函数周期性结论总结57669

函数周期性公式大总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。

本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。

一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。

这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。

指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。

然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。

3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。

这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。

对数函数也可以借助模的概念引入周期性。

4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。

这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结1.余弦函数的周期性公式余弦函数是最常见的周期性函数之一，它的周期为2π。

余弦函数的周期性公式为：cos(x + 2π) = cos(x)。

这意味着，在余弦函数中，如果将自变量增加2π，那么函数值将保持不变。

2.正弦函数的周期性公式正弦函数也是一个常见的周期性函数，它的周期也是2π。

正弦函数的周期性公式为：sin(x + 2π) = sin(x)。

这和余弦函数的周期性公式非常类似，只是函数的定义域和值域略有不同。

3.周期函数的性质周期函数有许多重要的性质。

首先，一个函数是否是周期函数可以通过其函数图像进行观察。

如果函数的图像在一个特定的区间内重复出现，那么它就是一个周期函数。

其次，如果一个函数是周期函数，那么它的周期不止一个，可以有无穷多个。

最后，对于周期函数f(x)，如果T是其一个周期，那么对任意整数n，T/n也是其周期。

4.指数函数的周期性公式指数函数通常不会具有显式的周期，因为它会以指数的速度增长或减小。

然而，当指数函数的自变量乘以一个虚数单位i时，它可以变成周期函数。

具体来说，e^(ix)是一个周期为2π的函数。

周期性公式为：e^(i(x + 2π)) = e^(ix)。

这个公式被称为欧拉公式，它在电子工程、信号处理等领域有广泛的应用。

5.对数函数的周期性公式对数函数也是一个常见的函数类型。

对数函数的周期性公式和指数函数非常相似，但具体形式有所不同。

对数函数的周期公式为：ln(x + e) = ln(x)。

这意味着，当自变量增加e时，对数函数的函数值保持不变。

6.周期函数的图像性质周期函数的图像通常具有一些特殊的性质。

首先，周期函数的图像可以在一个周期内进行平移，而不改变函数的形状。

其次，对于奇函数，其图像关于原点对称；对于偶函数，其图像关于y轴对称。

最后，周期函数的图像可以进行幅度的调整，即通过乘以一个常数来改变图像的振幅。

7.周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。

函数周期知识点总结

函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。

如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。

函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。

二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。

周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。

设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。

周期函数的周期一般是不唯一的。

2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。

周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。

3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。

周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。

周期函数的和、差、积、商也是周期函数。

4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。

根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。

5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。

周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。

三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。

2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

函数周期性总结

函数周期性总结1. 什么是函数周期性？函数周期性指的是函数在一定区间内具有重复的特点或性质。

在一个周期内，函数的值和特征会重复出现。

周期性可以用来描述很多现象，比如天气变化、心脏跳动等。

2. 函数周期性的判断条件要判断一个函数是否具有周期性，需要满足以下条件：- 函数必须在某个区间内有定义。

- 函数在该区间内必须是有界的。

- 函数必须满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 是周期。

3. 常见的函数周期性类型3.1 周期函数周期函数是指具有周期性的函数。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

它们在一个周期内的值会不断重复。

3.2 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是特殊的周期函数。

- 奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。

- 偶函数满足 f(-x) = f(x)，即关于 y 轴对称。

3.3 周期为2π 的函数周期为2π 的函数在每个周期内的值是相同的。

它们是一类特殊的周期函数，包括正弦函数和余弦函数。

4. 为什么函数周期性重要？函数周期性在数学和工程等领域中具有广泛的应用。

- 在数学中，周期性是研究函数特征和行为的重要工具。

通过研究函数的周期性，可以得到函数的性质和规律。

- 在工程中，周期性可以用来描述循环和重复的现象。

例如，电流的周期性可以用来描述交流电信号。

5. 总结函数周期性是函数在一定区间内重复出现的特点。

判断函数周期性需要满足一定条件。

常见的函数周期性类型包括周期函数、奇函数和偶函数，以及周期为2π 的函数。

函数周期性在数学和工程领域中具有重要的应用价值。

函数周期性的几个重要结论

函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=抽象函数的对称性1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

