4.1_线性方程组基本概念
线性代数线性方程组基本概念
证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
线性方程组与不等式
线性方程组与不等式线性方程组和不等式是数学中常见的概念和问题类型，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将从基本概念入手，逐步介绍线性方程组和不等式的定义、解法以及一些实际问题的应用。
一、线性方程组的定义与解法线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。
线性方程的一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量，b为常数。
为了解决线性方程组，在解法上可以使用消元法、代入法或矩阵法等。
其中，消元法是一种常用的解法。
消元法的基本思路是通过不改变方程组解集的操作，将线性方程组逐步化为简化的形式。
具体步骤如下：1. 化简：将线性方程组化为行简化阶梯形式，即将系数矩阵转化为行阶梯形矩阵。
2. 消元：从最后一行开始，逐行进行消元操作，通过倍乘和相减操作将系数矩阵化为最简形式。
3. 回代：从最后一行开始，逐行进行回代操作，通过代入求解出每个变量的值，得到方程组的解集。
需要注意的是，线性方程组的解不一定存在，或者存在无穷多个解。
通过解方程组可以得到变量的具体取值，从而解决相应的问题。
二、线性不等式的定义与解法线性不等式是包含线性函数或变量的不等关系的数学表达式。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b（或≥、<、>）。
解线性不等式的方法主要有图解法和代入法。
图解法利用平面直角坐标系，将不等式绘制成直线或线段，然后根据不等式的性质找到使其成立的解集。
代入法则是通过将不等式中的变量替换为特定的常数，然后求解得到不等式的解集。
与线性方程组不同的是，线性不等式的解集通常是一个区域或者是所有满足不等式条件的点的集合。
解线性不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，解决约束条件下的问题。
三、线性方程组与不等式的应用线性方程组和不等式在实际问题中有广泛的应用，涵盖了许多不同领域。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：线性方程组可以用来描述供求关系、成本与收益关系等经济问题，如经济平衡、市场均衡等。
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
4.1 线性方程组的基本概念
其中每一个方程都表示一个以向量i [ai1,ai2 ,ai3 ]T
为 法 向 量 ， 过 点[ 0,0 ,0 ]T 的 平 面 . 其解是一个与1,
故向量[ x1 k1, x2 k2,, xn kn ]T 也是AX b的解, 与AX b的解唯一矛盾. 故r([Ab]) r( A) n.
充分性． r([ Ab]) r( A) n时,方程组AX b有解,故
{ A1, A2 ,, An ,b}线性相关,而{ A1, A2 ,, An }线性无关.
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a2n xn
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 , 称Amn为线性方程组的系数矩阵;[ Ab]称为线性方程组的 增 广 矩 阵 ; 方程组的解是使矩阵等式成立的n维向量X
定理 4 .1: 设 矩 阵A和B是 行 初 等 变 换 下 等 价 的矩 阵, 即存在可逆矩阵P, 使PA B,则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组
3. 设1 a1,a2 ,a3 T ,2 b1,b2 ,b3 T ,3 c1,c2 ,c3 T ,
则下列三条直线:
L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0,
线性方程组的解法教案
线性方程组的解法教案一、引言线性方程组是数学中常见的一个重要概念，解决线性方程组问题是解析几何、线性代数等学科的核心内容。
本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组。
二、线性方程组的基本概念1. 定义：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程中的未知数的最高次数都为1，且系数皆为实数或复数。
线性方程组可以表示为以下形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ分别为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
2. 解的概念：对于线性方程组，找到一组使得所有方程都成立的值，即为其解。
如果线性方程组存在解，则称其为相容的；如果不存在解，则称其为不相容的。
三、线性方程组的解法1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法之一。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为增广矩阵形式，写成增广矩阵[A|B]的形式。
(2) 对增广矩阵进行初等行变换，化简成上三角形矩阵[U|C]的形式，即上面的元素都为0。
(3) 从最后一行开始，按列主元所在的列进行回代求解，得到每个未知数的值。
2. 矩阵的逆和逆的应用矩阵的逆是解决线性方程组的另一种有效方法。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为矩阵形式，即AX = B。
(2) 若矩阵A可逆，即存在逆矩阵A⁻¹，则方程组的解可以表示为X = A⁻¹B。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵的情况。
具体步骤如下：(1) 将方程组的系数矩阵记为A，常数项矩阵记为B。
(2) 分别计算方程组系数矩阵的行列式D和将常数项矩阵替换为方程组系数矩阵第i列后的新矩阵Di的行列式Di，并计算比值di = Di / D。
4.1_线性方程组的基本概念
3. 设1 a1 , a2 , a3 , 2 b1 , b2 , b3 , 3 c1 , c2 , c3 ,
T T T
则下列三条直线: L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0, L : a x b y c 0, 3 3 3 3 ( A) 1 , 2 , 3线性相关; ( B ) 1 , 2 , 3线性无关; (C ) r 1 , 2 , 3 r 1 , 2 ; ( D ) 1 , 2 , 3线性相关,1 , 2线性无关.
