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专训1.5 导数(新高考地区专用)(学生版)

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第15讲 导数中的极值点偏移问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第15讲 导数中的极值点偏移问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。

新高考专点专练解答题导数部分(天津历年高考真题汇编)

新高考专点专练解答题导数部分(天津历年高考真题汇编)

新高考专点专练解答题导数部分（天津历年高考真题汇编）一、解答题（共25小题；共325分）1. 已知函数 f (x )=ax 3+bx 2−3x 在 x =±1 处取得极值． （1）讨论 f (1) 和 f (−1) 是函数 f (x ) 的极大值还是极小值； （2）过点 A (0,16) 作曲线 y =f (x ) 的切线，求此切线方程．2. 已知 a >0，函数 f (x )=1−ax x,x ∈(0,+∞)．设 0<x 1<2a，记曲线 y =f (x ) 在点 M(x 1,f (x 1))处的切线为 l ． （1）求 l 的方程；（2）设 l 与 x 轴交点为 (x 2,0)．证明：（ⅰ）0<x 2≤1a；（ⅱ）若 x 1<1a，则 x 1<x 2<1a．3. 已知函数 f (x )=2ax−a 2+1x 2+1(x ∈R )，其中 a ∈R ．（1）当 a =1 时，求曲线 y =f (x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程； （2）当 a ≠0 时，求函数 f (x ) 的单调区间与极值．4. 设 a >0，求函数 f (x )=√x −ln (x +a ),x ∈(0,+∞) 的单调区间．5. 设函数 f (x )=(x −1)3−ax −b ，x ∈R ，其中 a,b ∈R ． （1）求 f (x ) 的单调区间；（2）若 f (x ) 存在极值点 x 0，且 f (x 1)=f (x 0)，其中 x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （3）设 a >0，函数 g (x )=∣f (x )∣，求证：g (x ) 在区间 [0,2] 上的最大值不小于 14．6. 已知 a >0，函数 f (x )=lnx −ax 2，x >0．（f (x ) 的图象连续不断） （1）求 f (x ) 的单调区间；（2）当 a =18 时，证明：存在 x 0∈(2,+∞)，使 f (x 0)=f (32)；（3）若存在均属于区间 [1,3] 的 α，β，且 β−α≥1，使 f (α)=f (β)，证明：ln3−ln25≤a ≤ln23．7. 设 a ∈Z ，已知定义在 R 上的函数 f (x )=2x 4+3x 3−3x 2−6x +a 在区间 (1,2) 内有一个零点 x 0，g (x ) 为 f (x ) 的导函数． （1）求 g (x ) 的单调区间；（2）设 m ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，函数 ℎ(x )=g (x )(m −x 0)−f (m )，求证：ℎ(m )ℎ(x 0)<0； （3）求证：存在大于 0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 p ，q ，且 pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，满足∣∣∣p q −x 0∣∣∣≥1Aq 4．8. 设 a,b ∈R ，∣a ∣≤1．已知函数 f (x )=x 3−6x 2−3a (a −4)x +b ，g (x )=e x f (x )． （1）求 f (x ) 的单调区间；（2）已知函数 y =g (x ) 和 y =e x 的图象在公共点 (x 0,y 0) 处有相同的切线，（i ）求证：f (x ) 在 x =x 0 处的导数等于 0；（ii ）若关于 x 的不等式 g (x )≤e x 在区间 [x 0−1,x 0+1] 上恒成立，求 b 的取值范围．9. 已知函数 f (x )=x +ax +b (x ≠0)，其中 a ，b ∈R ．（1）若曲线 y =f (x ) 在点 P(2,f (2)) 处的切线方程为 y =3x +1，求函数 f (x ) 的解析式； （2）讨论函数 f (x ) 的单调性； （3）若对于任意的 a ∈[12,2]，不等式 f (x )≤10 在 [14,1] 上恒成立，求 b 的取值范围．10. 设函数 f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b (x ∈R )，其中 a,b ∈R ．（1）当 a =−103 时，讨论函数 f (x ) 的单调性；（2）若函数 f (x ) 仅在 x =0 处有极值，求 a 的取值范围； （3）若对于任意的 a ∈[−2,2]，不等式 f (x )≤1 在 [−1,1] 上恒成立，求 b 的取值范围．11. 已知函数 f (x )=4x 3+3tx 2−6t 2x +t −1,x ∈R ，其中 t ∈R ．（1）当 t =1 时，求曲线 y =f (x ) 在点 (0,f (0)) 处的切线方程； （2）当 t ≠0 时，求 f (x ) 的单调区间； （3）证明：对任意的 t ∈(0,+∞)，f (x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点．12. 已知函数 f (x )=ax 3−32x 2+1(x ∈R )，其中 a >0．（1）若 a =1，求曲线 y =f (x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程； （2）若在区间 [−12,12] 上，f (x )>0 恒成立，求 a 的取值范围．13. 已知函数 f (x )=x −ln (x +a ) 的最小值为 0，其中 a >0．（1）求 a 的值；（2）若对任意的 x ∈[0,+∞)，有 f (x )≤kx 2 成立，求实数 k 的最小值；（3）证明：∑22i−1n i=1−ln (2n +1)<2(n ∈N ∗)．14. 已知函数 f (x )=xe −x (x ∈R )．（1）求函数 f (x ) 的单调区间和极值；（2）已知函数 y =g (x ) 的图象与函数 y =f (x ) 的图象关于直线 x =1 对称，证明：当 x >1时，f (x )>g (x )；（3）如果 x 1≠x 2，且 f (x 1)=f (x 2)，证明：x 1+x 2>2．15. 设函数 f (x )=xsinx (x ∈R )．（1）证明 f (x +2kπ)−f (x )=2kπsinx ，其中为 k 为整数；（2）设 x 0 为 f (x ) 的一个极值点，证明 [f (x 0)]2=x041+x 02；（3）设 f (x ) 在 (0,+∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，证明 π2<a n+1−a n <π(n =1,2,⋯)．16. 已知函数 f (x )=4x 3−3x 2cosθ+132，其中 x ∈R ，θ 为参数，且 0≤θ≤π2．（1）当 cosθ=0 时，判断函数 f (x ) 是否有极值；（2）要使函数 f (x ) 的极小值大于零，求参数 θ 的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 θ，函数 f (x ) 在区间 (2a −1,a ) 内都是增函数，求实数 a 的取值范围．17. 已知抛物线 C 1:y =x 2+2x 和 C 2:y =−x 2+a ，如果直线 l 同时是 C 1 和 C 2 的切线，称 l 是 C 1和 C 2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．（1）则 a 取什么值时，C 1 和 C 2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程；（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．18. 设函数f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)，其中t1,t2,t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（1）若t2=0，d=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若d=3，求f(x)的极值；（3）若曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6√3有三个互异的公共点，求d的取值范围．19. 已知函数f(x)=nx−x n，x∈R，其中n∈N∗，且n≥2．（1）讨论f(x)的单调性；（2）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x)；（3）若关于x的方程f(x)=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：∣x2−x1∣<a1−n+2．20. 已知函数f(x)=13x3+1−a2x2−ax−a，x∈R，其中a>0．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(−2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)=M(t)−m(t)，求函数g(t)在区间[−3,−1]上的最小值．21. 设函数f(x)=−13x3+x2+(m2−1)x(x∈R)，其中m>0．（1）当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；（2）求函数f(x)的单调区间与极值；（3）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1<x2．若对任意的x∈[x1,x2]，f(x)>f(1)恒成立，求m的取值范围．22. 已知函数f(x)=4x−x4，x∈R．（1）求f(x)的单调区间；（2）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)；（3）若方程f(x)=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，且x1<x2，求证：x2−x1≤−a3+ 413．23. 已知函数f(x)=x−ae x(a∈R)，x∈R，已知函数y=f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2．（1）求a的取值范围；（2）证明x2x1随着a的减小而增大；（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．24. 已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x，其中a>1．（1）求函数ℎ(x)=f(x)−xlna的单调区间；（2）若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行，证明x1+g(x2)=−2lnlnalna；（3）证明当a≥e 1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．cosθ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ<2π．25. 已知函数f(x)=4x3−3x2cosθ+316（1）当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a−1,a)内都是增函数，求实数a的取值范围．答案第一部分 1. （1）fʹ(x )=3ax 2+2bx −3,依题意，fʹ(1)=fʹ(−1)=0,即{3a +2b −3=0,3a −2b −3=0,解得a =1,b =0.所以f (x )=x 3−3x,fʹ(x )=3x 2−3=3(x +1)(x −1).令 fʹ(x )=0，得x 1=−1,x 2=1.若 x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，则 fʹ(x )>0，故 f (x ) 在 (−∞,−1) 和 (1,+∞) 上是增函数； 若 x ∈(−1,1)，则 fʹ(x )<0，故 f (x ) 在 (−1,1) 上是减函数． 所以，f (−1)=2 是极大值；f (1)=−2 是极小值． （2） 曲线方程为 y =x 3−3x ．点 A (0,16) 不在曲线上．设切点为 M (x 0,y 0)，则点 M 的坐标满足 y 0=x 03−3x 0．因 fʹ(x 0)=3(x 02−1)，故切线的方程为 y −y 0=3(x 02−1)(x −x 0)． 又点 A (0,16) 在切线上，有 16−(x 03−3x 0)=3(x 02−1)(0−x 0)， 化简得 x 03=−8，解得 x 0=−2．所以，切点为 M (−2,−2)，切线方程为 9x −y +16=0． 2. （1） f (x ) 的导数 fʹ(x )=−1x 2，由此得切线 l 的方程 y −1−ax 1x 1=−1x 12(x −x 1)．（2） 令切线方程中 y =0，得x 2=x 1(1−ax 1)+x 1=x 1(2−ax 1),其中 0<x 1<2a ．（ⅰ）由 0<x 1<2a ，x 2=x 1(2−ax 1)，有 x 2>0， 及x 2=−a (x 1−1a )2+1a,∴ 0<x 2≤1a ，当且仅当 x 1=1a 时，x 2=1a ． （ⅱ）当 x 1<1a 时，ax 1<1，因此，x 2=x 1(2−ax 1)>x 1,且由（ⅰ），x2<1a ，所以x1<x2<1a．3. （1）当a=1时，f(x)=2xx2+1，所以f(2)=4 5 ,又fʹ(x)=2(x 2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2，所以fʹ(2)=−625.所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y−45=−625(x−2),即6x+25y−32=0.（2）fʹ(x)=2a(x2+1)−2x(2ax−a2+1)(x2+1)2=−2(x−a)(ax+1)(x2+1)2.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a>0时，令fʹ(x)=0，得到x1=−1a,x2=a.当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−1a)−1a(−1a,a)a(a,+∞)fʹ(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在区间(−∞,−1a )，(a,+∞)内为减函数，在区间(−1a,a)内为增函数．