函数周期性5个结论的推导

函数周期性5个结论的推导
周期函数是一类具有一定的定义域和值域的函数，在数学中有多种应用，体现
出截然不同的现象。

其中最重要的特性就是其具有周期性，下面就对它，尤其是所提出的“周期函数的5个结论”作一归纳总结。

首先，任何常数加上周期函数对应图形保持不变，而常数减去它会使其图形上
下移动，而不改变其形状。

这反映出，周期函数受常数影响，但形状不变。

其次，通过x轴翻转，周期函数的图形仍然保持不变，但y轴翻转会将函数图
形上下移动，如此就可以表达出周期函数固定的正负偶对称性质。

接着，周期函数同样具有指数函数的结构，即f(x)和f(-x)在Y轴上相互对称，具有相同的周期，且满足卷积方程。

再者，若幂的指数为偶数，则其引起的周期函数满足偶函数幂的性质，具有
y=0对称性，也就是有它们的图形会有Y轴对称性。

最后，求和可使周期函数中每一部分之和开始从零开始，因此可以将每一部分
写为相加之和，这也就可以推出每一部分的形式，而无需整体分析。

总的来说，周期函数的特性使它的相关研究起着至关重要的作用，是解决许多
复杂问题的有效手段，上述五项是其重要结论之一，可有助于更深入地理解周期函数。

(完整版)函数周期性与对称性常见结论

(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。

这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。

本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。

一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

函数周期性总结

函数周期性总结
函数周期性是指函数在一定区间或时间内重复出现的特点。

在数学和工程学中，函数周期性是一种经常出现的现象，它具有广泛的应用和重要性。

函数周期性的特点包括以下几个方面：
1. 周期长度：函数周期性的主要特征是它在一定的区间或时间内重复出现。

这个区间或时间被称为函数的周期。

周期长度可以是固定的，也可以是不固定的。

2. 重复性：函数周期性还表现为其值在周期内的重复性。

即在周期内的任意一点，函数的值与其他周期对应点的值是相同的。

3. 周期性函数的图像：周期性函数在坐标系中的图像呈现出重复出现的形式。

通过观察函数图像的周期性特点，可以进一步分析和推导出函数的性质和规律。

函数周期性在实际应用中具有重要意义：
1. 信号处理：函数周期性在信号处理中起到至关重要的作用。

周期性信号的分析可以帮助我们理解和处理一些重要的信号，如音
频信号、视频信号等。

2. 通信系统：通信系统中的信号往往具有周期性。

通过对周期
性信号进行分析和处理，可以实现有效的信号传输和通信。

3. 物理学和工程学：在物理学和工程学中，周期性函数广泛应
用于建模和理论分析。

例如，正弦函数是一种常见的周期性函数，
在电路分析和振动理论中经常使用。

总之，函数周期性是数学和工程学中重要的概念之一。

它的理
解和应用对于解决实际问题和推动科学和技术的发展具有重要意义。

49.函数的周期性结论大全(高考)

