算术—几何平均不等式

江苏省郑梁梅高级中学高二数学教学案（理）

主备人：冯龙云 做题人：顾华章 审核人：曾庆亚

课题：算术—几何平均不等式

一、教学目标： 1．掌握平均不等式的基本形式和特点，体会特殊化到一般化的思考方法；

2．利用平均不等式证明相关结论；

二、教学重点、难点

重点：掌握平均不等式的基本形式和特点；

难点：利用平均不等式证明相关结论。

三、教学过程

1、问题情境

复习回顾：基本不等式

2、建构数学

算术—几何平均不等式：

3、数学运用

例1、设,,a b c 为正数，证明：2

(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥。

例2、设12,,,n a a a L 为正数，求证：1212111n n

a a a n n a a a +++≥+++L L 。

例3、证明：对于任意正整数n ，有111(1)(1)1n n n n ++<+

+。

4、课堂练习

（1）已知x 、y 都是正数，且

141x y +=，求x y +的最小值。

（2）已知x 、y 都是正数，且x y >，求证：22

12232x y x xy y +

≥+-+。

5、课堂小结

四、板书设计

五、教学后记

江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）

班级__________ 姓名________ 学号_________

1、设,,a b c 为正实数，求证：333111abc a b c

+++≥

2、已知a 、b 为正数，求证：22

(1)(1)9a b a b ab ++++≥。

3、已知a 、b 、c 为正数，且()1abc a b c ++=，求()()a b a c ++的最小值。

4、已知,,x y z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z

++≥++。

5、给定正数p 、q 、a 、b 、c ，其中p q ≠，若p 、a 、q 是等比数列，p 、b 、c 、q 是等差数列，判断一元二次方程2

20bx ax c -+=实根的情况。

6、设1a ，2a ，…，n a 均为正数，且121n a a a =L ，求证： 12(2)(2)(2)3n n a a a +++≥L 。