《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
数学分析11反常积分总练习题
第十一章 反常积分总练习题1、证明下列等式： (1)⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx ，p>0；(2)⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx ，0<p<1. 证：(1)∵p>0，∴两个积分都收敛，令x=t1，则⎰+11-p 1x x dx=⎰++→1u 1-p 0u 1x x lim =⎰++∞→1u1p -1u11t1t lim d ⎪⎭⎫⎝⎛t 1=⎰++∞→u 11-p u 11t t lim dt=⎰∞++1-p 1x x dx.(2)∵0<p<1，∴两个积分都收敛， 又⎰∞++01-p 1x x dx=⎰+101-p 1x x dx+⎰∞++11-p 1x x dx. 由(1)得⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p1x x dx ，又令x=t1，则 ⎰∞++11-p 1x x dx=⎰++∞→u 11-p u 1x x lim =⎰++→u 11p -10u11t1t lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛t 1=⎰++→1u 1-p 0u 11t t lim dt=⎰+10-p 1x x dx. ∴⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx+⎰+10-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx.2、证明下列不等式： (1)22π<⎰14x -1dx<2π；(2)⎪⎭⎫⎝⎛-e 1121<⎰+∞0x -2e dx<1+2e 1. 证：(1)∵)x 1(212-<4x-11<2x-11, x ∈(1,0].∴⎰12x-1dx 21<⎰14x-1dx<⎰12x-1dx .又⎰102x-1dx 21=22π；⎰12x -1dx=2π. ∴22π<⎰104x-1dx <2π. (2)⎰+∞0x -2e dx=⎰10x -2e dx+⎰+∞1x -2e dx<⎰10dx +⎰+∞1x -2x e dx=1+2e1. 又⎰+∞0x -2edx=⎰10x -2edx+⎰+∞1x -2edx>⎰10x -2edx>⎰10x -2x edx=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121<⎰+∞0n -2e dx<1+2e1.3、计算下列反常积分的值：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(3)⎰+∞+02x1lnxdx ；(4)⎰2π0)θln(tan d θ. 解：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx=⎰+∞→u 0ax -u e b 1limdsinbx=b 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0-⎰+∞→u 0u sinbx lim b 1de -ax=⎰+∞→u 0ax-u sinbx e lim b a dx=-⎰+∞→u 0ax -u 2e lim b a dcosbx =-2u b a lim+∞→cosbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0u 2cosbx lim b a de -ax=2b a -bx cos e ba 0ax -22⎰∞+dx.∴bx cos eb b a 0ax-222⎰∞++dx=2b a ，即bx cos e 0ax -⎰+∞dx=22ba a+. (2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx=-⎰+∞→u0u sinbx lim a1de -ax=-a 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0ax-u e lim a 1dsinbx=⎰+∞0ax -cosbx e a b dx=22b a a a b +⋅=22ba b+. (3)⎰+∞+02x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰+∞+12x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛12x 11x 1ln d ⎪⎭⎫⎝⎛x 1 =⎰+12x 1lnxdx+⎰+012u 1lnu du=⎰+102x 1lnx dx+⎰+012x1lnx dx=0. (4)令tan θ=t ，则⎰2π)θln(tan d θ=⎰+102t1lntdt=0.4、讨论反常积⎰+∞λxsinbxdx (b ≠0)，λ取何值时绝对收敛或条件收敛. 解：不妨设b>0，记I=⎰+∞0λx sinbx dx ，I 1=⎰b10λx sinbx dx ，I 2=⎰+∞b1λx sinbx dx. 对I 1，当λ≤1时，λ0x x sinbx lim+→=bx sinbx bx lim λ-10x +→=⎩⎨⎧=<1λb 1λ0，∴I 1是正常积分. 当λ>1时，x=0是瑕点，λ1-λ0x x sinbxx lim +→=b ∈(0,+∞). ∴当1<λ<2时，I 1绝对收敛；当λ≥2时，I 1发散. 对I 2，当λ≤0时，∵令A n =(2n π+4π)b 1，B n =(2n π+2π)b1， 则A n →+∞，B n →+∞(n →+∞)且 |⎰nn B Aλx sinbx dx|=b λ⎰++2πn π24πn π2λu sinu du ≥b λ⎰+++2πn π24πn π2λu )4πn π2sin(du =22b λλ1)4πn π2()2πn π2(λ-1λ-1-+-+>0. ∴当λ≤0时，I 2发散. 当0<λ≤1时，由狄利克雷判别法知I 2收敛.又|λx sinbx |≥λ2x bx sin =λ2x1+λ2x bx 2sin ， 其中⎰+∞b1λ2x bx2sin dx 收敛，但⎰+∞b1λ2x dx 发散，∴当0<λ≤1时，I 2条件收敛. 当λ>1时，∵|λx sinbx|≤λx 1，∴I 2绝对收敛.综上，原积分的收敛性如下表：5、证明：设f 在[0,+∞)上连续，0<a<b. (1)若+∞→x lim f(x)=k, 则⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]ln ab； (2)若⎰+∞x f(x)dx 收敛，则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)ln ab. 证：(1)令ax=t ，则⎰Aεx f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt ，同理，⎰A εx f(bx)dx=⎰bA b εtf(t)dt. ∴⎰Aεx f(bx)-f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt-⎰bA b εt f(t)dt=⎰b εa εt f(t)dt-⎰bA aA tf(t)dt =⎰b aεu u)f(εdu-⎰b a u f(Au)du=⎰b a u u) f(εdu-⎰b a u f(Au)du=[f(εξ)-f(A η)]⎰b a udu , 其中ξ,η∈(a,b)，令ε→0+, A →+∞, 得⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]⎰b a u du =[f(0)-k]ln ab.(2)∵⎰+∞0x f(x)dx 收敛，∴对任何ε>0, 有⎰+∞εx f(ax)dx=⎰+∞a εxf(x)dx ， ∴⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx=⎰+∞a εx f(x)dx-⎰+∞b εx f(x)dx=⎰b εa εx f(x)dx=⎰b εa εx x)f(εdx=f(εξ)⎰b a xdx . 令ε→0+, 则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)⎰b a x dx =f(0)ln ab.6、证明下述命题：(1)设f 为[a,+∞)上的非负连续函数. 若⎰+∞a x f(x )dx 收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛；(2)设f 为[a,+∞)上的连续可微函数，且当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，则⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件为⎰+∞'a (x )f x dx 收敛.证：(1)取M=max{|a|,1}，则⎰+∞M x f(x )dx 与⎰+∞a x f(x )dx 同收敛. ∵f 为[M,+∞)上的非负连续，∴0≤f(x)≤xf(x)，x ∈[M,+∞)， ∴⎰+∞M f(x )dx 收敛，同时有⎰+∞a f(x )dx 也收敛. (2)∵f,f ’为[a,+∞)上都连续，∴⎰'Aa(x )f x dx=xf(x)|Aa -⎰Aaf(x )dx.设⎰+∞a f(x )dx 收敛，又当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a). ∴⎰'+∞→AaA (x )f x limdx 存在，即⎰+∞'a (x )f x dx 收敛. 设⎰+∞'a (x )f x dx 收敛，则任给ε>0, 有M>|a|，当A>x>M 时，就有 |⎰'Ax (t)f t dt|<ε，∵f ’≤0, 由积分中值定理知，存在ξ∈[x,A]，使得⎰'Ax(t)f t dt=ξ⎰'Ax(t)f dt=ξ[f(A)-f(x)]，∴0≤x|f(A)-f(x)|≤ξ|f(A)-f(x)|<ε，令A →+∞，则f(A)→0，∴ |xf(x)|= x|f(x)|≤ε (x>M)， ∴+∞→x lim xf(x)=0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a)存在，又⎰'+∞→AaA (x )f x limdx=+∞→A lim xf(x)|Aa -⎰+∞→AaA f(x )limdx 存在，∴⎰+∞→A a A f(x )lim dx 存在，即⎰+∞a f(x )dx 收敛. 得证.。