因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
注:
定理表明对增广矩阵作 行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [a ij ]mn 是线性方程组的系数矩 阵 , 用Ai 记A 的第i列, 即 Ai [a 1i ,a 2 i ,,a mi ]T , i 1,2,, n
(1) 若1 , 2 , 3不共面，则方程组只有 零解X [0,0,0]T
( 2) 若1 , 2 , 3 共面但不共线，则垂直 于 i , i 1,2,3的 向量X均是解，这些解彼此平 行
( 3) 若1 , 2 , 3 共线，则以 i 为法向的平面是所有向 量 都是解, 即解向量组成一个平面
证
定理1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1 , A2 ,, An 线性相关 rA1 , A2 ,, An n
即r A n
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
注： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 仅有零解
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
高中数学教案线性代数与矩阵
高中数学教案线性代数与矩阵高中数学教案：线性代数与矩阵引言：线性代数是高中数学中一个重要的分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
其中，矩阵是线性代数中的重要工具之一。
本教案将重点介绍线性代数与矩阵的基本知识，并提供一些例题和习题，以帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
一、线性方程组与矩阵表示1.1 线性方程组的概念在介绍矩阵之前，我们先来了解线性方程组的概念。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是变量的一次多项式，并且对应的系数是常数。
1.2 线性方程组的矩阵表示线性方程组可以通过矩阵表示。
通过列向量和矩阵的乘法，可以将线性方程组转化为矩阵方程形式，从而更方便地进行求解。
二、矩阵运算2.1 矩阵的定义与基本运算矩阵是由数按矩形排列而成的矩形阵列。
我们可以通过矩阵的加法、减法和数乘等运算，来进行矩阵的加减和数量的调整。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要操作。
它不仅可以用来表示线性变换，还可以用来求解线性方程组和进行复杂的计算。
三、矩阵的特殊性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
它有很多应用，如矩阵的运算、矩阵的线性方程组求解等。
3.2 矩阵的逆矩阵的逆是一个重要的概念，它代表了矩阵的可逆性。
对于可逆矩阵，我们可以通过矩阵的逆来求解矩阵方程和线性方程组等问题。
3.3 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）向量组的极大无关组中所含向量的个数。
它有很多应用，如求解线性方程组的解的个数、判断线性变换的性质等。
四、矩阵的应用4.1 线性方程组的求解通过线性方程组的矩阵表示和矩阵的运算，我们可以更方便地求解线性方程组的解，并通过矩阵的秩来判断解的个数和可行性。
4.2 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵的重要性质，它们在线性代数中有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以求解矩阵的幂、对角化等问题。
五、例题与习题根据前面所学的内容，我们提供一些例题和习题，供学生进行练习和巩固。
线性方程组的基本概念与解法
线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。
一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。
线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。
二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。
下面我们将分别介绍这些解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。
其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。
2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。
常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。
求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。