函数f(x)在x1=−1a 处取得极小值f(−1a)，且f(−1a)=−a2,函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a)，且f(a)=1.②当a<0时，令fʹ(x)=0，得到x1=a,x2=−1 a ,当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：x(−∞,a)a(a,−1a)−1a(−1a,+∞)fʹ(x)+0−0+ f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在区间(−∞,a)，(−1a ,+∞)内为增函数，在区间(a,−1a)内为减函数．函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a)，且f(a)=1.函数f(x)在x2=−1a 处取得极小值f(−1a)，且f(−1a)=−a2.4. fʹ(x)=2√x −1x+a(x>0)．当a>0,x>0时，fʹ(x)>0⇔x2+(2a−4)x+a2>0；fʹ(x)<0⇔x2+(2a−4)x+a2<0．（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a−4)x+a2>0,即fʹ(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)内单调递增．（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+(2a−4)x+a2>0,即fʹ(x)>0，此时f(x)在(0,1)，(1,+∞)内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此，函数f(x)在(0,+∞)内单调递增．（iii）当0<a<1时，令fʹ(x)>0，即x2+(2a−4)x+a2>0,解得x<2−a−2√1−a或x>2−a+2√1−a，因此，函数f(x)在区间(0,2−a−2√1−a)内单调递增，在区间(2−a+2√1−a,+∞)内也单调递增．令fʹ(x)<0，即x2+(2a−4)x+a2<0，解得2−a−2√1−a<x<2−a+2√1−a,因此，函数f(x)在区间(2−a−2√1−a,2−a+2√1−a)内单调递减．5. （1）f(x)=(x−1)3−ax−b，fʹ(x)=3(x−1)2−a．①a≤0，f(x)在x∈R上单调递增；②a>0，f(x)在(−∞,1−√a3)单调递增，在(1−√a3,1+√a3)单调递减，在(1+√a3,+∞)单调递增．（2）由fʹ(x0)=0得3(x0−1)2=a，所以f(x0)=(x0−1)3−3(x0−1)2x0−b=(x0−1)2(−2x0−1)−b,f(3−2x0)=(2−2x0)3−3(x0−1)2(3−2x0)−b=(x0−1)2(8−8x0−9+6x0)−b=(x0−1)2(−2x0−1)−b.所以f(3−2x0)=f(x0)=f(x1)，所以x1+2x0=3．（3）欲证g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14，只需证在区间[0,2]上存在x1，x2，使得f(x1)−f(x2)≥12即可．①当a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，f(2)=1−2a−b，f(0)=−1−b，f(0)−f(2)=2a−2≥4>12，成立．②当0<a<3时，f(1−√a3)=(−√a3)3−a(1−√a3)−b=−a3√a3−a+a√a3−b=23a√a3−a−b,f(1+√a3)=a3√a3−a(1+√a3)−b=−23a√a3−a−b.因为f(2)=1−2a−b，f(0)=−1−b，所以f(2)−f(0)=2−2a．当0<a≤34时，f(2)−f(0)=2−2a≥12，成立，当a>34时，f(1−√a3)−f(1+√a3)=43a√a3>12，成立．6. （1）fʹ(x)=1x−2ax=1−2ax2x,x∈(0,+∞),令fʹ(x)=0，解得x=√2a 2a.当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：x(0,√2a2a)√2a2a(√2a2a,+∞)fʹ(x)+0−f(x)↗极大值↘所以，f(x)的单调递增区间是(0,√2a2a )，f(x)的单调递减区间是(√2a2a,+∞)．（2）当a=18时，f(x)=lnx−18x2.由（1）知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2,+∞)内单调递减．令g(x)=f(x)−f(32)．由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f (2)>f (32),即g (2)>0.取 xʹ=32e >2，则g (xʹ)=41−9e 232<0.所以存在 x 0∈(2,xʹ)，使 g (x 0)=0，即存在 x 0∈(2,+∞)，使 f (x 0)=f (32)． （3） 由 f (α)=f (β) 及（1）的结论知α<√2a2a<β, 从而 f (x ) 在 [α,β] 上的最小值为 f (α)． 又由 β−α≥1，α,β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.故{f (2)≥f (α)≥f (1),f (2)≥f (β)≥f (3).即{ln2−4a ≥−a,ln2−4a ≥ln3−9a.从而ln3−ln25≤a ≤ln23.7. （1） 由 f (x )=2x 4+3x 3−3x 2−6x +a ， 可得 g (x )=fʹ(x )=8x 3+9x 2−6x −6， 进而可得 gʹ(x )=24x 2+18x −6． 令 gʹ(x )=0，解得 x =−1 或 x =14．当 x 变化时，gʹ(x )，g (x ) 的变化情况如下表：x(−∞,−1)(−1,14)(14,+∞)gʹ(x )+−+g (x )↗↘↗所以 g (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−1)，(14,+∞)，单调递减区间是 (−1,14)． （2） 由 ℎ(x )=g (x )(m −x 0)−f (m )，得 ℎ(m )=g (m )(m −x 0)−f (m )，ℎ(x 0)=g (x 0)(m −x 0)−f (m )． 令函数 H 1(x )=g (x )(x −x 0)−f (x )，则 Hʹ1(x )=gʹ(x )(x −x 0)． 由（Ⅰ）知，当 x ∈[1,2] 时，gʹ(x )>0， 故当 x ∈[1,x 0) 时，Hʹ1(x )<0，H 1(x ) 单调递减； 当 x ∈(x 0,2] 时，Hʹ1(x )>0，H 1(x ) 单调递增．因此，当 x ∈[1,x 0)∪(x 0,2] 时，H 1(x )>H 1(x 0)=−f (x 0)=0，可得 H 1(m )>0，即 ℎ(m )>0，令函数 H 2(x )=g (x 0)(x −x 0)−f (x )，则 H 2ʹ(x )=g (x 0)−g (x )． 由（Ⅰ）知，g (x ) 在 [1,2] 上单调递增，故当 x ∈[1,x 0) 时，H 2ʹ(x )>0，H 2(x ) 单调递增； 当 x ∈(x 0,2] 时，H 2ʹ(x )<0，H 2(x ) 单调递减． 因此，当 x ∈[1,x 0)∪(x 0,2] 时，H 2(x )<H 2(x 0)=0， 可得 H 2(m )<0，即 ℎ(x 0)<0． 所以，ℎ(m )ℎ(x 0)<0．（3） 对于任意的正整数 p ，q ，且 pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，令 m =pq ，函数 ℎ(x )=g (x )(m −x 0)−f (m )．由（Ⅱ）知，当 m ∈[1,x 0) 时，ℎ(x ) 在区间 (m,x 0) 内有零点； 当 m ∈(x 0,2] 时，ℎ(x ) 在区间 (x 0,m ) 内有零点． 所以 ℎ(x ) 在 (1,2) 内至少有一个零点，不妨设为 x 1， 则 ℎ(x 1)=g (x 1)(p q −x 0)−f (pq )=0．由（Ⅰ）知 g (x ) 在 [1,2] 上单调递增，故 0<g (1)<g (x 1)<g (2)，于是 ∣∣∣pq −x 0∣∣∣=∣∣∣∣f(pq )g (x 1)∣∣∣∣≥∣∣∣f(pq )∣∣∣g (2)=∣2p 4+3p 3q−3p 2q 2−6pq 3+aq 4∣g (2)q 4． 因为当 x ∈[1,2] 时，g (x )>0，故 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以 f (x ) 在区间 [1,2] 上除 x 0 外没有其他的零点，而 p q ≠x 0，故 f (pq )≠0．又因为 p ，q ，a 均为整数，所以 ∣2p 4+3p 3q −3p 2q 2−6pq 3+aq 4∣ 是正整数， 从而 ∣2p 4+3p 3q −3p 2q 2−6pq 3+aq 4∣≥1．所以 ∣∣∣p q −x 0∣∣∣≥1g (2)q 4． 所以，只要取 A =g (2)，就有 ∣∣∣p q −x 0∣∣∣≥1Aq 4．8. （1） 由 f (x )=x 3−6x 2−3a (a −4)x +b ，可得 fʹ(x )=3x 2−12x −3a (a −4)=3(x −a )(x −(4−a ))，令 fʹ(x )=0，解得 x =a 或 x =4−a ． 由 ∣a ∣≤1，得 a <4−a ．当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x (−∞,a )(a,4−a )(4−a,+∞)fʹ(x )+−+f (x )↗↘↗所以 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,a )，(4−a,+∞)，单调递减区间为 (a,4−a )； （2） （i ）因为 gʹ(x )=e x(f (x )+fʹ(x ))，由题意知 {g (x 0)=e x 0,gʹ(x 0)=e x 0,所以 {f (x 0)e x 0=e x 0,e x 0(f (x 0)+fʹ(x 0))=e x 0,解得 {f (x 0)=1,fʹ(x 0)=0.所以f(x)在x=x0处的导数等于0；（ii）因为g(x)≤e x，x∈[x0−1,x0+1]，由e x>0，可得f(x)≤1．又因为f(x0)=1，fʹ(x0)=0，故x0为f(x)的极大值点，由（1）知x0=a．另一方面，由于∣a∣≤1，故a+1<4−a，由（1）知f(x)在(a−1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，故当x0=a时，f(x)≤f(a)=1在[a−1,a+1]上恒成立，从而g(x)≤e x在[x0−1,x0+1]上恒成立．由f(a)=a3−6a2−3a(a−4)a+b=1，得b=2a3−6a2+1，−1≤a≤1．令t(x)=2x3−6x2+1，x∈[−1,1]，所以tʹ(x)=6x2−12x，令tʹ(x)=0，解得x=2（舍去）或x=0．因为t(−1)=−7，t(1)=−3，t(0)=1，故t(x)的值域为[−7,1]．所以b的取值范围是[−7,1]．9. （1）fʹ(x)=1−a x2 ,由导数的几何意义得fʹ(2)=3,于是a=−8.由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得，−2+b=7,解得b=9.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x−8x+9.（2）fʹ(x)=1−ax2．当a≤0时，显然fʹ(x)>0(x≠0)，这时f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)内是增函数．当a>0时，令fʹ(x)=0，解得x=±√a．当x变化时，fʹ(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−√a)−√a(−√a,0)(0,√a)√a(√a,+∞)fʹ(x)+0−−0+f(x)↗极大值↘↘极小值↗所以f(x)在(−∞,−√a]，[√a,+∞)内是增函数，在(−√a,0)，(0,√a)内是减函数．（3）由（2）知，f(x)在[14,1]上的最大值为f(14)与f(1)中的较大者，对于任意的a∈[12,2]，不等式f(x)≤10在[14,1]上恒成立，当且仅当{f (14)≤10,f (1)≤10,即{b ≤394−4a,b ≤9−a,对任意的 a ∈[12,2] 成立．从而得 b ≤74，所以满足条件的 b 的取值范围是 (−∞,74]．10. （1）fʹ(x )=4x 3+3ax 2+4x=x (4x 2+3ax +4).当 a =−103 时，fʹ(x )=x (4x 2−10x +4)=2x (2x −1)(x −2).令 fʹ(x )=0，解得x 1=0,x 2=12,x 3=2.当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x (−∞,0)0(0,12)12(12,2)2(2,+∞)fʹ(x )−0+0−0+f (x )↘极小值↗极大值↘极小值↗ 所以 f (x ) 在 (0,12)，(2,+∞) 内是增函数，在 (−∞,0)，(12,2) 内是减函数． （2）fʹ(x )=x (4x 2+3ax +4),显然 x =0 不是方程 4x 2+3ax +4=0 的根．为使 f (x ) 仅在 x =0 处有极值，必须 4x 2+3ax +4≥0 成立，即有Δ=9a 2−64≤0.解此不等式，得−83≤a ≤83. 这时，f (0)=b 是唯一极值．因此满足条件的 a 的取值范围是 [−83,83]．（3） 由条件 a ∈[−2,2]，可知 Δ=9a 2−64<0，从而 4x 2+3ax +4>0 恒成立． 当 x <0 时，fʹ(x )<0；当 x >0 时，fʹ(x )>0．因此函数 f (x ) 在 [−1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (−1) 两者中的较大者． 为使对任意的 a ∈[−2,2]，不等式 f (x )≤1 在 [−1,1] 上恒成立， 当且仅当{f (1)≤1,f (−1)≤1,即{b ≤−2−a,b ≤−2+a,在 a ∈[−2,2] 上恒成立．所以 b ≤−4，因此满足条件的 b 的取值范围是 (−∞,−4]．11. （1） 当 t =1 时，f (x )=4x 3+3x 2−6x ，f (0)=0，fʹ(x )=12x 2+6x −6，fʹ(0)=−6． 所以曲线 y =f (x ) 在点 (0,f (0)) 处的切线方程为 y =−6x ． （2） fʹ(x )=12x 2+6tx −6t 2，令 fʹ(x )=0，解得x =−t 或 x =t2.