光的干涉条纹间距公式推导

双缝干涉条纹间距公式的深入理解

【内容提要】在教科版高中物理教材3-4中光的干涉这一节，关于光的双缝干涉条纹间距，以及薄膜干涉的相关问题是难点。但其实这“难点”主要是由于对推导公式的理解不够。虽然其推导在课本的发展空间也有给出，但是这种方法计算量大对思维要求高，对于中学生来说有一定难度。本文利用光路的几何关系，把握主要因素忽略次要因素（从条件L>>d ，L>>n y 作出θθsin tan ≈的近似）的方法推导双缝干涉和薄膜干涉的条纹间距公式。同时在此基础上更深入理解课本中的相关问题，从而突破课本中存在的难点。

论文正文

一、双缝干涉

现用教科版高中物理教材3-4后的P 85的“练习与评价”中第4题问道：‘用白光照射双缝出现彩色条纹，为什么中央是一条白色的亮条纹？各彩色条纹中的彩色是怎样排列的？’对于这一问题前一问好解释，因为白光由红、橙、黄、绿、蓝、淀、紫所组成的复色光，这些光在中央位置光程相等再次合在一起仍表现为白色。但是后面一问‘各彩色条纹中的彩色是怎样排列的？’要解释清楚必须要理解双缝干涉条纹间距公式。但是，课本“发展空间”里给出的双缝干涉的条纹间距公式在推导过程中运用了勾股定理及平方差公式等方法，其思维难度较高且计算量大不利于学生对双缝干涉的条纹间距公式的理解，本文利用几何知识来推导光的干涉条纹间距公式。

双缝干涉实验装置原理如图所示，同一光源的光经相距为d 的双缝S 1、S 2后会出现稳定的干涉现象，在距离双缝L 远的光屏上出现明暗相间的条纹。现在我们来讨论一下干涉产生的条纹间距与什么因素有关？双缝干涉的实验装置如下图所示，P 0是S 1S 2的中垂线与屏的交点；d 是双缝S 1、S 2的距离；L 是缝与屏的距离；y n 是P n 点到P 0点的距离；r 1、r 2是屏上P 点到S 1、S 2的距离；设S 1、S 2到P n 点的路程差（光程差）为δ= r 2 − r 1，如下图1所示：

图1

设 P n 为波长为λ的光第n 条亮条纹所在位置，它到中心亮纹的距离为n y ，光屏到双缝的距离为L （且有L>>d ，L>>n y ）。由双缝干涉产生明暗条纹的条件可知，P n 到S 1、S 2的光程差为λn 即有：r 1-r 2=λn ① 过S 1做P n S 2的垂线，可知由于L>>d ，故ααsin tan ≈，则P n 到S 1、S 2的光程差近似为图中的δ，即有：λδn = （n=1、2、3…… 正整数）②

由相似三角形以及L>>y n ，θθsin tan ≈可知： L ）（2d y d

δn += ③ 同理可得，第P n-1条亮纹满足以下关系： 'δ=（n-1）λ ④ L ）（2d y d '1-n +=δ ⑤

联立②③④⑤可得： λd L y n n =--1y ⑥

即，双缝干涉形成的亮条纹间距为：λd x L =∆ ⑦ 同理可得双缝干涉形成的暗条纹间距为也λd

x L =∆ 由⑦式可以看出两条亮纹间距与L 、d 和λ都有关系。同时依据此表达式还可以推断出如果是白光照射双缝那么在中央任然是多色光汇聚形成白光，而往两边展开时，由于白光中的各色光波长λ不一样，且依据条纹间距λd

x L =∆可知波长月长的光离中央亮纹越远，故此可知白光照射双缝在中央亮纹两边按波长从小到

达一次排布从内到外第一亮纹按紫、淀、蓝、绿、黄、橙、红分布。当然，我们一般讨论的是相邻两条纹间距（即两亮纹中心距离）。一般不说亮条纹或暗条纹的宽度，这是应为双缝形成的条纹边缘实际光强是逐渐变化的（即使说条纹边缘其实是模糊的），因此无法准确得出双缝干涉实验的亮条纹或暗条纹的宽度。

