第11章反常积分答案
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10、设 ，则常数 ；
11、如果广义积分 收敛，则 ；
12、如果广义积分 发散，则 ；
答案：1、 2、收敛3、发散4、收敛5、绝对收敛6、绝对收敛
7、发散8、 9、 ； 10、 11、 12、
四、计算题（每题5分）
1、
解： =
=
2、
解：设 ，则 ，
有 =
3、
解： =
=
4、
解： =
5、
解： =
=
=
6、
解：因为
所以 =
=
7、
解：由
得 =
8、
解： 时，
时，
=
故当 时， =
时， 发散；
9、
解： =
=
=
=
由此求得
10、
解：当 时，
当 时，
=
则
五、证明题（每题5分）
1、证明
证：令 ，则 =
则有
2、证明 收敛，且
证： = =
又 ，而 收敛，所以
收敛 收敛
而
3、证明：若 在 上连续，且 收敛，则对任何 ，有
证： 由条件 ， 都存在；再由 连续可得
10、设 且单调减少，证明： 与 敛散性相同.
证：（1）若 ，由狄利克雷判别法 收敛，于是由
= =
知 与 敛散性相同.
(2)若 ,则 发散，从而 与 同时发散.
精心搜集整理，只为你的需要
从而又有
再由 收敛，根据比较法则便证得 收敛。
例如对于条件收敛的 = 和
得到 =
由于 收敛。而
显然是发散的，所以 也是发散的无穷积分。
7、证明当 时， 和 是等价无穷小量。
证： ，又因 ，所以 收敛，
又收敛定义又知
这说明当 时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量
故结论成立。
8、证明：若 收敛，则 也必收敛.
4、设 收敛，证明：（1）若极限 存在，则
（2）若 在 上为单调函数，则
证：（1）设 。若 ，则由极限保号性， ，
当 时满足
于是有
而这与 收敛相矛盾，故 。
（2）若 在 上单调而无界（设为递增而无上界），则 ， ，当 时，使 。类似于（1）的证明，推知 ，矛盾。所以 在 上单调而有界，则存在极限 。依据已证得的命题（1），
5、若 在 无界，则 发散；（）
6、若 不存在，则 发散；（）
7、若 单调， 收敛，则 ；（）
8、若 收敛，则 收敛；（）
9、若 ， 收敛，则 收敛；（）
10、如果 收敛， 在 上有界，则 收敛；（）
11、若 收敛， ，则 收敛；（）
12、如果 绝对收敛， ，则 收敛；（）
答案：××× ××× ×
三、填空题（每题2分）
B、 =
C、 =
D、 发散
13、设广义积分 收敛，则 （）
A、 B、 C、 D、
答案：BCDCB DAABD ADB
二、判断题（每题2分）
1、当 时，无穷积分 条件收敛；（）
2、当 时，无穷积分 绝对收敛；（）
3、若无穷积分 收敛，而函数 在 单调有界，
则无穷积分 收敛；（）
4、若 收敛，则 ；（）
A、 B、 C、 D、
7、下列广义积分发散的是（）
A、 B、 C、 D、
8、 （）
A、 B、 C、 D、
9、已知 ，则 （）
A、 B、 C、 D、
10、广义积分 （）
A、 B、 C、 D、
11、下列积分中绝对收敛的是（）
A、 B、 C、 D、
12、已知广义积分 ，则下列答案中正确的是（）
A、因为 在 上是奇函数，所以
证：由于 = ， ，
而 收敛， 在 上单调有界，
故由 判别法证得 收敛.
9、证明：若 收敛， 为单调函数，则 .
证：不妨设 单调减少。先证当 时， 。否则 点 ，使 ，而 时， ，从而
得出 发散，与 收敛矛盾，故 为非负的单调函数.
由 收敛，则 ，使得当 时，恒有
但是
所以当 时， ，即 或 .
当 单调增加时，只要考虑 ，同样可证得 .
1、若无穷积分 收敛，则 ；
2、若无穷积分 收敛，则 时，无穷积分 ；
3、设 ，函数 ， 是其瑕点，且极限 ，若 ，则瑕积分 ；
4、设 ，函数 ， ，且极限 ，
若 ，则无穷积分 ；
5、若 收敛，则无穷积分 ；
6、当 时，无穷积分 ；
7、当 时，瑕积分 ；
8、若 收敛，且存在极限 ，则 ；
9、 ； ；
5、证明：若 收敛，且 在 上一致连续，则必有 。
证：由 在 上一致连续，则 （设 ），当 且 时，总有 ，
又因 收敛，故对上述 ， ，当 时，有
现对任何 ，取 ，且使 。此时有
便有 ，这就证得
6、证明：若 绝对收敛， 存在，则 必定绝对收敛
又若把 该为条件收敛，试举出反例说明 不一定收敛。
证：由 可知当 充分大时有
第十一章反常积分
一、单选题（每题2分）
1、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
2、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
3、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
4、下列广义积分收敛的是（）
A、 B、 C、 D、
5、下列广义积分发散的是（）
A、 B、 C、 D、
6、下列积分中（）Biblioteka Baidu收敛的
11、如果广义积分 收敛，则 ；
12、如果广义积分 发散，则 ；
答案：1、 2、收敛3、发散4、收敛5、绝对收敛6、绝对收敛
7、发散8、 9、 ； 10、 11、 12、
四、计算题（每题5分）
1、
解： =
=
2、
解：设 ，则 ，
有 =
3、
解： =
=
4、
解： =
5、
解： =
=
=
6、
解：因为
所以 =
=
7、
解：由
得 =
8、
解： 时，
时，
=
故当 时， =
时， 发散；
9、
解： =
=
=
=
由此求得
10、
解：当 时，
当 时，
=
则
五、证明题（每题5分）
1、证明
证：令 ，则 =
则有
2、证明 收敛，且
证： = =
又 ，而 收敛，所以
收敛 收敛
而
3、证明：若 在 上连续，且 收敛，则对任何 ，有
证： 由条件 ， 都存在；再由 连续可得
10、设 且单调减少，证明： 与 敛散性相同.