第11章反常积分答案
第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（ ）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx =（ ）A 、3ln 1-B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln~5、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（ ）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e xD 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx8、⎰=-10121dx e x x（ ）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）A 、0B 、4πC 、 2πD 、π》10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（ ）A 、0B 、2πC 、2π-D 、π11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（ ）A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx x B 、dx x ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （ ）^A 、0≥B 、0>C 、0<D 、0=答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛； （ ）2、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界， 则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛； （ ）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）/5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+a dx x f 发散； （ ）6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ）7、若()x f 单调，()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）8、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）9、若()⎰∞+adxx f 2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛； （ ）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+a dx x g x f 收敛；（ ）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）答案：××× ××× ×、三、填空题（每题2分） 1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a x λ， 若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当1>λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ ；7、当1≥p 时，瑕积分⎰10px dx ；'8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则=A ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数=a ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则p ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则p ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、2-< 12、2≥四、计算题（每题5分） | 1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21lim ππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx，解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dxx dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→x x))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x xx dx+--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x-解：由 Cx x x x xx d dx x x x dx x x +-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(111112222342得 ⎰∞+++04211dx x x =221arctan 21lim 11lim 20420πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→u x x dx x x u u u8、())0(ln >⎰∞+a x x dxa p解：1=p 时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰a u x x x d x x dxu u a au ln ln lim ln ln lim ln1≠p 时，()()a u x p x xd x x dxpu uapu a p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln 11limln ln limln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln 111p p a p p故当1>p 时，()⎰∞+a px x dx ln =()pa p --1ln 111≤p 时，()⎰∞+apx x dxln 发散；9、⎰2)ln(sin πdxx解：=I ⎰20)ln(sin πdx x =⎰+→20sin ln lim πεxdx ⎰+→=422sin ln lim 2πεεtdt t x、=⎰+++→42)cos ln sin ln 2(ln lim 2πεεdtt t=⎰⎰++⋅404cos ln 2sin ln 242ln 2πππtdttdt=⎰⎰+=++404022ln 2cos ln 2sin ln 22ln 2ππππIxdx xdx由此求得 2ln 2π-=I10、⎰∞+-∈=0)(N n dx e x I x n n解：当0=n 时，⎰∞+-==001dx e I x当1≥n 时，dx x e n ux e dx x e I un x u nx u un x u n ⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==010lim 0)(lim lim=⎰---+∞→=u n n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） ~ 1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt t t t dx x x =⎰∞++-021ln dxx x则有 01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dx x x⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dxx x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛⇒dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x3、证明：若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：,a ∀由条件()1J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由()x f 连续可得…()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a x x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、 设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若()x f 在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x证：（1）设()Ax f x =+∞→lim 。
数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
反常积分练习题ppt课件
0 , x 0
四、
ห้องสมุดไป่ตู้
x
f
(t )dt
1 4
x2
,
0
x
2.
x 1 , 2 x
5
三、求当 k 为何值时 ，广义 积分 b dx (b a) a (x a)k 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？
0 , x 0
四、已知
f
(x)
1
2
x
,
0
x
2
，试用分段函数表示
1 , 2 x
x f (t)dt .