因为 t ≠0，所以分两种情况讨论：①若 t <0，则 t2<−t ，当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x(−∞,t 2)(t2,−t)(−t,+∞)fʹ(x )+−+f (x )↗↘↗所以 f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,t2)，(−t,+∞)；f (x ) 的单调递减区间是 (t2,−t)． ②若 t >0，则 −t <t2，当 x 变化时，fʹ(x ),f (x ) 的变化情况如下表：x(−∞,−t )(−t,t 2)(t2,+∞)fʹ(x )+−+f (x )↗↘↗所以，f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−t ),(t2,+∞)；f (x ) 的单调递减区间是 (−t,t2)． （3） 由（2）可知，当 t >0 时，f (x ) 在 (0,t2) 内单调递减，在 (t2,+∞) 内单调递增． 以下分两种情况讨论：①当 t2≥1，即 t ≥2 时，f (x ) 在 (0,1) 内单调递减，在 (1,+∞) 内单调递增．f (0)=t −1>0，f (1)=−6t 2+4t +3≤−6×4+4×2+3<0，所以对任意 t ∈[2,+∞)，f (x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点．② 当 0<t2<1，即 0<t <2 时，f (x ) 在 (0,t2) 内单调递减，在 (t2,1) 内单调递增．若 t ∈(0,1]，则f (t 2)=−74t 3+t −1≤−74t 3<0,f (1)=−6t 2+4t +3≥−6t +4t +3=−2t +3>0.所以 f (x ) 在 (t2,1) 内存在零点．若 t ∈(1,2)，则f (t 2)=−74t 3+(t −1)<−74t 3+1<0,f (0)=t −1>0, 所以 f (x )在(0,t2) 内存在零点．所以，对任意 t ∈(0,2)，f (x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点． 综上，对任意 t ∈(0,+∞)，f (x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点．12. （1） 当 a =1 时，f (x )=x 3−32x 2+1,f (2)=3;fʹ(x )=3x 2−3x,fʹ(2)=6.所以曲线 y =f (x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为y −3=6(x −2),即所求切线方程为 y =6x −9． （2） 由已知得fʹ(x )=3ax 2−3x =3x (ax −1),令 fʹ(x )=0，解得x =0 或 x =1a.以下分两种情况讨论：（i ）若 0<a ≤2，则 1a≥12，当 x 变化时，fʹ(x ) 、 f (x ) 的变化情况如下表：x(−12,0)0(0,12)fʹ(x )+0−f (x )↗极大值↘ 当 x ∈[−12,12] 时，f (x )>0 等价于{f (−12)>0,f (12)>0, 即{5−a8>0,5+a8>0. 解不等式组得−5<a <5,因此 0<a ≤2． （ii ）若 a >2，则 0<1a<12．当 x 变化时，fʹ(x ) 、 f (x ) 的变化情况如下表：x(−12,0)0(0,1a )1a (1a ,12)fʹ(x )+0−0+f (x )↗极大值↘极小值↗ 当 x ∈[−12,12] 时，f (x )>0 等价于{f (−12)>0,f (1a)>0, 即{5−a8>0,1−12a2>0.解不等式组得√22<a <5 或 a <−√22, 因此 2<a <5．综合（i ）和（ii ），可知 a 的取值范围为 0<a <5． 13. （1） f (x ) 的定义域为 (−a,+∞)．fʹ(x )=1−1x +a =x +a −1x +a. 由 fʹ(x )=0，得x =1−a >−a.当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x(−a,1−a )1−a (1−a,+∞)fʹ(x )−0+f (x )↘极小值↗因此，f (x ) 在 x =1−a 处取得最小值，故由题意f (1−a )=1−a =0,所以 a =1．（2） 当 k ≤0 时，取 x =1，有 f (1)=1−ln2>0，故 k ≤0 不合题意； 当 k >0 时，令 g (x )=f (x )−kx 2，即g (x )=x −ln (x +1)−kx 2,gʹ(x )=x x +1−2kx =−x [2kx −(1−2k )]x +1.令 gʹ(x )=0，得x 1=0,x 2=1−2k2k>−1. （i ）当 k ≥12 时，1−2k 2k≤0，gʹ(x )<0 在 (0,+∞) 上恒成立，因此 g (x ) 在 [0,+∞) 上单调递减．从而对于任意的 x ∈[0,+∞)，总有 g (x )≤g (0)=0，即 f (x )≤kx 2 在 [0,+∞) 上恒成立． 故 k ≥12符合题意． （ii ）当 0<k <12 时，1−2k 2k>0，对于 x ∈(0,1−2k 2k)，gʹ(x )>0，故 g (x ) 在 (0,1−2k 2k) 内单调递增．因此当取 x 0∈(0,1−2k 2k) 时，g (x 0)>g (0)=0，即 f (x 0)≤kx 02不成立． 故 0<k <12不合题意． 综上，k 的最小值为 12．（3） 当 n =1 时，不等式左边 =2−ln3<2= 右边，所以不等式成立． 当 n ≥2 时，∑f n i=1(22i −1)=∑[22i −1−ln (1+22i −1)]ni=1=∑22i −1ni=1−∑[ln (2i +1)−ln (2i −1)]ni=1=∑22i −1ni=1−ln (2n +1).在（2）中取 k =12，得 f (x )≤x 22(x ≥0)，从而f (22i −1)≤2(2i −1)2<2(2i −3)(2i −1)(i ∈N ∗,i ≥2), 所以有∑22i −1ni=1−ln (2n +1)=∑f ni=1(22i −1)=f (2)+∑f ni=2(22i −1)<2−ln3+∑2(2i −3)(2i −1)ni=2=2−ln3+∑(12i −3−12i −1)ni=2=2−ln3+1−12n −1<2.综上∑22i −1ni=1−ln (2n +1)<2,n ∈N ∗.14. （1） fʹ(x )=(1−x )e −x ． 令 fʹ(x )=0，解得 x =1．当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x (−∞,1)1(1,+∞)fʹ(x )+0−f (x )↗极大值↘所以 f (x ) 在 (−∞,1) 内是增函数，在 (1,+∞) 内是减函数． 函数 f (x ) 在 x =1 处取得极大值 f (1) 且 f (1)=1e ．（2） 由题意可知 g (x )=f (2−x )，得 g (x )=(2−x )e x−2． 令 F (x )=f (x )−g (x )，即F (x )=xe −x +(x −2)e x−2,于是Fʹ(x )=(x −1)(e 2x−2−1)e −x .当 x >1 时，2x −2>0，从而 e 2x−2−1>0，又 e −x >0，所以 Fʹ(x )>0，从而函数 F (x ) 在 [1,+∞) 是增函数． 又 F (1)=e −1−e −1=0，所以 x >1 时，有 F (x )>F (1)=0， 即 f (x )>g (x )．（3） （i ）若 (x 1−1)(x 2−1)=0，由（1）及 f (x 1)=f (x 2)，则 x 1=x 2=1．与 x 1≠x 2 矛盾；（ii ）若 (x 1−1)(x 2−1)>0，所以 {x 1>1x 2>1 或 {x 1<1x 2<1，由（1）知函数 f (x ) 在区间 (−∞,1) 上为增函数，在区间 (1,+∞) 上为减函数，又 f (x 1)=f (x 2)，得 x 1=x 2．与 x 1≠x 2 矛盾． 根据（i ）（ii ）得 (x 1−1)(x 2−1)<0，不妨设 x 1<1，x 2>1. 由（2）可知，f (x 2)>g (x 2)，又 g (x 2)=f (2−x 2)， 所以 f (x 2)>f (2−x 2)，从而 f (x 1)>f (2−x 2)． 因为 x 2>1，所以 2−x 2<1．又由（1）可知函数 f (x ) 在区间 (−∞,1) 内是增函数，所以 x 1>2−x 2，即 x 1+x 2>2． 15. （1） 由函数 f (x ) 的定义，对任意整数 k ，有f (x +2kπ)−f (x )=(x +2kπ)sin (x +2kπ)−xsinx=(x +2kπ)sinx −xsinx=2kπsinx.（2） 函数 f (x ) 在定义域 R 上可导，fʹ(x )=sinx +xcosx, ⋯⋯①令 fʹ(x )=0，得 sinx +xcosx =0．显然，对于满足上述方程的 x 有 cosx ≠0，上述方程化简为 x =−tanx ． 此方程一定有解．f (x ) 的极值点 x 0 一定满足 tanx 0=−x 0． 由sin 2x =sin 2x sin 2x +cos 2x =tan 2x1+tan 2x,得sin 2x 0=tan 2x 01+tan 2x 0.因此，[f (x 0)]2=x 02sin 2x 0=x 041+x 02.（3） 设 x 0>0 是 fʹ(x )=0 的任意正实数根，即 x 0=−tanx 0，则存在一个非负整数 k ， 使 x 0∈(π2+kπ,π+kπ)，即 x 0 在第二或第四象限内．由 ① 式，fʹ(x )=cosx (tanx +x ) 在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足 fʹ(x )=0 的正根 x 0 都为 f (x ) 的极值点．由题设条件，a 1，a 2，⋯，a n ，⋯ 为方程 x =−tanx 的全部正实数根且满足 a 1<a 2<⋯<a n <⋯，那么对于 n =1，2，⋯，于是a n+1−a n=−(tana n+1−tana n )=−(1+tana n+1⋅tana n )tan (a n+1−a n ). ⋯⋯②由于π2+(n −1)π<a n <π+(n −1)π, π2+nπ<a n+1<π+nπ, 则π2<a n+1−a n <3π2, 由于 tana n+1⋅tana n >0，由 ② 式知 tan (a n+1−a n )<0．由此可知 a n+1−a n 必在第二象限，即 a n+1−a n <π．综上 π2<a n+1−a n <π. 16. （1） 当 cosθ=0 时，f (x )=4x 3+132, 则fʹ(x )=12x 2≥0,所以函数 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，因此 f (x ) 无极值． （2） 由已知，得fʹ(x )=12x 2−6xcosθ.令 fʹ(x )=0，得x 1=0,x 2=cosθ2. 由 0≤θ≤π2 及（1），可只考虑 cosθ>0 的情况．当 x 变化时，fʹ(x ) 的符号及 f (x ) 的变化情况如下表：x (−∞,0)0(0,cosθ2)cosθ2(cosθ2,+∞)fʹ(x )+0−0+f (x )↗极大值↘极小值↗ 由此，f (x ) 的极小值为f (cosθ2)=−14cos 3θ+132.根据题意，必有−14cos 3θ+132>0, 解得0<cosθ<12,因此，π3<θ<π2．（3） 由（2）知，函数 f (x ) 在区间 (−∞,0) 与 (cosθ2,+∞) 内都是增函数．由题设，函数 f (x ) 在 (2a −1,a ) 内是增函数，则 a 须满足不等式组{2a −1<a,a ≤0, 或 {2a −1<a,2a −1≥12cosθ,由（2），得 0<cosθ<12．要使不等式2a −1≥12cosθ对于 π3<θ<π2 恒成立，必有2a −1≥14,即a ≥58.综上，解得a ≤0 或58≤a <1. 因此，a 的取值范围是 (−∞,0]∪[58,1)． 17. （1） 函数 y =x 2+2x 的导数 yʹ=2x +2，曲线 C 1 在点 P (x 1,x 12+2x 1) 的切线方程是y −(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x −x 1), 即y =(2x 1+2)x −x 12. ⋯⋯①函数 y =−x 2+a 的导数 yʹ=−2x ，曲线 C 2 在点 Q (x 2,−x 22+a ) 的切线方程是y −(−x 22+a )=−2x 2(x −x 2).即y =−2x 2x +x 22+a. ⋯⋯②如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则①式和②式都是 l 的方程，所以{x 1+1=−x 2,−x 12=x 22+a, 消去 x 2 得方程2x 12+2x 1+1+a =0.若判别式 Δ=4−4×2(1+a )=0 时，即 a =−12时，解得 x 1=−12，此时点 P 与 Q 重合．即当 a =−12时 C 1 和 C 2 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y =x −14．（2） 由（1）可知，当 a <−12 时 C 1 和 C 2 有两条公切线， 设一条公切线上切点为：P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)． 其中 P 在 C 1 上，Q 在 C 2 上， 则有 x 1+x 2=−1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(−x 22+a )=x 12+2x 1−(x 1+1)2+a =−1+a.线段 PQ 的中点为 (−12,−1+a 2)．同理，另一条公切线段 PʹQʹ 的中点也是 (−12,−1+a 2)．所以公切线段 PQ 和 PʹQʹ 互相平分．18. （1） 由已知，可得 f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ， 故 fʹ(x )=3x −1，因此 f (0)=0，fʹ(0)=−1，又因为曲线 y =f (x ) 在点 (0,f (0)) 处的切线方程为 y −f (0)=fʹ(0)(x −0)， 故所求切线方程为 x +y =0． （2） 由已知可得f (x )=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3)=(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 22+9t 2.故 fʹ(x )=3x 3−6t 2x +3t 22−9．令 fʹ(x )=0，解得 x =t 2−√3，或 x =t 2+√3． 当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化如表：x (−∞,t 2−√3)t 2−√3(t 2−√3,t 2+√3)t 2+√3(t 2+√3,+∞)fʹ(x )+0−0+f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数 f (x ) 的极大值为 f(t 2−√3)=(−√3)3−9×(−√3)=6√3； 函数小值为 f(t 2+√3)=(√3)3−9×(√3)=−6√3．