立体几何重难点突破2020

C1 B1 F
有公共点，则 x y 的取值范围是
A. [0,1] D1
A1
B. [ 1 , 3] 22
C1 B1 F
C. [1, 2] A1
D. [ 3 , 2] 2
D1
C1
B1 F
D E A
C B
D1 A1
C1 B1 F
D E A
C B
D E A
C B
D A
C B
重点要求—折叠与展开问题
4. (2020 全国Ⅰ）如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC＝1，
D1
A1
分析 1：为了证明直线 B1D 平面 D1 AC ，转化为证明 B1D D
与平面 D1 AC 内的两条相交直线 AC 与 AD1 垂直，由于直 A
C1 B1
C B
线 AC 与 AD1 都是正方体的面对角线（地位一样），所以
D1
C1
A1
B1
主要证明 AC 与 B1D 垂直，但注意到直线 B1D 与 AC 异
2
3
3
重点要求--截面问题
3．(2020 新全国Ⅰ）已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD＝60°．以 D1 为球心， 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为________． 分析：关键是找到球面被侧面 BCC1B1 所截得到的小圆圆心． 如图，取 B1C1 的中点为 E ， BB1 的中点为 F ， CC1 的中点为 G ， 因为 BAD 60°，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的棱长均为 2，所以
基本要求
空间直线与平面、平面与平面的平行与垂直的判 定,是高考题中解答题的第一问,属典型的中档题．
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,一 般是通过建立空间直角坐标系,建立立体图形与空间 向量的联系,从而把立体几何问题转化为向量问题； 进而通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置 关系以及它们之间的(距离和)夹角等问题进行向量运 算；再把向量的运算结果转化成相应的几何意义(回 归几何问题)．
由于 4 R2 16 ，解得： R 2 . 设△ ABC 边长为 a ， 则
1 a2 3 9 3 ，解得： a 3 ， r 3
2
2
4
球心 O 到平面 ABC 的距离为 d R2 r2 4 3 1.
重点要求--截面问题
2．(2020 全国Ⅲ）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为__________． 分析：球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中 BC 2, AB AC 3 ，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆
基本要求
空间向量的应用问题一般出现在立体几何的解答 题中,难度为中等．难点是恰当建立坐标系、点的坐 标的计算、以及动点的探索性问题等,需在复习中多 注意这方面的训练．
根据近年来高考立体几何命题的规律,可以预测立 体几何题总体会保持稳定,以简单几何体为载体,重点 考察空间线面的平行、垂直问题、求空间角、存在性 问题、探索性问题等．
平行关系的转化:平行关系包括线线平行、线面平 行和面面平行.三种平行关系既是相互依存,又可以依 据性质定理和判定定理在一定条件下相互转化.线线
重点要求---位置关系
平行是线面平行和面面平行的基础,常常通过平行的 传递性,以及中位线、平行四边形、相似形等判断线 线平行,进而证明线面平行和面面平行.
垂直关系的转化:垂直关系包括线线垂直、线面 垂直和面面垂直.三种垂直关系既是相互依存,又可依 据性质定理和判定定理在一定条件下相互转化.线面 垂直是线线垂直过渡到面面垂直的桥梁和纽带,成为 学习垂直关系的重点.线面垂直判定突破的关键是应 用逆向思维来分析问题.
A1
C1
B1
分别为 A1B 、BN 的中点，所以 OM 为 A1BN 的中位
O
线，从而 OM // A1N .
A
NC
M
B
又因 OM 平面 AB1M ，A1N 平面 AB1M ， 所以 A1N //平面 AB1M .
重点要求---位置关系
分析 2：为了证明 A1N // 平面 AB1M ，转化为证明
A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此
圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为
A． 2 17
B． 2 5
分析：三视图---直观图---展开图
M
C． 3
M
最短路径的长度为 2 5 .
N N
D．2
重点要求---三视图
三视图在构建直观、形象的数学模型方面有其独 特作用．图形的直观,不仅为学生感受、理解抽象的 概念提供了有力的支撑,而且有利于培养学生的观察 能力、空间想象能力、形象思维能力、运用图形语言 进行交流的能力．从近年的高考试题来看,大多中规 中矩,几乎没有与旋转体的结合,局限在多面体,基本 是四棱柱的切割体．如何画出多面体的直观图,确定 顶点就成为突破点,具体的操作是根据三视图画出四 棱柱,然后在四棱柱的表面找寻多面体的顶点．
重点要求---三视图
6．(2020 全国Ⅲ）下图为某几何体的三视图，则该
几何体的表面积是（
）
A. 6＋4 2 C. 6＋2 3
B. 4＋4 2 D. 4＋2 3
重点要求---三视图
7．(2020 全国Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正
视图中对应的点为 M ，在俯视图中对应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为
立体几何重难点突破
基本要求
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位 置关系的数学学科.三维空间是人类生存的现实空间, 认识空间图形,培养和发展学生的直观想象、逻辑推 理、数学运算、数学建模、数学抽象素养,以及运用 符号与图形语言进行交流和转化的能力,是高中阶段 数学课程的基本要求.
立体几何在高考中一直占据重要的地位,试卷题量 多为1-3小题1大题,位置相对稳定.在分数上每年都在 20分左右,且经高三反复训练后,大部分学生可以在立
基本要求
体几何题目解答中做到少丢分甚至不丢分． 通过近年高考试题的分析,探寻高考命题的规律与
趋势,更好把握复习方向,突破重难点． 对于截面问题(应用点、线、面的位置关系及平面
的基本性质画图,转化为平面问题),折叠与展开问题( 抓住不变量),三视图应用(画出直观图)等是出题的热 点,题型多以选择题、填空题为主,有时出题角度会很 新颖,要求学生有一定的空间想象能力及分析问题、 解决问题的能力,突破的关键是教会学生画图 ．
过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.