4
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；2、q 1 , q 1； 3、k 1 , k 1 ；
4、广义积分 x dx =____；
1 x2
2
5、广义积分 1 xdx ________；
0 1 x2
6、广义积分 x f (t)dt 的几何意义是______________ ________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
3
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx ；
0 (1 x 2 )2
7、 1 lnn xdx . 0
4－6 反常积分练习题
1
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章
第十一章 反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（ ）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。
B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。
C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。
D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。
3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx； （3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x； （3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ； （7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ； （8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++； （3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ； （2）⎰-1dx x1x； （3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ； （5）⎰-103dx x 1arctgx； （6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）： （1）()⎰10ndx x ln ； （2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。
高数下册第11章复习题与答案
高数下册第11章复习题与答案第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散；（4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． + +??? ??+??? ??+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ．极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。
提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数1n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。
数学分析试题库填空题
一 填空题（每题4分）第十章 多元函数微分学1、函数arcsin()x y 22+的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
2、函数z xy =arcsin 在点（1，13）沿 x 轴正向的方向导数是 ——— 。
3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (,)ππ2= ——— 。
4、设函数z z x y =(,)由方程232614640222x y z xy x y z -++--++=确定，则函数 z 的驻点是______ 。
5、函数z x y xy=+-arctan1在点（－1，2）沿{}a =-13,方向的方向导数是—— 。
6、设u xy yx=+，则∂∂u y = ——— 。
7、函数y y x =()由12+=x y e y所确定，则d d yx= ——— 。
8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ——— 。
9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()222所确定，则∂∂zx= ——— 。
10、设函数F u v w (,,)具有一阶连续偏导数，且F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______ 。
11、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
12、设u x y z=⎛⎝ ⎫⎭⎪1/，则∂∂u z(,,)111= ——— 。
13、曲线x y z x 22202-+==⎧⎨⎩在点（2，3，5 ）处的切线与z 轴正向所成的倾角为——— 。
14、设z xyex y=+，则d z = ——— 。
15、设f x y x y (,)=+22，则d f = ——— 。
16、函数u zx y =+arcsin22的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
反常积分例题
反常积分例题这里的题目来自裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》。
广义积分就是我刚才讲的知识内容，华东师范大学第四版数学分析第十一章。
本文主要考虑广义积分的计算问题。
粗略而言，反常积分是正常积分和极限工具的结合，所以定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式，换元积分，分部积分这些方法都是适用的。
4.5.1 反常积分的计算1. 计算反常积分 I=\int_{-\infty}^{+\infty}|t-x|^{1/2}\frac{y}{(t-x)^2+y^2}dt.解本题中 t-x 的形式有堆砌之嫌，个人以为不妨直接命题I=2\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt uy}{u^2+y^2}dt.关键的步骤，令 \sqrt{u/y}=v ，则 I=4\sqrt y\int_0^{+\infty}\frac{v^2}{1+v^4}dv=4\sqrt y J ，下面计算 J=\int_0^1\frac{1}{1+v^4}dv +\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+v^4}dv=J_1+J_2 .令 w=1/v ，得J_1=\int_1^{+\infty}\frac{w^2}{1+w^4}dw ，从而J=\int_1^{+\infty}\frac{1+w^2}{1+w^4}dw=\int_1^{+\inft y}\frac{1}{(v-1/v)^2+2}d(v-1/v)=\frac{\pi}{2\sqrt2} ，代入得到 I=\sqrt{2y}\pi .2. 证明I=\int_0^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})dx=\frac{1}{a}\int_ 0^{+\infty}f(\sqrt{t^2+4ab})dt, a, b>0 .证明由 ax+b/x=\sqrt{t^2+4ab} ，我们令 t=ax-b/x ，则x=\frac{1}{2a}(t+\sqrt{t^2+4ab}),dx=\frac{1}{2a}(1+\frac{t}{\sqrt{t^2+4ab}})dt, 代入可得结论。
数学分析刘玉琏11-1
lim
b
f ( x )dx J ,
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间(−∞,b]上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
J
即
b
f ( x )dx ,
b
b
f ( x )dx f ( x )dx ulim u
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
lim f ( x )dx J ,
u
b
则称此极限为无界函数 f 在区间(a,b]上的反常积分，记作
J f ( x )dx ,
a
b
即
b
a
f ( x )dx , f ( x )dx lim
u a u
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分 发散. 此时点a也称为 f 的瑕点,
＋
得： 该无穷积分当 p 1时收敛；而当 p 1时发散. dx 例4(2)(P266) 计算无穷积分 . 2 1 x 0 dx dx dx 解 1 x 2 1 x 2 0 1 x2
arctan x arctan x 0
积分发散.
