算术—几何平均不等式

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2. 三个正数的算术——几何平均不等式

∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028，当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号，即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大．因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
用平均不等式求解实际问题例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b

【免费下载】算术几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
.可见
历史上的证明
的情况，设:
。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

三个正数的算术-几何平均不等式

即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2

3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3

错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2

,

高中数学学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用

学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a ，b >0，那么____________，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)如果a ，b ，c >0，那么________________，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(3)对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 自我检测1．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝s ，xy ＝p ，则下列命题中正确的序号是________． ①当且仅当x ＝y 时，s 有最小值2p ；②当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24；③当且仅当p 为定值时，s 有最小值2p ；④若s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24.2．若x ，y ∈R ，且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________．4．函数y ＝3＋3x ＋1x(x <0)的最大值为________．5．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by＝1，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3 (1)已知a 、b 、c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2θ<c .求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c . (2)设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(1a 2＋1b 2＋1c2)(a ＋b ＋c )2≥27.变式迁移3 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．2．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．3．函数y ＝52x 2(25－2x )(0≤x ≤15)的最大值为_____________________________________．4．设a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值是________． 5．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________． 6．函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________．7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．8．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则p ＝2x ＋y 的最大值是________．二、解答题(共42分)9．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .10．(14分)设x 、y 均大于0，且x ＋y ＝1，求证：(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a ＋b 2≥ab (2)a ＋b ＋c 3≥3abc (3)a 1＝a 2＝…＝a n2．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)|α||β| 自我检测 1．④解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy ，又x ＋y ＝s ，xy ＝p ，∴当s 一定，即x ＝y ＝s 2时，p 有最大值s 24；当p 一定，即x ＝y ＝p 时，s 有最小值2p . 2．7解析 3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当“3x ＝27y ”即x ＝3y 且x ＋3y ＝2时，上式取“＝”，此时x ＝1，y ＝13.3．9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．4．3－2 3 解析 ∵x <0，∴y ＝3＋3x ＋1x ＝3－[(－3x )＋(－1x)]≤3－2 3.当且仅当－3x ＝－1x，即x ＝－33时取等号．∴当x ＝－33时，函数y ＝3＋3x ＋1x有最大值3－2 3.5．[－25，25]解析由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a 2＋b 2)≥(a －b )2， ∴(a －b )2≤20，∴－25≤a －b ≤25，当且仅当“b ＝－a ”时上式“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a a 2＋b 2＝10得，⎩⎨⎧ a ＝5b ＝－5或⎩⎨⎧a ＝－5b ＝5. 课堂活动区例1 解题导引由于a x ＋b y ＝1，则可以构造x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y)2]≥(a＋b )2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解 ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y)2]≥(a ＋b )2.当且仅当x ·b y ＝y ·ax，即x y ＝a b时取等号． ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.变式迁移1 解由柯西不等式得：(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1.∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ×1＝3y ×1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝1得⎩⎨⎧x ＝14y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12.例2 解题导引运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解如图，设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0<x <1)，则OB 1＝B 1B 2＝x . 由A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1，所以A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x . 作B 1C 1⊥A 1A 2于C 1.在Rt △A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝(6·34x 2)·32(1－x )＝94x 2(1－x )(0<x <1)．则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x ·(2－2x )≤98·[x ＋x ＋(2－2x )3]3＝13. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2 解 (1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎩⎨⎧a 2＋4·12h ′a ＝2h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′.解得：a ＝1h 2＋1(h >0)．(2)由V ＝13a 2h ＝h3(h 2＋1)(h >0)，得：V ＝13(h ＋1h )，而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2.所以0<V ≤16，当且仅当h ＝1h，即h ＝1时取等号．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．例3 证明 (1)由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0，从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0，又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0， ∴(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．变式迁移3 证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0， 1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．课后练习区 1．8解析 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥216＝8.当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析 y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1x＋1.∵x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2.∴x ＋1x ＋1≤－1.∴0>3x ＋1x＋1≥－3，即－3≤y <0.∴原函数的值域为[－3,0)． 3.4675解析 y ＝52x 2(25－2x )＝52x ·x (25－2x )，∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52[x ＋x ＋(25－2x )3]3＝4675.当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675.4．4解析 ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4，∴a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 又∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立，∴4a －c ≥n a －c ，又∵a >c ，∴a －c >0，∴4≥n ，即n ≤4. 5.425解析柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.①不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.6.15解析函数的定义域为[1,6]． y 2＝(12－2x ＋x －1)2 ＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15. ∴y 2≤15.∴y ≤15.当且仅当2×x －1＝1×6－x ，即x ＝83时等号成立．∴原函数的最大值为15. 7．8解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)．则(－2)m ＋(－1)·n ＋1＝0,2m ＋n ＝1，m ，n >0. 1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4m n ＝8，(m ＝14，n ＝12时取等号)即1m ＋2n 的最小值为8. 8.11解析 ∵(3x 2＋2y 2)[(23)2＋(12)2]≥(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤116×6＝11.∴－11≤2x ＋y ≤11，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧32x ＝223y3x 2＋2y 2＝6时，上式取“＝”．即⎩⎨⎧x ＝411y ＝311或⎩⎨⎧x ＝－411y ＝－311.∴x ＝411，y ＝311时，P max ＝11. 9．证明由算术—几何平均不等式可得： a ＋b ＋c ≥33abc ，①a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2， ②①②相乘得(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc 即为所证结论．(12分)10．证明方法一要证(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252，只需证x 2＋y 2＋1x 2＋1y 2＋4≥252. (3分)∵x ＋y ＝1，即要证(1－2xy )＋1－2xy x 2y 2≥172，即要证4x 3y 3＋15x 2y 2＋4xy －2≤0， (5分)即要证(4xy －1)(x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (8分)即要证[4xy －(x ＋y )2](x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (10分)即要证(x －y )2(x 2y 2＋4xy ＋2)≥0.(12分) ∵x 、y 均大于0，x ＋y ＝1，故上式成立．故所证不等式(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252成立． (14分)方法二 ∵x ＋y ＝1，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14，∴1xy≥4. (4分) 又∵(12＋12)[(x ＋1x )2＋(y ＋1y)2]≥(x ＋1x ＋y ＋1y )2(8分)＝(x ＋y ＋x ＋y xy )2＝(1＋1xy)2≥(1＋4)2＝25.(12分)即2[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥25.∴(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252. (14分)11．解设该厂应隔x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y . ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x 天饲料的保管与其他费用共是：6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． (8分)从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417. (14分)当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． (16分)。

