2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题及参考答案 A4打印版
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷(三)(教师版)
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（三）（解析版）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.） 1.函数22101y x x =-+的值域为 A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞解析：选D 因为222101(1)914y x x x =-+=-+≥，所以函数22101y x x =-+的值域为[4,)+∞，故选D ．2.1和4的等比中项为（ ）A.2B.2-C.2±D.4± 解析：选C 由题可得，设等比中项为a ，则24a =，解得2a =±.故选C.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（ ）A.60B.120C.45D.135 解析：选B 由余弦定理可知222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以1cos 2A =-，因为0180A <<，所以120A =.故选B.4.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.23π B.2πC.223πD.π 解析：选 A 由题可得，该几何体是半个圆锥.所以其体积为11222323V ππ=⨯⨯=.故选A.5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（ ）A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度解析：选 B 将函数sin()3y x π=+的图象向右平移3π个单位长度即可得到函数sin y x =的图象.故选B.6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m < B.1m >- C.11m -<< D.1m >或1m <-解析：选A 因为经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，所以1012AB m k -=>-，解得1m <.故选A.7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（ ） A.32 B.23 C.32- D.23-解析：选D 因为//a b ，所以230x +=，解得23x =-.故选D.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（ ）A.16B.17C.18D.19 解析：选C因为6324,144(6)n n S S n -==>，所以612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++180=，所以6616()36180216n n n S S S a a -+-=+=+=，所以136n a a +=.所以1()3632422n n n a a nS +===，解得18n =.故选C. 9.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，032AF x =，则0x =（ ）A.14 B.12C.1D.2 解析：选 B 由题可得，抛物线的准线方程为14x =-.因为032AF x =，由抛物线的定义可知，001342x AF x +==，解得012x =.故选B.10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（ ）A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)-D.14(,,2)33解析：选B 设中点为P ，则其坐标满足341351(,,)222-+++，即为1(,2,3)2.故选B. 11.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为A.5B.4C.2D.2解析：选C 由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2.故选 B.12.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当2a >且2b >时，4a b +>成立，所以是必要条件，当4,1a b ==时，4a b +>，但2a >，2b <，所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选B.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45角D.11A C 与1B C 成60角 解析：选D 由题可得，设1AB =，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)D D A A B B ，1(0,1,0),(0,1,1)C C .所以11(1,1,0),(1,0,0)AC AD =-=-，因为1110AC AD ⋅=≠，所以选项A 错误；11(0,1,0),(0,1,0)AB DC ==，因为1110AB DC ⋅=≠，所以选项B 错误；因为1(1,1,1),(0,1,0)AC DC =-=，所以6cos 32θ==⨯所以1AC 与DC 不成45角，故选项C 错误.所以正确的选项是D.14.设,0a b >，则4(1)(1)b aab++的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.13解析：选C 444(1)(1)14529b a b a b a a b a b a b++=+++≥+⋅=.故选C. 15.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B.若,//l l m α⊥，则m α⊥ C.若//,l m αα⊂，则//l m D.若//,//l m αα，则//l m解析：选B 由直线与平面垂直的判定定理可知，选项A 错误；直线与平面平行，则直线与平面内的直线没有交点，则是平行或异面，故选项C 错误；平行于同一个平面的两条直线不一定平行，故选项D 错误.故选B. 16.下列四个命题中正确的是( )A.若,a b R ∈，则a b a b -<+B.若,a b R ∈，则a b a b -<+C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <解析：选C 当2,0a b ==时，a b a b -=+，a b a b -=+，所以A,B 均不成立；当0,2a b ==时，a b a b -<+，但0ab =，所以D 不成立，故选C.17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+解析：选B 如图，因为2b AF BF a==，EF a c =+，要使ABE ∆是锐角三角形，则只需AEB ∠为锐角，故45AEF ∠<，所以AF EF <，即22c a a c a-<+，化简得220e e --<，解得12e -<<.因为1e >，所以12e <<.故选B.18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CD CE CD=，CB CF CB=.若将CEF ∆沿EF折起，使得平面CEF 与平面ABFED 垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（ ）A.35 B.25 C.110 D.310解析：选 D 如图所示，设CO EF ⊥，则CO ⊥平面ABFED .因为CA CO OE ED DA =+++，所以532CA CO OE ED DA =+++=，BE =.设直线AC与直线BE 所成角为θ，则15cos cos 2CA BE CA BE θθθ⋅=⋅==|()CO OE ED DA =+++(BC ⋅)|CE +OE BC OE CE ED BC ED CE DA BC DA CE =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅11|3324=+-+941|4-+=，所以3cos 10θ=.即直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为310.故选D. 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分） 19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1AB =，则实数a = ，A B = .解析：{}1;1,2,4 因为{}1AB =，且233a +≥，所以1a =，所以{}1,4B =，所以{}1,2,4A B =.20.在ABC ∆中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ⋅= . 解析：4- 因为AB AC ⊥，所以AB BC ⋅=24AB -=-.21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .解析：[3,1]- 将直线与圆方程联立，消去y ，化简得222(22)10x a x a +-+-=，由方程有解可知，22(22)8(1)0a a ∆=---≥，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.故选C.22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3xf xg x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 . 解析：41[,)12-+∞ 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.因为()()3x f x g x +=，所以可知()33x x f x -=-，()33x x g x -=+.所以()(2)af x g x +22(33)(33)0x x x xa --=-++≥对[1,2]x ∈恒成立，即22233(33)23333x x x x x x x xa ----+-+≥-=---23333x x x x --=-+-对[1,2]x ∈恒成立，令88033[,]39x xt -=-∈，所以2()a t t≥-+对880[,]39t ∈恒成立，所以4112a ≥-.所以实数a 的取值范围是41[,)12-+∞.三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b a c ac =+-. (1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.解：(1)由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 所以有1cos 2B =. 因为0B π<<. 所以3B π=.(2)因为3B π=，所以23A C π+=，即23C A π=-，且203A π<<.所以23sin sin sin sin()sin cos )3226A C A A A A A ππ+=+-=+=+. 