（3） 曲线 y =f (x ) 与直线 y =−(x −t 2)−6√3 有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程 (x −t 2+d )(x −t 2)(x −t 2−d )+(x −t 2)+6√3=0 有三个互异的实数解， 令 u =x −t 2，可得 u 3+(1−d 2)u +6√3=0．设函数 g (x )=x 3+(1−d 2)x +6√3，则曲线 y =f (x ) 与直线 y =−(x −t 2)−6√3 有三个互异的公共点等价于函数 y =g (x ) 有三个零点． gʹ(x )=3x 3+(1−d 2)．当 d 2≤1 时，gʹ(x )≥0，这时 gʹ(x ) 在 R 上单调递增，不合题意； 当 d 2>1 时，gʹ(x )=0，解得 x 1=√d 2−1√3，x 2=√d 2−1√3．易得，g (x ) 在 (−∞,x 1) 上单调递增，在 [x 1,x 2] 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增， g (x ) 的极大值 g (x 1)=g √d 2−1√3)=2√3(d 2−1)329+6√3>0， g (x ) 的极小值 g (x 2)=g (√d 2−1√3)=−2√3(d 2−1)329+6√3，若 g (x 2)≥0，由 g (x ) 的单调性可知函数 y =f (x ) 至多有两个零点，不合题意； 若 g (x 2)<0，即 (d 2−1)32>27，也就是 ∣d∣>√10， 此时 ∣d∣>x 2，g (∣d∣)=∣d∣+6√3>0，且 −2∣d∣<x 1，g(−2∣d∣)=−6∣d∣3−2∣d∣+6√3<−62√10+6√3<0，从而由g(x)的单调性，可知函数y=g(x)在区间(−2∣d∣,x1)，(x1,x2)，(x2,∣d∣)内各有一个零点，符合题意．所以d的取值范围是(−∞,−√10)∪(√10,+∞)．19. （1）由f(x)=nx−x n，可得fʹ(x)=n−nx n−1=n(1−x n−1)，其中n∈N∗，且n≥2．下面分两种情况讨论：①当n为奇数时，令fʹ(x)=0，解得x=1或x=−1．当x变化时，fʹ(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−1)(−1,1)(1,+∞)fʹ(x)−+−f(x)↘↗↘所以，f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)内单调递增．②当n为偶数时，当fʹ(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；当fʹ(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减．所以，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．（2）设点P的坐标为(x0,0)，则x0=n1n−1，fʹ(x0)=n−n2．曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=fʹ(x0)(x−x0)，即g(x)=fʹ(x0)(x−x0)．令F(x)=f(x)−g(x)，即F(x)=f(x)−fʹ(x0)(x−x0)，则Fʹ(x)=fʹ(x)−fʹ(x0)．由于fʹ(x)=−nx n−1+n在(0,+∞)上单调递减，故Fʹ(x)在(0,+∞)上单调递减．又因为Fʹ(x0)=0，所以当x∈(0,x0)时，Fʹ(x)>0，当x∈(x0,+∞)时，Fʹ(x)<0，所以F(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F(x)≤F(x0)=0，即对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x)．（3）不妨设x1≤x2．由（2）知g(x)=(n−n2)(x−x0)．+x0，设方程g(x)=a的根为x2ʹ，可得x2ʹ=an−n2当n≥2时，g(x)在(−∞,+∞)上单调递减，又由（2）知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2ʹ)，可得x2≤x2ʹ．类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=ℎ(x)，可得ℎ(x)=nx．当x∈(0,+∞)时，f(x)−ℎ(x)=−x n<0，即对于任意的x∈(0,+∞)，f(x)<ℎ(x)，．设方程ℎ(x)=a的根为x1ʹ，可得x1ʹ=an因为ℎ(x)=nx在(−∞,+∞)上单调递增，且ℎ(x1ʹ)=a=f(x1)<ℎ(x1)，因此x1ʹ<x1．+x0．由此可得x2−x1<x2ʹ−x1ʹ=a1−n1=1+n−1=n，故2≥n1n−1=x0．因为n≥2，所以2n−1=(1+1)n−1≥1+C n−1+2．则当x1≤x2时，∣x2−x1∣=x2−x1<a1−n同理可证当x1>x2时，结论也成立．+2．综上，∣x2−x1∣<a1−n20. （1） 对 f (x ) 求导可得fʹ(x )=x 2+(1−a )x −a =(x +1)(x −a ).由 fʹ(x )=0，得{x 1=−1,x 2=a >0.当 x 变化时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x(−∞,−1)−1(−1,a )a (a,+∞)f ′(x )+0−0+f (x )↗极大值↘极小值↗故函数 f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−1)，(a,+∞)；单调递减区间是 (−1,a )． （2） 由（1）知 f (x ) 在区间 (−2,−1) 内单调递增，在区间 (−1,0) 内单调递减， 从而函数 f (x ) 在区间 (−2,0) 内恰有两个零点，当且仅当{f (−2)<0,f (−1)>0,f (0)<0,解得0<a <13.所以 a 的取值范围是 (0,13)． （3） 当 a =1 时，f (x )=13x 3−x −1.由（1）知 f (x ) 在 [−3,−1] 上单调递增，在 [−1,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增．① 当 t ∈[−3,−2] 时，t +3∈[0,1]，−1∈[t,t +3]，f (x ) 在 [t,−1] 上单调递增，在 [−1,t +3] 上单调递减．因此，f (x ) 在 [t,t +3] 上的最大值M (t )=f (−1)=−13,而最小值 m (t ) 为 f (t ) 与 f (t +3) 中的较小者．由f (t +3)−f (t )=3(t +1)(t +2),知，当 t ∈[−3,−2] 时，f (t )≤f (t +3)，故m (t )=f (t ),所以g (t )=f (−1)−f (t ).而 f (t ) 在 [−3,−2] 上单调递增，因此f (t )≤f (−2)=−53.所以 g (t ) 在 [−3,−2] 上的最小值为g (−2)=−13−(−53)=43.② 当 t ∈[−2,−1] 时，t +3∈[1,2]，且 −1,1∈[t,t +3]． 下面比较 f (−1)，f (1)，f (t )，f (t +3) 的大小． 由 f (x ) 在 [−2,−1]，[1,2] 上单调递增，有f(−2)≤f(t)≤f(−1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).又由f(1)=f(−2)=−5 3 ,f(−1)=f(2)=−1 3 ,从而M(t)=f(−1)=−1 3 ,m(t)=f(1)=−5 3 .所以g(t)=M(t)−m(t)=4 3 .综上，函数g(t)在区间[−3,−1]上的最小值为43．21. （1）当m=1时，f(x)=−13x3+x2,fʹ(x)=−x2+2x,故fʹ(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1．（2）fʹ(x)=−x2+2x+m2−1.令fʹ(x)=0，解得x=1−m或x=1+m.因为m>0，所以1+m>1−m.当x变化时，fʹ(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,1−m)1−m(1−m,1+m)1+m(1+m,+∞)fʹ(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在(−∞,1−m)，(1+m,+∞)内是减函数，在(1−m,1+m)内是增函数．函数f(x)在x=1−m处取得极小值f(1−m)，且f(1−m)=−23m3+m2−13,函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=23m2+m2−13.（3）由题设，f(x)=x(−13x2+x+m2−1)=−13x(x−x1)(x−x2),所以方程−13x2+x+m2−1=0有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3,且Δ=1+43(m2−1)>0，解得m<−12(舍)或m>12.因为x1<x2，所以2x2>x1+x2=3,故x2>32>1.若x1≤1<x2，则f(1)=−13(1−x1)(1−x2)≥0,而f(x1)=0，不合题意．若1<x1<x2，对任意的x∈[x1,x2]，有x>0，x−x1≥0，x−x2≤0，则f(x)=−13x(x−x1)(x−x2)≥0.又f(x1)=0，所以f(x)在[x1,x2]上的最小值为0．于是对任意的x∈[x1,x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m2−13<0,解得−√33<m<√33.综上，m的取值范围是(12,√33)．22. （1）由f(x)=4x−x4，可得fʹ(x)=4−4x3．当fʹ(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；当fʹ(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减．所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(1,+∞)．（2）设点P的坐标为(x0,0)，则x0=413，fʹ(x0)=−12．曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=fʹ(x0)⋅(x−x0)，即g(x)=fʹ(x0)(x−x0)．令函数F(x)=f(x)−g(x)，即F(x)=f(x)−fʹ(x0)(x−x0)，则Fʹ(x)=fʹ(x)−fʹ(x0)．由于fʹ(x)=−4x3+4在(−∞,+∞)上单调递减，故Fʹ(x)在(−∞,+∞)上单调递减．又因为Fʹ(x0)=0，所以当x∈(−∞,x0)时，Fʹ(x)>0；当x∈(x0,+∞)时，Fʹ(x)<0，所以F(x)在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，所以对于任意的实数x，都有F(x)≤F(x0)=0，即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．（3）由（2）知g(x)=−12(x−41 3)．设方程g(x)=a的根为x2ʹ，可得x2ʹ=−a12+413，因为g(x)在(−∞,+∞)上单调递减，又由（2）知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2ʹ)，可得x2≤x2ʹ．类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=ℎ(x)，可得ℎ(x)=4x．对于任意的x∈(−∞,+∞)，有f(x)−ℎ(x)=−x4≤0，即f(x)≤ℎ(x)，设方程ℎ(x)=a的根为x1ʹ，可得x1ʹ=a4．因为ℎ(x)=4x在(−∞,+∞)上单调递增，且ℎ(x1ʹ)=a=f(x1)≤ℎ(x1)，因此x1ʹ≤x1．由此可得x2−x1≤x2ʹ−x1ʹ=−a3+413．23. （1）由f(x)=x−ae x，可得fʹ(x)=1−ae x,1）a≤0时，fʹ(x)>0在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意．2）a>0时，由fʹ(x)=0，得x=−lna，当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−lna)−lna(−lna,+∞)fʹ(x)+0−f(x)↗−lna−1↘这时，f(x)的单调递增区间是(−∞,−lna)；单调递减区间是(−lna,+∞)．于是，“函数y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：（i）f(−lna)>0，（ii）存在s1∈(−∞,−lna)，满足f(s1)<0，（iii）存在s2∈(−lna,+∞)，满足f(s2)<0．由f(−lna)>0，即−lna−1>0,解得0<a<e−1,而此时，取s1=0，满足s1∈(−∞,−lna)，且f(s1)=−a<0,取s2=2a +ln2a，满足s2∈(−lna,+∞)，且f(s2)=(2a−e2a)+(ln2a−e2a)<0,所以，a的取值范围是(0,e−1)．（2）由f(x)=x−ae x=0,有a=x e x ,设g(x)=xe x，由gʹ(x)=1−x e x,知 g (x ) 在 (−∞,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减． 并且，当 x ∈(−∞,0] 时，g (x )≤0； 当 x ∈(0,+∞) 时，g (x )>0． 由已知，x 1,x 2 满足a =g (x 1),a =g (x 2),由 a ∈(0,e −1)，及 g (x ) 的单调性，可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).对于任意的 a 1,a 2∈(0,e −1)，设a 1>a 2,g (ξ1)=g (ξ2)=a 1,其中0<ξ1<1<ξ2,g (η1)=g (η2)=a 2,其中0<η1<1<η2,因为 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增，故由 a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1),可得ξ1>η1,类似可得ξ2<η2,又由 ξ1,η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1, 所以，x2x 1随着 a 的减小而增大．（3） 由x 1=ae x 1,x 2=ae x 2,可得lnx 1=lna +x 1,lnx 2=lna +x 2,故x 2−x 1=lnx 2−lnx 1=lnx 2x 1, 设x 2x 1=t ，则 t >1，且{x 2=tx 1,x 2−x 1=lnt,解得x 1=lnt t −1,x 2=tlntt −1, 所以x 1+x 2=(t +1)lntt −1, ⋯⋯①令。