(3) ( , )上 对于定义在(−∞,+∞)上的无穷积分，如果两个无穷积分
第十一章反常积分§1反常积分概念
a
f ( x )dx和
a
f ( x )dx
(a为任一实数)都收敛，则称上述两无穷积分之和为函数 f 在无穷区 间(−∞,+∞)上的反常积分(简称无穷积分)，记作
第十一章反常积分§1反常积分概念
注 (1)上述结论以后是经常用到的，要熟记; (2)上述结论可以推广为以下几种情形： b 1 ( i ) b 0，瑕积分 q dx 当 0 q 1时收敛；而当 q 1时发散; 0 x b 1 ( ii ) 瑕积分 dx 当 0 q 1时收敛；而当q 1时发散; a ( x a )q b 1 ( iii ) 瑕积分 dx 当 0 q 1时收敛；而当 q 1时发散. a (b x )q ＋ 1 (3)( P 269) 对反常积分 dx （p 0）,定义 p 0 x ＋ 1 1 1 1 0 x p dx 0 x p dx 1 x p dx 由前例的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
反常积分试题
广西大学课程考试试卷（ —— 学年度第 学期）课程名称：数学分析(二)试卷类型：反常积分一、填空题（每小题3分，共27分）1、无穷积分⎰∞+1p xdx当p 满足 时收敛；当p 满足 时发散。
2、瑕积分()0)1(10>-⎰q x dxq 当q 满足 时收敛；当q 满足 时发散。
3、无穷积分()为实数a x dxa⎰∞-+21= 。
4、无穷积分)1(1sin 0>+⎰+∞p dx x xp的收敛性(绝对收敛或条件收敛或发散)。
5、无穷积分dx xe x ⎰∞+-02= 。
6、无穷积分⎰∞+22ln x x dx= 。
7、瑕积分⎰-1021xdx = 。
8、瑕积分⎰10ln xdx = 。
9、瑕积分⎰212ln xx dx= 。
二、 计算题（每小题3分，共21分） 1、判别瑕积分⎰21ln x dx的收敛性。
2、判别瑕积分()⎰-2021x dx 的收敛性。
3、判别瑕积分dx x x ⎰-1041的收敛性。
4、判别瑕积分dx xx⎰-24cos 1π的收敛性。
试卷不允许拆开5、判别无穷积分)0(13>+⎰∞+m x dx m的收敛性。
6、判别无穷积分)0(1arctan 1>+⎰∞+p dx x xx p的收敛性。
7、判别无穷积分⎰∞++01x dx 的收敛性。
三、 证明题（每题5分，共55分） 1、证明：若f 在),[+∞a 上一致连续,且⎰+∞adx x f )(收敛,则0)(lim =+∞>-x f x 。
2、证明等式：0,111101>+=+⎰⎰∞+--p dx x x dx x x pp 。
3、证明等式： 10,111011<<+=+⎰⎰-∞+-p dx x x dx x x pp 。
4、证明：若dx x f a⎰∞+)(绝对收敛，且0)(lim =+∞>-x f x ， 则dx x f a⎰∞+)(3收敛。
5、证明不等式：edx e e x 211)11(2102+<<-⎰∞+-。
数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
![数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/db4093156294dd88d1d26b94.png)
第十一章反常积分复习自测题、体会各类反常积分(无穷积分、瑕积分和混合反常积分)的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义, 面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下1 , c(1) 下dx (a 0)； (2)a x2、正确地判断下列反常积分的敛散性：4 dxx (a 0);⑶-1dx0 p0 x(a 0)。
1(1) —「dx (aa x(ln x) 1)；⑵1x(lnx)ydx (ap1)；(3)U dx。
3、探索下列反常积分的敛散性, 若收敛，并求其值:/、 1 /、(1) ——^dx; (2)01 x21 ,、---- 2 dx ;(3)1 x20 彳 2..1 xdx ;(4)1 x24、用定义据理说明下面的关系: 函数的积分特征)(反常积分的牛顿―莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶(1)若函数 f (x)在［a,)上连续, F(x)为f(x)在［a, )上的原函数，记则无穷积分 f (x)dx收敛(2)若函数f(x)在(F( 则无穷积分 f (x)dx收敛(3)若函数F(F())x im f (x),lim f (x)存在，且xf (x)dx F(x) a)上连续，5J)为£仁)在( )上的原函数，记)limxF()f (x)和g(x)都在［a,f (x)g (x)dx 收敛其中f( )g( ) Jimf(x), F( ) limxlim f (x)和F( xf(x)dx F(x))上连续可微，且f (x)g(x)dx 收敛，且f (x)g (x)dx f(x)g(x)f(x)g(x)。
f(x),lim f(x)都存在,且xlim f (x) g(x)存在，则无穷积分x f (x)g(x)dx,(4)若函数f(x)在［a,)上连续，x (t)在［,)(其中为有限数或(5)设函数f (x)在(，)上连续,且严格单调递增, 敛，且 (［,))［a,)，则无穷积分 f(x)dx 收敛a积分f( (t)) (t)dt收f(x)dx f( (t)) (t)dt 。
高数下册第11章复习题与答案
第十一章-无穷级数练习题（一）.基本概念 收敛.Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1(1)(2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n=1 n W A.级数X |U n |收敛；n =1B.极限 lim Un =0 ;C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ;F U nnD. 部分和数列Sn =•'.： Uk 有界.k 45.下列级数中条件收敛的是（).(3)若 lim U n 1 nY U n Q Q(4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)；C . (3)与(4)；Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n匚U n■■ 1' 1 ；厂' n= - n cos 1;n 4 tnB.B .⑵与(3)；D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )• oO q' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1001 A. ' -；n £ n□0 B .、 n ；n 壬 2n +1 QQD. ' （-1）nn 4 n, n6.下列级数中绝对收敛的是).8 1 、(-1)n— n=1 nC . 0.001 一 0.001 30.001; 1B. ' —nw nD . 4 32 43 443•在下列级数中，发散的是（ ).Q QC. (-1)n nM n旳1D.二.sin .n 吕 nQO *;（二）.求等比级数的和或和函数。
提示：注 意首项C . —1—；n - n 3n 17.幕级数nx n 1在(-2, 2)上的和函数 n=02s(x) = ___________ .八2 八3 八4333 ...23' 44 4 4oO8.幕级数(-1)nn=04ns(x)= ---------------4.条件（）满足时，任意项级数U n 定n=1在（-4 , 4）上的和函数9.无穷级数：］旳的和S=—（三）■判定正项级数的敛散性。
第十一章反常积分