3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
宋浩线代辅导讲义
宋浩线代辅导讲义1. 引言线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组等内容。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。
本讲义旨在帮助读者掌握宋浩线代课程的关键概念和技巧，提供辅导和指导。
2. 向量空间2.1 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在线性代数中，向量通常用列向量表示。
例如，一个二维向量可以表示为：[x y]其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2.2 向量的运算在向量空间中，我们可以进行多种运算，包括加法、乘法等。
2.2.1 向量加法给定两个向量u和v，它们的加法定义为：u+v=[u1+v1 u2+v2]其中u1和v1分别表示u和v在第一个维度上的分量，u2和v2分别表示u和v在第二个维度上的分量。
2.2.2 向量乘法给定一个向量u和一个标量k，它们的乘法定义为：ku=[ku1 ku2]其中k是一个实数。
2.3 向量空间的性质向量空间具有以下性质：•加法交换律：u+v=v+u•加法结合律：(u+v)+w=u+(v+w)•零向量存在性：存在一个零向量0，使得对于任意向量x，都有x+0=x•加法逆元存在性：对于任意向量x，存在一个加法逆元−x，使得x+(−x)= 03. 线性变换3.1 线性变换的定义线性变换是指保持向量空间中的加法和数乘运算的映射。
给定两个向量空间V和W，一个从V到W的线性变换将向量v∈V映射为一个向量w∈W。
3.2 线性变换的表示线性变换可以用矩阵表示。
给定一个线性变换T:V→W，我们可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量v∈V，有：T(v)=Av其中A称为线性变换的矩阵表示。
3.3 线性变换的特征线性变换具有以下特征：•对于任意向量u,v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)•对于任意标量k和向量u∈V，有T(ku)=kT(u)4. 线性方程组4.1 线性方程组的定义线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是关于未知数的一次多项式，并且未知数之间的系数是常数。
初中数与代数知识脉络_概述及解释说明
初中数与代数知识脉络概述及解释说明1. 引言1.1 概述初中数与代数知识是学生在数学学科中的基础，它为学生打下了坚实的数学基础，为其进一步学习高阶数学知识奠定了基础。
初中数与代数知识脉络概述主要涵盖了数与代数的基本概念及其解释说明以及进阶知识的简要介绍。
通过对这些内容的全面了解，我们能够清晰地把握初中数与代数知识之间的联系和发展脉络。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分进行介绍和阐述。
首先，在引言部分，我们将概括性地描述整篇文章，并给出目录，使读者能够更好地理解文章结构和内容安排。
接下来，将从“2. 数与代数知识脉络概述”开始详细介绍初中数与代数知识的核心内容。
然后，在“3. 数与代数的基本概念解释说明”部分，我们将对一些关键概念进行解释和说明，以便读者理解这些重要概念的含义和作用。
紧接着，在“4. 数与代数的进阶知识脉络概述”部分，我们将介绍初中数与代数知识的进一步发展和应用。
最后，在“5. 结论”部分，将对整篇文章进行总结，并探讨初中数与代数知识学习的意义以及进一步深入学习高阶数学知识的建议。
1.3 目的本文的目的是为读者提供一个全面而清晰的初中数与代数知识脉络概述。
通过对各个主题的详细说明和解释，希望读者能够更好地理解初中数与代数知识，并在日常生活和学习中灵活运用这些知识。
同时，通过本文的阅读，希望读者能够认识到初中数与代数知识作为基础学科对于后续高等数学学习的重要性，从而激发他们进一步学习更高阶段数学知识的兴趣和动力。
2. 数与代数知识脉络概述：数与代数是初中数学的基础和核心内容，它们贯穿了整个初中数学学习过程。
本部分将对数与代数知识的脉络进行概述。
2.1 数学基础概念：在初中阶段，我们首先需要掌握各种基本的数学概念。
这包括自然数、整数、有理数等各种不同类型的数字以及它们之间的关系和性质。
通过对这些基础概念的理解，我们可以建立起对数字及其运算规则的认识。
2.2 数与代数关系的特点：代数是研究未知量和变化规律的一门学科。
第四章 线性方程组 一、主要内容
性线性方程组 A' AX = A' B 必有解．
5．证明：方程 Bn×s X = b 有解的充分必要条件是从 B'Y = 0 一定能推出 b'Y = 0 ．
6．设齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0, LLLLLLLLLL LL an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
二、训练题 一、填空题
1．线性方程组 AX = b 无解，且 r( A) = 3, 则 r( AMb) = ____ .