算术几何平均不等式与其应用

算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。

一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。

1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。

算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。

2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。

几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。

算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。

性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。

二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。

下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。

假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。

首先，我们考虑当n=2的情况。

此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。

我们可以通过平方的方式来证明G≤A。

由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。

再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。

即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。

所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。

接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。

即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。

算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。

算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。

假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。

因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。

根据二项式定理，于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。

基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

算术-几何平均值不等式

设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。

算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明1 / 6历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。

假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成也就是说2 / 6综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。

因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

根据二项式定理，于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：3 / 6所以，从而有。

基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

算术几何平均间不等式的证明

算术几何平均间不等式的证明在数学中，算术平均和几何平均是两个常用的概念。

算术平均是一组数的总和除以数的个数，而几何平均是一组数的乘积的n次方根。

算术几何平均间不等式是一种基本的不等式，它提供了一种关于算术平均和几何平均之间的关系。

本文将对算术几何平均间不等式进行证明。

设有正数x₁,x₂,x₃,...,xₙ,它们的算术平均为A，几何平均为G。

那么我们可以得到以下关系：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ n√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（1）首先，我们通过归纳法证明这个不等式对于n=2时成立。

当n=2时，不等式可以变为：x₁+x₂ ≥ 2√(x₁·x₂) ——（2）我们可以将不等式（2）两边平方，得到：x₁²+x₂²+2x₁x₂ ≥ 4x₁x₂接着，我们可以重写上式为：(x₁-x₂)² ≥ 0这是显然成立的，所以当n=2时，算术几何平均间不等式成立。

接下来，我们假设当n=k时，不等式成立。

即对于k个正数的情况下，算术几何平均间不等式成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

对于k+1个正数的情况，我们可以将这些数分成两组：前k个数和最后一个数。

我们假设前k个数的算术平均为A，几何平均为G₁；最后一个数的值为xₙ₊₁。

根据归纳法的假设，我们知道不等式对于前k个数成立：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ k√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（3）现在，我们考虑最后一个数与前k个数的几何平均的关系。

即：G₂ = (x₁·x₂·x₃·...·xₙ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))我们可以将G₂重写为：G₂ = (G₁^k ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))根据虚根定理，不等式√G₁^k·xₙ₊₁ ≥ (G₁+xₙ₊₁)/2 成立。

三个正数的算术-几何平均不等式

的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积．解设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得＝， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝＋＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )

算术_几何平均值不等式的证明

平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。

１利用二项式定理证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ，ｂ＝１ｎ（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及１ｎｎ－１ｉ＝１"ｘｉ#$ｎ＝（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ＝ｘｎ１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ%&ｎ－１≥ｘｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ，Ｇｎ＝ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，对于每一ｉ，有ｅｘｐｘｉＡｎ－%&１≥ｘｉＡｎ求乘积，得１＝ｎｉ＝１(ｅｘｐｘｉＡｎ－%$１＝ｅｘｐｎｉ＝１"ｘｉＡｎ－%$１%$≥ｎｉ＝１(ｘｉＡｎ＝ＧｎＡｎ%$ｎ算术－几何平均值不等式的证明故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１ｘ２１ｎａ＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ０处展开，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″（ｘ）２（ｘ－ｘ０）２，!＝ｘ０＋"（ｘ－ｘ０）（０＜"＜１）因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），取ｘ０＝１ｎｎｉ＝１#ｘｉ（ｘｉ∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&’＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(（ｉ＝１，２，…，ｎ）故ｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）≥ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｎｉ＝１%ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(＝ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(即ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(≤１ｎｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）．因此有ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≥１ｎｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１ｘ２１ｎａ＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有ｎｉ＝１%ａｉｆ（ｘｉ）≤ｆｎｉ＝１%ａｉｘｉ&(，取ａｋ＝１ｎ（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．。

三个正数的算术几何平均不等式

当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时

4个重要不等式

4个重要不等式
在数学中，不等式是一个重要的概念，它描述了数值的大小关系。

不等式在解决实际问题和证明数学定理时都发挥着重要的作用。

今天我将向大家介绍四个重要的不等式。

首先是“算术平均数-几何平均数不等式”，也被称为AM-GM不等式。

这个不等式告诉我们，对于任意一组非负实数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数。

这个不等式在解决各种优化问题、证明不等式以及概率论中都有着广泛的应用。

接下来是“柯西-施瓦茨不等式”，它描述了内积空间中两个向量之间的关系。

柯西-施瓦茨不等式告诉我们，对于任意两个向量a和b，它们的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。

这个不等式在线性代数、概率论、信号处理等领域中都有着广泛的应用。

第三个不等式是“三角不等式”。

三角不等式告诉我们，对于任意两个实数a和b，它们的绝对值之和不小于它们的差的绝对值。

这
个不等式在几何学、函数分析以及各种优化问题的求解中都有着重要的作用。

最后一个不等式是“切比雪夫不等式”，它描述了一组随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。

切比雪夫不等式告诉我们，对于任意一个非负随机变量，其概率落在它的期望值加减标准差的k倍范围内的概率至少为1-1/k^2。

这个不等式在概率论、统计学以及各种实际问题中都有着广泛的应用。

这四个不等式都是数学中非常重要的工具，它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他重要不等式时发挥着重要的作用。

掌握这些不等式，不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以应用到各种学科和领域中。

因此，我们应该认真学习和掌握这些重要的不等式，以提升我们的数学水平和解决问题的能力。

选修4-5 第三节柯西不等式与算术—几何平均不等式

5．推论：在 n 个实数 a1，a2，„，an 的和为定值 S 时，它们 1 2 nS ，当且仅当 a1＝a2＝„＝an 时，平方和的平方和不小于 1 2 取最小值 nS .
二、算术—几何平均不等式 a1＋a2＋„＋an 定理：若 a1，a2，„，an 为正数，则 n n ≥ a1a2„an ，等号当且仅当 a1＝a2＝„＝an 时成立．
2．已知 x，y，z 是正实数，求证： x＋y＋z x2 y2 z2 ＋＋ ≥ . 2 y＋z x＋z x＋y
证明：∵x，y，z 是正实数，令 x y z a＝( ，， )， y＋z x＋z x＋y b＝( y＋z， x＋z， x＋y)， ∵|a· 2≤|a|2|b|2， b|
x y z x2 ∴( · y＋z＋ · x＋z＋ · x＋y)2≤( ＋ y＋z y＋z x＋z x＋y y2 z2 ＋ )[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]， x＋z x＋y 当且仅当 x＝y＝z 时，等号成立． x2 y2 z2 即(x＋y＋z)2≤2( ＋＋ )· (x＋y＋z)， z＋y x＋z x＋y x＋y＋z x2 y2 z2 ∴. ＋＋ ≥ . 2 z＋y x＋z x＋y
1 2 3 解：(a＋b＋ c)(a＋2b＋3c) ＝[(
2
12 a) ＋(
22 b) ＋( 1 a· a＋
32 ) ][( a)2＋( 2b)2＋ c 2 b· 2b＋ 3 · 3c)2＝36. c
( 3c) ]≥(
1 2 3 又a＋b＋ c＝2，∴a＋2b＋3c≥18， 1 2 3 a b c 当且仅当＝＝， a＝b＝c＝3 时等号成立．即 a 2b 3c ∴当 a＝b＝c＝3 时，a＋2b＋3c 取得最小值 18.
2

