人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习.doc

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人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练含答案

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题

初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题则∠ A 的度数为（）A 、 30°B 、 40°C 、45 °D 、 60°一、选择题8、下列图形中，不是轴对称图形的是（）1 已知一个等腰三角形的底边长为 5, 这个等腰三形的腰A 角B 等边三角形 C线段 D 不等边三角形长为 x, 则 x 的取值范围是 ( )9、正△ ABC 的两条角平分线BD 和 CE 交于点 I ，则∠ BICA .0<x<5B .x≥5C x ＞5D 0<x<10AA D22 2A2. 等腰三角形的底角为15° ,FE腰长为 a, 则此三角形的面积为()DAa2B1 a 2E2BCC1 a 2D 2 a2图 543 将一张长方形的纸片 ABCD 如图 (4) 那样折起 , 使顶点 C 落在 F 处 . 其中 AB=4, 若∠ FED=30° , 则折痕 ED 的长为()A. 4 B 43C 8D 5310. 如图 (5), 在△ ABC 中 ,BC=8 ㎝ ,AB 的垂直平分线交 AB于点 D, 交 AC 于点 E, △ ABC 的周长为 18 ㎝ , 则 AC 的长等于 ( )A 6 ㎝B 8㎝ C 10 ㎝ D 12㎝4 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A 有两个内角相等的三角形B 有一个内角是 45°直角三角形C. 有一个内角是 30°的直角三角形D.有两个角分别是 30°和 120°的三角形5、下列图形中，轴对称图形有（）个A.1B.2C. 3D.46、等腰三角形周长是 29，其中一边是 7，则等腰三角形的底边长是（） A 15 B15或 7 C 7 D 117、在△ ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，若∠ BDC ＝ 75°，D12BECBC为（） A ． 60 B ． 90 C ． 120 D ． 150°10、下列三角形： ①有两个角等于 60°； ②有一个角等于 60°的等腰三角形； ?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A ①②③ B ①②④ C ①③ D ①②③④11、如图 1， D 、E 、F 分别是等边△ ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（）AA ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角D三角形 D ．不等边三角E形12Rt △BCABC 中，CD 是斜边 AB上的高， ∠ 图 5B=30°，AD=2cm ，则 AB 的长度是（）A ． 2cm B． 4cm C ． 8cm D ． 16cm13 如图 2， E 是等边△ ABC 中 AC 边上的点，∠ 1= ∠ 2， BE=CD ，则对△ ADE 的形状判断准确的是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D．不能确定形状图（ 1)图(2)二、填空题1、△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=∠ C ，则∠ B=_______．2、已知 AD 是等边△ ABC 的高， BE 是 AC 边的中线， AD与 BE 交于点 F ，则∠ AFE=______．3、△ ABC中，∠ B=∠ C=15°， AB=2cm，CD⊥ AB交 BA 的延长线于点D，?则 CD?的长度是 _______ ．4、如图（ 3），在ABC中 AB=AC，∠ A=36°， BD平分∠ABC，则∠1=________, 图中有_______ 个等腰三角形。

