2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分

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2016年高考数学(理)北京卷参考答案

数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<，所以π4B ∠=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人．（Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小，故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ．所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =，所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，，设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，．（Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅．（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥．对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。

北大生科冬令营2017数学+生物化学及答案

2018北大生科营笔试回忆试题分析
1. (生物化学)呼吸链那个步骤可以磷酸化？
A. 辅酶Q
B. 细胞色素b和c
C. 细胞色素c和a
D. FAD和黄素蛋白
解析：呼吸链某步骤可以磷酸化指的是这个步骤的电子传递可以引发氢离子的横向运输，从而制造用以合成ATP的氢离子浓度梯度。

因此除D外，ABC均满足该条件。

2. (表观遗传学)组蛋白的乙酰化修饰通常发生在哪个氨基酸位点？
A. K1
B. K4
C. K20
D. K9
解析：对一段DNA所结合的组蛋白作乙酰基化修饰，是调整这段DNA表观遗传学状态及转录活性的方式。

通常组蛋白乙酰化修饰发生在Histone 3的K4, K9位点，起使染色质结构松散，提高染色质转录活性的功能。

因此为BD。

3. (植物分类学)在2015年某期的《植物研究》杂志中出现了一个新的植物名称：Aconitum hezuoenseW. T. Wang, sp. nov。

下列说法正确的是
A. 这是一个新命名的植物名称
B. 这个植物是Aconitum属
C. 这个植物是由W. T. Wang命名的
D. 这个植物的种加词是hezuoense
解析：改编自2016年全国联赛题。

双名法书写规则为：属名-
种加词-命名人姓氏。

因此该名称中，Aconitum为属名，hezuoense 为种加词，W. T. Wang为命名人。

当新种发表时，应在学名后添加缩写词”sp. nov.”。

新科则为”fam. nov.”，新属为”gen. nov.”。

所以ABCD都正确。

数学试题&答案：。

北京大学自主招生数学2016

2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（）（A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则的各项系数之和为（）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（）（A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始）第四轮剩下的数，12，28，44，第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对【解析】D答案为4002，由,即, 即于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则等于（）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Î£££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（）（A ）一个素数（B ）2的非负整数次幂（C ）3的非负整数次幂（D ）前三个答案都不对【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（）（A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段，所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数的个数为（）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个（D ）前三个答案都不对【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式，可得故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（）（A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，；同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。

北大清华测试真题答案

2015年北京大学自主招生考试1.A（沉寂，非常寂静，听不见一丝声音，沉寂可以用于从动而静的变化过程；寂静，没有声音，安静或者宗教指摆脱一切烦恼忧患的纯静心境；冷静，冷清寂寞，不热闹或者（人）沉着而不感情用事）2.B（“令”为会意字。

甲骨文字形，上面是“集”，下面是“人”，象跪在那里听命。

引申为敬意，敬辞，用于对方的亲属或有关系的人。

“堂”为形声字。

从土，尚声。

本义：殿堂。

引申为堂室（内室），古代内室专指女性。

所以敬称别人的母亲为令堂、萱堂。

类似的用法还有令尊（对他人父亲的敬称），令郎（对他人儿子的敬称）和令爱（对他人女儿的敬称）。

）3.C（徐志摩的笔名之一是“诗哲”）4.A（A选自艾青的《雪落在中国的土地上》一诗；B选自北岛的《回答》一诗；C选自鲁迅先生的《秋夜》一文。

）5.此题回忆选项尚未收录齐全，A、B选项均非正确答案（A出自杜甫《赠卫八处士》一诗，此诗作于诗人被贬华州司功参军之后。

诗中描述偶遇少年知交的情景，抒写了人生聚散不定，故友相见格外亲。

然而暂聚忽别，却又觉得世事渺茫，无限感慨。

选项中两句诗的意思是“世间上的挚友真难得相见，好比此起彼落的参星和商星这两个星宿。

”B出自杜甫《春日忆李白》一诗，此诗抒发了作者对李白的赞誉和怀念之情。

选项中的两句式意思是“如今，我（杜甫）在渭北独对着春日的树木，而你（李白）在江东 6.A（原诗是台湾女诗人夏宇的诗《甜蜜的复仇》，这首《甜蜜的复仇》是对一生概括，过去的一个人，穿过四季，走过风尘仆仆的岁月，加一点盐，封存起来，腌制起来。

