《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

《数学分析》第十一章

反常积分复习自测题

[1]

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第十一章 反常积分复习自测题

一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：

1、正确地判断下列反常积分的敛散性：

（1）1d p a x x +∞⎰（0a >）；（2）01d a p x x ⎰（0a >）；（3）01

d p

x x +∞⎰（0a >）。

2、正确地判断下列反常积分的敛散性：

（1）1d (ln )p

a

x x x +∞⎰

（1a >）；（2）11

d (ln )a p x x x ⎰（1a >）；（3）1

1

d (ln )

p

x x x +∞⎰

。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值：

（1）

2

1d 1x x +∞+⎰

；（2）2

1

d 1x x +∞-∞+⎰；（3）10x ⎰；（4）11

x -⎰

。

4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）

（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，

则无穷积分()d a

f x x +∞⎰

收敛⇔()lim ()x F f x →+∞

+∞=存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=⎰

。

（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，()lim ()x F f x →-∞

-∞=，

则无穷积分()d f x x +∞-∞

⎰

收敛⇔()lim ()x F f x →+∞

+∞=和()lim ()x F f x →-∞

-∞=都存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=⎰

。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞

存在，则无穷积

分()()d a

f x

g x x +∞'⎰

收敛⇔()()d a

f x

g x x +∞'⎰

收敛，且

()

()()d ()()()()d a

a

f x

g x x f x g x f x g x x a

+∞+∞+∞''=-⎰

⎰

，

其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞

+∞+∞=。

（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ϕ=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ϕαβ=+∞，则无穷积分()d a

f x x +∞⎰

收敛⇔积分

(())()d f t t t β

α

ϕϕ'⎰收敛，且

()d (())()d a

f x x f t t t βα

ϕϕ+∞'=⎰

⎰

。

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，

若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞

⎰

收敛⇔0

()d f x x +∞⎰

收敛，且

()d 2()d f x x f x x +∞+∞-∞

=⎰

⎰

；

若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞

⎰

收敛⇔0

()d f x x +∞⎰

收敛，且()d 0f x x +∞-∞

=⎰

。

提示：注意由换元法可得

000

()d ,()d ()d ()d ()d ,x t

f t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞-∞

+∞

⎧⎪=--=-=⎨⎪-⎩⎰⎰⎰⎰

⎰为偶函数为奇函数。

二、举例说明下面关系不一定成立：

1、瑕积分()d b a

f x x ⎰

收敛不一定能推出瑕积分2()d b a

f x x ⎰

；无穷积分()d a

f x x

+∞⎰

收敛也不一定能推出无穷积分2()d a

f x x +∞⎰

收敛；

注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分()d a

f x x +∞⎰

收敛不一定能推出无穷积分()d a

f x x +∞⎰

收敛；

注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞

=不一定成

立；