第十二章全等三角形、等腰三角形(培优卷1) 八年级数学人教版上册

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。

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三角形单元测试题一、（每空 3 分，共 30 分）1、如果三角形的两分 3 和 5，那么个三角形的周可能是（）A． 15 B ．16C．8 D ．72、下列法中，正确的个数（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点.②三角形的中都是三角形的某一个点，且平分的直.③在△ ABC中，若∠ A=∠B=∠ C，△ABC是直角三角形.④一个三角形的两分是8 和 10，那么它的最短的取范是2<b<18.A． 1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个3、三角形的三条高所在的直相交于一点，个交点的位置（）A．在三角形外 B ．在三角形内C．在三角形上D．要根据三角形的形状才能定4、有五条段，度分 1、4、5、6、8，从中任取 3 条，一定能构成三角形的可能性是（）A． 20％ B ． 30％ C ．40％D． 50％5、如，将矩形 ABCD片沿角 BD折叠，使点 C 落在 C’ ，BC’交 AD于 E，若∠ DBC=22.5°，在不添加任何助的情况下，中45°的角（虚也角的）有（）A． 6 个 B ． 5 个C．4 个D．3 个6、在△ ABC中， AB=6，AC=3，∠ B 的最大（）A． 30° B ． 45°C． 60°D．90°7、希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数，例如：他研究 1 中的 1，3，6，10，⋯，由于些数能表示成三角形，将其称三角形数 ; 似地，称 2 中的 1，4，9，16⋯的数成正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.13788、①是一 1，周 P1的正三角形板，沿①的底剪去一的正三角形板后得到②，然后沿同一底依次剪去一更小的正三角形板（即其前一被剪如掉正三角形板的）后，得③，④，⋯，第 n(n ≥3) 板的周 P， P -Pn-1 的（）n nA． B ．C． D ．9、如，已知△ ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ ABC的平分，DE⊥BC于 E，若 BC=10cm，△ DEC的周（）A．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm10、如，在 4 的等三角形ABC中， AD是 BC上的高，点 E、 F是 AD上的两点，中阴影部分的面是（）A．4B．3C．2D．二、填空（每空 3 分，共 18 分）11、如，三角形片 ABC中，∠ A＝65°，∠ B＝75°，将片的一角折叠，使点 C落在△ ABC 内，若∠1＝ 20°，∠ 2=___ ___ 。

《等腰三角形》培优专题

等腰三角形【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

E例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

C4、中考题型：1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC 2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

AE F BDC5、题形展示：例1. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

【试题答案】（实战模拟） 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为AB C ∆是等边三角形所以 60ABC BC AB =∠=，因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠，所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

等腰三角形培优训练2022-2023学年人教版八年级数学上册

13.3 等腰三角形培优训练一、单选题1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上， AD =BD =BC ， ∠ACE =25° ， ∠ADE 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°2．如图，平面直角坐标系中，已知定点A （3，0）和B （0，4），若动点C 在y 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有（）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图， △ABC 中， BD 是角平分线， DE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 D ，若 DE =7 ， AE =5 ，则 AB = （）A ．10B ．12C ．14D ．164．如图是正五边形ABCDE ， DG 平分正五边形的外角△EDF ，连接AD ，则△ADG= （）A ．54°B ．60°C ．72°D ．88°5．如图，在△ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA +PB =BC ，下列作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE =CD ，则下列结论错误．．的是（）A ．∠CED =30°B ．∠BDE =120°C ．DE =BD D ．DE =AB7．下列命题是真命题的是（）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在 △ ABC 中， ∠A =∠B =2∠C ，则 △ ABC 为直角三角形8．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（）A ．44B ．43C ．42D ．419．如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF△AB 于点F，延长BC交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题10．等腰三角形腰AB =10，底边BC =12，则△ABC 的周长为．11．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 底角的度数为．12．如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，则BE 的长为．13．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB =120° ， CD 平分 ∠ACB ，作 AE//DC ，交 BC 的延长线于点 E ，则ΔACE 是三角形.14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则△AOB= (度)15．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△B =30°，CD 是高．若AD=2，则BD= ．三、作图题16．如图，在9×4的方格纸ABCD 中，每个小正方形的边长均为1，点E 为格点（注：小正方形顶点称为格点）.请仅用无刻度直尺按要求画图.△在CD 边上找一点P ，连结AP ，使△AEP 是等腰三角形； △在AB 边上找一点Q ，使EQ△AP ，画出线段EQ.四、解答题17．如图， △ABC 中， AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 △ABE=△ACD ，BE 、CD 交于点O ，求证： △OBC 是等腰三角形.18．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝4，b ＝6，若三角形的周长是小于16的偶数，判断△ABC 的形状．19．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接ED ，BD ．若BD 平分∠ABC ，求证：BD ⊥AC ．20．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE=CD．求证：DB =DE ．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 边的中点，DE△AC 于点E ，DF△BC 于点F ，DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分△BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6cm ，DE =2cm ，求BC 的长．23．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD 是高，△A=30°，求证：BD =14AB .24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，△BAC=120°,△ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2，首先保留最小角△C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将△BAC 分成两个角，使△DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形.喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么△CDB =△ABC ，因为△CDB=2△A ，所以△ABC= 2△A ．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．25．如图[感知]如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，易知：△ADC△△BEA （1）[探究]如图②，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BA 、CB 的延长线上，且AD=BE ，△ADC与△BEA 还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC 中，AB=AC ，△1=△2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD=BE=CF ，若AF=2AD ，S△ABF=6，则S△BCD的大小为答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD=BC，∠ACE=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故答案为：C.【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：当BC＝BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；当AB＝AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；当CA＝CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个；故答案为：B．【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。