第十一章 反常积分课后习题全解§1 反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）2.x xe dx +∞-⎰； （2）2x xe dx +∞--∞⎰;(3)0+∞⎰dx; (4) 20(1)dx x x +∞+⎰; (5)2445dxx x +∞-∞++⎰; (6) sin ;0x e xdx -+∞⎰(7)sin ;xe xdx +∞-∞⎰ (8)0+∞⎰解：（1）由于22211(1),lim 0022x u x u u u xe dx e xe dx ---→+∞=-=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为12（2）由于222001(1),lim 02x u x u xe dx e xe dx u u ---→-∞=--=⎰⎰则222000x x x xe dx xe dx xe dx ---+∞+∞=+=-∞-∞⎰⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为0（3）由于2(1lim 2u u u →+∞==⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为2（4）由于221(ln ||),lim 1ln 211(1)1(1)u u u dx xdx x x x x x x →+∞=-+=-+++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为1-ln2（5）22lim 004454454u u dx dx x x x x π→+∞+∞==++++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为4π（6）由于11sin [1(sin cos )],lim sin 0022x ux u u u e xdx u u e e xdx ---→+∞=-+=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且积分为12（7）1sin lim sin lim [1(sin cos )]02x x u u u e xdx e adx u u e →+∞→+∞+∞===-=∞⎰则0sin sin sin 0x x xe xdx e adx e xdx +∞+∞=+=∞-∞-∞⎰⎰⎰所以该无穷不收敛（8）由于ln |limu uuu →+∞=+=+∞⎰⎰所以该无穷积分分散2．讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值 （1）()p b dx a x a -⎰； （2）2101dxx -⎰；（3）2⎰； （4）1⎰；（5）1ln ;0xdx ⎰ （6）;⎰（7）1⎰ （8）10(ln )p dxx x ⎰解：（1） 被积函数f(x)=1()px a -在（a,b ）上连续，从而在任何[u,b]⊂(a,b)上可积，x=a 为其瑕点，依定义2求得lim ()()p pu a b b dx dxa u x a x a →+=--⎰⎰而1()111lim{()Pb a p p p pu a bdxu x a --<-∞≥→+=-⎰ 当P<1时，该遐积分收敛至1()1pb a p---；当P ≥1时，该瑕积分发散（2） 该积分函数f(x)=211x-在[0，1]上连续，从而在任何[0,u]⊂[0,1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2求得221111lim lim [ln(1)ln(1)]00112u u u dx dx u u x x --→→==+--=+∞--⎰⎰因此该瑕积分发散（3） 被积函数[0，1]∪（1，2）上连续,x=1为其瑕点，依定义2得1111lim lim lim(22u u u u u ---→→→===-=⎰⎰⎰111222lim lim lim(221u u u +++→→→===-=⎰⎰⎰则21241=+=⎰⎰⎰，瑕积分收敛（4） 被积函数[0，1]上连续，从而在任何[0，u]⊂[0，1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2得111lim lim(11u u u--→→===⎰⎰（5） 被积函数f(x)=lnx 在（0，1）上连续，从而在任何[u ，1]⊂（0，1）上可积，x=0为其瑕点，依定义2得0011ln lim ln lim[1(ln 1)]10u u xdx xdx u u u ++→→==---=-⎰⎰ 因此该瑕积分收敛至-1（6） 令2sin ,[0,],2x t t π=∈则22sin(1cos2)2t t dtππ==-=⎰⎰（7）令2sin,[0,],2x t tπ=∈则21220002dtπππ===⎰⎰⎰（8）被积分函数f(x)=1(ln)px x在（0，1）连续,x=0，1为其瑕点，因1111220001lim lim[(ln2)(ln)](ln)(ln)1p pp puu udx dxux x x x p+--→+→==--=∞-⎰⎰因此该瑕积分分散§2 无穷积分的性质与收敛判别（教材上册P275）1．证明定理11.2及其推论1解：（1）定理11.2的证明;由()g x dxa+∞⎰收敛，根据柯西准则，任给ε>0,存在G≥a,当21u u>>G时，总有21|()|uug x dxε<⎰2211|()|()||()|||()|u uu uf xg x f x dx g x dxε≤⇒≤<⎰⎰在由柯西准则，证得|()|f x dxa+∞⎰收敛（2）推论1的证明：（ī）|()|lim,()0()xf xC g xg x→+∞=>⇒取2cε=，存在M>0,当x>M时，有30()|()|()22c Cg x f x g x<<<<+∞3|()|(),2f x Cg x<由定理11。
第十一章自测题参考答案与提示
第十一章自测题参考答案与提示１．（1）错； 是级数∑收敛的必要条件而不是充分条件．0lim =∞→n n a ∞=1n na（２）错；如n n n n 61)61(1∑∞=−=∑∞=−1)1(n n n 收敛，而∑∑∞=∞==−−111)6(1)61(n nn n n n 发散．（３）错；因对此题1)1(lim lim331=+=∞→+∞→n n u u n nn n ，比值法失效． ２．（1）．D ；由收敛级数的性质得出（2）．C ；∑∞=12sin n n n α收敛，而∑∞=11n n 发散，由级数性质可得出正确答案． ３．（1） 0；由基数收敛的必要条件得出．（2）31４．１ 发散；由于111lim 32=+∞→nn n n ，则由∑∞=11n n 发散，得出∑∞=+1321n nn 发散． ２收敛；由于111ln 1lim23=+∞→nnn nn ，则由∑∞=1231n n收敛，得出nn nn 1ln11+∑∞=收敛 ５．（1） 条件收敛；（2） 绝对收敛． ６．、收敛．利用不等式nn n 1)11ln(11<+<+，得 232112)1(11111111111ln 10n n n n n n n n n n n n n <++<+++−=+−<+−<，由比较法知原级数收敛．７．发散；利用积分判别法 令xx x f ln 1)(=，则当时，为正值单调减小函数，且2≥x )(x f n u n n n f ==ln 1)( 由于广义积分+∞====+∞→+∞→∞+∞+∫∫∫b b b b x dx x x dx xx dx x f 2222ln ln lim ln 1lim ln 1)(因为级数∑∞=2ln 1n n n 与广义积分有相同的敛散性，故级数∫∞2)(dx x f ∑∞=2ln 1n nn 发散． ８．由{有界知，存在常数，有}n na 0>k k na n ≤于是有，222n k a n≤，而∑∞=122n n k 收敛，由比较判别法得∑收敛．∞=12n n a ９．1 收敛域为),21()21,(+∞−−∞∪n n n x 2sin 11π∑∞=直接不是幂级数．令x t 1=，转化为幂级数nn n t 2sin 1π∑∞= nn nt2sin1π∑∞=的收敛半径为22sin2sinlim1==+∞→n n n R π，收敛域为)2,2(−则nn n x 2sin 11π∑∞=的收敛域为),21()21,(+∞−−∞∪． 