如果来不及，那就等到老的时候，再回想，慢慢地忆起，下酒。

）7.B（原诗的标题即为“生活”。

）2015年北京大学优秀中学生体验营考试1.叛逆精神；枭；绿林；战斗；喜欢。

2.进退两难；自；决心。

3.称赞；不过；才；坑灰未冷山东乱；刘项原来不读书。

4.历历；老师们（语义通顺即可）5.晋圉怀嬴：晋国太子圉在秦国做人质，穆公将怀嬴配他为妻，太子圉问她是否一起逃回晋国。

2016年北京学命科学冬令营试卷数学部分

3π tan φ = tan α − 4
10. 函数 f (x) = 5 A. 3 解析方法一
x2 − x − 1 的最大值与最小值的和是 ( x2 + x + 1 2 B. 3
) C. 1 D. − 2 3
B．根据题意，当 x = −1 时，有 f (x) = 1 ；当 x ̸= −1 时，有 f (x) = 1 − x+1+ 5 ，最小值为 −1 ． 3 x2 − x − 1 设 y= 2 ，则有 x +x+1 (y − 1)x2 + (y + 1)x + y + 1 = 0, 2 1 −1 x+1 ,
α 3π α α ，而 < < π ，于是 cos < 0 ． 2 4 2 2 )
6. 设一个圆锥的底面积为 10 ，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是 ( A. 10 解析 B． B. 20 C. 30 D. 40
设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则有 πl = 2πr, πr2 = 10, 从而此圆锥的侧面积为 1 1 2 πl = π · 4r2 = 20. 2 2 3 7. 设 a ⩾ 1 ，且对任意 x ∈ [1, 2] ，不等式 x|x − a| + ⩾ a ï ò ï ã ï ò ï ã 2 3 5 5 5 A. 1, ∪ , +∞ B. 1, ∪ , +∞ C. 2 2 4 2 解析 A．令 f (x) = x|x − a| + 3 ． 2 f (x)min = f (a) = 故此时 1 ⩽ a ⩽ 3 ． 2 3 , 2 f (1) ⩾ a, 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) ï ò ï ã 5 3 5 , ∪ , +∞ D. 以上均不对 4 2 2

中科院2016年数学分析试题参考解答

a
(t) dt
≥
a+b 2
∫b
a
f
(t) dt.
证明: 由于
∫
b
tf
(t) dt
−
a
+
b
∫
b
f
(t) dt
=
∫
b
( t
−
a
+
) b
f
(t) dt
a
2a
a
2
∫
=
a+b 2
( t−
a + b ) f (t) dt + ∫
b
(
)
t − a + b f (t) dt
=
a
∫
a+b 2
( t
−
a
2 +
) b
f
(t)
S1
:
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1,
S2
:
x2 a2
+
y2 b2
=
z2 c2
(z
≥
0) .
一开始看到这题, 感觉不好算, 觉得时间紧迫, 果断搁置. 后面才回来解决的.
解:
当
z2 c2
≥
1−
z2 c2
,
即
z
≥
√ c/ 2
时,
我们有
∫∫∫
V1 =
∫ c ∫∫
dV = dz
0
∫c
dxdy = √c
又 f (x) 单调递增, 可知 f (t) − f (a + b − t) ≤ 0. 因此
∫b

北京大学历年优秀中学生夏令营试题及解答

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

2016年北京大学自主招生数学试题

一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =（）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1AB =-，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a ，b 是向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b ，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =”与“a b a b +=-”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（）（A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）32t =，s 的最小值为6π（C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