高考逆袭卷02-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

高考逆袭卷02-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知一组数据m ，4，2，5，3的平均数为n ，且m ，n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（）A ．10B C ．2D2．{(1,1)(1,2),}∣P m m R αα==-+∈ ，{(1,2)(2,3),}∣Q n n R ββ==-+∈ 是两个向量集合，则P Q 等于（）A ．{(1,2)}-B ．{(13,23)}--C ．{(2,1)}-D ．{(23,13)}--3．在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，3a 、3b 、3c 成等比数列，则cos A cos B =（）A ．12B ．14C ．23D ．164．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．2C ．2D ．5．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种A ．10B ．48C ．60D ．806．设1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b =，20c c +=，则()A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a 7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．43B ．53C ．83D ．28．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+ ，则双曲线的离心率的平方为A BC 1D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i+>+C ．若()212i z =+，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足2i 3z -=，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆10．设直线系M ：()()cos 2sin 102x y θθθπ+-=≤≤，则下面四个命题正确的是（）A ．点()0,2到M 中的所有直线的距离恒为定值B ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上C ．对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()35f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()2f x x =.设函数()5log 1g x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．()f x 的图象在72x =处的切线方程为174y x =-+C ．()()()()20212022202320242f f f f +++=D ．()f x 的图象与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为10第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是.13．已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=.14．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B F 平面1A BE .以下命题正确的有.①侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒③平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为④设正方体棱长为1，则过点,,E F A 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.(1)求a 的值：(2)求证：2A B =；(3)πcos 212B ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值16．（15分）如图1，在平面五边形ABCDE 中，//AE BD ，且2DE =，60∠=︒EDB ，CD BC ==，5cos7DCB ∠=，将BCD △沿BD 折起，使点C 到P 的位置，且EP =得到如图2所示的四棱锥P ABDE -．(1)求证；PE ⊥平面ABDE ；(2)若1AE =，求平面PAB 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值．17．（15分）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n 格的概率为()1,2,3,,25n P n =⋅⋅⋅．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列{}()12,3,,24n n P P n --=⋅⋅⋅为等比数列．18．（17分）焦点在x 轴上的椭圆22214x y b+=的左顶点为M ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为椭圆上不同三点，且当OB OC λ= 时，直线MB 和直线MC 的斜率之积为14-．(1)求b 的值；(2)若OAB 的面积为1，求2212x x +和2212y y +的值；(3)在（2）的条件下，设AB 的中点为D ，求OD AB ⋅的最大值．19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+；(2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。