⎧
2．若方程组
⎪ ⎨
x1 + 2x2 − x3 = λ − 1 3x2 − x3 = λ − 2
⎪⎩λx2 − x3 = λ2 − 6λ + 10
有无穷多解，则 λ = ____ .
秩为（ ）。
二、判断说明题
1．齐次线性方程组 ⎪⎨⎧λxx11
+ x2 + λ2 x3 = 0 + λx2 + x3 = 0 的系数矩阵为
A，若存在三阶矩阵 B
≠
0. 使
⎪ ⎩
x1 + x2
+ λx3
=0
得 AB = 0, 则 λ = 1, 且 B = 0.
2．非齐次线性方程组 AX = b 有解，若其解不唯一，则必有无穷多个解．
多组解;
(3) 若 r( A) ≠ r( A) , 则该方程组无解. 2、齐次线性方程组解的结构
定理 4.5-2 设有齐次线性方程组
线性方程组的基本概念
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x + 0 2 4 ⇔ 2 x3 = 0 x2 + 2 x4 + 1 2 x4 = 0 x2 + x4 + 0
其中x2 , x4任意.
结论:A的秩与 的秩相等,但秩的值小于n 结论 的秩与(A,b)的秩相等 的秩与 的秩相等 （x的个数）。有无数个解。
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
3
代入方程组， 若把 x1 = c1 , x2 = c2 ,⋯, xn = cn 代入方程组，使得每个方程都 变成恒等式， 变成恒等式，则称有序数组 (c1 , c2 , ⋯ , cn ) 为方程组的一个解， 解的全体为解集合。 若两个n元线性方程组的解集合相同， 若两个n元线性方程组的解集合相同，则称它们为 元线性方程组的解集合相同
第三章
一、基本概念
线性方程组
第一节 线性方程组的基本概念
定义： 定义：关于未知变量 x1 , x 2 , ⋯ x n 的n元一次方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a x + a x + ⋯ + a x = b mn n m m1 1 m 2 2
x1 = − 1
x 2 + x3 = 2
x3 = 0
2行—3行 行 行
x1 = − 1
x2 = 2 x3 = 0
x1 + x 2 + 2 x3 = 1
解：对增广矩阵实行初等行变换：
1 1 1 1 [A,b] =0 1 1 2 1 1 2 1
线性方程组的解法与矩阵运算
线性方程组的解法与矩阵运算线性方程组是数学中的常见问题之一，它可以用来描述多个变量之间的线性关系。
解决线性方程组的常见方法是使用矩阵运算。
本文将介绍线性方程组的解法以及如何使用矩阵运算来求解。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是形如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = b的线性等式，其中a₁, a₂, ..., an为系数，x₁, x₂, ..., xn为变量，b为常数。
一个线性方程组可能有一个解、无穷多个解或者无解。
二、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
其步骤如下：(1) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；(2) 通过矩阵的行变换，将增广矩阵化简为上三角矩阵；(3) 回代求解未知数。
2. 矩阵求逆法当线性方程组的系数矩阵可逆时，我们可以通过矩阵求逆的方法求解。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B写成增广矩阵的形式[A，B]；(2) 若A可逆，则通过矩阵的逆A⁻¹求得解矩阵X，其中X = [X₁, X₂, ..., Xn]；(3) 解矩阵X即为线性方程组的解。
三、矩阵运算和线性方程组的关系矩阵运算在解决线性方程组时起着重要作用，它可以简化计算过程并提高求解效率。
以下是一些常用的矩阵运算与线性方程组的关系。