2016北京卷

北京理科综合能力测试第一部分（选择题共30分）本部分共5小题，每小题6分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1. 将与生物学有关的内容依次填入下图各框中，其中包含关系错误．．的选项是（）2. 葡萄糖酒酿制期间，酵母细胞内由ADP转化为A TP的过程（）A. 在无氧条件下不能进行B. 只能在线粒体中进行C. 不需要能量的输入D. 需要酶的催化3. 豹的某个栖息地由于人类活动被分隔为F区和T区。

20世纪90年代初，F区豹种群仅剩25只，且出现诸多疾病。

为避免该豹种群消亡，由T区引入8只成年雌豹。

经过十年，F区豹种群增至百余只，在此期间F区的（）A.豹种群遗传（基因）多样性增加B. 豹后代的性别比例明显改变C. 物种丰（富）度出现大幅度下降D. 豹种群的致病基因频率不变4.足球赛场上，球员奔跑、抢断、相互配合，完成射门。

对比赛中球员机体生理功能的表述，不正确的是（）A.长时间奔跑需要消耗大量糖原（元）用于供能B.大量出汗导致失水过多，抑制抗利尿激素分泌C.在神经与肌肉的协调下起脚射门D.在大脑皮层调控下球员相互配合5.在正常与遮光条件下向不同发育时期的豌豆植株供应14CO2，48h后测定植株营养器官和生殖器官中14C的量。

两类器官各自所含14C量占植株14C 总量的比例如图所示。

与本实验相关的错误叙述是（）A.14CO2进入叶肉细胞的叶绿体基质后被转化为光合产物B.生殖器官发育早期，光合产物大部分被分配到营养器官C.遮光70%条件下，分配到生殖器官和营养器官中的光合产物量始终接近D.实验研究了光强对不同发育期植株中光合产物在两类器官间分配的影响第II卷29.人感染埃博拉病毒（EV）会引起致命的出血热。

为了寻找治疗EV病的有效方法，中外科学家进行了系列研究。

（1）EV表面的糖蛋白（EV-GP）作为_____刺激机体产生____性免疫反应。

（2）科学家采集了多年前感染EV并已康复的甲、乙两人的血液，检测抗EV-GP抗体的水平。

2016北大金秋营试题

2016 北大金秋学科营题一、三体弹性碰撞与时间反演牛顿定律和保守力都具有反演对称性，光滑水平桌面上三个相同匀质小球弹性碰撞，因碰撞力为保守力，也应具有时间反演对称性。

为方便，取平动弹性碰撞。

Δh <<R 这显示上述弹性碰撞不具有时间反演对称性。

如何分析其中原因？题二、背景知识：用一块球面半径R 较大的平凸透镜和一块平板玻璃组成的牛顿环实验装置，如图所示。

球面与板面之间，形成从中心朝四周增厚的空气（膜）层。

平行光垂直透镜平面方向入射，经空气层上、下表成反射，形成几乎反向出射的相干光，即在反射方向可观察到同心的干涉圆环，称为牛顿环。

空气层厚为h 处，考虑到半波膜（从光疏介质到光密介质面上的反射光有 π 相位突变），在 h 处上、下两条反射射出的光之间的光程差 Δ， λ-=∆212h 当λ=∆k 时，为亮环，当λ+λ=∆21k 时，为暗环。

k 取整数无论透镜与玻璃板折射率是否相同，空气层 h 为小量，由于半波损失在玻璃平面上仍有相应的 π 相位突变反射，故中心点成为 k=-1、半径为0的暗环。

由图所示几何关系，有r 2 = R 2 - (R - h )2 = 2Rh - h 2 | = 2Rh ⇒ 2h = r 2 / R得到亮暗环的半径公式亮环 λ+=R k r )21( 暗环 λ+=R k r )1(注意：k=-1 对应中心暗点，k≥0 对应暗环称为中心外的第 k+1个暗环。