山东专用2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业15导数与函数的极值最值含解析

山东专用2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业15导数与函数的极值最值含解析

课时作业15 导数与函数的极值、最值一、选择题1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( C )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值解析：由题可知，f (x )在(－3，－32)和(2,4)上为减函数，在(－32，2)和(4,5)上为增函数，所以A ，B 均错误，C 正确；在x ＝2处左增右减，x ＝2是函数极大值点，D 错误．2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( D ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( C ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.4．(多选题)下列函数中，存在极值点的是( BD ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|x |C ．y ＝－2x 3－xD ．y ＝x ln x解析：由题意，函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x 2>0，所以函数y ＝x －1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，2－x ，x <0，根据指数函数的图象与性质可得，当x <0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x >0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1<0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，x >0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′<0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′>0，函数单调递增，当x ＝1e时，函数取得极小值；故选BD ．5．函数f (x )＝sin x －x 在区间[0,1]上的最小值为( D ) A ．0 B ．sin1 C ．1D ．sin1－1解析：由题得f ′(x )＝cos x －1，因为x ∈[0,1]，所以f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝sin1－1，故选D ．6．若x ＝1是函数f (x )＝ax 2＋ln x 的一个极值点，则当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，f (x )的最小值为( A ) A ．1－e 22B ．－e ＋1eC ．－12e2－1D ．e 2－1解析：由题意得f ′(1)＝0，∵f ′(x )＝2ax ＋1x ，∴f ′(1)＝2a ＋1＝0，∴a ＝－12，∴f ′(x )＝－x ＋1x ＝1－x 2x .∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1时，f ′(x )≥0，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，∴f (x )min＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝⎛⎭⎫1e ，f (e )＝－12e 2＋1，故选A ．7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ln x (a >0)在x ＝1和x ＝2处取得极值，且极大值为－52，则函数f (x )在区间(0,4]上的最大值为( D )A ．0B ．－52C ．2ln2－4D ．4ln2－4解析：f ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx(x >0，a >0)．因为函数f (x )在x ＝1和x ＝2处取得极值，所以f ′(1)＝2a ＋b ＋c ＝0 ①，f ′(2)＝4a ＋b ＋c2＝0 ②.又a >0，所以当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝1时，f (x )极大值＝f (1)＝a ＋b ＝－52 ③.联立①②③，解得a ＝12，b ＝－3，c ＝2.f (4)＝12×16－3×4＋2ln4＝4ln2－4，经比较函数f (x )在区间(0,4]上的最大值是f (4)＝4ln2－4.故选D ．8．已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则a 的取值范围为( A )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2]解析：由题意可得|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ≤a －2，且a >2.由于f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x ，所以当x >0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，f (x )min ＝f (0)＝1，所以f (x )max －f (x )min ＝a －ln a ，故a －2≥a －ln a ，即ln a ≥2，解得a ≥e 2.9．(多选题)已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点．下列选项正确的是( AC )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，则f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0⎝⎛⎭⎫ln x 0＋12x 0＋1＝x 0⎝⎛⎭⎫ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，故选AC ． 二、填空题10．(多填题)已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x ＋2m (m ∈R )在x ＝0处取得极小值，则m ＝0，f (x )的极大值是4e －2.解析：由题意知，f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x ，f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0，∴f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x .令f ′(x )>0，解得x <－2或x >0，令f ′(x )<0，解得－2<x <0，则函数f (x )在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2,0)上单调递减，∴函数f (x )的极大值为f (－2)＝4e －2.11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值是－4.解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.12．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 解析：函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a <103.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103.三、解答题13．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝ax －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.14．已知函数f (x )＝e x (x －a e x )． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若f (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x .令f ′(x )>0，可得x >－1，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，－1)上单调递减．故f (x )在x ＝－1处有极小值，极小值为f (－1)＝－1e.(2)依题意可得f ′(x )＝(x ＋1－2a e x )e x ＝0有两个不同的实根．设g (x )＝x ＋1－2a e x ，则g (x )＝0有两个不同的实根x 1，x 2，g ′(x )＝1－2a e x .若a ≤0，则g ′(x )≥1，此时g (x )为增函数，故g (x )＝0至多有1个实根，不符合要求． 若a >0，则当x <ln 12a 时，g ′(x )>0，当x >ln 12a 时，g ′(x )<0，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln 12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln 12a ，＋∞ 上单调递减，g (x )的最大值为g ⎝⎛⎭⎫ln 12a ＝ln 12a －1＋1＝ln 12a ，又当x →－∞时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→－∞，故要使g (x )＝0有两个实根，则g ⎝⎛⎭⎫ln 12a ＝ln 12a >0，得0<a <12. 因为g (x )＝0的两个根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以当x <x 1时，g (x )<0，此时f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，此时f ′(x )>0； 当x >x 2时，g (x )<0，此时f ′(x )<0.故x 1为f (x )的极小值点，x 2为f (x )的极大值点，0<a <12符合要求．综上所述，a 的取值范围为0<a <12.15．已知函数f (x )＝(x －3)e x ＋a (2ln x －x ＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f (x )在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( C )A ．(e ，＋∞)B ．(e,2e 2)C ．(2e 2，＋∞)D ．(e,2e 2)∪(2e 2，＋∞)解析：由题意知方程f ′(x )＝(x －2)e x＋a (2x －1)＝(x －2)e x＋a ×2－x x ＝(x －2)(e x －a x)＝0在(1，＋∞)上有两个根，所以e x ＝a x 在(1，＋∞)上有不为2的根，即函数y 1＝e x ，y 2＝ax的图象在(1，＋∞)上有交点(异于(2，e 2))，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，e 1<a 1，且a ≠2e 2，所以a >e ，且a ≠2e 2.又易知(x －2)(e x －a x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，即e x ≤a x 在x ∈(1,2)上恒成立，即当x ∈(1,2)时，y 2＝ax的图象在y 1＝e x 图象的上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，e 2≤a 2，所以a ≥2e 2.所以实数a 的取值范围为(2e 2，＋∞)．16．(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解：(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f (83)＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83，即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.g ′(x )，g (x )的情况如下：所以g (x )的最小值为－6，最大值为0. 故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.。

直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)

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导数题型专练【利用公式和四则运算求导】 【例1】下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e x C.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 【答案】 AD【解析】 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．【复合函数求导】 【例2】设函数，若，则．【答案】 1; 【解析】 函数， ， ，，解得， 故答案为：．【根据导数构造抽象函数】 【例3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）．A.B.C.D.【答案】 A; 【解析】 设，由，得：，故函数在递减，由为奇函数，得， ∴，即，∵不等式，∴，即， 结合函数的单调性得：， 故不等式的解集是．故选．【求在某点处的切线方程】【例4】曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．【答案】 5x －y ＋2＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.【求过某点处的切线方程】【例5】y =2x 2+8过点P(1,2)的切线方程是( )． A. y =−4x +6B. y =12x −10C. y =−4x +6或y =12x −10D. y =4x +6或y =12x −10【答案】 C;【解析】 设切点坐标为(x 0 ,2x 02+8)，y ′=4x ，∴切线斜率k =4x 0，则2x 02+8−2x 0−1=4x 0，解得x 0=−1或3，∴所求切线方程为y =−4x +6或y =12x −10．【根据切线求参数问题】【例6】直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】 A【解析】 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝ax ， 由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.【例7】过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y =＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea <e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．【两曲线的公切线】【例8】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3【答案】 D【解析】 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.【利用导数确定函数图象】 【例9】已知函数，则的图象大致为（ ）．A. B.C. D.【答案】A;【解析】令，则，由，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，，于是对任意的，有，故排除、，因为函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故排除．故选．【利用导数求具体函数的单调性】【例10】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)【答案】A【解析】∵f′(x)＝2x－2 x＝2(x＋1)(x－1)x(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．【例11】若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递减区间为________．【答案】(1，＋∞)【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．【利用导数求含参函数的单调性】【例12】已知函数．讨论的单调性．【答案】当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【解析】函数的定义域为：，，①当时，恒成立，在上单调递增，无减区间；②当时，令，解得，∴增区间为，减区间为综上：当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【例13】已知函数是自然对数的底数）．讨论的单调性．【答案】 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】，当时，，在上单调递减； 当时，由得，所以在上单调递减；由得，所以在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【导数解决单调性的应用-比较大小】【例14】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【答案】 A【解析】 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.【导数解决单调性的应用-解不等式】【例15】已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞【解析】 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ， f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”， ∴f (x )在R 上单调递增， 又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)， 即2x －3>0，解得x >32， ∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.【导数解决单调性的应用-求参数范围】【例16】已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 【解析】 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.【根据函数图象判断极值】【例17】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)【答案】D【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．【利用导数求函数的极值】【例18】已知函数，其中．求函数的极值．【答案】当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【解析】，，令得，，当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【例19】已知函数．判断函数的极值点的个数，并说明理由．【答案】当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【解析】因为，所以．（）当时，有，令，得．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数只有一个极值点．（）当时，令，得，．①当时，．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点．②当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，函数无极值点．③当时，，当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点，综上，当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【已知极值(点)求参数】【例20】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6【答案】 A【解析】 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.【利用导数求函数的最值】【例21】函数的最小值为 ． 【答案】 ; 【解析】 当时，，，此时单调递减，此时．当时，，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， ∴此时，∵，∴的最小值为． 【例22】已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．【答案】(1) e 2－3e ＋1；(2) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【解析】 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【数形结合法研究函数零点】【例23】已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2e x ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时，φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.【利用函数性质研究函数零点】【例24】已知函数f (x )＝x －a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝12x 2－ax －f (x )的零点个数．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，由f ′(x )>0可得x >a ；由f ′(x )<0可得0<x <a ，所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由g (x )＝12x 2－ax －x ＋a ln x＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，可得g ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x令g ′(x )＝0可得x ＝1或x ＝a ，因为g (1)＝12－a －1＝－a －12<0，g (2a ＋3)＝12(2a ＋3)2－(a ＋1)(2a ＋3)＋a ln(2a ＋3)＝a ＋a ln(2a ＋3)＋32>0，当a >1时，g (x )在(1，a )上单调递减，所以g (1)>g (a )，所以g (a )<0，所以g (x )有一个零点，当a ＝1时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )有一个零点，当0<a <1时，g (x )在(0，a )上单调递增，在(a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时g (a )＝12a 2－(a ＋1)a ＋a ln a＝－12a 2－a ＋a ln a <0，g (x )只有一个零点，综上所述，g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．【导数构造问题】【例25】已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，若a＝2f (1)，b ＝f (2)，c ＝4f ⎝⎛⎭⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <b <c 【答案】 B【解析】 构造函数g (x )＝f (x )x (x >0)，得g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )－f (x )x ， 由题知当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)2>f (1)1>f ⎝⎛⎭⎫1212，即f (2)>2f (1)>4f ⎝⎛⎭⎫12，即b >a >c .【例26】(多选)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)<e 2f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C ．e 2f (－1)>f (1)D ．e 2f (－1)<f (1)【答案】 AC【解析】 构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知A ，C 选项正确．【例27】(多选)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 【答案】 CD【解析】 构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2. 则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3， 同理g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4， 即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4.【同构法导数构造】【例28】若存在x ，y ∈(0，＋∞)使得x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，则实数a 的最大值为( ) A.1eB.12eC.13eD.2e【答案】 B【解析】 由x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，得ln(2a )＝ln y x －y x ，令t ＝y x >0，g (t )＝ln t －t ，则g ′(t )＝1t －1＝1－t t ，当0<t <1时，g ′(t )>0，当t >1时，g ′(t )<0，所以g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＝1时，g (t )取得极大值即最大值g (1)＝－1，因为当t →0时，g (t )→－∞，所以g (t )∈(－∞，－1]，所以ln 2a ≤－1，所以0<a ≤12e ，所以实数a 的最大值为12e .【分参法解决恒成立问题】【例29】已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0.(2)方法一 当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立．即⎝⎛⎭⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立.当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R .当x >2时，12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x＝2e x x 恒成立． 设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2， 因为x >2，所以g ′(x )>0，所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2.综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．【整体法解决恒成立问题】【例30】已知函数f (x )＝e x －1－ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线与直线3x －y ＝0平行，求a 的值；(2)若不等式f (x )≥ln x －a ＋1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝e x －1－a ＋1x ，∴f ′(1)＝2－a ＝3，∴a ＝－1，经检验a ＝－1满足题意，∴a ＝－1，(2)f (x )≥ln x －a ＋1可化为e x －1－ax ＋a －1≥0，x >0，令φ(x )＝e x －1－ax ＋a －1，则当x ∈[1，＋∞)时，φ(x )min ≥0，∵φ′(x )＝e x －1－a ，①当a ≤1e 时，φ′(x )>0，∴φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1－a ＋a －1＝0≥0恒成立，∴a ≤1e 符合题意．②当a >1e 时，令φ′(x )＝0，得x ＝ln a ＋1.当x ∈(0，ln a ＋1)时，φ′(x )<0，当x ∈(ln a ＋1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增．当ln a ＋1≤1，即1e <a ≤1时，φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴1e <a ≤1符合题意．当ln a ＋1>1，即a >1时，φ(x )在[1，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(ln a ＋1)<φ(1)＝0与φ(x )≥0矛盾．故a >1不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．【双变量的恒(能)成立问题】【例31】设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立． g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23，∵g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， 又g (0)＝－3，g (2)＝1， ∴当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， ∴M ≤1－⎝⎛⎭⎫－8527＝11227， ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2有f (s )≥g (t )，则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (2)＝1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 恒成立．令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴h ′(x )＝1－2x ln x －x ， 令φ(x )＝1－2x ln x －x ， ∴φ′(x )＝－3－2ln x <0，h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，又h ′(1)＝0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )≥0， 当x ∈[1,2]时，h ′(x )≤0，∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1，故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【利用导数证明不等式】【例32】已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32；若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ，令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0，当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .【例33】已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x .当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2.令函数g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e ，令函数h (x )＝e x x 2，则h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24.因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0，所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e x x 2，从而xf (x )<e x 得证．【例34】已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)．【隐零点问题】【例35】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明不等式e x －2－ax >f (x )恒成立． 【解析】 (1) f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)设函数φ(x )＝e x －2－ln x (x >0)，则φ′(x )＝e x －2－1x ，可知φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x 0，且1<x 0<2， 则φ′(x 0)＝02ex −－1x 0＝0， 即02e x −＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )≥φ(x 0)＝02ex −－ln x 0， 结合02e x −＝1x 0， 知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x )≥φ(x 0)＝1x 0＋x 0－2＝x 20－2x 0＋1x 0＝(x 0－1)2x 0>0， 则φ(x )＝e x －2－ln x >0，即不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【极值点偏移问题】【例36】已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1，x 2.证明：x 1＋x 2>2.【解析】由f (x )＝a e x －x ＝0，得x e x －a ＝0，令g (x )＝x e x －a ，则g ′(x )＝1－x e x ，由g ′(x )＝1－x e x >0，得x <1；由g ′(x )＝1－x e x <0，得x >1.所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，由于x 1，x 2是方程g (x )＝0的实根，不妨设x 1<1<x 2，方法一 (对称化构造函数法)要证x 1＋x 2>2， 只要证x 2>2－x 1>1.由于g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g (x 2)<g (2－x 1)， 由于g (x 1)＝g (x 2)＝0，故只要证g (x 1)<g (2－x 1)，令H (x )＝g (x )－g (2－x )＝x e x －2－x e 2－x (x <1)， 则H ′(x )＝1－x e x －1－x e 2－x ＝(e 2－x －e x )(1－x )e 2， 因为x <1，所以1－x >0,2－x >x ，所以e 2－x >e x ，即e 2－x －e x >0，所以H ′(x )>0，所以H (x )在(－∞，1)上单调递增． 所以H (x 1)<H (1)＝0，即有g (x 1)<g (2－x 1)成立，所以x 1＋x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2，由g (x 1)＝g (x 2)，得1212e e x x x x −−=，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1. 所以x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0， 设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，所以g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， 所以当t >1时，g (t )单调递增， 所以g (t )>g (1)＝0，所以ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.。