1. 矩阵加法和减法矩阵加法和减法可以用于表示线性方程组的系数矩阵和常数矩阵之间的运算关系。
通过矩阵加法和减法，我们可以合并或拆分线性方程组，方便进行计算。
2. 矩阵乘法矩阵乘法可应用于连立方程组和线性变换的计算过程。
通过定义两个矩阵的乘积，我们可以将线性方程组转化为矩阵运算的形式，从而简化求解过程。
3. 矩阵的转置和伴随矩阵转置矩阵和伴随矩阵在解决线性方程组时有重要作用。
转置矩阵可以用于求解方程组的转置方程组，而伴随矩阵则可以用于求解方程组的伴随方程组。
四、总结线性方程组的解法与矩阵运算密切相关。
线性方程组解的唯一性和无解性分析
线性方程组解的唯一性和无解性分析一、线性方程组的定义及基本概念知识点：线性方程组的定义知识点：线性方程组的基本概念知识点：线性方程组的解知识点：线性方程组的系数矩阵二、线性方程组的解法知识点：代入法知识点：消元法知识点：矩阵法（高斯消元法）知识点：克莱姆法则三、线性方程组解的唯一性知识点：线性方程组解的唯一性定理知识点：线性方程组解的唯一性条件知识点：判别式知识点：齐次线性方程组的解的唯一性知识点：非齐次线性方程组的解的唯一性四、线性方程组解的无解性知识点：线性方程组解的无解性定理知识点：线性方程组解的无解性条件知识点：线性方程组解的矛盾现象知识点：线性方程组解的秩知识点：线性方程组解的零空间知识点：线性方程组在几何中的应用知识点：线性方程组在物理学中的应用知识点：线性方程组在工程中的应用知识点：线性方程组在经济管理中的应用知识点：线性方程组解的唯一性和无解性的重要性知识点：线性方程组解的唯一性和无解性的实际应用知识点：线性方程组解的唯一性和无解性的进一步研究以上就是关于线性方程组解的唯一性和无解性分析的知识点总结，希望对你有所帮助。
习题及方法：已知线性方程组：求解该方程组的解。
可以使用消元法解这个方程组。
首先，将第一和第三个方程相加，得到：x + 2y - z + (-x + y + 2z) = 4 + 33y + z = 7然后，将第一和第二个方程相加，得到：x + 2y - z + 2x - y + 3z = 4 - 63x + y + 2z = -2接下来，将第三个方程乘以3，得到：-3x + 3y + 6z = 9现在，将方程(5)和方程(6)相加，得到：3x + y + 2z + (-3x + 3y + 6z) = -2 + 94y + 8z = 7最后，将方程(4)乘以4，得到：12y + 4z = 28然后，将方程(7)乘以3，得到：12y + 24z = 21将方程(8)减去方程(9)，得到：4z = 7z =将 ( z = ) 代入方程(7)，得到：4y + 8 ( ) = 7y = -将 ( y = - ) 和 ( z = ) 代入方程(4)，得到：x + 2 ( - ) - = 4x =因此，该方程组的解为：x = , y = -, z =已知线性方程组：求解该方程组的解。
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证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
阵 B A,b 的秩.
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 ,, An等价于A1, A2 ,, An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 ,, An rA1, A2 ,, An ,b
又rA1, A2 ,, An rA1, A2 ,, An ,b rA1, A2,, An的极大线性无关组是rA1, A2,, An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 ,, An的线性组合
解: 设笼中有x只鸡, y只兔子
则 x y 35 2x 4 y 94
解得 x 23
y
12
所以笼中有23只鸡,12只兔.
下面是一个城市某街区的交通流量图: 给出x2 , x3 , x4 , x5的最小流量.