二、楔形薄膜干涉

在教科版高中物理教材3-4课本P 80的活动中提到“用一根吸管蘸一点肥皂溶液，可以吹出一串肥皂泡，每个肥皂泡在阳光下都呈现出五颜六色。你能解释这个现象吗？”对于这个问题课本给出的文字描述是：“用不同波长的单色光照射肥皂泡，条纹间距不同。如果用白光照射肥皂泡，由于各色光干涉后的条纹间距不同，液膜上就会出现彩色条纹。”。这个结果显得比较抽象，其实我们同样可以利用上述寻找光程差判断条纹间距的方法来解释这一现象。首先建立物理模型，肥皂泡由于重力作用形成上薄下厚的楔形状，因此我们先推导楔形平板干涉所形成的干涉条纹与相关物理量的关系。如下图所示：一束平行光照射在楔形膜上，其上表面反射光1和下表面反射光2发生干涉形成亮条纹或暗条纹如图2甲所示。设λ为入射光波长，n 为楔形薄膜介质折射率，Δx 为亮条纹间距，楔形膜顶角为θ，则离顶点L 远的位置上表面反射光1和下表面反射光2的光程差为2δ，且在该位置形成的是第m 条亮纹。

如图 甲 乙 丙

图2（甲、乙、丙）

则第m 条亮纹应满足： m Δx=L ⑧

此处从楔形薄膜下表面反射的光与从楔形薄膜上表面反射的两束相干光的光程差满足：

2n δ=m λ （m 为正整数） ⑨

由图中几何关系可知： L

δtan =θ ⑩

联立⑧⑨⑩得： n δ

22ntan =Δx L λθλ

=

由上式可知当一束平行光照射在折射率为n 的楔形薄膜上时由于入射光波长λ的不同其形成的干涉两条纹间距不同，故而也形成了彩色条纹；又由于肥皂泡形成的楔形薄膜并不均匀因此形成的彩色条纹并不是直线，观察到的现象就是每个肥皂泡都呈现五颜六色。同时，这一结果还可以解释课本中P80最后的：“如果干涉条纹发生弯曲，就表明被测表面不平。这种测量的精度可达到10-5

cm.” 对于大家来讲为什么这种测量的精度可达到10-5cm ？以及当被测表面不平时干涉条纹到底发生怎样的弯曲（如图2丙A 、B 到底哪d θ

L

反射光1

反射光2

个是凸起）？是这一部分的难点。首先，由于入射光波长λ的数量级为10-9m ，由公式n δ

2Δx L λ=可知Δx 的精

度可达到10-5cm .其次，由公式n δ

22ntan =Δx L λθλ

=可知同一亮条纹对应的薄膜厚度相同，如图2丙中形成的条

纹在P 位置向契型顶点弯即使在该位置提前出现亮条纹，说明该处对应的A 处是凹陷；同理可知图2丙Q 中对应的B 处应是凸起。

关于楔形薄膜问题，再做一个变式：将楔形薄膜夹角变小问楔形薄膜的条纹间距怎么变化；改变工件间楔形薄膜的成分形成的干涉条纹又会怎么变化？由表达式θλ

2ntan =Δx 可以知道楔形薄膜夹角变小时对应

tan θ变小，则形成的条纹间距变大；改变工件间楔形薄膜的成分其实就是改变折射率n ，由表达式θλ

2ntan =

Δx 可知条纹间距与折射率n 成反比，n 变大则条纹间距变小，反之亦然。

总之，关于课本中的例子和问题不能只停留在一知半解的程度，要弄清楚具体含义突破难点就要充分认识课本中的公式的适用条件和各字母的含义（包括深入理解其推导过程），才能真正突破难点。

【参考文献】

1.《光学》 赵凯华 钟锡华著 M 北京大学出版社；

2.《光学教程》姚启钧著 M 高等教育出版社；

3.《物理选修3-4》陈熙谋 吴祖仁 M 教育科学出版社；