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，3A C π==max )6A π+=；当566A ππ+=或66A ππ+=，即23A π=或0A =min )62A π+=.所以sin sin 2A C +∈.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n+=<<的离心率为2，且经过点,1)2P . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ⋅为定值.解：(1)根据题意有222223,43114n m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得221,4m n ==，所以椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)联立方程组22,44y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，化简得：222(4)240k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点坐标为00(,)D x y . 则有120224x x kt x k +==-+，00244ty kx t k =+=+. 所以004OD y k x k==-， 所以44OD k k k k⋅=-⋅=-为定值. 25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()bf x x>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)因为1a =，所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+，即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥⎧⎨+<+⎩或210,1(1)x x x +<⎧⎨+<-+⎩ 解得01x <<.所以不等式的解集为(0,1).(2)2()1x a b f x x x +=>+恒成立等价于1()x a b x x+>+恒成立， 即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立.所以有(1)b a b x x >-+或(1)ba b x x <-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立，解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)一. 选择题1. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根为（）- [x] $1$ 和 $3$- [ ] $-1$ 和 $-3$- [ ] $1$ 和 $-3$- [ ] $-1$ 和 $3$2. 若 $f(x) = x^2 + bx + 1$ 恰有一个零点，则 $b$ 的取值范围是（）- [ ] $(-\infty, -2)$- [ ] $(0, +\infty)$- [x] $(-2, 0)$- [ ] $(-2, +\infty)$...二. 简答题1. 证明勾股定理。
答：勾股定理是三角形中最基本的定理之一。
证明如下：在直角三角形中，假设直角所对应的三角形边长分别为$a$，$b$，$c$，其中较长的直角边为 $c$。
通过勾股定理可得，$a^2 + b^2 = c^2$。
我们来进行证明。
...三. 计算题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数。
答：首先，求导数即求导。
对每一项依次求导可得：$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) \\&= 3x^2 - 4x + 1\end{aligned}$$因此，函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数为 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。
...四. 解答题1. 解方程 $2x - 1 = \sqrt{3x + 5}$。
答：将方程两边都平方可得：$$\begin{aligned}(2x-1)^2 &= 3x+5 \\4x^2-4x+1 &= 3x+5 \\4x^2-7x-4 &= 0 \\(4x+1)(x-4) &= 0 \\\end{aligned}$$因此，方程的解为 $x_1 = -\frac{1}{4}$ 和 $x_2 = 4$。
浙江省年高中数学1月学业水平考试试题
那么由
可得 ,
, 是 的两个三等分点
那么
所以
设平面 的法向量为
那么 ,代入可得
化简可得
令 ,解得
所以
平面 的法向量为
由图可知,二面角 的平面角 为锐二面角,所以二面角 的平面角 满足
，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当 时, ,所以 .即“ 〞是“ 〞的充分条件.
当 时,由于 成立,所以 ,即“ 〞是“ 〞的必要条件.
综上可知, “ 〞是“ 〞的充要条件
所以
所以
故答案为: ;
【点睛】此题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n项和的求法,属于根底题.
， 分别是平面 ， 的法向量， ， .假设 ，那么实数 ______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m的值.
【详解】因为 ,且 , 分别是平面 , 的法向量
那么
的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像.
【详解】因为
而 为偶函数, 为奇函数,所以 为奇函数,所以排除C,D.
当 时, , ,所以 ,所以排除B选项.
应选:A
【点睛】此题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于根底题.
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(二)(含解析)
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（二）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则A B =（ ） A.{}1,2 B.{}1 C.{}2,3 D.{}1,4解析：选 A 因为{}{}2|3201,2A x x x =-+==，{}{}|05,1,2,3,4B x x x N =<<∈=，所以A B ={}1,2.故选A.2.若[1,1]x ∈-，则函数22x y =-的值域为（ ）A.[1,1]-B.[2,0]-C.3[,0]2- D.[1,0]- 解析：选C 因为[1,1]x ∈-，所以12[,2]2x ∈，所以322[,0]2x -∈-.故选C. 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（ ）A.64B.31C.24D.15解析：选D 因为数列是等差数列，所以79412a a a a +=+，所以1216115a =-=.故选D. 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=解析：选B 由题可得，设垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为320x y c ++=，因为直线过点(1,2)A -，所以340c -++=，解得1c =-，所以直线l 的方程为3210x y +-=.故选B.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> ）A.y =B.y =C.y x =D.32y x =±解析：选 A 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，所以3ca =，即223c a =22a b =+，解得2b a =，所以2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±.故选A. 6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（ ）解析：选B 由题可得，函数111y x =+-的图象可由函数1y x=的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，结合函数1y x=的图象可知，选项B 满足条件，故选B.7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ==，则C 的大小为（ ）A.30B.45C.150D.30或150解析：选A 因为1,3,60c b B ===，所以由正弦定理sin sin b c B C =可得sin 1sin 2c B C b ==.因为b c >，所以B C >，知90C <，解得30C =.故选A.8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A 因为(,2),(1,1)a b λλ=-=+，且a b ⊥，所以(1)20a b λλ⋅=+-=，解得1,2λ=-.所以可知是充分不必要条件.故选A.9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（ ）A.10B.3C.272 D.113解析：选B 由题可得，约束条件表示的平面区域如图所示，是一个以2251020(1,),(1,),(,)3639为顶点的三角形及其内部区域.由线性规划的特点可知，目标函数3z x y =+在点2(1,)3处取得最小值，其最小值为3.故选B.10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（ ） A.52B.2C.3D.32解析：选D 由题可得，结合三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积为13(12)1122V =⨯+⨯⨯=.故选D . 11.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ）A.最大值0B.最小值0C.最大值4-D.最小值4-解析：选 C 因为0x <，所以0x ->，所以111()2()2()x x x x x x -+=-+≥-⋅=--，所以12x x +≤-，所以124x x +-≤-.当且仅当1x x=，1x =-时，()f x 有最大值4-.故选C. 12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（ ） A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a -解析：选D 因为点G 为ABC ∆的重心，所以有0GA GB GC ++=.因为,BG a GC b ==，所以GA BG GC a b =-=-，所以22AB GB GA GC BG b a =-=-=-.故选D. 