高中数学 3.1《变化率问题》课件(1) 北师大版选修1-1
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高中数学 3.1《变化率问题》课件(1) 北师大版选修1-1
2019/3/24
3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2019/3/24
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
2019/3/24
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2019/3/24
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2 1
2019/3/24
0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
2019/3/24
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2019/3/24
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
2019/3/24
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2019/3/24
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2 1
2019/3/24
0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
2019/3/24
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件
������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
网络构建
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
网络构建
专题探究
专题一
高中数学北师大版选修1-1课件：第3章 §1 变化的快慢与变化率
【知识点拨】 1.对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球
的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 .
定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值 y . x (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
为
二、瞬时变化率 对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为___________ 平均变化率 ，
y f x1 f x 0 f (x 0 x) f x 0 记作：__________________________________. x x1 x 0 x
类型 一
求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近 一点(1+Δ x,2+Δ y),则 y 为( ) x A. x 1 2 B. x 1 2 x x C.Δ x+2 D.2 x 1 x 2.求y=2x2+1在x0到x0+Δ x之间的平均变化率，并求x0=1，
2.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别：平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数
值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在
x0点处变化的快慢.
y 趋于一个常数， x 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率
3.对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点 处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一 定精确度的情况下，不影响其取值的严谨性.
北师大版选修1-1高中数学3.1《变化的快慢与变化率》ppt课件1
瞬时变化率
对一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变化到 x1 的过程中， 若设fx1Δ－x＝fxx10－ x0，Δy＝ffx(x0＋1)－Δxf(－x0)f，x则0 函数的平均变化率为ΔΔyx＝ ____x_1_－__x_0______＝_______Δ__x______.当 Δx 趋于 0 时，平均变 化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
第一步，求平均速度．
第二步，求极限．
3．用两种方法计算结果相同，肯定了算法的准确性．
• 已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为 m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为
()
• A．3m/s B．2m/s • C．1m/s D．0m/s • [答案] D
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－
[答案] C [解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋1－3－1＝6Δx＋
3Δx2，∴ΔΔyx＝6＋3Δx.
• 2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这
段时间内的平均速度是( ) • A．0.41 B．2 • C．0.3 D．0.2 • [答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2，
• [错解] ①②③
• [辨析] 误解是没有正确理解Δ x和Δ y的含义．事 实 Δ能上 y将表，Δ示Δyy理x2－和解yΔ为1，yΔ是不与一能y个的将整积Δ 体．x理符解号为，ΔΔ与x表x的示积x2，－也x1，不
• [正解] ②
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
北师大版高中数学选修1-1：第三章 变化率与导数 复习课件
3、若f(x)=sin x，则 f ' ( x ) = cos x
4、若f(x)=cos x，则 f ' ( x ) = -sin x
5、若f(x)=ax，则 f ' ( x ) = ax lna
6、若f(x)=ex，则 f ' ( x ) = e x
7、若f(x)=loga x，则 f'(x)
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线 的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念：
1、导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给
自变量x以增量△x，函数y相应有增量
△y=f(x0+△
x)－f(x0)，若极限
练习3、求下列函数的导数。
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比 值，再利用导数的运算法则（3）来计算。
练习4、求曲线 y = 9 在点M(3，3)处
x
的切线的斜率及倾斜角。
解：
y′=
9 x2
代入x=3，得 y′= 1。
斜率为-1，倾斜角为135°。
1
1
练习5、判断曲线y= 2 x2在（1，2 ）处
1 xlna
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
最新北师大版选修1-1高中数学3.1《变化的快慢与变化率》ppt课件
率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
名师点拨
平均变化率刻画了函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢;瞬时变化率刻画 的是函数在某一点处变化的快慢.
练一练 3
函数 y=3x2+2 在 x=1 时的瞬时变化率是
.
答案:6
探究一
探究二
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
Δ������-π4 Δ������
第三章 变化率与导数
-*-
§1 变化的快慢与变化率
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
思维脉络
1.理解函数平均变化率与瞬 时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的 平均变化率,并能根据函数的平 均变化率判断函数在某个区间
,平均变化率是
.
答案:1 7 7
练一练 2
函数 y=-2x2+3 在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为 答案:-2Δx-8
,函数值的 .
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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12
2.函数的瞬时变化率
对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
Z 重难探究 HONGNAN T JIANCE
������变式训练 1������试比较正弦函数 y=sin x 在 x=0 和 x=π2附近的平均变
高中数学 北师大选修1-1 3.1.1《变化率问题》
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 思函考数:关这系一是现象V (中r)， 4哪些r3 量在改变？变量的变化情况？
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
25 3t
必做题
高中数学3.1《变化率问题》课件(1)(北师大版选修1-1)
2019/3/27
• 1.函数的平均变化率
小结： f
x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2019/3/27
练习：
思考?