1、两个球面半径分别记为 R A 、R B 的平凸透镜，组成的牛顿环干涉装置如图所示，图中已示意地标出相应的参量 h A 、h B 和牛顿环半径 r AB 。

试导出 h AB 、h A 、h B 与 r AB 及 R A 、R B 间的关系式，进而导出由 k=-1， 0，1…标定的 k 级暗环半径 r AB 的计算公式，式中只可包含 λ、R A B 解：λ-+=∆21)(2B A h h r 和h 的几何关系 A A A R r h 22= B B B R r h 22=由上得2)2(AB BA B A r R R R R =+λ+∆ 则亮环 B A B A AB R R R R k r +λ+=)21( 暗环 BA B A AB R R R R k r +λ+=)1( 2、三个平凸透镜 A 、B 、C 两两组合成牛顿环干涉装置。

3.1用树状图或表格求概率同步试卷含答案解析

2016年北师大版九年级数学上册同步测试：3.1 用树状图或表格求概率一、选择题（共3小题）1．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（）A．B．C．D．2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．13．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）4．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是．5．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．6．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为．三、解答题（共23小题）8．为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．（1）这次调查中，一共调查了名学生；（2）请补全两幅统计图；（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．9．学校初三年级男生共200名，随机抽取10名测量他们的身高（单位：cm）为：181，176，169，155，163，175，173，167，165，166．（1）求这10名男生的平均身高和上面这组数据的中位数；（2）估计该校初三年级男生身高高于170cm的人数；（3）从身高为181，176，175，173的男生中任选2名，求身高为181cm的男生被抽中的概率．10．有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别写上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式所有可能的结果；（2）求代数式恰好是分式的概率．11．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？12．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转）；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时返现金10元．（1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；（2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？13．某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题：（1）分别求出统计表中的x、y的值；（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．14．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．15．（2015•烟台）”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．16．“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．17．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．18．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．19．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x（1≤x≤13且x为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）20．某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试．计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格，得到9分为优秀，成绩如表1所示，并制作了成绩分析表（表2）．表1表2（1）在表2中，a=，b=；（2）有人说二班的及格率、优秀率均高于一班，所以二班比一班好；但也有人认为一班成绩比二班好，请你给出坚持一班成绩好的两条理由；（3）一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女，现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”，用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率．21．（2015•咸宁）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．22．为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．23．质地均匀的小正方体，六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．（1）求数字“1”出现的概率；（2）求两个数字之和为偶数的概率．24．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（2）求点P在一次函数y=x+1图象上的概率．25．今年3月5日，黔南州某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”四项，从九年级同学中抽取了部分同学对“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”的人数进行了统计，并绘制成如图所示的直方图和扇形统计图．请根据统计图提供的信息，回答以下问题：（1）抽取的部分同学的人数是多少？（2）补全直方图的空缺部分．（3）若九年级有400名学生，估计该年级去打扫街道的人数．（4）九（1）班计划在3月5日这天完成“青年志愿者”活动中的三项，请用列表或画树状图求恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”和“法制宣传”的概率．（用A表示“打扫街道”；用B表示“去敬老院服务”；用C表示“法制宣传”）26．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．27．某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表：根据图表信息，回答下列问题：（1）该班共有学生人；表中a=；（2）将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．28．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．29．商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？30．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．2016年北师大版九年级数学上册同步测试：3.1 用树状图或表格求概率参考答案与试题解析一、选择题（共3小题）1．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：=．故选A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．1【考点】列表法与树状图法．【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是；故选B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．故选D．【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=．二、填空题（共4小题）4．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．故答案为：．【点评】本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．5．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，有4种甲没在中间，所以甲没排在中间的概率是=．故答案为．【点评】本题考查用列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字不同的情况，再利用概率公式求解即可．【解答】解：列表得：∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是=．故答案为：．【点评】考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数之和是7的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中点数之和是7的结果数为6，所以点数之和是7的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．三、解答题（共23小题）8．为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．（1）这次调查中，一共调查了200名学生；（2）请补全两幅统计图；（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）由题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；（2）根据题意可求得B占的百分比为：1﹣20%﹣30%﹣15%=35%，C的人数为：200×30%=60（名）；则可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；故答案为：200；（2）B占的百分比为：1﹣20%﹣30%﹣15%=35%，C的人数为：200×30%=60（名）；如图：（3）分别用A，B，C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生；画树状图得：∵共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，∴一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．某学校初三年级男生共200名，随机抽取10名测量他们的身高（单位：cm）为：181，176，169，155，163，175，173，167，165，166．（1）求这10名男生的平均身高和上面这组数据的中位数；（2）估计该校初三年级男生身高高于170cm的人数；（3）从身高为181，176，175，173的男生中任选2名，求身高为181cm的男生被抽中的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；算术平均数；中位数．【分析】（1）利用平均数及中位数的定义分别计算后即可确定正确的结论；（2）用样本平均数估计总体平均数即可；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）平均身高为：=169cm；∵排序后位于中间的两数167和169，∴中位数为168cm；（2）∵10人中身高高于170的有4人，∴200名初三学生中共有200×=80人；（3）身高分别为181，176，175，173的四名男生分别用1，2，3，4表示，列表得：∵共有12种等可能的结果，有1的有6种，∴身高为181cm的男生被抽中的概率=．【点评】本题考查了中位数、平均数及列表与树状图的知识，解题的关键是能够利用列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．10．有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别写上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式所有可能的结果；（2）求代数式恰好是分式的概率．【考点】列表法与树状图法；分式的定义．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图：列表：（2）代数式所有可能的结果共有6种，其中代数式是分式的有4种：，，，，所以P （是分式）=．【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．11．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画出树状图，（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解；（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=；（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=，传到乙脚下的概率=，所以球回到乙脚下的概率大．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．12．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转）；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时返现金10元．（1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；（2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：。