C1
A1
O
N
B1
（1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F， 且 AO＝AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.
分析：设 ABC 边长是 6m ( m 0 )， ON AP 3m ，
重点要求--截面问题
1．(2020 全国Ⅱ）已知△ ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面
4
上．若球 O 的表面积为16π ，则 O 到平面 ABC 的距离为
A． 3
B． 3
2
C．1
D． 3
2
分析： 根据已知条件可求得球 O 的半径 R 和△ ABC 外接圆半径 r .
（）
A. E
B. F
C. G
D. H
重点要求---位置关系
在位置关系和度量性质的教学与学习中，树立“ 转化”的思想方法,即在一定条件下将较复杂的问题 转化为较熟悉的、简单的、基本的问题,将空间问题 转化为平面问题,再从平面问题回到空间问题来加以 认识,有助于把握知识本质和内在规律，有助于提高 发现问题、分析问题、解决问题的能力.
到了找到了应作的辅助线.
A
分析 3：为了证明 A1N // 平面 AB1M ，转化为证明
NC
B
M
经过直线 A1N 的平面与平面 AB1M 平行，应用平面与平面平行的性质，
达到了证明直线与平面平行的目的.
重点要求---位置关系
注：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求证：B1D 平面 D1 AC ．
A1 B1
C1
平面 AB1M 内的一条直线与直线 A1N 平行，有些学 F
生反映不会作辅助线，也即不会在平面 AB1M 内找
A E
B
直线与直线 A1N 平行.试想，让你证明的位置关系，
NC M
一般来说是正确的，通过线面平行的性质定理，只
A1 B1 H
C1
要经过直线 A1N 的平面与平面 AB1M 相交，那么就找
△ D1B1C1 为等边三角形，所以 D1E 3 ， D1E B1C1 ，所以 E 为
小圆圆心，且小圆半径为
2
，注意到
FEG
2
，故答案为：
2 .
2
重点要求--截面问题
注：如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E, F 分别
D1
是棱 AD, B1C1 上的动点，设 AE x, B1F y .若棱．DD1 与平面 BEF A1
AB AD 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则 cos∠FCB＝____.
分析：关键是不变量，尽可能画出三棱锥的直观图.
由于 AB AD 3 ， AC 1，得 BC 2， BD 6 ，在△ACE 中，由
余 弦 定 理 得 CE2 AC2 AE2 2AC AE cos 30 1 ， D
M
D
C
面，又转化为证明直线 AC 与直线 B1D 所在的平面垂直， A
O B
即再通过线面垂直来证明线线垂直.
分析 2：证明 B1D 与平面 D1 AC 内的两条相交直线 AM 与 CM 垂直.
重点要求---位置关系
8．(2020 全国Ⅱ）如图，已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是正三角形，
侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，
F
C
A
EP
M B
C1
A1
ON B1
Q
A1A 2
6m ，
tan QAO OQ 2m 1 sin QAO OA 6m 3
10 10
F
C
A
பைடு நூலகம்
P
E
M B
重点要求---空间向量
利用空间向量处理立体几何问题,提供了新的视 角. 空间向量的引入,为解决三维空间中图形的位置 关系与度量问题提供了一个十分有效的工具. 学生将 在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广 到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系 的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一 步发展空间想象能力和几何直观能力.
重点要求--截面问题
在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几 何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、 正方体等),得到的平面图形．主要要求是熟悉几何体 的结构特征,且能够依据点、线、面的位置关系及平 面的基本性质画出截面图形,目的 是把空间问题转化为平面问题．
对于球的截面问题,从考题看 是重点,要使学生会画图,且掌握 球的截面性质： d 2 R2 r2 ．
教材的目的是体现空间向量解决立体几何问题的 工具性作用及其数形结合的思想方法.
重点要求---空间向量
虽然教材内容的编写和逻辑结构几近完美,但个 人以为本节课的教材内容还需要进一步整合和完善, 其不足主要体现在：一是没有充分挖掘利用空间向量 证明线面位置关系时的应用；二是例题的选配侧重于 向量的线性运算,而不能充分体现空间向量解决立体 几何问题的通性通法；三是对于空间向量在立体几何 中的应用缺乏系统的梳理,且没有充分讨论空间的角 与距离的算理与计算公式.所以教学与复习时还需要 对知识的形成过程加以完善和提炼.
A
CF CE 1 ， 进 而 在 BCF 中 ， 由 余 弦 定 理 得
B
cos FCB CF 2 BC2 BF 2 1 4 6 1 .
C
2CF BC
21 2 4
重点要求—折叠与展开问题
5. (2018 全国Ⅰ）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视
图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为
的圆心为 O ，由于 AM 32 12 2 2 ，故
1
S△ABC
22 2
2 2
2 ，设内切圆半径为 r ，则：
S△ ABC
S△ AOB
S△BOC
S△ AOC
1 AB r 1 BC r 1 AC r
2
2
2
1 3 3 2 r 2 2 ，解得： r
2
2 ，其体积：V 4 r3 2 .
重点要求---位置关系
注：如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 M 、 N 是
A1 B1
C1
棱 BC 上的两个三等分点，求证：A1N // 平面 AB1M .
分析 1：比较简洁自然的一种证法是：连结 A1B , A
NC
B
M
交 AB1 于 O 点，连接 MO . 在 A1BN 中，因为 O、M