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x2 x1
Y=f(x) y x2-x1 f(x2)-什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜 率
2019/3/27
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点 B(1+Δx, 2+Δy), 则 D Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
2019/3/27
作业：
2019/3/27
我们来分析一下:
3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r (V ) 3
3V 4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0)
1 0 0.62(dm / L)
• 1.函数的平均变化率
小结： f
x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2019/3/27
练习：
思考?
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x2 x1
Y=f(x) y x2-x1 f(x2)-什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜 率
2019/3/27
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点 B(1+Δx, 2+Δy), 则 D Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
2019/3/27
作业：
2019/3/27
我们来分析一下:
3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r (V ) 3
3V 4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0)
1 0 0.62(dm / L)
高中数学北师大版选修1-1《变化的快慢与变化率》ppt导学课件
求此物体在 t=1 和 t=4 时的速度.
【解析】当 t=1 时,s=3t2+2,
Δ s=s(t+Δ t)-s(t)=3(1+Δ t)2+2-(3+2)=6Δ t+3(Δ t)2,
∴v= lim Δ s= lim 6Δ t+3(Δ t)2= lim (6+3Δ t)=6.
Δt→0 Δ t Δ t→0
∴ lim s(2+Δt)-s(2)= lim 2(Δ t)2+8Δ t= lim (2Δ t+8)=8.
Δ t→0
Δt
Δ t →0
Δt
Δ t→0
4 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,求第二年婴儿体 重的月平均变化率.
【解析】由图可知,第二年婴儿体重的平均变化率为: 14.25-11.25=0.25(千克/月),即第二年婴儿体重的月平均变化率
2
20
(4)由(3)得物体在 t=2 s 时的瞬时速度为 g×2=2g.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
【解析】(1)平均速度为
Δs Δt
=12g
(t
0
+Δ t )2 Δt
-12g
t
2 0
=gt0+12gΔ
t.
(2)瞬时速度为
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1-1.ppt
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量 ， 记 作 ________ ， 函 数 值 的变 化 f(x2)－ f(x1) 称作函 数 值 的改 变 量 ，记 作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速 度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学北师大版选修1-1课件3.1.1平均变化率
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=2(1+Δ������)2Δ-1������-2×12+1
=4+2Δx.
答案:C
-6-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知知识识梳梳理理
典型透析
典型透析
随堂演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为������(���������2���2)--������������1(������1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).我们用它刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化的快慢. 求函数 f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).
故在 x=3 附近的平均变化率最大.
典例型透析
随堂演练 -9-
3.2 双曲线的简单性质
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
北师大版高中数学选修1-1课件§1变化的快慢与变化率
作 f(x2) f(x1) ，函数值的变化 y 称作函数值的改
变量，记作 f(x2) f(x1)y ，则有如下表示： x2 x1 x
y B(x2,f(x2))
(g 9.8m / s2 )
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1))
=△y
O
x2-x1 =△x x
y f (x)
斜率的概
2.平均变化率的几何意义：
念
几何意义是曲线 线的斜率.
上经过Ａ，Ｂ两点的直
思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换 吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？ 提示:f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们 本身的式子可以同时交换，如也可以写为
思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计 算？ 提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率
生活中的现象.（难点）
探究点1
38.5 39 0.5 平均变20化率0 定义20
0.025(℃
min);
问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体
经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为
s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：
t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间 运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？
3.05g（m
/
s）.
2.平均变化率的几何意义是曲线
上经过Ａ，
Ｂ两点的直线的斜率.
3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：
先求函数值的改变量
求平均变化率
求瞬时变化率
变量，记作 f(x2) f(x1)y ，则有如下表示： x2 x1 x
y B(x2,f(x2))
(g 9.8m / s2 )
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1))
=△y
O
x2-x1 =△x x
y f (x)
斜率的概
2.平均变化率的几何意义：
念
几何意义是曲线 线的斜率.
上经过Ａ，Ｂ两点的直
思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换 吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？ 提示:f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们 本身的式子可以同时交换，如也可以写为
思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计 算？ 提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率
生活中的现象.（难点）
探究点1
38.5 39 0.5 平均变20化率0 定义20
0.025(℃
min);
问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体
经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为
s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：
t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间 运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？
3.05g（m
/
s）.
2.平均变化率的几何意义是曲线
上经过Ａ，
Ｂ两点的直线的斜率.
3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：
先求函数值的改变量
求平均变化率
求瞬时变化率
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x
x2 x1
思考?
ห้องสมุดไป่ตู้
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
f(x2)-f(x1)
直线AB的斜 率
f(x1) O
A
x
x1
x2
2020/9/24
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
2020/9/24
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
2020/9/24
f 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
2020/9/24
4 r3
•
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
2020/9/24
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线的斜率.
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
2020/9/24
作业：
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
0.16(dm
/
显然
L)0.62>0.16
2020/9/24
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
2020/9/24
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系
Δy/Δx=( )D
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2020/9/24
小结：
• 1.函数的平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
2020/9/24
请计 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : 算
2020/9/24
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
2020/9/24
3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2020/9/24
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是 V
(r)