人教版八年级数学 13.3 等腰三角形培优训练(含答案)

人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。

人教版八年级数学上册第13章 13.3.1.2 等腰三角形的判定培优训练(含答案)

人教版数学八年级上册13.3.1.2等腰三角形的判定培优训练一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B等于( )A．70°B．35°C．110°或35°D．110°4．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于()A．3 cm B．4 cmC．1.5 cm D．2 cm5．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( )A．△ABD B．△ACDC．△ACE D．△ABC6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，A．2个B．3个C．4个D．5个7. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( ) A．6 B．8C．10 D．128．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( )A．45海里B．35海里C．50海里D．25海里9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有()A．6个B．7个C．8个D．9个10．如图，在下列三角形中，AB＝AC，能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A．①②③B．①②④二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝_______cm.12．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为_______cm.13．如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8 cm，则△ABC是_______三角形，BD的长为_______cm.14. 直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为___________．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_______．16. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是_______．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB 于点F，那么四边形AFDE的周长是____．18．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距____海里．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F，试判断△ADF的形状，并说明理由．20．(6分) 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．21．(6分) 如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝CE，AD＝AE，求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.22．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，∠B＝30°，∠BAD＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.23．(6分) 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.24．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．作∠ADC 的平分线DN，)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．25．(8分) 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想：若点O在△ABC的外部，此时AB＝AC成立吗？(用图形来说理即可)参考答案：1-5DDBAC 6-10DCDCD11. 512. 513. 等腰，414. 2或2.515. 916. 317. 1018. 3019. 解：△ADF是等腰三角形．理由：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，∴∠BDE＝∠F，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形20. 证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形21. 解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE＋∠ADB＝180°，∠AED＋∠AEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEC，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°.又∵∠BAD＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－45°＝75°(2)证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝45°，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝75°.∵∠DAC＝75°，∴∠CDA＝∠DAC，∴DC＝AC＝AB23. 解：如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD,又∵AE＝AB，AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠AED＝∠B，BD＝ED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C，∴2∠C＝∠EDC＋∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD24. 解：如图，△ADF为等腰直角三角形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠CAM，又∠EAM＋∠CAM＋∠BAD＋∠CAD＝180°，∴∠DAC＋∠CAM＝∠DAM＝90°，∴∠ADC＋∠DAM＝180°，∴AM∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，又∵DN平分∠ADC，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰直角三角形25. 解：如图①，(1)过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD＝OE，OB＝OC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC如图②，(2)过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD＝OE，OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)，∴∠DBO＝∠ECO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC(3)不一定成立，如图。

人教版八年级数学上册 13.2 等腰三角形优化训练(含答案)

人教版八年级数学上册13.2 等腰三角形优化训练一、选择题1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC的长为()A．2 B．3 C．6 D．83. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．84. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°5. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是() A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上6. 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()A. AE＝ECB. AE＝BEC. ∠EBC＝∠BACD. ∠EBC＝∠ABE7. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形8. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB等于()A．30°B．45°C．60°D．90°9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个10. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．12. 若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为____________．13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.15. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．16. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.17. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．三、解答题18. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．19. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学上册13.2 等腰三角形优化训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.4. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA ＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC ＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC.7. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．8. 【答案】C[解析] 连接AB.根据题意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】12[解析] ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∴AB＝2BC.∵BC＝4米，∴AB＝8米．∴这棵树在折断前的高度为12米．12. 【答案】50°或80°13. 【答案】514. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．15. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.16. 【答案】2[解析] 过点P作PE⊥OB于点E. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.17. 【答案】15[解析] 由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.三、解答题18. 【答案】解：探究一：猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.∴∠ABO＝∠EOB.∴BE＝OE.同理：OF＝CF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.探究二：C△AEF＝AE＋EF＋AF＝AE＋(OE＋OF)＋AF＝(AE＋BE)＋(AF＋CF)＝AB＋AC＝8＋6＝14.探究三：猜想：EF＝BE－CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠CBO.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.同理：OF＝CF，∴EF＝OE－OF＝BE－CF.19. 【答案】解：OE＝OF.理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.20. 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。