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（ ）A.195-B.519-C.3117-D.1731- 解析：选 D 因为3sin 5α=，且α是第二象限角，所以可得3tan 4α=-，所以22tan tan 21tan ααα=- 324297116-==--，所以241tan 21177tan(2)2441tan 23117πααα-++===--+.故选D. 14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥C.,//m m n n αα⊥⊥⇒D.,//l l βαβα⊥⊥⇒解析：选B 对于选项A ，由两平行平面内的各一条直线平行或异面可知，选项A 错误，排除；对于选项C ，,m m n α⊥⊥可以得到//n α或n α⊂，选项C 错误，排除；对于选项D ，,l βαβ⊥⊥可以得到//l α或l α⊂，选项D 错误，排除；对于选项B ，//,l l αβαβ⊥⇒⊥成立，故选B.15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（ ） A.30272 B.1514 C.30292D.1515解析：选D 因为2211111,24n n n n a a a a a ++=++=+，所以当1n =时，解得21a =；当2n =时，解得312a =；所以可知该数列是以2为周期的周期数列，所以该数列的前2020项和为202011010101015152S =+⨯=.故选D.16.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（ ）A.73B.2C.95D.43解析：选C 由题可得，()414144141141144145x y x y x y x y ⎛⎫+⋅++ ⎪+⎝⎭+=+=++ 4(14)4415249414555y xx y ++++++=≥=，当且仅当4(14)4414y x x y+=+，51,66x y ==时取得好.故选C.17.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（ ）A.322- B.21- C.122+ D.323+ 解析：选A 设直线方程为y x m =+，因为直线与椭圆相切，所以代入椭圆方程，可得22222222()20b a x a mx a m a b +++-=，所以由0∆=可得222m a b =+.又因为直线与圆相切，所以2b m b -=，解得(12)m b =+，所以2222(12)b a b +=+，由222b ac =-，所以有22(221)(222)a c +=+，解得222222322221c e a +-===+.故选A. 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（ ） A.2π B.2π C.22π D.12π 解析：选C 连接AF 交DE 于点O ，由已知条件易知AF DE ⊥，翻折后可得PO DE ⊥，且2OP ，所以有DE ⊥平面POA ，所以点P 的轨迹是在平面POA 内的半圆.连接OC ，取OCD 中点，连接GH ，由中位线可得1//,2GH PO GH PO =，所以点G 是GH 为半径的半圆轨迹.因为122GH PO ==2.故选C.二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为 ，该圆的面积为 .解析：(1,2);5π 由题可得，22(1)(2)5x y -+-=，所以可知该圆的圆心为(1,2)，半径为5r =，所以其面积为25r ππ=.20.若函数21()(27)(0)m f x m m x m -=-->是幂函数，则实数m = .解析：4 因为函数是幂函数，所以2271m m --=，解得4m =或2-.因为0m >，所以4m =.棱21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是所BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.解析：< 连接AP ，则11A PA θ∠=，12A PC θ∠=或2πθ-，设APC θ∠=，则122sin sin sin sin θθθθ=<，所以12θθ<.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 .解析：8[0,)3设()t f x =，()y f t =，因为A B =，所以()0f t =时，0t =，即(0)0f =，所以03n m -=，所以3n m =，所以43n m n +=.因为2()2(2)f x x nx x x n =+=+，由()0f t =得0,2t t n ==-，而()2f x n =-无解，即2220x nx n ++=无解，所以2480n n ∆=-<，解得02n <<.又0n =时符合题意.综上可知02n ≤<，所以48[0,)33n m n +=∈. 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值.解：1()sin()sin sin cos sin 22f x x x x x x π=+=-=-.(1)所以11()sin12264f ππ=-=-.(2)因为13()sin 2210f αα=-=-，所以3sin 25α=.因为04πα<<，所以022πα<<.所以4cos 25α=.所以()sin 2()sin(2)884f πππααα+=-+=-+sin 2cos cos 2sin44ππαα=--324272525210=-⨯-⨯=-. 24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为()0,2F ，4p =， 所以抛物线方程为y x 82=，与直线22y x =+联立消去y 得：016162=--x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ， 所以1212||||(2)(2)(24)(24)AF BF y y x x ⋅=++=++=80.(2)假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+， 可得),2,2(p p Q由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ， 即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ，所以0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， 代入得01342=-+p p ，解得14p =或1p =-（舍）． 25.已知函数2()(0,1)ax f x a b x b =>>+满足(1)1f =，且()f x 在R上有最大值4. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.解：(1)(1)11af b==+，所以1a b =+. 因为当0x >时，2()4ax a f x b x b x x==≤=++，所以1b +=，解得2b =或12b =.因为1b >，所以2b =，所以3a =. 所以23()2xf x x =+. (2)因为23(2)mx x m+-在[1,2]上恒有意义，所以1m <或2m >. 问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对[1,2]x ∈恒成立， 即mx x m≤-对[1,2]x ∈恒成立， 所以有m m x m x x-≤-≤. (i)当1x =时显然成立，当1x ≠时，21x m x ≤-，所以4m ≤(ii)对于21x m x ≥+对[1,2]x ∈恒成立，等价于2max1x m x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭.令1t x =+，则1[2,3]x t =-∈，所以22(1)121x t t x t t -==+-+，其在[2,3]上单调递增， 所以2max4=13x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即43m ≥. 综上可得，实数m 的取值范围是(2,4].。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷05(精品解析版)
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷05（解析版）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C. 2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A.3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A.2y =B.y =C.yD.0y x x =⋅解析：选C 通过化简后可知，选项A中2,(0)y x x ==≥，选项B中,(0)y x x ==≥，选项C中y x ==，选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C.4.已知tan(3)2x π+=-，则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（ ）A.4B.3C.3-D.4-解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-，所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B.5.下列各式化简错误的是（ ） A.21153151a a a-= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选D 由题得，2112110531553151a a a aa --++===，所以成立；2226()9()69333()a b ab -⨯--⨯--=46a b -=，所以成立；122122*********33333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===，所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-，所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y z x =的取值范围是（ ）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选 B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为412,,32，所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面（ ）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在解析：选B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在，且只有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B. 8.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 由21x -<解得13x <<，由220x x +->解得2x <-或1x >.因为(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的子集，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.9..