2023新高考二卷数学导数

2023新高考二卷数学导数

2023新高考二卷数学导数【引言】导数是数学中非常重要的概念，它在许多应用领域都起着重要作用。

对于要参加2023年新高考的学生来说，熟练掌握导数的相关知识是非常关键的。

本文将围绕导数展开论述，从导数的定义、求导法则以及导数的应用三个方面进行详细介绍，帮助学生深入理解导数的概念和运用。

【正文】一、导数的定义导数是描述函数在切点的瞬时变化率的概念。

数学上，给定函数f(x)，若存在常数k，当x无限趋近于某个实数a时，f(x)与f(a)+k(x-a)之差与x-a的差的比值趋近于0，则称函数f(x)在点a处可导，常数k称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

导数的计算方法包括极限法、定义法和利用求导法则等。

二、求导法则1. 常数倍法则：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；2. 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；3. 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；4. 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；5. 反函数求导法则：若y=f(x)在点x对应的y=f^(-1)(y)上可导，且f'(x)≠0，则(f^(-1)(y))' = 1/[f'(x)]。

三、导数的应用导数在许多应用中起着重要作用，其中常见的应用包括极值问题、函数图像的描绘以及曲线的切线方程的求解等。

1. 极值问题：导数可以帮助我们找到一个函数的极大值和极小值点。

当导数在某点为0时，可能是函数的极值点，而导数的正负性可以帮助我们进一步确定是极大值点还是极小值点。

2. 函数图像的描绘：通过研究函数的导数，可以得到函数的增减性、凹凸性以及拐点等信息，从而帮助我们更加准确地描绘函数的图像。

测试卷15 导数-2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)(解析版)

测试卷15 导数-2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)(解析版)