函数的周期性结论大全（高考）定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．结论一、||2a T =或||4a 型1．若)()(a x f a x f -=+，则||2a T =．即每经过||2a ，函数值就重复出现一次．例1 若)(x f 是定义在R 上的奇函数且)2()2(-=+x f x f ，且2)1(=f ，则=+)7()6(f f ．解：由)2()2(-=+x f x f 得)(x f 是周期函数，周期4=T ，所以)3()2()7()6(f f f f +=+．又因为)2()2()42()2(f f f f -==+-=-，所以0)2(=f ；2)1()1()43()3(-=-=-=-=f f f f ，所以2)7()6(-=+f f ．2．若)()(x f a x f -=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =++)()(（C 为常数），则||2a T =．若)()(a x f a x f --=+，则||4a T =；一般地，若C a x f a x f =-++)()(（C 为常数），则||4a T =．证明：由C x f a x f =++)()(可得C x f a x f +-=+)()(，则-=++-=+C C a x f a x f )()2()(])([x f C x f =+-，所以||2a T =．令t a x =-，可得t a x +=，代入)()(a x f a x f --=+得)()2(t f a t f -=+，所以)()2()4(t f a t f a t f =+-=+，所以||4a T =．例2 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)1()1(--=+x f x f ，若1)1(>-f ，42)5(2--=a a f ，则实数a 的取值范围是（） A ．)3,1(- B ．),3()1,(+∞--∞C ．)1,3(-D ．),1()3,(+∞--∞ 解：由)1()1(--=+x f x f 得)(x f 的周期4=T ，1)1()1()5(-<--==f f f ，所以1422-<--a a ，解得31<<-a ．选A ．例3 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足0)()8(=++x f x f ，且5)5(=f ，则=+)2024()2019(f f ．解：由0)()8(=++x f x f 得)()8(x f x f -=+，所以)(x f 的周期16=T ，所以5)0()5()8()3()2024()2019(=---=+=+f f f f f f ．3．若)(1)(x f a x f ±=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =∙+)()(（C 为常数），则||2a T =．证明：由C x f a x f =∙+)()(，可得)()(x f C a x f =+，则)()()()2(x f x f C C a x f C a x f ==+=+．4．若)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则||2a T =；若)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，则||4a T =．证明：因为)()(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f =+-++--=+++--=+，所以||2a T =．因为)(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f -=-+--++=+-++-=+，由3可知||4a T =．例4 对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=+)2023()2022(f f ．解：由1()(1)1()f x f x f x ++=-得)(x f 的周期4=T ，所以213131)2023(,3)2()2022(-=+-=-==f f f ，所以27213)2023()2022(-=--=+f f ．例5 若函数)(x f 对于任意的x R ∈，都有)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，当10≤<x 时，x x f 3)(=，则=)5.101(f ．解：由)(1)(1)1(x f x f x f +-=+得)(x f 的周期2=T ，所以==)5.1()5.101(f f 51)5.0(1)5.0(1-=+-f f ．结论二、||b a T +=型5．若)()(b x f a x f -=+，则||b a T +=．每经过||b a +，函数值就重复出现一次．例6 （多选题）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()3(-=+x f x f ，若当]2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则下列结论正确的是（）A ．当]0,2[-∈x 时，12)(-=-x x fB ． 1)2019(=fC ．)(x f 的图象关于点(2,0)对称D ．函数x x f x g 2log )()(-=有3个零点解：A 正确；由)1()3(-=+x f x f 得)(x f 的周期4)1(3=--=T ，1)1()1()2019(==-=f f f ，所以B 正确；因为312)(2=-=x f ，所以)(x f 的图象不关于点(2,0)对称，所以C 错误；画出图象可知D 正确．选ABD ．结论三、周期性与对称性综合型6．若函数)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =都对称，即)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则||2a b T -=．证明：由)()(x a f x a f -=+得)2()(x a f x f -=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=．例7 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=．若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f（）A ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间上是减函数，在区间上是增函数D ．在区间上是减函数，在区间上是增函数解：由)2()(x f x f -=可得)(x f 图象关于直线1=x 对称，又因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 的周期2)01(2=-=T ，画出)(x f 的图象草图如图，观察图形，可知选B ．7．若函数)(x f y =的图象关于点),(),,(c b c a 都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)(2)(x b f c x b f --=+，则||2a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)(2)(x b f c x b f --=+得)2(2)(x b f c x f --=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=．例8 （多选题）已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 是周期函数C ．0)1(=fD ．)1(+x f 是奇函数解：由0)1()1(=-++x f x f 可得)1()1(x f x f --=+，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称，由)1(-x f 是奇函数可知)(x f 图象关于点)0,1(-对称，所以)(x f 的周期4)]1(1[2=--=T ，所以BCD 正确，A 错误．8．若函数)(x f y =的图象关于点),(c a ，b x =都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)()(x b f x b f -=+，则||4a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=．所以)2(2x a f c --)2(x b f -=*，令t x a =-2，则t a x -=2，代入*式得)(2t f c -)22(t a b f +-=，所以-=+--=+-+-=+-c t a b f c t a b a b f t a b f 2)22(2))22(22()44()()(2t f t f c =+，所以||4a b T -=．例9 （多选题）已知)(x f 是R 上的奇函数，)2(+x f 是R 上的偶函数，且当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2+=，则（） A ．3)5(=-f B ．3)3(=-f C ．0)2020(=f D ．3)2021(-=f解：由)2(+x f 是R 上的偶函数可得)(x f 图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期8)02(4=-=T ，所以3)1()3()5(===-f f f ，所以 A 正确；3)1()1()5()3(-=-=-==-f f f f ，所以错误；0)0()4()2020(===f f f ，所以C 正确；3)5()2021(-==f f ，所以D 正确．选ACD ．[2,1]--[3,4][2,1]--[3,4]例10 （2021年全国新高考Ⅰ卷）设函数)(x f 的定义域为R ，)1(+x f 为奇函数，)2(+x f 为偶函数，当]2,1[∈x 时，b ax x f +=2)(．若6)3()0(=+f f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛29f （） A ．49- B ．23- C ．47 D ．25 解：由)1(+x f 为奇函数可得)(x f 的图象关于点)0,1(对称，)2(+x f 为偶函数可得)(x f 的图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期4)12(4=-=T ．由634)1()2()3()0(=-=++---=+-=+a b a b a f f f f ，解得2-=a ，又由0)1(=+=b a f 得2=b ，所以22)(2+-=x x f ．所以25232223211221292=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ．选D ． 9．周期为T 的奇函数一定关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2T 对称，周期为T 的偶函数关于直线2T x =对称．小结：函数周期等于对称轴之间距离的2倍，等于对称中心之间距离的2倍，等于对称轴与对称中心之间距离的4倍．可联想x x f sin )(=理解记忆．定义在R 上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在．例11 （多选题）已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（） A ．函数)(x f 的周期为4B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，)(x f 的最小值为21- 解：由)3()1(-=+x f x f 可得)(x f 的周期4)3(1=--=T ，所以A 正确；由)3()1(x f x f -=+可得)(x f 的图象关于2231=+=x 对称，所以B 正确；画出草图，可知当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为222)(2=-=x f ；当68x ≤≤时，)(x f 的最小值等于4121215-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．选ABC ． 10．若)()()2(x f a x f a x f -+=+，则||6a T =证明：因为)()()2(x f a x f a x f -+=+①，所以)()2()3(a x f a x f a x f +-+=+②，把①代入②得)()()()()3(x f x f a x f a x f a x f -=-+-+=+，所以)()3(x f a x f -=+，由2可知||6a T =．例12 （2022年新高考Ⅱ卷）若函数)(x f 的定义域为R ，且)()()()(y f x f y x f y x f =-++，1)1(=f ，则∑==221)(i k f （） A ．3- B ．2-C ．0D ．1 解：因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．选A ．。