若函数()f x 是偶函数，当10x -≤<时，2()41f x x x =-+，则当01x <≤时，函数()f x 的解析式为（ ）A.241x x ++B.241x x -++C.241x x --D.241x x ---解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()()f x f x -=.因为01x <≤，所以10x -≤<，所以22()()4()141()f x x x x x f x -=---+=++=.所以当01x <≤，2()41f x x x =++.故选A.10.首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =-解析：选D 由题可得，21()2333()2313nn n S -==-⋅-，12()3n n a -=，所以32n n S a =-.故选D. 11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D.12π解析：选D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体，所以该几何体的表面积为422312S ππππ=++⨯=.故选D.12.若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为（ ） A.6πB.3πC.32π D.65π 解析：选B 因为2a b a b a +=-=，所以a b ⊥且3b a =，所以()cos a b a a b aθ+⋅=+22122aa==，所以夹角为3π.故选B.13.如图所示，已知正四棱锥S ABCD -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ） A.90 B.60 C.45D.30解析：选B 连接,AC BD 交于点O ，连接EO ，则//EO SC .所以OEB ∠为所求角.OEB ∆是直角三角形，26,OE OB ==，所以tan 3OBOEB OE∠==，所以60OEB ∠=.故选B. 14.若函数()y g x =的定义域为[3,5]-，则(21)y g x =+的定义域为（ ）A.[5,11]-B.[3,5]-C.[2,2]-D.[2,3]-解析：选C 由题可得，3215x -≤+≤，解得22x -≤≤，所以函数的定义域为[2,2]-.故选C.15.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3 C.2 D.3 解析：选 A 由双曲线的定义式可知：122AF AF a -=，因为1253AF AF =，所以可得：125,3AF a AF a ==，因为122F F c =，由2AF x ⊥轴可知12AF F ∆是以21AF F ∠为直角的直角三角形.故有2224925c c a +=，解得2224c e a==，即2e =.故选A.16.函数2log 1y x =-的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选D 由题可得，令2log 10x -=，解得2log 1x =±，当2log 1x =时，解得2x =，即2x =±；当2log 1x =-，解得12x =，即12x =±.所以函数的零点有4个.故选D. 17.若,x y≤恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A.2B.1解析：选C 由题可得，≤即a ≥恒成立，即maxa ≥恒成立.因为21112==≤+=，所以≤，所以a ≥所以实数a，故选C.18.如图，在长方形ABCD中，1AB BC ==，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，则K 所形成的轨迹的长度为（ ）A.2π B.3πC.2D.3解析：选B 由题可得，'D K AE ⊥，所以K 的轨迹是以'AD 为直径的一段圆弧'D K .设'AD 的中点为O ，因为长方形'ABCD 中，3AB =，1BC =，所以'3D AC π∠=，所以'23D OK π∠=，所以K 所形成的轨迹的长度为3π.故选B .非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)A ，则p = ，其准线方程为 . 解析：2;1x =- 由题可得，24p =，解得2p =.所以准线方程为12px =-=-. 20.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .解析：9 因为等差数列{}n a 的公差d 满足21179d -<<-，所以{}n a 是递减数列.又因为11a =，0d <，所以令1(1)0n a a n d =+->，即111d a n d d-<=-，因为21179d -<<-，所以19.5110n d<=-<，所以9n ≤.即9n ≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <.所以当9n =时，n S 取到最大值.21.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积4222c b a S -+=，则角C =____________．解析：4π因为2221sin 42a b c S ab C +-==，所以2222sin 2cos a b c ab C ab C +-==，所以sin cos C C =，即tan 1C =，解得4C π=.22.设,0a b >，且满足21a b +=.若不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，则实数t 的取值范围是 . 解析：94t ≤因为对于任意的正数,0a b >，不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，即不等式可转化为1211t a b +≥++恒成立.因为121211()111142a b a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭51159142(1)2(1)44b a a b ++=++≥+=++，当且仅当112(1)2(1)b a a b ++=++，即13a b ==时，取到最小值.因为1211t a b +≥++恒成立，所以有94t ≤. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数2()2cos 3cos 1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()22C f =，且2c ab =，试判断ABC ∆的形状.解：(1)2()2cos 3cos 1f x x x x =+-32cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以22T ππ==. 所以函数的最小正周期为π. (2)()2sin()226C f C π=+=，因为02C π<<，所以解得3C π=.又因为222222cos c ab a b ab C a b ab ==+-=+-，所以2()0a b -=，即a b =所以ABC ∆是正三角形.24.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(2,3)P ，且它的离心率21=e . (1)求椭圆的标准方程；(2)与圆1)1(22=++y x 相切的直线:l y kx t =+交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：22222491,1,2a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得4,2a b c ===所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x . (2)因为直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切，所以1d ==，解得212(0)t k t t -=≠. 把y kx t =+代入1121622=+y x 并整理得222(34)8(448)0k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有122834ktx x k+=-+， 121226()234ty y k x x t k+=++=+， 因为1212(,)OC x x y y λ=++ 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k ，解得22222211134()()1t k t tλ==+++ 因为02>t ，所以 11)1()1(222>++t t 所以102<<λ所以λ的取值范围为)1,0()0,1( -. 25.设函数()(,)f x x x a b a b R =-+∈. (1)当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；(2)若不存在正数a ，使得不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数b 的取值范围.解：(1)当0a >时，22,,(),x ax b x a f x x x a b x ax b x a⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩当x a ≥时，函数2()f x x ax b =-+在[,)a +∞上单调递增；当x a ≤时，函数2()f x x ax b =-++在(,]2a -∞上单调递增，在[,)2a a 上单调递减. 所以函数()y f x =的单调递增区间为(,]2a -∞和[,)a +∞，单调递减区间为[,)2a a . (2)由题可得，0b ≥时显然成立； 当0b <时，()0f x <即b x a x -<-，即b b x a x x<-<-， 所以有,b x a xb x a x ⎧+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩.所以不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立即为max min ,b x a x b x a x ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩由maxb x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可得1b a +<， 由minb x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得当10b -<<时，a >； 当1b <-时，1b a ->.所以当1b <-时，11b a b +<<-，符合题意的正数a 总是存在的. 当10b -<<时，当1b +≥时符合题意的正数a 不存在，此时解得30b -+≤<.综上可得，3b ≥-+。
2021年浙江省高考数学(含解析版)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
若 c a 且 c b ，则 a c b c 0 ，但 a 不一定等于 b ，故充分性不成立，
若 a b ，则 a c b c ，必要性成立，故为必要不充分条件.