2 收敛域为)1,1[−111)1ln(+∞=∑++n n n n 收敛半径1=R ，1=x 时111)1ln(+∞=∑++n n n n 为∑∞=++11)1ln(n n n 发散 1−=x 时，111)1ln(+∞=∑++n n x n n 为11)1(1)1ln(+∞=−++∑n n n n 收敛，收敛域为)1,1[−．１０．令)1(21+=x y ，级数∑∞=+12)1(n nn n x 变为∑∞=12n ny 收敛域为11<≤−y ． 于是∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛域为13<≤−x 令，则=)(y s ∑∞=12n y y y n y y s n n n n −==′=′∑∑∞=−∞=11)()(111因此，)1ln(11)()(0y dy ydy y s y s y y −−=−=′=∫∫． 于是∑∞=+12)1(n nn n x =)221ln(x−−， (13<≤−x )．１１．∫∫===lxdx dx x f l a 02002)(2=n a )1)1((4)1(cos 4cos cos )(22202022−−=−==∫∫nl n n n dx l x n x dx l x n x f l πππππ 于是 20,2)12(cos )12(181122<<−−−=∑∞=x xn n x n ππ． １２．令 ++++P P P 4131211=a (1) ++−PP P 41_31211b = (2) (1) 式—（2）式得，b a ap −=22，于是有pb a −−=1211 因此 ++−++++P P P P P P 41_312114131211=p b a −−=1211．。
第十一章反常积分习题课
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰uaaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(li m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim ()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx在0没有定义，则10sin x dx x ⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。
第十一章反常积分
117第十一章 反常积分第一部分一．填空题1．=+⎰+∞-12xx e e dxe 4π。
2．=--⎰101)2(xx dx2π. 3.当=m 21- 时，广义积分⎰+∞2dx xe mx 收敛于1. 三．选择题1.下列广义积分收敛的是（C ）A. dx xx e ⎰+∞ln B. dx x x ⎰+∞0ln 1C. dx x x ⎰+∞02)(ln 1D. dx x x e ⎰+∞21)(ln 12.已知广义积分dx xxx k ⎰∞+-+12ln 1收敛，则（A ） A. 1<k B. 1=k C. 21<<k D. 2≥k3.设广义积分dx x x A ⎰-=101ln ，dx xxB ⎰+=101ln ，则B A ,满足（B ）A. B A =B. B A 2=C. B A =D. 2BA =4.下列广义积分发散的是（B ）A. dx x ⎰10lnB. dx x x ⎰+∞∞-+21C. )0(0>⎰+∞-ααdx xe xD. dx x ⎰+∞∞-+23)1(15.广义积分)0,0(11>>+=⎰∞+n m dx x xA nm,当1>-m n 时（A ） A. 收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D.不确定 四．解答题1.判别下列广义积分收敛性:（1）)0(d ln 1>⎰∞+p x x x p ，； （2）)0(d ln 0>⎰∞+p x xx p；（3）)0(d )1ln(0>+⎰∞+p x x x p ； （4）)0(d )11ln(1p >+-⎰∞+p x x x ；（5）⎰+20)d sin ln 1sin (ln πx xx ； （6）⎰∞++1d 1)cos(ln x x x ； （7）⎰∞+--1d )21sin 1cos 1(x x x. 解：（1）1>p 收敛；（2）发散；（3）21<<p 收敛．（4）⎰∞++-1p d )11ln(x x x ⎰∞++-=1p d )121ln(x x，由比阶判别法推出1>p 收敛，1≤p 发散． （5）⎰20d sin ln πx x ．瑕点0=x ．0sin ln lim 21=+→x x x 收敛．118⎰20d sin ln 1πx x ．瑕点2π=x ．因为-∞=--→x x x sin ln lim 202ππ，所以发散． 2.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰∞+1d sin x x x； （2）⎰+∞+02d 1)sgn(sin x x x .解：取1,21==λp ，则1|sin |lim 21=+∞→x x x x ，从而⎰∞+1d |sin |x x x 发散， ),1[,4|)(|,cos 21cos 2d sin )(1+∞∈≤-==⎰u u F u x xxu F u ，故)(u F 在),1[+∞上有界.xx g 1)(=在),1[+∞上当+∞→x 时单调趋于0，由狄利克雷判别法知⎰∞+1d sin x x x 收敛.故⎰∞+1d sin x x x条件收敛.（2）,111lim ,11|1)sgn(sin |2222=++≤++∞→xx x x x x 取1,2==λp ，⎰⎰+∞+∞+=+020211d |11|dx x x x 收敛. 故⎰+∞+02d 1)sgn(sin x xx 绝对收敛. 3.讨论下列瑕积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰π023d sin x xx； （2）xdx e x ln 0⎰+∞-. 解：（1）此瑕积分的瑕点为,0=x 取21=p 时，由 1sin lim 2321==+→x x x x λ，由比较判别法知⎰π023d sin x x x 收敛. （2）此瑕积分的瑕点为,0=x 该反常积分可改写为=⎰+∞-xdx e x ln 0+⎰-xdx e x ln 10xdx e x ln 1⎰+∞-其中xdx e xln 10⎰-为瑕积分，xdx e x ln 1⎰+∞-为无穷积分.①对于0|ln |lim ,ln 21010=-→-+⎰x e x xdx e xx x，由比较判别法知dx x e x |ln |10⎰-绝对收敛；②对于xdx e xln 1⎰+∞-，0|ln |lim 20=-→+x ex xx ，由比较判别法知dx x e x |ln |1⎰-绝对收敛.综上得xdx e x ln 0⎰+∞-绝对收敛.4.计算⎰1n d (lnx )x .解：记⎰⎰⎰--→→-=-===++111111n0])(ln |)(ln [lim )(ln lim d (lnx)αααααn n n nnI dx x n x x dx x x I ，因为110==⎰dx I ，故!)1()1(21n nI nI I n n n n -==-=-=-- .第二部分1191.求证⎰∞+1d sin x xx收敛，但是⎰∞+12d sin x x x发散. 证明：⎰⎰--=A A A x x x x x x x x 1211d cos cos d sin ．由于⎰∞+12d cos x xx收敛，所以 ⎰+∞→A A x xx 1d sin lim 存在，因此⎰∞+1d sin x x x收敛． 另一方面，⎰∞+12d sin x x x ⎰∞+=1d 21x x ⎰∞+-1d 22cos x xx ．其中前一个积分发散，后一个积分收敛，所以⎰∞+12d sin x xx发散．2.已知2d sin 0π=⎰+∞x x x ，求⎰∞+022d sin x x x . 