八年级培优训练(2)等腰三角形

八年级培优训练（2）--等腰三角形班级姓名1、如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．253．如图，AA′、BB′分别是∠EAD 、∠DBC 的平分线，若AA ′=BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为．4、如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ．5、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度．6、在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个7、如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=21DE ，则∠D ＝（）A ．30°B ．45°C ． 60°D ．67．5°8、如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( ) A ．PA+PB+PC<AB+AC B ． PA+PB+PC>AB+ACC ．PA+PB+PC=AB+ACD ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关A /9、如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.10、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．11、如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF是等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明)．12、如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．D CA13、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.14、已知△ABC 中AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且BD=CF,DE 交BC 于F 求证:DF=EF15、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．16、如图， △ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=CD17、如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD上E异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．(1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E、F移动时，四边形BEDF的面积变化吗?说明理由。

人教版八年级上册数学全等三角形、等腰三角形(培优卷2)

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷2）1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．2．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连接PB交线段AF相交于点M．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．4．如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．5．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点O 和点P 是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P 是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC 和∠BAC 有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC 和∠BAC 有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P （三角形三个内角平分线的交点），点O （三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC 的内部，那么∠BPC 和∠BOC 有怎样的数量关系？请直接回答．6．如图，△ABC 与△AED 中，∠E ＝∠C ，DE ＝BC ，EA ＝CA ，过A 作AF ⊥DE 垂足为F ，DE 交CB 的延长线于点G ，连接AG ．（1）求证：GA 平分∠DGB ；（2）若S 四边形DGBA ＝6，AF ＝23，求FG 的长．7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．8．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．9．已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．10．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．11．已知：如图，ABCD是正方形，∠F AD＝∠F AE．求证：BE+DF＝AE．12．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．13．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD＝2CE．14．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？15．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP（备注：当EF＝FP，∠EFP＝90°时，∠PEF＝∠FPE＝45°，反之当∠PEF＝∠FPE＝45°时，当EF＝FP）．（1）在图1中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．16.如图，若点P在△AOC的外角∠MAC的角平分线的反向延长线上，若∠OPC＝∠OAC，过点P作PN⊥AO于N，现给出两个结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论正确，请找出来并求其值．。

人教版数学8年级上学期【能力培优】等腰三角形

13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③ 解析：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ．∵BF 是∠ABC 的平分线，CF 是∠ACB 的平分线，∴∠FBC=∠DBF ，∠FCE=∠FCB ．∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠EC F ，∴△DFB ，△FEC 都是等腰三角形．∴DF=DB ，FE=EC ，即有DE=DF+FE=DB+EC ．∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC ．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB ，∴BD=CE ． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ． ∵BE=CF ，∴△BDE ≌△CEF ．∴DE=EF ，即△DEF 是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°． ∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE=∠CEF ．∴∠DEF=180°－∠BED －∠CEF=180°－∠BED －∠BDE=∠B=70°． (3)不能．∵∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°． ∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ．（2）AD 与BE 垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ， ∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合． ∴A 、D 是对称点． ∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ， ∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中， AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）． ∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠C=45°．又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形． ∴DE=DC ．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD ，∵PO=PD ，∴OP=DP=OD ．∴∠DPO=60°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA －60°．∴△OPA ≌△PDB ．∵AO=3， ∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ． ∴CM=BN ．设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形， ∴CM=y －12，NB=36－2y ，CM=NB ． y －12=36－2y ，解得：y=16．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N 运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于a 的对称点B′与A 的连线的交点F ，煤气分管道的连接点是点A 关于b 的对称点A′与B 的连线的交点C ．故选A ．8．解：如图，作点B 关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C ，则这个基地建在C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠AB C和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．连接EB. ∵DE 是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．AF ED8．8 解析：∵DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线，∴EC=EA．∵BC=8，∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C 解析：关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5，又因为a必须为整数，∴a=2．∴点P2（－1，－1）．∴P1点的坐标是（－1，1）．。