2016年北京大学附中高考数学零模试卷和答案(理科)

2016年北京大学附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）若集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．511B．512C．1023D．10244．（5分）设，是非零向量，“＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n2＝a n+12+a n﹣12（n≥2），则a6等于（）A．16B．8C．D．46．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++7．（5分）实数x，y满足，则z＝|x﹣y|的最大值是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f（x），一种是平均价格曲线y＝g（x）（如f（2）＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）双曲线C：x2﹣4y2＝1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．10．（5分）在直角坐标系中，直线l：（t为参数）．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C：ρ＝2cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．11．（5分）在△ABC中，AC＝，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC的长度是．12．（5分）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比30000小的偶数共有个．（结果用数值表示）13．（5分）函数f（x）＝6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω的值为，f（2016）的值为．14．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数）甲、乙、丙、丁四位同学给出下列四个结论：甲：﹣1是f（x）的零点；乙：1是f（x）的极值点；丙：3是f（x）的极值；丁：点（2，8）在曲线y＝f（x）上．这四个结论中有且只有一个是错误的，则非零整数a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）设函数f（x）＝sin（x+）+sin（x﹣）+cos2x，x∈R．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）如表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表．已知在[80，90）分数段内的学生数为21人．（1）求测试成绩在[95，100]分数段内的人数；（2）现欲从[95，100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95，100]分数段内男生的人数；（3）若在[65，70）分数段的女生为4人，现欲从[65，70）分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为分配到此组的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．17．（14分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，CF＝3．（Ⅰ）求证：EF⊥BD；（Ⅱ）求二面角B﹣DF﹣E的余弦值；（Ⅲ）棱BF上是否存在一点M，使AM∥平面DEF？如果存在，求FM的长；如果不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣sin x，x∈[0，+∞）．（1）求证：f（x）≥1；（2）若g（x）＝e x+cos x，判断曲线y＝g（x）与直线y＝ax+2在[0，+∞）上公共点的个数，并说明理由．19．（14分）已知椭圆W：+＝1的左焦点为F（m，0）（m＜0），过点M（﹣3，0）作斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，设点A关于x轴的对称点为C．（1）求椭圆W的长轴长及离心率；（2）设△BMF的面积为S1，△CMF的面积为S2，求证：＝．2016年北京大学附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【解答】解：∵集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|1＜x＜2}．故选：A．2．