量，而()321,0,0,1Tαα-=是0AX =的一个解，因此齐次线性方程组的通解为32()k αα-，再由1A b α=，2A b α=，以上二式相加除以2知，122αα+是b AX =的一个特解，因此bAX =的通解为1232()2k αααα+-+1(1,0,0,1)(,1,0,2)2T T k =+5）若η既是非齐次线性方程组b AX =的解，又是3202X λ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则λ=43． 说明：由η是非齐次线性方程组b AX =的解，可知η为非零向量，因此3202X λ⎛⎫=⎪⎝⎭有非零解，则其系数行列式必为0，推出λ=43． 2、选择题1）若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0200321321321x x x x kx x x x kx 仅有零解，则（C ）()A 14-==k k 或 ()B 14=-=k k 或()C 14-≠≠k k 且 ()D 14≠-≠k k 且2）线性方程组m n A X b ⨯=有唯一解的条件是（B ）()A m n =()B ()(,)R A R A b n ==()C AX θ=只有零解 ()D ()A 、()B 、()C 都不对3）若方程组AX θ=中，方程的个数少于未知量的个数，则（B ）()A AX θ= 一定无解 ()B AX θ=必有非零解 ()C AX θ=仅有零解 ()D AX θ=的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系 1）123123030x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩解：111111111113022011⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123230x x x x x ++=⎧⎨-=⎩，设31x =，解得21x =，12x =-，基础解系为：211-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2）12341234234030x x x x x x x x +-+=⎧⎨++-=⎩解：1234123413110145--⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 方程组化为12342342340450x x x x x x x +-+=⎧⎨+-=⎩令341,0x x ==，解得：1211,4x x ==-，令340,1x x ==，解得：1214,5x x =-=，基础解系为：11410⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14501-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4、求方程组1234123423451x x x x x x x x +++=⎧⎨-++=⎩ 的特解．解：12345123451111103234⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭方程组化为123423423453234x x x x x x x +++=⎧⎨---=-⎩，令240x x ==，得312,1x x ==-，因此方程组的一个特解为：1020-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5、求下列线性方程组的通解1）1231231232026162x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=-⎨⎪--=-⎩解：112011201120216101210121116202420000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123232021x x x x x +-=⎧⎨+=⎩，设3x k =，得212x k =-，121241x k k k =-+=-，通解为：141201k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2）123412341234243231424x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解：1214312143122311107375063412140961780--⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ -→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ------⎝⎭⎝⎭⎝121430737500155611-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭方程组化为：1234234342437375155611x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩选4x 为自由未知量并令14=x ，(注意此处特解的取法)解得0,1,3123===x x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1310η其导出组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=+-+056150737042434324321x x x x x x x x x ， 选4x 为自由未知量并令14=x ，解得1522,53,1556123-===x x x ，于是导出组的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11556531522δ方程组通解为：221503153561151k ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（3）四元线性方程组122410x x x x +=⎧⎨-=⎩解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010*******B由 42)()(<==B R A R 知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选43,x x 为自由未知量并令0,043==x x ，得1,012==x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001η在其导出组中选43,x x 为自由未知量并令,0143⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0021x x 令 ,1043⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121x x ，于是导出组的一个基础解系为,01001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δ,10112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ故原方程组的通解为ηδδ++=2211k k x ，其中21,k k 为任意常数． 6、综合题（1） 已知三元非齐次线性方程组AX b =有特解T )2,0,1(1=η，T )1,2,1(2--=η，T )0,0,1(3=η，()1R A =，求方程组AX b =的通解.解：因为b AX =为三元方程组而1)(=A R ，所以0=AX 的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，()()200,1223121=--=-ηηηη均是0=AX 的解，显然它们线性无关，可以构成0=AX 的一个基础解系． 由解的结构知bAX =的通解为()()1312211ηηηηη+-+-=k k x ，其中21,k k 为任意常数 即12201200322x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）λ取何值时，齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由0111112=λλλλ可得1=λ，所以当1=λ时原方程组有非零解．当1=λ时，原方程组变为0321=++x x x ，选32,x x 为自由未知量并令并令,0132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得，11-=x ， ,1032⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得11-=x 于是方程组的一个基础解系为,0111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ,1012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 2211δδk k x +=，其中21,k k 为任意常数． （3）λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由()()01331422812322=--=+------λλλλλ 可得1=λ或3=λ时原方程组有非零解． 当1=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000402314142271231，选3x 为自由未知量，取13=x ，得，,0221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 201x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．当3=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0001202312404802316142251231，选3x 为自由未知量，取23=x ，得，,1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 112x k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．（4）讨论当k取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+++23213213212)3(k kx x x k x kx x x x k kx 无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=322222130110111111213k k k k kk kkk kk k k k B()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→2131413100)2(1301122322k k k k k k kk 当 )()(B R A R ≠，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--021310413122k k k k ，2-=k 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即()()041312≠--k k ，2,2,1-≠k 时，原方程组有唯一解．当32)()(<==B R A R ，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021310413122k k k k ，1=k 或者2=k 时，原方程组有无穷多解．当1=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030301111B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000300111'B 中令13=x 得 ,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ 在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000030301111B 中令13=x 得,1121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．当2=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000003300211'B 中令13=x 得 ,1321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B 中令03=x 得,31032221⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,0310322⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（5）已知线性方程组1231231234339ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a ab b b a a ab b b b b a B 341103003113411060203119131311411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→b b ab a b a b b430041103114110300311当 )()(B R A R ≠，即⎩⎨⎧≠-=-0430b b ab ，0=b 或43,1≠=b a 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即0≠-b ab ，0,1≠≠b a 时，原方程组有唯一解．当 32)()(<==B R A R ，即⎩⎨⎧=-=-0430b b ab ，1=a 且43=b 时，原方程组有无穷多解． 