等腰三角形培优专题

等腰三角形培优专题
简介
等腰三角形是一种有趣且常见的几何图形，为了提高学生的几
何思维和解题能力，本专题将重点培养学生对等腰三角形的认识和
理解。

通过系统的研究和练，学生能够掌握等腰三角形的特征、性
质及其相关定理，进而在解决几何问题时能够灵活应用。

培优内容
1. 等腰三角形的定义和基本特征
- 通过图示解释等腰三角形的定义，并强调等腰三角形的两边
长相等的性质。

- 给出一些例题，让学生观察并找出等腰三角形的特征。

2. 等腰三角形的性质和定理
- 介绍等腰三角形的内角性质和外角性质，并给出证明过程。

- 阐述等腰三角形底角和顶角相等的定理，并给出例题进行练。

- 引入等腰三角形中位线线段相等的定理，让学生进行推理和
证明。

3. 等腰三角形的应用
- 通过一些应用题，让学生将所学的等腰三角形的性质应用于解决实际问题。

- 强调等腰三角形在建筑、工程等领域的实用价值，激发学生对几何学科的兴趣。

研究方法与建议
- 研究前要先了解等腰三角形的定义和特征，有助于更好地理解后续研究内容。

- 研究过程中要注重练，通过做题加深对等腰三角形性质和定理的理解。

- 可以与同学一起探讨等腰三角形的问题，相互讨论和解答疑惑。

- 遇到难题时，可以向老师请教或寻求同学的帮助。

总结
本专题旨在帮助学生全面掌握等腰三角形的性质和应用，提高他们的几何思维和解题能力。

通过深入学习和练习，相信学生们能够在等腰三角形的领域取得优异的成绩，并在几何学科中取得更好的发展。

人教版八年级数学上册专题练习等腰三角形

专题练习：等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A)A. 12B. 9C. 12或9D. 9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)A. 1，2，3B. 1，1， 2C. 1，1， 3D. 1，2， 33．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D)A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第6题图)6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45°，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为__5或13__．(第8题图)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．解：AD＝AF.证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，∴∠BFE＝∠D.∵∠BFE＝∠DFA，∴∠DFA＝∠D，∴AF＝AD.拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为(B)A. 2B. 3C. 2 3D. 310．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝12BC，则△ABC底角的度数为(D)A. 45°B. 75°C. 60°D. 45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(B)A. 2B. 3C. 4D. 512．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D 重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，则EF＝__5__．14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA＝OB1，连结AB1，在B1A，B1B上分别取点A1，B2，使B1B2＝B1A1，连结A1B2，…，按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠A n B n B n＋1＝θn，则：(1)θ1＝180°＋α2；(2) θn＝()2n－1·180°＋α2n．,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__12°__．,(第15题图))16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．,(第16题图))17．如图，已知点A (3，0)，B (0，4)，C 为x 轴上一点． (1)画出等腰三角形ABC . (2)求出C 点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A 是顶点时，C 1(－2，0)，C 2(8，0)， ②当B 是顶点时，C 3(－3，0)③当C 是顶点时，C 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，0.(第18题图)18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .(1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD ＝2∠DAC .解：(1)证明：∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 为等腰三角形．(2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE .同理，MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC .(第19题图)19．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE平分∠BDC.(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解：(1)证明：∵△ABC为等腰Rt△，∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．∴∠DCA＝∠DCB.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(第19题图解)(2)如解图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

