概率论练习册答案第三章

习题3-1

1.

而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律.

解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =⋅==

≠, 所以X 1

和X 2不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

解 从7只球中取4球只有354

7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红

球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为

4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.

于是有

022

322

1

{0,2}35

35P X Y C C C ===

=

,111

322

6

{1,1}3535

P X Y C C C ===

=

,

1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223

{2,0}3535P X Y C C C ====,

21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220

3223

{2,2}3535P X Y C C C ====,

3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222

{3,1}3535

P X Y C C C ====,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.

3. (,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩

其它

求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞

-∞

=⎰

⎰

, 得

24

2

422

2

2

04

2

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰

, 所以 1

8

k =

. (2) 312

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--⎰⎰

⎰⎰

1

3

220

11

(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5

{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

-∞

<==⎰⎰

⎰

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=

⎰

⎰

1.5

4

22

01

1(6)d 82y x x y =

--⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦⎰ 421633

()d 882y y =-⎰ 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =⎰⎰4420

1

d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰ 44

2201

1(6)d 82x

y x x y -=--⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦⎰ 4

2211

[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----⎰ 42211

[2(4)(4)]d 82

y y y =-+-⎰

4

23211

(4)(4)86y y =----⎡

⎤⎢⎥⎣⎦2

3

=. 图3-8 第4题积分区域

4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2(,),1,01,

0,

f x y kxy x y x =⎧⎨

⎩≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2

{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.

解 由21

1

14001(,)d d d (1)d 26

x k k

f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞

-∞

==

==-⎰⎰

⎰⎰⎰,

解得6=k .

因而 211

240

1

{(,)}d 6d 3()d 4

x x

P X Y G x xy y x x x x ∈=

=-=

⎰

⎰⎰. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为

4.8(2),01,0,

(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨

⎩

≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.

解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有

24.8(2)d ,01,

()(,)d 0,

2.4(2),01,0,

x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞

-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨

⎩⎰⎰

其它.其它.