故选 B.
， E( )
.
6
3
答案：
1 8 9
解析：
P(
2)
C42 C2
mn4
6 C2
mn4
1 6
C
2 mn
4
36
，所以 m n 4 9 ，
P(一红一黄)
C41 Cm1 C2
mn4
4m 36
m 9
1 3
m
3
，所以 n
2 ，则 m n
1，
P(
2)
1 6
，
P(
1)
C41 C51 C92
45 36
13.已知多项式 (x 1)3 (x 1)4 x4 a1x3 a2 x a3x a4 ，则 a1
； a2 a3 a4
.
答案：
5 10
解析：
根据二项式通项公式： a1x3 C30 x3 (1)0 C41x311 5x3 ，故 a1 5 ；
同理， a2 x2 C31x2 (1)1 C42 x212 3x2 6x2 3x2 a2 3 ，
a
，故 e
5
.
5
解析二：不妨假设 c 2 ， sin PF1F2
sin HF1M
HM F1M
2 ， HM 3
c 2
2
2
，
F1M
数学●浙江卷丨2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(一)(含解析)
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（一）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.函数()f x ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 解析：选C 由10x -≥可得1x ≤，所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C ． 2.若数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，则4a =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 解析：选 A 因为数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，所以可知322a q a ==-，所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．2-解析：选C 2Ak B =-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=，则cos 2θ=（ ）A ．12-B ．12C ．34D ．34-解析：选B 因为1sin 2θ=，所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=，则()a a b ⋅-=（ ）A ．2B ．3-C ．4-D ．4 解析：选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=，所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正视图 侧视图正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1，高为2的圆柱，所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =，则14ab+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选 D 因为1ab =，所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =，1,22a b ==时取等号.8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x=- D ．2log y x = 解析：选C 由题可得，函数2y x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以排除A ；函数3y x =-是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，所以排除B ；函数1y x=-是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以C 满足条件；函数2log y x =是非奇非偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以排除D ．故选C ．9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15，则实数a的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3 解析：选 A 由题可得，该约束条件表示的平面区域是如图所示的三角形区域，该三角形的三个顶点分别为(1,3),(1,),(5,)3aa a -，因为该区域的面积为15，所以1341523aS a =⨯-⨯-=，由3a <，解得3a =-.故选A ．10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3,30b c B ===，则a =（ ） A ．6 B ．3 C ．6或3 D ．6或4解析：选 C 因为3,30b c B ===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可知，29180a a -+=，解得6a =或3a =.故选C ．11.双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120解析：选B 由题可得，双曲线的渐近线方程为y =，其与x 轴的夹角为60，所以由夹角的定义可知，这两条渐近线的夹角为60.故选B ． 12.已知函数()3sin(2)6f x x π=+，则下列说法正确的是（ ）A ．图象关于点(,0)6π对称 B ．图象关于点(,0)3π对称C ．图象关于直线6x π=对称 D ．图象关于直线3x π=对称解析：选C 由题可得，设26x k ππ+=，解得212k x ππ=-，所以可知函数的对称中心为(,0)212k ππ-()k Z ∈.设262x k πππ+=+，解得26k x ππ=+，所以可知函数的对称中心为()26k x k Z ππ=+∈，通过对比选项可知，图象关于直线6x π=对称成立.故选C ．13.已知:23p x ->，:5q x >，则q 是p 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由23x ->可得1x <-或5x >，所以q 是p 的充分不必要条件.故选A ． 14.已知直线//l 平面α，动直线m 与直线l 所成角的大小为3π，则平面α截动直线l 运动所成的轨迹得到的图形是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选C 由题可得，动直线按条件运动所得轨迹被平面α截得的图形是双曲线.故选C ．15.已知点(1,2,5),(3,4,1)A B --，若点C 在x 轴上，且满足AC BC =，则点C 的横坐标为（ ） A ．2- B ．2 C ． 12D ． 12-解析：选D 设(,0,0)C a ，因为AC BC =，所以22222(1)25(3)(4)1a a +++=-+-+，化简得12a =-.故选D ．16.曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124 B ． 53(,)124 C ．13(,)34 D ．5(0,)12 解析：选 A 由题可得，曲线214y x =+-对应的图象是如图的半圆，要使曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则直线(2)4y k x =-+过点(2,1)-，代入可得34k =，且处于切线的临界点，此时512k =，所以实数k 的取值范围是53(,]124.故选A ．17.若向量,a b 满足22a a b =+=，则a 在b 方向上投影的最大值是（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-解析：选 D 设(2,0),(,)a b x y ==.由22a b +=可得22(4)4x y ++=.所以a 在b 方向上的投影为222cos 23a b xx a x x y b θ⋅===--+.令23t x =--，则232t x +=-，所以原式为2332t t+-≤-.故选D ．18.如图，在棱长为1的正四面体D ABC -中，O 为ABC ∆的中心，过点O 作做直线分别与线段,AB AC 交于,M N （可以是线段的端点），连接DM ，点P 为DM 的中点，则以下说法正确的是（）A ．存在某一位置，使得NP DAC ⊥面B ．DMN S ∆的最大值为34C ．22tan tan DMN DNM ∠+∠的最小值为12D ．D MNC D MNBA V V --的取值范围是4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：选D 本题考查空间几何体的综合问题.由题可得，选项A 中，当线段MN 变化时，MN DN ≠，所以排除；1663226624DMN S MN DO MN ∆=⋅=≤⨯=，所以排除B ；对于选项D ，因为34ABC S ∆=，3398MNC S ∆≤≤，又因为MNBA ABC MNC S S S ∆∆=-，所以4[,1]5D MNC MNC MNC D MNBA MNBA ABC MNC V S S V S S S -∆∆-∆∆==∈-.故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设全集为R ，若集合(0,2]P =，[1,1]Q =-，则P Q = ，()R P Q = . 解析：[1,2]-；[1,0]- 因为(0,2]P =，[1,1]Q =-，[1,2]P Q =-，又因为(,0](2,)RP =-∞+∞，所以()[1,0]R P Q =-.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则5a = . 解析：8 因为数列是等差数列，所以95972S a ==，解得58a =.21.已知直线l 过圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心，当原点到直线l 距离最大时，该直线l 的方程为 .解析：250x y +-= 设圆心为(1,2)A ，要使原点到直线l 距离最大时，则OA l ⊥，所以112l OA k k =-=-.所以直线l 的方程为12(1)2y x -=--，即250x y +-=.22.若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22x x a <--成立，则实数a 的取值范围是 .解析：92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭要使不等式成立，即22x a x -<-成立，令2(),()2f x x a g x x =-=-，函数()f x x a =-与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)a .当函数()f x x a =-的左支与y 轴交于点(0,)a ，此时有0a <，若2a ≥，解得2a ≥或2a ≤-，则当2a ≤-时，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方，不合题意；在y 轴右侧，当函数()f x x a =-的左支与曲线2()2g x x =-相切时，函数()f x x a =-左支图象对应的解析式为y a x =-，将y a x =-代入22y x =-，得22a x x -=-，即2(2)0x x a -+-=，由判别式为零可得940a -=，解得94a =，则当94a ≥时，如图（一）所示，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方或相切，则不等式22x a x -≥-在(0,)+∞上恒成立，不合于题意；当924a -<<时，如图（二）所示，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象的左支或右支与函数()22g x x =-相交，在y 轴右侧，函数()f x 的图象中必有一部分图象在函数()22g x x =-的下方，即存在0x >，使得不等式22x a x -<-成立，故实数a 的取值范围是92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.图一 图二 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）证明：1211123n S S S +++<． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为222212,b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以612,6q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩] 解得3q =或4q =-（舍去），3d =. 所以33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=. （II ）因为3n a n =，所以(33)2n n n S +=， 所以12211()3(1)31n S n n n n ==-++， 所以12111nS S S +++ 21111111(1)3223341n n =-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+. 24.（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的一个端点与椭圆C 的两个焦点构成面积为3的直角三角形． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过圆22:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 相交于,A B 两点．