当1=a 且43=b 时，原方程组中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000401031431B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001001431'B 中令13=x 得,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000401031431B 中令03=x 得 ,4021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,040⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数． （6）若123,,x x x 是方程组Ax =θ的基础解系，证明：1323122,2,2x x x x x x +++也是该方程组Ax =θ的基础解系．证明：由于()000223131=+=+=+Ax Ax x x A ，同理可以验证21322,2x x x x ++也是0=Ax 的解，由题设知0=Ax 的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明,231x x +21322,2x x x x ++是线性无关的．设()()()0222213322311=+++++x x k x x k x x k 整理得()()()0222321232131=+++++x k k x k k x k k由于123,,x x x 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+022020213231k k k k k k又系数行列式03011210101≠-==D ，故0321===k k k从而,231x x +21322,2x x x x ++线性无关，是方程组0=Ax 的一个基础解系．（7）设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++3432124321143217438234bx x x x b x x x x b x x x x 证明：此方程组对任意实数321,,b b b 都有解，并且求它的一切解． 证明：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3132332144210342101111111171438234b b b b b b b b B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b 由于 43)()(<==B R A R ，故对任意实数321,,b b b 原方程组都有解．对⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B ，选4x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→084000421001111'B 中令14=x 得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛203321x x x ，导出组的一个基础解系为,1203⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B 中令04=x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛472453213123321321b b b b b b b b b x x x ，原方程组的一个特解,0472453213123321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=b b b b b b b b b η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（8）设12ηη与是m n A X b ⨯=（0b ≠）的两个不同的解，AX ξθ=是的一个非零解，证明：若()1R A n =-，则向量组12,,ξηη线性相关．证明：因为1)(-=n A R ，所以0=AX 的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，21ηη-是0=AX 的非零解，又题设中ξ是0=AX 的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数21,k k 满足()02211=+-ξηηk k ，整理得022111=+-ξηηk k k ， 从而向量组12,,ξηη线性相关．。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
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线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==(B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B.C.D.与，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k= ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D= -15 ．12.若方阵A满足A2= A，且A≠E，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且，则|2A|= 4 ．14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)= 0 ．16.设n元齐次线性方程组Ax= o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为(1,1,2) .18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4 .19.二次型的矩阵A=220 231 011-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭20.若矩阵A与B=相似，则A 的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：1111111111111111xxyy+-+-=111100111100xx xyy y+--+--1100110000110011x xyy +=+00011000000011xxy y ==x 2y 2.22.解矩阵方程：.解：令A =111211111-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭, B =236⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为(AE )=111100111100211010031210111001002101--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1110003311101023611001022⎛⎫- ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪-⎝⎭，所以11103311123611022-⎛⎫-⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A .由AX=B，得：X=A-1B=11331211133 23662 1122⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换： 123411141132()21353156T T T T -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααα1114002603130426-⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-⎪-⎝⎭11141114002601130113001300260000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1007010000130000⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪-⎪⎝⎭. 所以，1234(,)=3,r ,,αααα极大无关组为123413;73,,.=-αααααα取何值时，方程组有解并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：211111214212142053731741105372a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A若方程组有解，则()()r r =A A ，故a =5. 当a =5时，继续施以初等行变换得：164105553730155500000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，原方程组的同解方程组为： 13434234416555,,337555x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩为自由未知量，令x 3=x 4=0,得原方程组的一个特解：453500⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 与导出组同解的方程组为：134342341655,,3755x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为自由未知量，令34x x ⎛⎫⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到导出组的基础解系：165537,551001⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方程组的全部解为：12416555337555010001c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭v ，其中，c 1 ，c 2为任意常数.25.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断A 能否对角化，若能，求可逆矩阵P ，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A 的特征多项式为：2200|121(2)(1)101λλλλλλ--=--=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1232,1λλλ===.对于122λλ==，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，0001012101000101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值122λλ==的全部特征向量为：12120110,.01c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不全为零对于31λ=，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，100100111011100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值31λ=的全部特征向量为：01(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以， A 相似于对角矩阵，且010200101,020011001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P Λ.26.用配方法将下列二次型化为标准形：解：222123123121323()2444f x ,x ,x x x x x x x x x x =+-+--=22222112323232323[4()4()]4()+24x x x x x x x x x x x x +-+----- =2221232233(22)245x x x x x x x +--+- =222212322333(22)2(2)3x x x x x x x x +---+- =222123233(22)2()3x x x x x x +----.令11232233322y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即112223332x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：22212323y y y --. 四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R 3空间中的一个基.证：因为11011011002020111001-==≠，所以123,,ααα线性无关（方法多样），所以向量组123,,ααα是R 3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A．1 B．0 C．-1 D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).A．A可逆 B．B可逆 C．|A|=|B| D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则( A ).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ =(B ).A． 2 B． 1 C．0D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D ).A．B．C．D．6.向量线性相关,则( C ).A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).A．c1+c2 =1 B．c1= c2 C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有( B ).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1，则A-1的特征值为( D ).A．1, 2 B．2, 1, 1 C．, 1 D．, 1, 110.二次型是(A ).A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。