高中数学练习题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月11日 使用班级： 经管06-1(3)
授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1
(3)
授课章节名称： 第6章 微分方程
第1节 微分方程的概念 教学目的：
1、理解微分方程及相关概念
2、初步认识根据实际问题建立微分方程的过程 教学重点：微分方程及相关概念
教学难点：微分方程相关概念的正确理解 教学方法：举例；讲解；练习 教学手段：传统式 作业：
P250 3、4、5
教案实施效果追记：
第6章 微分方程 第1节 微分方程的概念
复习及课题引入（时间：5分钟）
我们在中学学习并求解过什么方程？它们的解有什么特点？ 讲授新内容（时间：90分钟） 下看两个例子
例 1 设作直线运动的物体的速度是)/(cos )(s m t t v =，当)(2
s t π
=，物体
经过的路程为m s 10=，求物体的运动规律。
解 设物体的运动方程为)(t s s =，由导数的物理意义有
t dt
ds
cos = （1） 根据题意，函数)(t s 还应满足条件
10)2
(=π
s （2）
对方程（1）两端积分得
C t s +=sin （3）
其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式得
C +=2
sin
10π
即9=C ，于是得所求物体的运动方程为
9sin +=t s
例 2 一条曲线通过点)1,0(，且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为
23x ，求这曲线的方程。
解 设所求曲线为)(x y y =，由导数的几何意义有
23x dx
dy
= （4） 由于曲线过点)1,0(，因此有
1)0(=y （5）
对方程（4）两端积分得
C x dx x y +==⎰323 （6）
其中C 为任意常数。把条件（5）代入（6）式得
C +=01
即1=C ，于是得所求曲线的方程为
13+=x y
两个例子中的方程（1）和（4）都含有未知函数的导数，对这样的方程我们有定义。
定义：凡含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
注意：在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数和微分必须出现。
例如：
x
y y x x y dy x xydx y y x y ='-'''-=''=++='+''+='2322)(210)1(01
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 如果把函数)(x y y =代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解，求微分方程的过程称为解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。如果微分方程的解中不含有任意常数，则此解称为特解。特解通常可按问题所给条件从通解中确定任意常数的值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件。
如果微分方程是一阶的，则初始条件为00
y y x x ==；如果微分方程是二阶
的，则初始条件为00
y y x x ==，00
y y x x ='=。
例3 把质量为m 的物体从地面以初速度0v 竖直上抛，设物体只受重力作用，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为)(t s s =，根据牛顿第二定律有
mg dt
s
d m -=22 即 g dt
s
d -=22 （1）
据题意，函数)(t s s =还应满足两个条件
⎪⎩⎪
⎨⎧====00
00v dt
ds s t t 对（1）式两端积分一次得
1C gt dt
ds
+-= （2） 再积分一次得 2122
1
)(C t C gt t s ++-= （3）
其中1C 、2C 都是任意常数。
将条件
00
v dt
ds t ==代入（2）式，得01v C =，将条件00==t s 代入（3）式得
02=C 。把1C 、2C 的值代入（3）式得所求物体的运动方程t v gt t s 022
1
)(+-=。
小结：（时间：5分钟）
1.本节我们学习了微分方程及其相关的概念，要注意微分方程的解与以往学过的方程不同，它的解为函数而不是常数。
2.微分方程的通解中含有的任意常数的个数是指独立的任意常数的个数，它与微分方程的阶数相同。
授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月16日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3)
授课章节名称： 第6章 微分方程
第2节 可分离变量的微分方程 教学目的：
1、掌握可分离变量微分方程的解法
2、理解实际问题中建立微分方程模型并求解的过程
3、了解齐次微分方程的解法
教学重点：解可分离变量的微分方程 教学难点：实际问题中建立微分方程 教学方法：举例；讲解；练习 教学手段：传统式 作业：
P258 2（双）、3（单）、4 教案实施效果追记：
第6章 微分方程
第2节 可分离变量的微分方程
复习及课题引入（时间：5分钟）
什么叫微分方程？什么叫微分方程的阶？解？通解？特解？ 讲授新内容
一、可分离变量的微分方程（时间：70分钟）
形如)()(y g x f dx
dy =的微分方程称为可分离变量的微分方程。
可分离变量的微分方程的解法如下： （1） 分离变量，得
dx x f y g dy
)()
(=