吉林大学组合数学习题解答说课讲解

吉林大学组合数学习
题解答
2.1 证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：
假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3 证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中
点的坐标也是整数。

证明：
方法一：
有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

第三章
3.4 教室有两排，每排8个座位。

现有学生14人，其中的5个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上？
解：前排8个座位，5人固定，共58*5!C 种方法；后排8个座位，4人固定，共48*4!C 种
方法；前排和后排还剩7个座位，由剩下的5人挑选5个座位，共57*5!C 种方法；则一共
有545545887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。

另一种解法：1682773865455885885888871408!
7!C P P C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。

3.5 将英文字母表中的26个字母排序，要求任意两个元音字母不能相邻，则有多少种排序方法？
解：先排21个辅音字母，共有21！
再将5个元音插入到22个空隙中，5
22P
故所求为52155222122521!P P C P ⨯=
3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式？
解：6男全排列6!；6女全排列6！；6女插入6男的前6个空或者后6个空，即女打头或男打头6!*6!*2；再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 86400
3.7 15个人围坐一个圆桌开会，如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻，那么有多少种排坐方式？
方法1：除B 和C 以外，A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边，有22
122C P 。

将A 与其两边的人看作一个元素，与其他12个人形成共13个元素的圆排列，有(13-1)!，所
以共有22212212(131)!12!C P P -== 63228211200种排列。

方法2：除去A 、B 和C 的12人共有11
11P 种坐法，A 在12人中插入位置的坐法有12种。

B 和C 不与A 相邻的坐法共有11*12种，由于15人围成圆桌坐，故排列方式共有
111112*********!P ⨯⨯=⨯= 63228211200种坐法。

3.9 求方程123420x x x x +++=，满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。

14416803+-⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.10 书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少
种？
解：
n=20，r=4，1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
相当于有16卷已经排好，把4卷插入到17个“空隙”中，有174⎛⎫
⎪⎝⎭种，对应序号都不会相邻。

3.20 证明：
（1）()11,3(31)22
n n S n -=+- （2）()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-4332,n n n n S ； （3）().61551043,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S
证明：
（1）
组合分析方法：
n 个元素分成3组，允许为空的方案为3n ；
n 个元素分成3组，有一组必为空的方案为3*2n ；
n 个元素分成3组，有两组必为空的方案为3；
n 个元素分成3组，根据容斥原理，不允许为空的方案为3n -3*2n +3；
不考虑组间顺序，方案为1133231(31)23!2
n n n n ---⨯+=+- （2）
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4332,n n n n S 3个元素一组、其余元素一个各一组或者选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组。

3个元素一组、其余元素一个各一组：3n ⎛⎫
⎪⎝⎭
选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组：选4个元素的方案为4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，分成2组的方案为42!32⎛⎫= ⎪⎝⎭种，所以有34n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

（3） ().61551043,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S 4个元素一组、其余元素一个各一组，或者选5个元素分两组（一组2个一组3个）、其余元素一个各一组，或者6个元素分三组（每组2个）、其余元素一个各一组。

4个元素一组、其余元素一个各一组：4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

选5个元素分两组（一组2个一组3个）、其余元素一个各一组：选5个元素为
5n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分两组（一组2个一组3个）方案为5102⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有105n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

选6个元素分三组（每组2个）、其余元素一个各一组：选6个元素为6n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，分三组（每组2个）的方案为63!15222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有156n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3.21 (1)会议室中有2n +1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多
少种摆法？
解：
(1)
方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有213123 3-1 2n n ++-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到3
排中，这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+⎛⎫⎛⎫⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案，所以符合题意的摆法有：
23213 2 2 2n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
方法2：设第一排座位有x 1个，第二排座位有x 2个，第三排座位有x 3个。

x 1+x 2+x 3=2n+1，且x 1+x 2≥(2n+1)/2，x 1+x 3≥(2n+1)/2，x 2+x 3≥(2n+1)/2，即x 1+x 2≥n+1，x 1+x 3≥n+1，x 2+x 3≥n+1，令y 1= x 1+x 2-n-1，y 2= x 1+x 3-n-1，y 3= x 2+x 3-n-1，可知
y 1+y 2+y 3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且y i ≥0，1≤i ≤3。

显然，x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有
1311312n n -+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
种。

方法3：要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有2112 3-12n n +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当于将n 个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排
中，每排不允许为空，这样的摆法共有21133 22n n n +--⎛⎫⎛⎫⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案，所以符合题意的摆法有：
21322 2n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第四章
4.13 计算棋盘多项式。

解： R()+R(2)+(1+x)*R( )
= x 3+3x 2+x+(1+x)[xR()+R()]
= x 3+3x 2+x+(1+x)[x(1+x)+(1+4x+2x 2)]
= 5x 3+12x 2+7x+1
第五章
5.3 已知数列{}k a 的生成函数是x
x x x A 31932)(2
--+=，求k a . 20
2392()32331313k k k x x A x x x x x x ∞=+-==+=⋅+--∑ 91231k k k a k =⎧=⎨⋅≠⎩
5.7一个1×n 的方格图形用红、蓝、绿和橙四种颜色涂色，如果有偶数个方格被涂成红色，还有偶数个方格被涂成绿色，求有多少种方案？ 解：涂色方案数为k b 则：
242342222221{}(1)(1)()()2!4!2!3!24
114244!0
x x x x x x x x x e e e e G b e e k n n n x n n -+++=++++++==∞++=+∑=L g L g g
因此：1142010n n n n b n --⎧+>=⎨=⎩
，所以有1142n n --+种方案。