2019年高考数学模拟试题(含答案)
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（1）求证： ；
（2）若 在线段 上，且 ，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面 ？若存在，求四面体 的体积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是 种，数学之和为偶数的有 两种，所以所求概率为 ，选 ．
15．在 中， ， ，面积为 ，则 ________．
16．在区间 上随机取一个数x， 的值介于 的概率为．
17．已知函数 和函数 的图象交于 三点，则 的面积为__________．
18．学校里有一棵树，甲同学在 地测得树尖 的仰角为 ，乙同学在 地测得树尖 的仰角为 ，量得 ，树根部为 （ 在同一水平面上），则 ______________.
【详解】
由题意得，复数 ．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住 .除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.
6．B
解析：B
【解析】
19．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
20．已知正三棱锥 的底面边长为3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥 的体积为________.
三、解答题
21．已知数列 满足 .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 .
22．已知向量 ， ， ，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选B．
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析： ，由 与 垂直可知
考点：向量垂直与坐标运算
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.
【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得 的值.
【详解】
因为数列的前几项为 ，
2019年高考数学模拟试题(含答案)
一、选择题
1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）
A． B． C． D．
2．若圆 与圆 外切，则 （）
A．21B．19C．9D．-11
3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 分别为14,18，则输出的 （）
A．0B．2C．4D．14
4．已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（）
A．2B．1C．－2D．－1
5． （）
A． B． C． D．
6．数列2,5,11,20，x，47...中的x等于（）
A．28B．32C．33D．27
7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为
24．“微信运动”是手机 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别： 、 步，（说明：“ ”表示大于或等于0，小于2000，以下同理）， 、 步， 、 步， 、 步， 、 步，且 、 、 三种类别的人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）若 ，且 ，求x的值.
（2）若函数 ，求 的最小值.
（3）是否存在实数k，使得 ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
23．已知曲线C的参数方程为 （a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l极坐标方程为 ，求曲线C上的点到直线l最大距离.
（Ⅰ）若以大学生 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在 的人数；
（Ⅱ）若在大学生 该天抽取的步数在 的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
ຫໍສະໝຸດ Baidu考点：古典概型．
2．C
解析：C
【解析】
试题分析：因为 ,所以 且圆 的圆心为 ,半径为 ,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
A． B．
C． D．
8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
A．32B．0.2C．40D．0.25
9．设双曲线 （ ， ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．在 内，不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
11．将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( )
A． B． C． D．
12．
A． B． C． D．
二、填空题
13．若双曲线 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.
14．曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
25．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线 的极坐标方程是 .
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）己知直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值.
26．四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 是等边三角形， 为 的中点， .
（2）若 在线段 上，且 ，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面 ？若存在，求四面体 的体积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是 种，数学之和为偶数的有 两种，所以所求概率为 ，选 ．
15．在 中， ， ，面积为 ，则 ________．
16．在区间 上随机取一个数x， 的值介于 的概率为．
17．已知函数 和函数 的图象交于 三点，则 的面积为__________．
18．学校里有一棵树，甲同学在 地测得树尖 的仰角为 ，乙同学在 地测得树尖 的仰角为 ，量得 ，树根部为 （ 在同一水平面上），则 ______________.
【详解】
由题意得，复数 ．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住 .除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.
6．B
解析：B
【解析】
19．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
20．已知正三棱锥 的底面边长为3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥 的体积为________.
三、解答题
21．已知数列 满足 .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 .
22．已知向量 ， ， ，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选B．
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析： ，由 与 垂直可知
考点：向量垂直与坐标运算
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.
【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得 的值.
【详解】
因为数列的前几项为 ，
2019年高考数学模拟试题(含答案)
一、选择题
1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）
A． B． C． D．
2．若圆 与圆 外切，则 （）
A．21B．19C．9D．-11
3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 分别为14,18，则输出的 （）
A．0B．2C．4D．14
4．已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（）
A．2B．1C．－2D．－1
5． （）
A． B． C． D．
6．数列2,5,11,20，x，47...中的x等于（）
A．28B．32C．33D．27
7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为
24．“微信运动”是手机 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别： 、 步，（说明：“ ”表示大于或等于0，小于2000，以下同理）， 、 步， 、 步， 、 步， 、 步，且 、 、 三种类别的人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）若 ，且 ，求x的值.
（2）若函数 ，求 的最小值.
（3）是否存在实数k，使得 ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
23．已知曲线C的参数方程为 （a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l极坐标方程为 ，求曲线C上的点到直线l最大距离.
（Ⅰ）若以大学生 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在 的人数；
（Ⅱ）若在大学生 该天抽取的步数在 的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
ຫໍສະໝຸດ Baidu考点：古典概型．
2．C
解析：C
【解析】
试题分析：因为 ,所以 且圆 的圆心为 ,半径为 ,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
A． B．
C． D．
8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
A．32B．0.2C．40D．0.25
9．设双曲线 （ ， ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．在 内，不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
11．将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( )
A． B． C． D．
12．
A． B． C． D．
二、填空题
13．若双曲线 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.
14．曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
25．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线 的极坐标方程是 .
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）己知直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值.
26．四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 是等边三角形， 为 的中点， .