解：)1(sin lim )1(sin d sin 2002022⎰⎰⎰-=-=+→+∞→∞+∞+a a x xd x xd x xx δδ xdx x x x x a a aa cos sin 21lim |]sin [lim 020⎰++→+∞→→+∞→+-=δδδδ 2)2(sin 21lim 00πδδ=+=⎰+→+∞→x xd x aa . 3.若dx x f a⎰+∞)(收敛且存在极限A x f x =+∞→)(lim ，则0=A .证明：由不妨设)0()(lim >=+∞→A A x f x ，取2A=ε，则存在0>M ，当M x >时有 2)(Ax f >.故dx A dx x f u a u a ⎰⎰>2)(，dx Adx x f u a u u a u ⎰⎰+∞→+∞→>2lim )(lim ，即+∞=>⎰⎰+∞+∞dx Adx x f a a 2)(，与dx x f a ⎰+∞)(收敛矛盾，因此0=A . 4.证明：若dx x f a⎰+∞)(绝对收敛，且0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f a⎰+∞)(2必定收敛.证明：由已知0)(lim =+∞→x f x ，即当+∞→x 时， 0>'∃x ，当x x '≥时，相应的)(x f 总在0～1之间，此时必有|)(|)(2x f x f ≤. 由比较判别法知dx x f a ⎰+∞|)(|收敛，则dx x f a⎰+∞)(2收敛.5.（复旦大学）讨论反常积分⎰∞+-+011dx xx p 的敛散性. 解：当1≥p 时，对任意),1[+∞∈x ，有x x x p +≥+-1111，而⎰+∞+111dx x发散，故⎰∞+-+111dx x x p 也发散，从而⎰∞+-+011dx xxp 发散. 当1<p 时，对任意),1[+∞∈x ，有221110---<+=+<p p p x xx x x x ，而⎰+∞-12dx x p 收敛，故⎰∞+-+111dx x x p 收敛，又⎰+-1011dx x xp 存在，故⎰∞+-+011dx xx p 收敛. 6.（北京大学1992）讨论瑕积分⎰-101ln dx xx的敛散性.120解：因为01ln lim 210=-+→x x xx ，其中21=p ，由柯西判别法的极限形式⎰-101ln dx x x 收敛.7．（北京航天航空大学）判断积分⎰+∞++1)]d x11-)11[ln(x x 的敛散性.解：对),1[+∞∈∀x ，有21)1(111111)11ln(0x x x x x x x ≤+=+-≤+-+≤再由⎰+∞12d 1x x收敛知⎰+∞++1)]d x 11-)11[ln(x x 收敛. 8.（北京大学）证明反常积分)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x xp是收敛的. 证明：因为dx x xdx x x dx x x pp p ⎰⎰⎰∞+∞++++=+12102021sin 1sin 1sin ，故只需证明 dx x xp ⎰∞++121sin 收敛即可.记)1(1)(,sin )(2p x x x g x x x f +==，则对任意1>u1|1cos cos |21|sin ||)(|2121≤-==⎰⎰u dx x x dx x f u u ，)(x g 在),1[+∞上单调递减且 0)1(1lim )(lim =+=+∞→+∞→p x x x x x g ，故由狄利克雷判别法知dx x x p ⎰∞++121sin 收敛，从而)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 是收敛的.9.设)(),(),(x h x g x f 是定义在),[+∞a 上的连续函数，且成立不等式)()()(x h x f x h ≤≤.证明：（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，则dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则A dx x f a=⎰+∞)(.证明：由已知)()()(x h x f x h ≤≤，a u >∀有≤⎰dx x h u a)(dx x f ua⎰)(dx x g ua⎰≤)(（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，即dx x h uau ⎰+∞→)(lim及dx x g uau ⎰+∞→)(lim存在，由夹逼定理有dx x f uau ⎰+∞→)(lim也存在，即dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则=⎰+∞→dx x h uau )(lim A dx x g uau =⎰+∞→)(lim，夹逼定理有=⎰+∞dx x f a)(A dx x f uau =⎰+∞→)(lim.。
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《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第十一章 反常积分复习自测题一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d p a x x +∞⎰（0a >）；（2）01d a p x x ⎰（0a >）；（3）01d px x +∞⎰（0a >）。
2、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d (ln )pax x x +∞⎰（1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ⎰（1a >）；（3）11d (ln )px x x +∞⎰。
3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值：（1）21d 1x x +∞+⎰；（2）21d 1x x +∞-∞+⎰；（3）10x ⎰；（4）11x -⎰。
4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。
（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，()lim ()x F f x →-∞-∞=，则无穷积分()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=和()lim ()x F f x →-∞-∞=都存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。
（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞存在，则无穷积分()()d af xg x x +∞'⎰收敛⇔()()d af xg x x +∞'⎰收敛，且()()()d ()()()()d aaf xg x x f x g x f x g x x a+∞+∞+∞''=-⎰⎰，其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞+∞+∞=。
（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ϕ=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ϕαβ=+∞，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔积分(())()d f t t t βαϕϕ'⎰收敛，且()d (())()d af x x f t t t βαϕϕ+∞'=⎰⎰。
（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔0()d f x x +∞⎰收敛，且()d 2()d f x x f x x +∞+∞-∞=⎰⎰；若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔0()d f x x +∞⎰收敛，且()d 0f x x +∞-∞=⎰。
