实系数的一元二次方程的解法

实系数的一元二次方程

对于实系数的实系数一元二次方程)0,,(02≠∈=++a R c b a c bx ax 且,其判别式ac b 42-=∆.

当0>∆时,方程有两个不同的实根a

ac b －b 242－±. 当0=∆时,方程有两个相同的实根a

b 2-. 当0<∆时,方程有两个共轭的复数根i a

ac b a b 2422--±-. 例1 解方程： 0842=+-x x .

解：∵0＜16＝－32－16=∆,

∴方程的解为=1x 2 164i +2i ＋2=,=2x 2

164i -2i -2=. 例2 已知方程),(02R q p q px x ∈=++的一个根i 1-+.

（1）求实数q 、p 的值；

（2）根据根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并证明. 解：（1）把i x +-=1代入方程02=++q px x , 得0)2()(=-++-i p q p ,

⎩⎨⎧=-=+-∴0

20p q p

解得2,2==q p .

（2）由（1）知方程为0222=++x x .

设另一个根为2x ,由根与系数的关系,

得21-2-=++x i ,

i x --=∴12.

把i x --=12代入方程0222=++x x ,

则左边()==+--+--=02)1(212

i i 右边, i x --=∴12是方程的另一个根.