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4，所以a＝0；故选：B．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝11+22+…+29的值，S＝11+22+…+29＝＝1023．故选：C．4．【解答】解：（1）；∴时，cos＝1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n2＝a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2＝a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d＝a22﹣a12＝3，∴a n2＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，∴＝16，∴a6＝4，故选：D．6．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面P AD，BA⊥底面P AD，P A⊥AD，P A＝AD＝CD＝2，AB＝1．PC＝2，PB＝，BC＝．∴S△PBC＝＝．该几何体的表面积S＝++++＝6+．故选：C．7．【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m＝y﹣x，则m为直线l：y＝x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z＝|x﹣y|＝|m|，所以z的最大值是4，故选：B．8．【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D 均错误．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2＝1，即为﹣＝1，可得a＝1，b＝，c＝＝，可得渐近线方程为y＝±x；离心率e＝＝．故答案为：y＝±x；．10．【解答】解：∵直线l：（t为参数），∴直线l的普通方程为：2x﹣y+1＝0，∵圆C：ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ，∴圆C的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，∴圆C的圆心C（1，0）到直线l的距离为d＝＝．故答案为：．11．【解答】解：∠B＝180°﹣45°﹣75°＝60°由正弦定理可知AC sin B＝BC sin A∴BC＝＝故答案为12．【解答】解：若万位是1，个位可以是0，2，4此时有＝72，若万位是2，个位可以是0，4此时有2＝48，则比30000小的偶数共有72+48＝120，故答案为：120．13．【解答】解：函数f（x）＝6cos2+sinωx﹣3＝3（1+cosωx）+sinωx﹣3＝sinωx+3cosωx＝2（sinωx+cosωx）＝2sin（ωx+），∴BC＝＝4，∴T＝2BC＝8，ω＝＝，∴f（x）＝2sin（x+），∴f（2016）＝2sin（×2016+）＝2sin（504π+）＝2sin＝2×＝3．故答案为：，3．14．【解答】解：①当甲错误时，则乙、丙、丁正确，由1是f（x）的极值点，3是f（x）的极值，则可设f（x）＝a（x﹣1）2+3，由点（2，8）在曲线y＝f（x）上，得a+3＝8，则a＝5，满足题意，②当乙错误时，则甲、丙、丁正确，由﹣1是f（x）的零点，点（2，8）在曲线y＝f（x）上，得：，由3是f（x）的极值得：，联立解得a无解，即②不成立，③当丙错误时，则甲、乙、丁正确，由﹣1是f（x）的零点，点（2，8）在曲线y＝f（x）上，得：，由1是f（x）的极值点，则﹣＝1，联立解得：a＝﹣∉Z，即③不成立，④当丁错误时，则甲、乙、丙正确，则有：，解得：a＝﹣∉Z，即④不成立，综合①②③④得：非零整数a的值为5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】解：（1）f（x）＝sin（x+）+sin（x﹣）+cos2x，所以：f（）＝sin（）+sin（）+，＝sin﹣，＝（2）f（x）＝+，＝，＝﹣，＝﹣．故当sin x＝即x＝2k或（k∈Z）时，f（x）取得最大值为；当sin x＝﹣1即x＝2kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最小值为．16．【解答】解：（1）由频率分布直方表可知：在[80，90）分数段内的频率为0.2+0.15＝0.35；又根据题中条件[80，90）分数段内的学生数为21人，可得该班学生总人数为＝60（人），而测试成绩在[95，100]分数段内的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.1；故试成绩在[95，100]分数段内的人数为60×0.1＝6（人）；（2）设测试成绩在[95，100]分数段内男生的人数为m，从中抽取的2人中至少有一名男生为事件A，依题意可得：P（A）＝+＝+＝，即：m2﹣11m+18＝0，解得：m＝2或m＝9，又因0＜m＜6且m为正整数，故m＝2，即测试成绩在[95，100]分数段内男生的人数为2人；（3）已知测试成绩在[65，70）分数段的人数为60×0.1＝6（人），由题意可知：ξ可取0，1，2，且有：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝；故ξ的分布列如下表：数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×＝1．