解:x2 50
3. 设1 a1,a2 ,a3 T ,2 b1,b2 ,b3 T ,3 c1,c2 ,c3 T ,
则下列三条直线:
L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0,
L3 : a3 x b3 y c3 0,
其中ai2 bi2 0, i 1,2,3,交于一点的充要条件是( D )
注: 定理表明对增广矩阵作行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [aij]mn 是线性方程组的系数矩阵,用Ai记A 的第i列,即 Ai [a1i ,a2i ,,ami]T , i 1,2,, n 则m n型线性方程组可表示为 x1 A1 x2 A2 xn An b
(1) 若1,2 ,3不共面，则方程组只有零解X [0,0,0]T
(2) 若1,2,3共面但不共线，则垂直于i ,i 1,2,3的
向量X均是解，这些解彼此平行
(3) 若1
,
2
,
3共线，则以
为法向的平面是所有向量
i
都是解,即解向量组成一个平面
定 义 4 .1: 设有m n型线性方程组( I )和k n型 线性方程组(II ),如果( I )和( II )的解向量集合相等, 则称(I )和(II )为 等价的线性方程组
小结: 与方程组 Ax b有解等价的命题
线性方程组 Ax b有解
向量b能由A的列向量组A1, A2 ,, An线性表示;
向量组A1, A2 ,, An与向量组A1, A2 ,, An ,b等价;
矩阵A A1, A2,, An 与矩阵B A1, A2,, An ,b
的秩相等.
A1, A2 ,, An线性相关 rA1, A2 ,, An n 即rA n
思考题:
1. m n型齐次线性方程组AX 0只有零解的
充要条件是( A )
( A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C ) A的行向量线性无关 ( D) A的行向量线性相关
定 理 2 : n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
故向量[ x1 k1, x2 k2,, xn kn ]T 也是AX b的解, 与AX b的解唯一矛盾. 故r([Ab]) r( A) n.
充分性． r([ Ab]) r( A) n时,方程组AX b有解,故
{ A1, A2 ,, An ,b}线性相关,而{ A1, A2 ,, An }线性无关.
即Ax b有解
定 理 3 : n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有唯
一解的充分必要条件是r[ A,b] rA n
证: 必要性．已知AX b有唯一解,则由定理2,
r[ Ab] rA 且有唯一解向量[ x1, x2 ,, xn ]T ,使
b x1 A1 x2 A2 xn An.
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
问题的提出:
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》 中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雏兔各几何？”
这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只 脚。求笼中各有几只鸡和兔？
由定理3.2,b可由A1, A2 ,, An唯一的线性表示, 从而 AX b有唯一解
思考题:
2. 对m n型非齐次线性方程组AX b,设
rA r,则下列命题中正确的是( A )
( A) 若r m,则方程组AX b有解 (B) 若r n,则方程组AX b有唯一解 (C ) 若m n,则方程组AX b有唯一解 (D) 若r n,则方程组AX b有无穷多解
( A) 1,2 ,3线性相关;
(B) 1,2 ,3线性无关;
(C ) r1,2,3 r1,2;
( D) 1
,
2
,
线性
3
相关,1
,
线性
2
无关.
4. 若齐次线性方程组
tx1 x2 x3 0, x1 tx2 x3 0,
x1 x2 x3 0, 只有零解,则t应该满足条件____t __1____
方程组有解等价于b是A的列向量的线性组合;
方程组的解就是列向量线性组合的组合系数.
思考: 如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B ， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定 理 1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
设rA n, 则向量组A1, A2,, An线性相关,存在
不全为零的数k1, k2 ,, kn ,使 k1 A1 k2 A2 kn An 0
b [ x1 A1 x2 A2 xn An ] k1 A1 k2 A2 kn An ( x1 k1 )A1 ( x2 k2 )A2 ( xn kn )An ,
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中x1, x2 ,, xn为未知量,aij和bi为常数;称为m n型线性 方程组
如果b 0,则称方程组为齐次线性方程组 如果存在bi 0,则称方程组为 非齐次线性方程组
例: 2 2型线性方程组的一般形式为：
aa1211xx11
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4
x6
50
x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a21x1 a22 x2 a23 x3 0 a31x1 a32 x2 a33 x3 0
其中每一个方程都表示一个以向量i [ai1,ai2 ,ai3 ]T 为 法 向 量 ， 过 点[ 0,0 ,0 ]T 的 平 面 . 其解是一个与1, 2 ,3均正交的向量X .
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 , 称Amn为线性方程组的系数矩阵;[ Ab]称为线性方程组的 增 广 矩 阵 ; 方程组的解是使矩阵等式成立的n维向量X
定 理 4. 1: 设矩阵A和B是行初等变换下等价的矩阵, 即存在可逆矩阵P,使PA B,则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组