求证：以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 解：（I ）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意得2222,13,2b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2226,3a b c ===.所以椭圆C 的方程为22163x y +=.（II ）圆E 的方程为222x y +=，设O 为坐标原点，当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x =则A B ,所以2AOB π∠=.此时，以AB 为直径的圆过坐标原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y . 因为直线l 与圆E相切，所以d ==2222m k =+.联立方程组22,26y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元化简得222(12)4260k x kmx m +++-= 22222164(12)(26)8(41)0k m k m k ∆=-+-=+>，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++，所以2222121212122(1)(26)(1)()12k m OA OB x x y y k x x km x x m k+-⋅=+=++++=+ 2222222436601212k m m k m k k---+==++. 所以OA OB ⊥，此时，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ． 综上可知，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ． 25.（本小题满分11分） 已知函数2()()f x x ax a R =+∈.（I ）若()f x 在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围； （II ）记()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值. 解：（I ）因为[0,1]x ∈.当0a ≥时，2()f x x ax =+在区间[0,1]上单调递增；当0a <时，222(),0,(),x ax x a f x x ax x ax x a ⎧-+≤<-=+=⎨+>-⎩所以要使()f x 在[0,1]上单调递增，则需12a-≥，即2a ≤-.所以满足条件的实数a 的取值范围是(,2][0,)-∞-+∞.（II ）由（I ）知，当2a ≤-或0a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增， 则()(1)1M a f a ==+.当20a -<<时，2()max (),(1)max ,124a a M a f f a ⎧⎫⎧⎫=-=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.在20a -<<时解不等式214a a >+，解得22(1a -<<，所以此时2,22(14()1,2(10a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-<<⎩综上可知，2,22(14()1,22(1a a M a a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或所以当22(1a a ≤-≥或时，()213M a ≥-=-当22(1a -<<时，21()(234M a ≥-=- 所以()M a的最小值为3-.。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(五)数学试题(解析版)
绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(五)数学试题 (解析版)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选 A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A. 3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A.2y =B.y =C.y =D.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知,选项A 中2,(0)y x x ==≥,选项B 中,(0)y x x ==≥,选项C 中y x ==,选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C. 4.已知tan(3)2x π+=-,则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（ ）A.4B.3C.3-D.4- 解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-,所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（ ）A.21153151a a a -= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选 D 由题得,2112110531553151a a a aa --++===,所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=,所以成立；122122*********33333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===,所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-,所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则y z x =的取值范围是（ ）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得,该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域,其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1),代入目标函数,求得函数值分别为412,,32,所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线,则过直线n 且与直线m 垂直的平面（ ）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在解析：选B 若两条异面直线互相垂直,则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在,且只有一个；若两条异面直线不垂直,则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.。
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题三含解析
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（三）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.） 1.函数22101y x x -+的值域为 A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞解析：选D 因为222101(1)914y x x x -+=-+≥，所以函数22101y x x -+的值域为[4,)+∞，故选D ．2.1和4的等比中项为（ ）A.2B.2-C.2±D.4±解析：选C 由题可得，设等比中项为a ，则24a =，解得2a =±.故选C.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（ ）A.60B.120C.45D.135解析：选B 由余弦定理可知222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以1cos 2A =-，因为0180A <<，所以120A =.故选B.4.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.23π B.2π C.223πD.π解析：选 A 由题可得，该几何体是半个圆锥.所以其体积为1122232V ππ=⨯⨯=.故选A. 5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（ ）A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度解析：选 B 将函数sin()3y x π=+的图象向右平移3π个单位长度即可得到函数sin y x =的图象.故选B.6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m < B.1m >- C.11m -<< D.1m >或1m <- 解析：选A 因为经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，所以1012AB m k -=>-，解得1m <.故选A.7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（ ） A.32 B.23 C.32- D.23-解析：选D 因为//a b ，所以230x +=，解得23x =-.故选D.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（ ）A.16B.17C.18D.19 解析：选C因为6324,144(6)n n S S n -==>，所以612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++180=，所以6616()36180216n n n S S S a a -+-=+=+=，所以136n a a +=.所以1()3632422n n n a a nS +===，解得18n =.故选C. 9.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，032AF x =，则0x =（ ） A.14 B.12C.1D.2 解析：选 B 由题可得，抛物线的准线方程为14x =-.因为032AF x =，由抛物线的定义可知，001342x AF x +==，解得012x =.故选B.10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（ ）A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)-D.14(,,2)33解析：选B 设中点为P ，则其坐标满足341351(,,)222-+++，即为1(,2,3)2.故选B.11.若x、y满足约束条件36022x yx yy+-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y+的最小值为A.5B.4C.2D.2解析：选C 由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y+可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y+=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y+=的距离为22d==，所以所求最小值为2.故选 B.12.设,a b R∈，则“4a b+>”是“2a>且2b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当2a>且2b>时，4a b+>成立，所以是必要条件，当4,1a b==时，4a b+>，但2a>，2b<，所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选B.13.在正方体1111ABCD A BC D-中，下列几种说法正确的是（）A.11AC AD⊥ B.11DC AB⊥ C.1AC与DC成45角 D.11AC与1B C成60角解析：选D 由题可得，设1AB=，以D为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz-.则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)D D A A B B，1(0,1,0),(0,1,1)C C.所以11(1,1,0),(1,0,0)AC AD=-=-，因为1110AC AD⋅=≠，所以选项A错误；11(0,1,0),(0,1,0)AB DC==，因为1110AB DC⋅=≠，所以选项B错误；因为1(1,1,1),(0,1,0)AC DC=-=，所以6cos632θ==⨯，所以1AC与DC不成45角，故选项C 错误.所以正确的选项是D.14.设,0a b >，则4(1)(1)b aa b++的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.13解析：选C 444(1)(1)14529b a b a b a a b a b a b++=+++≥+⋅=.故选C. 15.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B.若,//l l m α⊥，则m α⊥ C.若//,l m αα⊂，则//l m D.若//,//l m αα，则//l m解析：选B 由直线与平面垂直的判定定理可知，选项A 错误；直线与平面平行，则直线与平面内的直线没有交点，则是平行或异面，故选项C 错误；平行于同一个平面的两条直线不一定平行，故选项D 错误.故选B. 16.下列四个命题中正确的是( )A.若,a b R ∈，则a b a b -<+B.