提示：注意由换元法可得000()d ,()d ()d ()d ()d ,x tf t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞-∞+∞⎧⎪=--=-=⎨⎪-⎩⎰⎰⎰⎰⎰为偶函数为奇函数。
二、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分()d b af x x ⎰收敛不一定能推出瑕积分2()d b af x x ⎰；无穷积分()d af x x+∞⎰收敛也不一定能推出无穷积分2()d af x x +∞⎰收敛；注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。
2、无穷积分()d af x x +∞⎰收敛不一定能推出无穷积分()d af x x +∞⎰收敛；注：注意与定积分的绝对值性质的区别。
3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=不一定成立；三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞的情况：1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，()d af x x +∞⎰收敛，若lim ()x f x A →+∞=存在，则lim ()0x f x →+∞=；2、利用1探索：（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=；（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且()d af x x +∞⎰与()d af x x +∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=；3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=⇔()f x 在[,)a +∞上一致连续；4、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，试探索下面的问题：（1）证明：当u a >时，lim()d 0u c uu f x x +→+∞=⎰（其中c 为任意给定的正数），从而 1lim ()d 0a n a nn f x x +++→∞=⎰；提示：注意到无穷积分的定义即可。
（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[,)a +∞中，存在严格递增的数列{n x }满足：lim n n x →∞=+∞，lim ()0n n f x →∞=；（3）类似于（1）方法证明：若函数()f x 在[,)a +∞上单调递增（减），且()d af x x +∞⎰收敛，则还有lim ()0x xf x →+∞=。
注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：1()()f x o x =（x →+∞）。
提示：不妨设()f x 在[,)a +∞上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当2u a >时，2122()d ()()d u u uuf x x uf u f x x ≤≤⎰⎰。
5、若函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续可微，且单调递增（减），则()d af x x +∞⎰收敛⇔()d ax f x x +∞'⎰收敛。
提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式()d d ()()()d aaax f x x x f x xf x f x x a+∞+∞+∞+∞'==-⎰⎰⎰。
四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：1、若无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，无穷积分()d ag x x +∞⎰发散，则无穷积分()()()d af xg x x +∞±⎰发散；提示：反证法。
2、判断2211d ln x x x x+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的敛散性； 3、利用适当性质说明：在无穷积分()d af x x +∞⎰中，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰收敛等价于与()d af x x +∞⎰收敛（即()d af x x +∞⎰绝对收敛），因此，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰敛散性的判别等价于()d af x x +∞⎰敛散性的判别。
五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：设函数()f x ，()g x 和()h x 都定义在[,)a +∞上，且它们在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，若对任意[,)x a ∈+∞，有()()()g x f x h x ≤≤，则（1）当()d a g x x +∞⎰和()d a h x x +∞⎰都收敛时，()d a f x x +∞⎰也收敛； （2）当()d ag x x +∞⎰和()d ah x x +∞⎰都收敛，且()d ()d aag x x h x x +∞+∞=⎰⎰时，()d af x x +∞⎰收敛，且()d ()d ()d aaag x x f x x h x x +∞+∞+∞==⎰⎰⎰。
提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。
六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。
试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：判断下列反常积分的敛散性： 1、20sin d 1kxx x +∞+⎰，20cos d 1kx x x +∞+⎰，0sin d 1kx x x α+∞+⎰（2α≥），0cos d 1kx x xα+∞+⎰（2α≥）；2、1n x +∞⎰（0m >），1n x +∞⎰（0m >），11)d nx x +∞⎰（0m >），11sin)d n x x α+∞⎰（0α>，0m >）； 3、1d xx e x α+∞-⎰，10d xx e x α-⎰，1ln(1)d p x x x +∞+⎰，10ln(1)d px x x +⎰；4、10x ⎰，21x ⎰。
七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。
试解决下面的问题：1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）（1）1sin d p xx x +∞⎰，1cos d p x x x +∞⎰，1sin()d p mx n x x+∞+⎰1cos()d pmx n x x+∞+⎰，（其中0p >，0m ≠和n 为常数）；（2）1sin d x x x +∞⎰，112sin d x x x+∞⎰，21sin d x x +∞⎰，21cos d x x +∞⎰，41sin d x x x +∞⎰；提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。
（3）1011sin d x x xα⎰； 提示：作变量替换1t x =化为无穷积分后再用（1）。
2、设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，且lim ()0x f x →+∞=（注意此条件蕴含了()0f x ≥，为什么），则 （1）()sin d af x x x +∞⎰与()cos d af x x x +∞⎰都收敛；提示：用狄里克雷判别法。