三个正数的算术-几何平均不等式概论

(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
3x 3x 12 33 2 2 x2 9
当且仅当3x 2
12 x2
即x 3时上式取等号 ymin 9
构造三个数之积为定值.
变式训练：
2、函数y
4x2
16 (x2 1)2
的最小值是
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4
(a
2x)
(a 3
当且仅当a 2x a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
当且仅当a b c时,等号成立.
(2)a b c为定值时 abc ( a b c )3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
推广：n个正数的算术-几何平均不等式
如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
a1 a2
a3 n
an
n
a1a2a3 an ,
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
变式训练：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
C、1267
32
D、27
构造三个数之和为定值.
2、若a, b R且a b,则a 1 _3_ (a b)b

算术-几何平均不等式

算术-几何平均不等式
算术-几何平均不等式是数学中的一个重要不等式，也被称为AM-GM不等式。

该不等式指出，对于一组非负实数，它们的算术平均值
（所有数的和除以数量）不小于它们的几何平均值（所有数的乘积开
根号）。

简单地说，对于一组非负实数a1，a2，...，an，有以下不等式成立：
(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)
其中，左边代表这些数的算术平均值，右边代表它们的几何平均值。

这个不等式在代数和数学证明中经常被使用，尤其在优化问题和
不等式证明中。

算术-几何平均不等式可以推广到更一般的情况，比如对于任意
数量的非负实数。

此外，还有类似的不等式，如几何-调和平均不等式、算术-调和平均不等式等，它们在数学中也有广泛的应用。

这个不等式的证明可以通过多种方法完成，包括数学归纳法、Cauchy-Schwarz不等式等。

无论如何，算术-几何平均不等式在数学中有着广泛的应用和研究价值。

1.1.3 三个正数的算术__几何平均不等式课件(人教A选修4-5)

[思路点拨]
根据题设条件建立r与θ的关系式 →
sin θ 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[解]
2 ∵r＝， cos θ
sin θcos2θ π ∴E＝k· (0<θ< )． 4 2 k2 k2 ∴E2＝ · 2θ· 4θ＝ · sin cos (2sin2θ)· 2θ cos 16 32
[例 3]
如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的
正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平 sin θ 方成反比，即 E＝k 2 . r 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
5．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、
宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac. ab＋bc＋ac 3 S 3 S3 V2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)≤( ) ＝( ) ＝ . 3 6 216
(
)
5 C．不存在 D. 2 1 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1 解析：∵x>0，∴f(x)＝4－x－ 2＝4－( ＋＋ 2)≤ 2x 2 2 2x
3 xx 1 3 5 4－3 ·· ＝4－＝ . 2 2 2x2 2 2
答案：D
4．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．

教学设计2：运用算术-几何平均不等式求最大值

运用算术—几何平均不等式求最大（小）值
一、教学目标：
1、利用平均不等式求函数最值的方法，能够求解一些较为简单的最值问题；
2、通过平均不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识的联系。

二、教学重点、难点
重点：利用平均不等式求函数最值的方法；
难点：利用平均不等式求解实际问题。

三、教学过程
1、问题情境
⑴矩形的周长为，当它的长宽分别是多少时，面积最大？
⑵扇形的面积为，当它的半径是多少时，周长最小？
2、建构数学
几个平均数的大小关系：
3、数学运用
例1、当取什么值时，函数2294y x x
=+
有最小值？最小值是多少？
例2、求函数
226
(0)
1
x x
y x
x
-+
=≥
+
的最小值。

例3、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方，假定它与桌面上点的水平距离是，那
么电灯距离桌面的高度等于多少时，点处最亮？（亮度公式
2sin
k I
r θ
=，这里是常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）
4、课堂练习
A
（1）求函数
4
29(0)
y x x
x
=-->的最大值。

（2）制作一个容积一定的圆柱形容器（有底有盖），问底面半径与高比值是多少时，用料最省？
5、课堂小结
四、板书设计
五、教学后记。

算术—几何平均不等式

2. 三个正数的算术——几何平均不等式

【免费下载】算术 几何平均值不等式

三个正数的算术-几何平均不等式

高中数学 学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用

算术几何平均不等式与其应用

算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式

算术几何平均间不等式的证明

三个正数的算术-几何平均不等式

算术_几何平均值不等式的证明

三个正数的算术几何平均不等式

4个重要不等式

选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式

三个正数的算术-几何平均不等式概论

算术-几何平均不等式

1.1.3 三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)

教学设计2：运用算术-几何平均不等式求最大值

【免费下载】算术几何平均值不等式

高中数学学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用

选修4-5 第三节柯西不等式与算术—几何平均不等式

1.1.3 三个正数的算术__几何平均不等式课件(人教A选修4-5)