若,a b R ∈，则a b a b -<+C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <解析：选C 当2,0a b ==时，a b a b -=+，a b a b -=+，所以A,B 均不成立；当0,2a b ==时，a b a b -<+，但0ab =，所以D 不成立，故选C.17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+解析：选B 如图，因为2b AF BF a==，EF a c =+，要使ABE ∆是锐角三角形，则只需AEB ∠为锐角，故45AEF ∠<，所以AF EF <，即22c a a c a -<+，化简得220e e --<，解得12e -<<.因为1e >，所以12e <<.故选B.18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CD CE CD=，CB CF CB=.若将CEF ∆沿EF 折起，使得平面CEF 与平面ABFED 垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（ ）A.35 B.25 C.110 D.310解析：选 D 如图所示，设CO EF ⊥，则CO ⊥平面ABFED .因为CA CO OE ED DA =+++，所以53CA CO OE ED DA =+++=，3BE =.设直线AC与直线BE 所成角为θ，则5315cos 3cos cos 22CA BE CA BE θθθ⋅=⋅=⨯=|()CO OE ED DA =+++(BC ⋅)|CE +OE BC OE CE ED BC ED CE DA BC DA CE =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅11|3324=+-+941|4-+=，所以3cos 10θ=.即直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为310.故选D.二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1AB =，则实数a = ，A B = .解析：{}1;1,2,4 因为{}1AB =，且233a +≥，所以1a =，所以{}1,4B =，所以{}1,2,4A B =.20.在ABC ∆中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ⋅= . 解析：4- 因为AB AC ⊥，所以AB BC ⋅=24AB -=-.21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .解析：[3,1]- 将直线与圆方程联立，消去y ，化简得222(22)10x a x a +-+-=，由方程有解可知，22(22)8(1)0a a ∆=---≥，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.故选C.22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3xf xg x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 .解析：41[,)12-+∞ 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.因为()()3x f x g x +=，所以可知()33x x f x -=-，()33x x g x -=+.所以()(2)af x g x +22(33)(33)0x x x xa --=-++≥对[1,2]x ∈恒成立，即22233(33)23333x x x x x x x xa ----+-+≥-=--- 23333x x x x--=-+-对[1,2]x ∈恒成立，令88033[,]39x xt -=-∈，所以2()a t t≥-+对880[,]39t ∈恒成立，所以4112a ≥-.所以实数a 的取值范围是41[,)12-+∞.三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b ac ac =+-.(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.解：(1)由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以有1cos 2B =. 因为0B π<<. 所以3B π=.(2)因为3B π=，所以23A C π+=，即23C A π=-，且203A π<<.所以23sin sin sin sin()sin )3226A C A A A A A ππ+=+-=+=+. 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，3A C π==max )6A π+=当566A ππ+=或66A ππ+=，即23A π=或0A =min )6A π+=.所以sin sin (2A C +∈.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n +=<<的离心率为2，且经过点2P .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ⋅为定值.解：(1)根据题意有222223,43114n m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得221,4m n ==，所以椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)联立方程组22,44y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，化简得：222(4)240k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点坐标为00(,)D x y . 则有120224x x kt x k +==-+，00244ty kx t k =+=+. 所以004OD y k x k==-， 所以44OD k k k k⋅=-⋅=-为定值. 25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()bf x x>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)因为1a =，所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+，即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥⎧⎨+<+⎩或210,1(1)x x x +<⎧⎨+<-+⎩ 解得01x <<.所以不等式的解集为(0,1).(2)2()1x a b f x x x+=>+恒成立等价于1()x a b x x +>+恒成立， 即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立.所以有(1)b a b x x >-+或(1)ba b x x <-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立，解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)
绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数()f x = ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 解析：选C 由10x -≥可得1x ≤，所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C ．2.若数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，则4a =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 解析：选A 因为数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，所以可知322a q a ==-，所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．2- 解析：选C 2A k B=-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=,则cos2θ=（ ） A ．12- B ．12 C ．34 D ．34- 解析：选B 因为1sin 2θ=,所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=,则()a a b ⋅-=（ ）A ．2B ．3-C ．4-D ．4 解析：选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=,所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个圆,则这个几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 解析：选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1,高为2的圆柱,所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =,则14a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选 D 因为1ab =,所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =,1,22a b ==时取等号. 8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x=- D ．2log y x = 解析：选C 由题可得,函数2y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除A ；函数3y x =-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递减,所以排除B ；函数1y x=-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以C 满足条件；函数2log y x =是非奇非偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除D ．故选C ．9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15,则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3解析：选A 由题可得,该约束条件表示的平面区域是如图所示的三正视图 侧视图俯视图。
浙江省2021年高中数学1月学业水平考试模拟试题B
浙江省2021年高中数学1月学业水平考试模拟试题B选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =A ．{|13}x x <<B ．{|03}x x <<C ．{3}D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N，所以{}{}{}1,2,3,42,33AB =-=.故选C ．2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110ff f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x x ω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω= A ．5 B ．10 C ．15D ．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．22C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ． 11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A 项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ． 对于D ，若a b ∥，且a αβ=，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7圆C 的方程为 A ．22(2)9x y ++= B ．22(2)9x y -+= C ．22(1)6x y ++= D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为722222117225522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b 与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅ab a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为A ．2B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩，由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =； 当()(),14,x ∈-∞+∞时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =，所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是 A ．1(,][2,)3-∞-+∞B ．11(,][,)34-∞-+∞C ．11(,][,)49-∞+∞ D ．19(,][,)34-∞-+∞16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-，||||43FA FB -=FA FB ⋅为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为43FA FB-==结合2114y x =，2224yx =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-， 故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD△绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠且0α≠时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=时，E FK α∠'=， 当0α=时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=时，E DK α∠'>，当180α=时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确.故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=， 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______.20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3. 21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=， ∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=，又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0）， 所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立， 即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301tt -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立，重点中学试卷 可修改 欢迎下载11 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。