17．【解答】（Ⅰ）证明：由底面ABCD为菱形，可知：AC⊥BD，由AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，得：AE∥CF，又BD⊂平面ABCD，故由线面垂直的性质定理可得：AE⊥BD．而AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE，于是由线面垂直的判定定理可得：BD⊥平面ACFE，又EF⊂平面ACFE，∴EF⊥BD；（Ⅱ）解：如图所示，设AC与BD的交点为O，过O作OG∥AE交EF于点G，以菱形对角线AC、BD交点O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可知：B点坐标为（0，，0），D点坐标为（0，，0），E点坐标为（1，0，2），F点坐标为（﹣1，0，3），则＝（0，，0），＝（1，，2），＝（﹣1，，3），设平面BDF的法向量为＝（x1，y1，z1），平面DEF的法向量＝（x2，y2，z2），则有，取z1＝1，得；，取z2＝2，得．设二面角B﹣DF﹣E的平面角大小为θ，由图可知θ∈（）．故有cosθ＝；（Ⅲ）解：设棱BF上存在满足条件的点M使得：AM∥平面DEF．设M点坐标为（x0，y0，z0）．由，可得：＝（0＜λ＜1）．于是有x 0＝﹣λ，，z0＝3λ．则，A点坐标为（1，0，0）．又平面DEF的法向量为．由AM∥平面DEF，可得：，即．解得：∈（0，1），M点坐标为（）．故棱BF上存在满足条件的点M，使得AM∥平面DEF．此时线段FM的长为FM＝．18．【解答】解：（1）证明：f（x）的导函数为f′（x）＝e x﹣cos x，当x≥0时，e x≥1，而cos x≤1，故e x﹣cos x≥0，即f′（x）≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，因此，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，于是f（x）≥f（x）min＝f（0）＝1，不等式得证；（2）令h（x）＝g（x）﹣ax﹣2＝e x+cos x﹣ax﹣2，则h（x）的导函数h′（x）＝f（x）﹣a＝e x﹣sin x﹣a，由（1）可得：g′（x）＝f（x）＝e x﹣sin x≥1在x∈[0，+∞）上恒成立．①当a≤1时，h′（x）＝e x﹣sin x﹣a≥0在x∈[0，+∞）恒成立，故函数h（x）在区间[0，+∞）上为增函数，其最小值为h（0）＝0，因此，函数h（x）在区间[0，+∞）上有唯一零点，即曲线y＝g（x）与直线y＝ax+2在[0，+∞）上有唯一公共点；②当a＞1时，令h′（x）＝0可得：e x﹣sin x﹣a＝0，设h′（x0）＝0，易知：x0＞0，h′（x）在区间[0，+∞）上为增函数且h（0）＜0，令h′（x）＞0可得：x＞x0，令h′（x）＜0可得：0＜x＜x0，故函数h（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数．而h（0）＝0，h（x）在区间[0，+∞）上的最小值为h（x）min＝h（x0）＜0，于是函数h（x）在区间[0，+∞）上有两个不同零点，即曲线y＝g（x）与直线y＝ax+2有两个公共点．19．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，有（2m+10）﹣（m2﹣2）＝m2，化简整理可得：m2﹣m﹣6＝0，（m＜0）解得：m＝﹣2故椭圆W的方程为+＝1椭圆W的长轴长为2a＝2，离心率e＝＝＝（2）依题意可设直线l的斜率为k，（k≠0）则其方程为y＝k（x+3）将其与椭圆W的方程联立化简整理可得：得（1+3k2）x2+18k2x+27k2﹣6＝0，△＝（18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）＞0，解得k2＜设A，B点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝由题意易知：C点坐标为（x1，﹣y1），F点坐标为（﹣2，0），）．∴＝（x1+2，﹣y1），＝（x2+2，y2）．∵（x1+2）y2﹣（x2+2）（﹣y1）＝（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）＝k[2x1x2+5（x1+x2）+12]＝k（2•﹣5•+12）＝0故与共线，B，F，C三点共线从而＝＝。