信号与系统z变换教学(精选)
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信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统 §6.3 逆z变换
z (z a)3
2z (z a)3
▲
■
第9页
例：已知象函数 F(z) z3 z 2 ，z>1 的原函数。
(z 1)3
解: F(z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11 (z 1)3
F(z) z
z1 2
K12
d dz
( z
，|z| > ，|z| <
可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
z2
z2
F(z)
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
1) 3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
(z
1) 3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1
f(k)=[k(k-1)+3k+1](k)
▲
■
第 10 页
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z< , f(k)= –2K1kcos(k+)(– k – 1)
▲
■
第8页
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含
(z
z a)r
项(r>1)，则逆变换为
若z> ,对应原序列为 k(k 1).....(k r 2) ak r1 (k)
(完整版)信号与系统z变换教学
当|a-1z|<1，即|z|<|a|时，收敛。
1
1
z
X (z) 1 1 a1z 1 az1 z a ,
| z || a |
Im(z)
xa
1 Re(z
Unit
circle
例 两个实指数信号之和
x[n] 7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]
X (z) {7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]}zn n
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。 掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定 性分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟 框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转 换。
X (z) X (re jw ) F{x[n]rn}
三、z变换的几何解释和收敛域
Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨 论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但 是一些重要的不同。
在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z 变换退化成DTFT。
傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1 的圆上的z变换。
离散时间信号的z变换定义为：
记作：
X (z) x[n]zn n
Z
x[n] X (z)
为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系
z=rejw
则：
X ( z) X (re jw ) x[n](re jw )n n
因此，
(x[n]r n )e jwn n
Im(z) r
w 1 Re(z)
信号与系统第五章 Z变换
这时序列Z变换为
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
信号与系统-逆Z变换
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
X (z) z
=
1 z(z − 1)2
=
−1 + z−1
1 (z − 1)2
+
1 z
∴
X(z)
=
−z z−1
+
(z
z − 1)2
+1
x(n) = −u(n) + nu(n) + δ (n)
38
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
¾ 长除法
x(n)的Z变换为
∞
∑ X (z) = x(n)z−n n = −∞
36
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
解
X (z) = 1 = B1 + B2 + B3
z z(z − 1)2 z − 1 (z − 1)2 z
Bj
=
1 (s −
⎡ ds− j
j
)!
⎢ ⎣
d
z
s−
j
(z
−
zi )s
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
信号与系统第26讲-应用Z变换研究线性时不变系统
反馈组合
H z H1(z) ,
1 H1(z)G(z)
ROC至少包含R1
R2
内容提要
➢ 系统函数的概念及其应用 ➢ 系统的互联 ➢ 离散时间LTI系统的方框图实现 ➢ 单边Z变换
LTI系统的线性常系数差分方程描述
仅根据差分方程，无法确定收敛域！
离散时间LTI系统的方框图实现形式
直接型实现
1 7 z1 1 z2
1 z1 1
z 2
48
48
H2(z)
Y(z) H z X (z) H2 zH1 z X (z)
离散时间LTI系统的方框图实现形式
F
(z)
H1
z
X
(z)
1
7 4
z
1
1 2
z
2
X
(z)
F(z)
Y (z)
H2 z
1
1 4
z 1
1 8
z 2
Y (z)
Y (z) F(z) 1 z1Y (z) 1 z2Y (z)
e jw
1 0.5e jw 1 0.5e jw
1
并联组合
H z H1(z)H2(z), ROC至少包含R1 R2
应用举例——噪声抵消
X (z)
X (z)H1(z) W (z)
X (z)H2(z)H3(z)
Y(z) X (z)H1(z) H2(z)H3(z) W(z)
H3(z) H1(z) / H2 (z)
离散时间全通系统的一般形式
H
z
z 1 1
a* az 1
H e jw
e jw a* 1 ae jw
e jw
1 a*e jw 1 ae jw
信号与系统§8.3Z反变换
jIm( z)
0
X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1
xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0
xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2
br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn
1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C， 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列
X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n
信号与系统第八章Z变换及分析
信号与系统第八章Z变换及分析第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容之一、本章主要介绍了Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用。
下面将详细介绍这些内容。
首先，Z变换是一种将离散时间信号转换为复变量函数的方法。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$X(z)$为Z变换，$x[n]$为离散时间信号，$z$为复变量。
Z变换具有线性性质、时移性质、尺度变换性质等。
通过这些性质，可以简化信号与系统的分析。
在信号与系统的分析中，Z变换具有以下几个重要的应用：1.离散时间系统的表示和分析：通过Z变换，可以将离散时间系统的差分方程表示为系统函数的乘积形式，从而方便地分析系统的稳定性、频率响应等性质。
2.离散时间信号的频域表示：Z变换将离散时间信号转换为复变量函数，可以通过计算Z变换的幅频特性、相频特性等来分析信号的频域性质。
3.离散时间信号与连续时间信号的转换：通过将连续时间信号进行采样，并进行Z变换，可以将连续时间信号转换为离散时间信号进行分析。
此外，本章还介绍了常用的离散时间信号的Z变换和逆Z变换公式，包括单位脉冲序列、单位阶跃序列、指数序列等。
最后，本章还介绍了Z变换的收敛域和极点零点的求解方法。
通过求解Z变换的收敛域，可以确定系统的稳定性；通过求解Z变换的极点和零点，可以确定系统的频率响应和相位特性。
综上所述，第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容。
通过学习Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用，可以更好地理解离散时间信号与系统的特性，并且为进一步学习信号处理和系统设计打下坚实的基础。
第三章 Z变换
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X (z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z n
x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。
n1 0收敛域0 z ， n2 0收敛域0 z ＜
（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
n n1 n n1
.. n1 0 1
...
n
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
序列x(n)的 Z变换
若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0 则有
X (z) x(n)z n n0
序列x(n)的 单边Z变换
二.收敛域
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域.
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即： x(n)z n M n
c
k
Re s[ X (z)z n1]zzk
1
2j
X (z)z n1dz
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X (z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z n
x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。
n1 0收敛域0 z ， n2 0收敛域0 z ＜
（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
n n1 n n1
.. n1 0 1
...
n
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
序列x(n)的 Z变换
若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0 则有
X (z) x(n)z n n0
序列x(n)的 单边Z变换
二.收敛域
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域.
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即： x(n)z n M n
c
k
Re s[ X (z)z n1]zzk
1
2j
X (z)z n1dz
《信号与系统》第十章Z变换【最经典的奥本海默信号与系统课件,PDF版】
x[ n] z
n
n
a z
n n 1
1
n
a z 1 a z 1 1 1 a z 1 az n 1
1 即 a u[ n 1] 1 1 az
n Z
z a
说明： 1）Z变换由代数表达式和收 敛域组成； 2）例1和例2的零极点图和收 敛域如图所示. 3）如果X(z)的ROC包括单位 圆，则x[n]的DTFT 存在。
3. Z域尺度变换：
X ( z / z0 ) z R 时 X ( z )收敛，故 | z / z0 | R 时，
0
收敛。 j z e z z0 R 当 0 时，即为频移特性。 若 z0是一般复数
0 z0 r0 e j，则 X ( z / z0 )的零极点
不仅要将 X ( z ) 的零极点逆时针旋转一个角 度0 ，而且在径向有 r0 倍的尺度变化。
lim( z 1) X ( z ) Res[ X ( z ),1]
z 1
Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
10.3 Z-反变换
一.Z-反变换：
The Inverse Z-Transform
令
z re
j
dz jre d jzd
j
当ω从0→2π时，z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。 其中 C 是 ROC 中逆时针 方向的圆周。 二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当X(z)是有理函数时，可将其展开为部分 分式 Ai X (z) 1 1 aiz i
Properties of the Z-transform
Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其 推 论方法也相同。故主要讨论ROC的变化。 1. 线性：
信号与系统-Z变换
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z
z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1