高中函数周期性总结

1函数的周期性常见结论归类一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(13)()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =. (14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数()()f x a x R =∈；(15)周期函数的定义域是无界的；(16)若T 为()y f x =的周期，则(0)nT n Z n ∈≠且也是()y f x =的周期(17)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；。

函数的周期性主要结论

函数的周期性主要结论1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。

（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=(由x b x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2A y =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定（4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(m n 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像6.函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wb a -个单位得到的 7.定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。

函数的周期性主要结论

函数的周期性主要结论周期函数是一类在数学及物理学中得以广泛应用的函数，它通常指使某一变化重复出现的变化过程，由出现这种重复现象可以认为这是一种周期现象，而这种周期性现象就是由周期函数表示的。

此外，由于周期函数的研究和应用，也促进了数学研究的发展，且在物理及其他学科中也得到了广泛应用，比如信号处理，信息传输等。

因此，学习周期函数可以帮助我们更好地理解和利用自然规律，更加深入地探讨周期性现象及其机制。

首先，周期函数与正弦函数密切相关。

正弦函数可以表示各种周期性现象，此时正弦函数可以用来描述一个物体随时间变化的情况，从而描绘出不同的天气及环境变化。

因此，我们可以将正弦函数的图像用来表示一些自然现象，如企鹅的活动、蝴蝶或飞蛾的飞行，以及昼夜变化等，这些都可以以曲线的形式表现出来，每一条曲线都有它的周期。

其次，周期函数也与复平面有着密切的联系。

有关复平面的几何学研究表明，圆弧、椭圆、正弦曲线和其他曲线都属于复平面几何中的曲线，而这些曲线都可以用函数表示，其中包括周期函数。

自古以来，几何学家们发现，复平面几何中的某些曲线特别是正弦曲线，有着一定的循环性质，因而制定出来的概念就是周期函数，即当物体的变化符合正弦曲线的变化规律时，我们就认为它具有周期性。

再者，提出和研究周期函数也大大推动了数学研究的发展。

周期函数开创了使数学理论能够描述周期性现象的新思路，使其应用范围远比以往更加广泛，从而推动数学理论的发展。

例如，法国数学家布罗森在19世纪50年代提出了一种新的数学模型，叫做波动方程，它利用圆周函数家族的变换系数，可以用来描述一类自激振荡现象，比如轮船和飞机的振荡，同时这种模型还被广泛应用在汽车制动系统及其他系统中。

最后，周期函数在物理及其他学科中也得到了充分利用。

比如在信号处理中，我们可以利用周期函数来传输信号，特别是在无线电中，我们可以借助正弦函数及其相关的周期函数来构建信号表，以在对话的过程中传递不同的信息，这种方法基本上避免了突发性信号的干扰，使得信号传输不受污染。

函数周期性结论总结57669

函数周期性结论总结57669 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2 函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对关于直线x=b 对称。

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

函数周期性公式大总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。