人教版数学八年级上册《13.3等腰三角形》专项练习(含答案).doc

八年级上册13.3等腰三角形专项练习（含答案）（满分： 100 分）班级： ______ 姓名： ______ 学号： ____ 成绩： ____一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1、如右图所示，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 的中点，以下结论中不正确的选项是（）A、AB ＝2BDB、AD ⊥ BCC、AD 均分∠BAC D 、∠B＝∠C2、如图，等腰△ ABC 的周长为 21 ，底边 BC B 于点 D ，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为（＝ 5，AB）的垂直均分线DE交AA．13 B．14 C．15 D．163、如图，在正三角形，A．1∶3B．2∶3中，，，分别是，则的面积与C．∶2D．，，上的点，的面积之比等于（∶3），4、如图：∠EAF=15 °，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）A：90°B：75 °C：70 ° D ：60 °5、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A：75°或15 °B：75 ° C：15 ° D：75°和30 °6、如图，在中，，是的垂直均分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．7、某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为 100 米，直角极点为A ．小区物业管委会准备把它切割成面积相等的两块，有以下的切割方法：方法一：在底边 BC 上找一点 D ，连结 AD 作为切割线；方法二：在腰 AC 上找一点 D，连结 BD 作为切割线；方法三：在腰 AB 上找一点 D ，作 DE∥BC，交 AC 于点 E，DE 作为切割线；方法四：以极点 A 为圆心， AD 为半径作弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，弧 DE 作为切割线．这些切割方法中切割线最短的是 ( )A.方法一B.方法二C.方法三D. 方法四8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（）Ａ． 30 °Ｂ． 30 °或150 °Ｃ．Ｄ．9、以下图， BE⊥ AC 于点 D ，且 AD ＝CD ，BD ＝ED，若∠ABC ＝54 °，则∠E＝（）A.25 °B.27 °C.30 °D.45 °10 、等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．B．C． D ．11、已知ABC 是等边三角形，点D、E 分别在AC、 BC 边上，且AD=CE,AE 与BD 交于点F,则∠AFD 的度数为( )A.60 °B.45 °C.75 °D. 70°12 、如图，中，，，垂直均分，则的度数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题13 、如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA 1，再以等腰直角三角形 ABA 1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A 1 BB1，这样作下去。

八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形

八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例1：如图，BD是等腰△ABC底边AC上的高线，DE∥BC角AB于点E，求证：△BED是等腰三角形。

例1—1：如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。

（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。

【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为。

例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠CDE＝。

例4：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为。

【思维升华】例5：老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°。

（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠BQM＝60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到∠BQM ＝60°？……请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③。

对②，③的判断，选择一个给出证明。

【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。

人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习

等腰三角形培优专题等腰三角形是一种特别的三角形，它拥有一般三角形的性质，同时，还拥有自己的特别性，这些特别性使它比一般三角形应用更为宽泛．等腰三角形的性质和判断为证明两个角相等和两条线段相等供给了依照．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，关于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，能够作等腰三角形底边上的高或建立等腰三角形、等边三角形找到解决问题的门路．练习1．如图，已知△A．7．5°ABC中，ABB．10°＝AC ，AD ＝C．12.5 °AE ，∠ BAED．18°＝ 30 °，则∠DEC 等于（）．2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在向来线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的均分线，且AA′＝AB＝ B′Ｂ，A′、 B 、3．如图，则∠ BDC等腰三角形＝ ________ABC．中，AB ＝AC ，∠A＝20 °．D是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连接CD ，例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延伸线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延伸线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明原因．ECA B D练习线交1．已知如图，在△CA 的延伸线于点ABC中，AB＝CD，D是F ，判断AD 与 AF 相等吗？AB 上一点，DE⊥BC ，E为垂足，ED? 的延伸2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与A ． BD>BA是等腰直角三角形，∠BA 的大小关系是（B ． BD<BABAC）＝90°，点 D 是△C． BD ＝BAABC内一点，且∠D ．没法确立DAC ＝∠DCA3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE ＝AC，延伸BE 交 AC 于 F， AF 与 EF 相等吗？为何？例 3已知：如图，△ABD和△ BEC均为等边三角形，M 、N△ BMN是等边三角形吗？说明原因．剖析要说明一个三角形是等边三角形，只需能够证明这个三角形知足相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．此题只需利用三角形全等证得分别为AE 和 DC 的中点，那么“三条边相等或三个角BM ＝ BN ，且∠ MBN ＝ 60°即可．练习1．已知：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝ CE＝AF ，AD 与BE 交于G，BE与CF 交于H ，CF 与AD 交于K ，试判断△GHK 的形状．2．已知：如图，△是等边三角形，假如ABC 是等边三角形，M 是线段AD 的中点，E 是 AC 延伸线上的随意一点，N 是线段BE 的中点，那么△选择一点 D ，?使△ CDECMN是等边三角形吗？为何？3．已知：如图，等边三角形三角形PCD 、 QAE和RAB，则以ABC ，在 AB 上取点 D ，在P、 Q 、 R 为极点的三角形是等边三角形，请说明原因．＝ AE ，作等边例 4已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ A＝100°，∠ ABC的均分线交AC 于 E ，试比较AE+BE与BC的大小？A AE EB C B C练习1．如图，在△CF ⊥ AB 于 F，那么ABC中，AB＝AC，PPD+PE 与 CF 相等吗？为底边BC 上的一点，PD ⊥AB于 D，PE⊥AC 于 E，2．已知：如图，△ABC和△ ADE都是等边三角形． B 、 C 、 D 在一条直线上，说明CE 与AC+CD相等的原因．连接3．已知：如图，△ABCAE ，则AD_______AE+AB是等边三角形，延伸AC ．（填“ >”或“＝”或“到<”）D ，以BD 为一边作等边三角形BD，E。