证：（1）若 ，由狄利克雷判别法 收敛，于是由
= =
知 与 敛散性相同.
(2)若 ,则 发散，从而 与 同时发散.
精心搜集整理，只为你的需要
从而又有
再由 收敛，根据比较法则便证得 收敛。
例如对于条件收敛的 = 和
得到 =
由于 收敛。而
显然是发散的，所以 也是发散的无穷积分。
7、证明当 时， 和 是等价无穷小量。
证： ，又因 ，所以 收敛，
又收敛定义又知
这说明当 时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量
故结论成立。
8、证明：若 收敛，则 也必收敛.
4、设 收敛，证明：（1）若极限 存在，则
（2）若 在 上为单调函数，则
证：（1）设 。若 ，则由极限保号性， ，
当 时满足
于是有
而这与 收敛相矛盾，故 。
（2）若 在 上单调而无界（设为递增而无上界），则 ， ，当 时，使 。类似于（1）的证明，推知 ，矛盾。所以 在 上单调而有界，则存在极限 。依据已证得的命题（1），
5、若 在 无界，则 发散；（）
6、若 不存在，则 发散；（）
7、若 单调， 收敛，则 ；（）
8、若 收敛，则 收敛；（）
9、若 ， 收敛，则 收敛；（）
10、如果 收敛， 在 上有界，则 收敛；（）
11、若 收敛， ，则 收敛；（）
12、如果 绝对收敛， ，则 收敛；（）
答案：××× ××× ×
三、填空题（每题2分）
B、 =
C、 =
D、 发散
13、设广义积分 收敛，则 （）
A、 B、 C、 D、
答案：BCDCB DAABD ADB
二、判断题（每题2分）
1、当 时，无穷积分 条件收敛；（）
2、当 时，无穷积分 绝对收敛；（）
3、若无穷积分 收敛，而函数 在 单调有界，
则无穷积分 收敛；（）
4、若 收敛，则 ；（）
A、 B、 C、 D、
7、下列广义积分发散的是（）
A、 B、 C、 D、
8、 （）
A、 B、 C、 D、
9、已知 ，则 （）
A、 B、 C、 D、
10、广义积分 （）
A、 B、 C、 D、
11、下列积分中绝对收敛的是（）
A、 B、 C、 D、
12、已知广义积分 ，则下列答案中正确的是（）
A、因为 在 上是奇函数，所以
证：由于 = ， ，
而 收敛， 在 上单调有界，
故由 判别法证得 收敛.
9、证明：若 收敛， 为单调函数，则 .
证：不妨设 单调减少。先证当 时， 。否则 点 ，使 ，而 时， ，从而
得出 发散，与 收敛矛盾，故 为非负的单调函数.
由 收敛，则 ，使得当 时，恒有
但是
所以当 时， ，即 或 .
当 单调增加时，只要考虑 ，同样可证得 .
1、若无穷积分 收敛，则 ；
2、若无穷积分 收敛，则 时，无穷积分 ；
3、设 ，函数 ， 是其瑕点，且极限 ，若 ，则瑕积分 ；
4、设 ，函数 ， ，且极限 ，
若 ，则无穷积分 ；
5、若 收敛，则无穷积分 ；
6、当 时，无穷积分 ；
7、当 时，瑕积分 ；
8、若 收敛，且存在极限 ，则 ；
9、 ； ；
5、证明：若 收敛，且 在 上一致连续，则必有 。
证：由 在 上一致连续，则 （设 ），当 且 时，总有 ，
又因 收敛，故对上述 ， ，当 时，有
现对任何 ，取 ，且使 。此时有
便有 ，这就证得
6、证明：若 绝对收敛， 存在，则 必定绝对收敛
又若把 该为条件收敛，试举出反例说明 不一定收敛。
证：由 可知当 充分大时有
第十一章反常积分
一、单选题（每题2分）
1、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
2、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
3、广义积分 =（）
A、 B、 C、 D、发散
4、下列广义积分收敛的是（）
A、 B、 C、 D、
5、下列广义积分发散的是（）
A、 B、 C、 D、
6、下列积分中（）Biblioteka Baidu收敛的