2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知全集U ，集合A ，B 为其子集，若，则（ ）A．B．C ．A D ．B2.新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有款优质毛巾，其中有款是用新疆超长棉纱制成的，在这款毛巾中任选款，至少有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（ ）A．B．C．D．3. 已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）A．B ．3C．D．7.已知数列的前项和满足，有结论：①若，则；② 数列是常数列.关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立8. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数为偶函数B．函数在上单调递增C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象9.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）A．数列是等比数列B ．数列是等差数列C ．数列的通项公式为D．10. 已知平面向量，，则（ ）A ．若，则B．若，则与的夹角为锐角C ．若为任意非零向量，则存在实数，使得2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题D．若在上的投影向量为，则或11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则与同向的单位向量为C ．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D ．若，则的最小值为12.已知数列满足，，设，记数列的前2n 项和为，数列的前n 项和为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13.如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为2时，则的大小为______.14. 过直线上动点P作圆的一条切线，切点为A ，若使得的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．15.在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则______，的取值范围是______．16. 如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，若．（1）求的长；（2）当为何值时，的长最小；（3）当的长最小时，求面与面所成的二面角的余弦值．17.已知数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 已知椭圆上的动点P到右焦点距离的最小值为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆的右顶点，，求面积的最大值.19. 已知函数．(1)若在其定义域内单调，求实数a的取值范围；(2)若，的极大值为，证明：．20. 已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n-2a n=n-4.（1）证明：{S n-n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n.21. 已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.。
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2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A ．∅B ．{5}C ．{4,6}D ．{3,4,5,6,7}2．函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞3．33log 18log 2-=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是（ ） A ．22(1)(2)20x y +++= B ．22(1)(2)20x y -+-= C ．22(1)(2)5x y +++=D ．22(1)(2)5x y -+-=5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．436．不等式|1|24x -<的解集是（ ）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞7．若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．68．若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行，则1l 与2l 间的距离是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若2sin b A =，则B =（ ） A ．6π B ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π10．已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,l l αβ⊂，则//αβ C ．若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥11．若,a b ∈R ，则“14ab ≥”是“2212a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ，则（ ） A ．40100a a < B ．40100a a > C ．40100S S <D ．40100S S >14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（ ）A ．45B ．35CD．1015．某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB GB EF GB ⋅=⋅ B ．AB AG EF AG ⋅>⋅C ．AE GB BF GB ⋅=⋅D ．AB EF BF AG ⋅>⋅16．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．517．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）A ．2B ．18C ．12D 18．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABCEF O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、双空题19．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若141,64a a ==，则q =____，3S =____.三、填空题20．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.21．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.22．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.四、解答题23．已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期； （3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 24．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.25．设[]0,4a ∈，已知函数24(),1x af x x x -=∈+R . （1）若()f x 是奇函数，求a 的值； （2）当0x >时，证明：()22af x x a ≤-+； （3）设12,x x ∈R ，若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-，证明：1()(1)8f m a f --<.参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）19．4，21 20 21． 22．11,2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共3小题，共31分．）23．（Ⅰ）1cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即32f π⎛⎫=⎪⎝⎭；（Ⅱ）1()cos sin sin 626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅲ）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因此当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==； 当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =；所以()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]． 24．（Ⅰ）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =．设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =所以，直线l的方程为1y =+．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，所以1020||||PA PB x x ⋅=--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦ ()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦ ()()220014k x y =+-．由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+．由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)k xy t +-=+．所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+．由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++--===++． 25．（Ⅰ）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-， 即224()4()11x a x ax x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =；（Ⅱ）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭ ()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+．所以，()22af x x a ≤-+． （Ⅲ）设4t x a =-，则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ， 当0t =时，0y =； 当0t ≠时，216162y a t at =+++；max ()0f x =>，min ()0 f x =<，()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x ⋅=-≥，即22m -≤≤．①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<； ②当0m a ->时，由（Ⅱ）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立． 综上可知1()(1)8f m a f --<．。