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等腰三角形培优专题
等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．
练习
1．如图，已知△
A．7．5°ABC中，
AB
B．10°
＝AC ，AD ＝
C．12.5 °
AE ，∠ BAE
D．18°
＝ 30 °，则
∠
DEC 等于（）．
2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝
AB
＝ B′Ｂ，A′、 B 、
3．如图，则∠ BDC
等腰三角形
＝ ________
ABC
．
中，AB ＝AC ，∠
A
＝20 °．
D
是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连
结
CD ，
例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由．
E
C
A B D
练习
线交1．已知如图，在△
CA 的延长线于点
ABC中，AB＝CD，D是
F ，判断AD 与 AF 相等吗？
AB 上一点，DE⊥BC ，
E
为垂足，ED? 的延长
2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与
A ． BD>BA
是等腰直角三角形，∠
BA 的大小关系是（
B ． BD<B
A
BAC
）
＝90°，点 D 是△
C． BD ＝BA
ABC
内一点，且∠
D ．无法确定
DAC ＝∠DCA
3．已知：如图，在△ABC中，AD
是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE ＝
AC
，延长
BE 交 AC 于 F， AF 与 EF 相等吗？为什么？
例 3已知：如图，△ABD和△ BEC均为等边三角形，M 、N
△ BMN是等边三角形吗？说明理由．
分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得分别为AE 和 DC 的中点，那么
“三条边相等或三个角
BM ＝ BN ，且∠ MBN ＝ 60°
即可．
练习
1．已知：如图，在等边三角形ABC 中，
BD ＝ CE＝AF ，AD 与BE 交于G，
BE
与CF 交于H ，
CF 与AD 交于K ，试判断
△
GHK 的形状．
2．已知：如图，
△
是等边三角形，如果
ABC 是等边三角形，
M 是线段AD 的中点，
E 是 AC 延长线上的任意一点，
N 是线段BE 的中点，那么△
选择一点 D ，?使△ CDE
CMN是等边三角形吗？
为什么？
3．已知：如图，等边三角形三角形 PCD 、 QAE和RAB，则以
ABC ，在 AB 上取点 D ，在
P、 Q 、 R 为顶点的
三角形是等边三角形，
请说明理由．
＝ AE ，作等边
例 4已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ A＝100°，∠ABC的平分线交AC 于 E ，试比较AE+BE与BC的大小？
A A
E E
B C B C
练习
1．如图，在△CF ⊥ AB 于 F，那么ABC中，AB＝AC，
P
PD+PE 与 CF 相等吗？
为底边BC 上的一点，PD ⊥
AB
于 D，PE⊥AC 于 E，
2．已知：如图，△ABC和△ ADE都是等边三角形． B 、 C 、 D 在一条直线上，说明CE 与AC+CD相等的理由．
连结3．
已
知
：
如
图
，
△ABC
AE ，
则AD_______AE+AB
是等边三角形，延长
AC ．（填“ >”或
“＝”或“
到<”）
D ，以BD 为一边作等边三角形BD
，
E。