2021年高考数学一轮复习导数创优测评卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题5分）1．32+=x x y 的导数是( )A ．()2236+-x x xB ．362++x x xC ．()223+x x D ． 22)3(6++x x x 【答案】D【解析】()()()()()()()2222222'33'236'333x x x x x x x x xy x x x +-++-+===+++.故D 正确.2．给出下列五个导数式：①()434x x '=；②()cos sin x x '=；③()22ln 2x x '=；④()1ln x x'=-；⑤211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的导数式共有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【解析】①正确；②改为()cos sin x x '=- ；③正确；④改为()1ln x x '= ；⑤改为211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭故正确的有2个，故选A.3．设()f x 在2x =处有导数，则0(2)(2)lim 2x f x f x x∆→+∆--∆=∆( )A ．2(2)f 'B ．1(2)2f ' C ．()2f 'D ．4(2)f '【答案】C【解析】根据导数的定义可知，()()()()()0022222limlim x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆-⎡⎤+∆-⎣⎦'==∆-∆，所以0(2)(2)lim2x f x f x x ∆→+∆--∆=∆()()()()022221lim 2x f x f f f x x∆→+∆-+--∆∆()()()()0022221lim lim 2x x f x f f f x x x ∆→∆→+∆---∆⎡⎤=+⎢⎥∆∆⎣⎦()()()02212lim 2x f x f f x ∆→-∆-⎡⎤'=+⎢⎥-∆⎣⎦()()1222f f ''=+⎡⎤⎣⎦()2f '=. 故选：C4．函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（ ） A ．()()9243f f > B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定【答案】A【解析】由()()2'f x xf x >，得()()'20xf x f x -<，设2()()f x g x x =，则()()243()2()2()x f x xf x xf x f x g x x x''--'==， 因为x 是正数，所以30x >，又()()'20xf x f x -<，所以()0g x '<， 所以()g x 在0,上单调递减，所以(2)(3)g g >，即22(2)(3)23f f >， 即9(2)4(3)f f >. 故选：A5．已知函数()ln f x x =，()f x '是()f x 的导数，()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数()ln f x x =的定义域为(0,)+∞，所以1()f x x'=的定义域也为(0,)+∞，所以其图象为所比例函数在第一象限的部分，故应选C.6．已知函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A【解析】22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++ 令()22sin 1x xg x x +=+，则有()()()1,()f x g x f x g x ''=+=因为()g x 的定义域是R ，()()22sin 1x xg x g x x ---==-+ 所以()g x 是奇函数，所以()g x '是偶函数所以(2018)(2018)0g g +-=，()()201920190g g ''--= 所以(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--()()()()2018120182019201921g g g g =++-++''--=故选：A7．若函数f (x )于x 0处存在导数，则()()000limh f x h f x h→+-( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关【答案】B【解析】依据导数的定义，函数f (x )在x 0处可导，其导数仅与x 0有关，故选B ． 答案：B 8．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ．在处的函数值B ．在点处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线在点处的切线斜率D ．点与点（0,0）连线的斜率【答案】C 【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率．9．设分别是函数的导数，且满足，.若ABC ∆中，C ∠是钝角，则A ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A gB f B g A > B ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A g B f B g A <C ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A >D ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A < 【答案】C 【解析】 因为()()()()()()()'2[]0f x f x g x f x g x g x g x -=>⎡⎤⎦'⎣'在0x >时成立，所以()()f xg x 在()0,+∞为增函数，又因为C ∠为钝角，所以ππ0,22A B B A <+<<-，则cos sin 0A B >>，所以()()()()cos sin cos sin f A f B g A g B >，所以()()()()cos .sin sin .cos f A g B f B g A >.故选C. 10．已知函数()2bf x xax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和是（ ）A ．1nn + B ．()121n n -+C ．()22nn +D ．()()12nn n ++【答案】C 【解析】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++. 故选：C.11．如图，00(,())P x f x 是函数()y f x =图像上一点，曲线()y f x =在点P 处的切线交x 轴于点A ，PB x ⊥轴，垂足为B ，若PAB ∆的面积为12，0'()f x 为函数()f x 在o x x =处的导数值，则 0'()f x 与0()f x 满足关系式（ ）A ．00f x f x ='()()B ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() C ．00f x f x =-'()() D ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() 【答案】B【解析】切线方程是()()000x x x f y y -'=-，令0=y ，得()000x f y x x A '-=，()000x f y x x AB A '=-=，那么()2121210200='⨯=⨯⨯=x f y y AB S ，得到()()[]20200x f y x f =='，故选B ．12．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【答案】C【解析】函数()3211533212g x x x x =-+-， 函数的导数()2'3g x x x =-+，()'21g x x =-， 由()0'0g x =得0210x -=， 解得012x =，而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，故设122018...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820171...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得220182m ⨯=，则2018m =，故选C. 二、填空题（共20分，每题5分）13．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．【答案】()2017xx e +【解析】依题意()()11x x xf x e xe x e '=+=+，()()()()2112x x x xf x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，()()()()3223x x x xf x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，以此规律，可推出()()20172017xf x x e =+，故答案为()2017xx e +.14．设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()'1n n f x f x +=，n ∈+N ，若ABC 的内角A 满足()()()1220140f A f A f A ++⋅⋅⋅+=，则sin A =______.【答案】22【解析】1()cos f x x =，1()()n n f x f x +='，21()()sin f x f x x ∴='=-， 32()()cos f x f x x ='=-，43()()sin f x f x x '==， 54()()cos f x f x x ='=，65()()sin f x f x x ='=-，1()()n n f x f x +∴='，具备周期性，周期为4．且1234()()()()cos sin cos sin 0f x f x f x f x x x x x +++=--+=， 因为2014=4503+2⨯， 1()f A 2()f A +2014()f A +⋯+0=，1()f A ∴2()f A +cos sin 0,tan 1,0A A A A π=-=∴=<<4A π∴=，所以2sin A =故答案为：2215．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____．【答案】14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14.16．设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设()32182233f x x x x =-++，则数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则()20171i i f a ==∑__________．【答案】4034【解析】对函数求导()2843f x x x =-+'，再求导()24f x x ='-'．由题可得拐点()2,2，三次函数有对称中心()2,2．则有()()()22224f x f x f -++==．则()()()()()120171006100510041003...(1007)i i f a f f f f f =∑=-+-+-+-+++(1008)(1009)(1010)f f f ++＝()()()()()()()1006(1010)1005(1009)1004(1008)1003...132f f f f f f f f f f -++-++-++-++++()1008424034f =⨯+=．故本题应填4034．三、解答题（共70分） 17．（10分）已知函数211()ln()4f x x x x a a=-++，其中常数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）已知102a <<，()f x '表示()f x 的导数，若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足12()()0f x f x ''+=，试比较12()f x x '+与(0)f '的大小，并加以证明．【答案】（1）当2a = ()f x 在(2,)+∞上为增函数；当2a >时， ()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a --上为增函数，在22(,0)a a -上为减函数；当02a <<时， ()f x 在22(,)a a -+∞，(,0)a -上为增函数，在22(0,)a a-上为减函数；（2）12()f x x '+<(0)f '，证明见解析． 【解析】（1）求出()f x 的导数)(x f '并因式分解，按照202,2<<>=a a a 和三种情况讨论在()f x 定义域内各个区间上导数的符号，从而判断函数()f x 的单调性；（2）把)(x f '设为一个新函数)(xg ，用导数判断出其在）（a a ,-上的单调性，根据0)0(='f 和12()()0f x f x ''+=代入化简得到21x x +的范围和21x x ，的关系，整理12()f x x '+，把令t a x =+1构造新函数)(t h 再判断其单调性，从而使问题得到解答．试题解析：解：（1）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞，2111(2)()(,0)22()x ax a f x x x a a a x a a x a -+'=-+=>->++由()0,f x '=得10x =，222a x a-=，当2a =时，2()02(2)f x x '=≥+，所以()f x 在(2,)+∞上为增函数；当2a >时， 2220a a x a --<=<，所以()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a --上为增函数；在22(,0)a a-上为减函数；当02a <<220a a ->，所以()f x 在22(,)a a-+∞，(,0)a -上为增函数；在22(0,)a a -上为减函数；（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，()0,()g x g x '∴<∴在(,)a a -上为减函数，即()f x '在(,)a a -上为减函数以题意，不妨设12x x <，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=， 所以，120a x x a -<<<<，所以，10,x a a <+<且12a x x a -<+<， 由12()()0f x f x ''+=，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++，12121111a x x a x a x a=+--++++， 令1t x a =+，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t+-+'=-+==>++⋅+⋅， 所以，()h t 在(0,)a 内为增函数，又因为1(0,)t x a a =+∈ 所以，()()0h t h a <==， 即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，)0()(21f x x f '<+'． 18．（12分）已知函数()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+⎪⎝⎭'= ()a R ∈，()f x '为()f x 的导数. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为20x y +=，求a 的值； （2）已知2a =-，求函数()f x 在区间1,22e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1) 2a =.(2) max ()f x =162-+min ()f x =213e -+.【解析】分析：（1）由()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+⎪⎝⎭'=，得11222f af ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由切线斜率得12,2f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，从而得解；（2）先求导得1223f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，进而得()6683x x f x x⎛-+ ⎝⎭⎝⎭'=，分析导数正负得函数单调性，进而得()max 6f x f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，比较12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2e f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得最小值. 详解：（1）()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+⎪⎝⎭'=， ∴ ()1122f x axf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭''，11222f af ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为20x y +=， ∴ 12,2f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭从而有222a -=-+，解得2a =.（2）2a =-时，()()212ln 22fx x f x ⎛⎫=-+⎝'⎪⎭，∴ ()1142f x x f x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭''，从而112222f f ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''得1223f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，∴ ()813x f x x -'=+=2833x x-+=668443x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当16,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x ∈ 6,42e ⎛⎤⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以()max f x =()fx ⎡⎤⎣⎦极大值=6f ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=16ln 2-+. 又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=13-，2e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=213e -+，21133e -+<-， ∴ ()min f x =213e -+ 19．（12分）已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．【答案】（1）在，上为增函数，在上为减函数；（2）【解析】（1）首先求出函数的定义域为，然后再根据导数在函数单调性中的应用，即可求出函数的单调性； （2）设函数()()y g x a x a =-<<的图象与函数()()y f x a x a ='-<<的图象关于原点对称，利用作差、分解因式的方法得出()()f x g x '>，然后用单调性的定义证明()f x '在()a a -，上单调递减，在这两点基础上结合函数的单调性与奇函数的性质，证出()()120f x x f '+<'． 试题解析：解：（1）函数的定义域为，，由得，，当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数，（2）令，则，∵，∴，∴， ∴，∴在上为减函数，即在上为减函数， 依题意，不妨设，又因为，， 所以，∴且，由，得，∴，令，，则，所以在内为增函数，又因为，所以，即，所以．20．（12分）已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数. ()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】()1证明见解析；()2(],2e -∞-. 【解析】解：()1证明：()3223332x f x e x x =+-+， ∴()()223x g x f x e x x '==+-，则()43xg x e x '=+-，显然，函数()g x '在区间[]0,1上单调递增. 又()01320g '=-=-<，()14310g e e '=+-=+>，∴()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点.()2由()1知，()223x g x e x x =+-，∴不等式()()2331g x x a x ≥+-+即为()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--则()()()222111111x x e x e x h x x x x--+'=+-=-， 当1x ≥时，()1,()10xxu x e x u x e =--'=->，()u x 在[1,)+∞是增函数，()(1)20,10x u x u e e x ∴≥=->∴≥+>∴当1x ≥时，()()2111x e x h x x -+'=-≥()()211110x x x +-+-=，则()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()min 12h x h e ==-，故2a e ≤-，∴实数a 的取值范围是(],2e -∞-.21．（12分）已知函数2()()ln 2a x f x x +=+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()(1)ln h x f x x a x =--+，讨论()h x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的导数()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1222x x f x +<. 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）∵2()()ln 2a x h x a x x +=--+∴(1)()()x x a h x x -+'=（0x >）.当0a ≥时，()01h x x '>⇒>，()001h x x '<⇒<< ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()01h x x '>⇒>或0x a <<-，()01h x a x '<⇒-<< ∴()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减； 当1a <-时，()0h x x a '>⇒>-或01x <<，()01h x x a '<⇒<<- ∴()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减； 当1a =-时，()0h x '≥在(0,)+∞上恒成立， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增； 综上所述：当0a ≥时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减； 当1a <-时，()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减； 当1a =-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增.（Ⅱ）∵21()x ax f x x++'=（0x >）.且()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根，∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩又1>0x ，20x >且12x x <所以1201x x <<<欲证()1222x x f x +<，即证()22122ln 22x a x x x +++< 只需证1211111ln22x x x x ++<令21()ln 222x x g x x x =---（01x <<），()221(21)()2x x g x x--'= ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴1()02g x g ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭， 即()1222x x f x +<成立. 22．（12分）对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =++-，请你根据这一发现.（1）求函数()3211533212f x x x x =++-对称中心； （2）求1234201320142014201420142014f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2013.【解析】（1）三次函数的对称中心是()0f x ''=的实根，解得12x =，再代入求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，即求得函数的对称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即任何()()12f x f x -+=，所以12013220142014f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，123201310071......1006220122013201420142014201420142f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,或采用倒序相加法求和.试题解析：（1）()()2'3,''21f x x x f x x =-+=-，由()''0f x =，即210x -=，解得12x =. 3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题中给出的结论可知，函数()3211533212f x x x x =-+-对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由（1）知，函数()3211533212f x x x x =-+-对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=. 故12013220122,22014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32011100610082,,22014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以12342013112012220132014201420142014201422f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学分项解析15一元函数导数及其应用(解答题)解析版.docx

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学分项解析15一元函数导数及其应用(解答题)解析版.docx

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析专S 15 一元函数导数及其近用(解答题)36. (2021-湖南师大附中高三月考)已知函数/(^) = %lnx-|(x2-l).(1)若/'(x)在(0,+<»)内是减函数，求a的取值范围；(2)已知lim —= 0,若0<G<1,求/'(%)的零点个数.%—>+<» 尤【答案】(1) [1,+8)； (2) 3个.【分析】(1)将/'(》)是减函数转化为广(x)MO恒成立，再分离参数求函数的最值.(2)在0<。

<1的条件下分析函数f(x)的单调性，求出/'⑴的极值和极限值，结合/'(X)的图象在各单调区间内与x轴相交进而确定零点的个数.【详解】(1)f'(x) = lnx+l-ax.因为/'(%)在(0,+初内是减函数，则当x>0时，r(x)<0恒成立，即lnx+l-ar<0,即恒成立.设g(》)=电，则g,(x)=或n=-性.由g'(x)>0,得lnx<0,即O<X<1,所以g⑴在(0,1)上单调递增，在(1，+°°)上单调递减，从而g(X)ma=g (1)=1.因为aZg(x)恒成立，所以。

的取值范围是[1,+8).(2)由(1)知，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+°°)上单调递减.又当0<x<(时，g(x)<0；当x—时，g(x)>0,则函数y = g(x)的大致图象如图所示.因为0<a<l,贝U直线> =a与函数y = g(x)的图象有两个不同的交点，从而广(X)有两个变号零点，所以/'(》)有两个不同的极值点.设/'⑴的两个极值点为X],如且而 <习.则4<吐<1<工2.e当Ovxv^i 或工>尤2时，因为<>g(.) =血尤 + 1,贝ij/r(x) = lnx+l-av<0, 所以/'(x)在(0,西)，(工2，+°°)上单调递减：当X,<x<x2时，因为a<g(x) = ln：+l , 则f\x) = \nx+\-ax>Q,所以/'(x)在(也,与)上单调递增，从而/'(x)的极小值点为％,极大值点为工2 .因为气<1<习，则/(^)</(1) = 0, /(^)>/(1) = 0,所以，(力在(气,互)内有一个零点.因为lim 归4 =。

利用导数研究函数的极值与最值(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

利用导数研究函数的极值与最值(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

考向16 利用导数研究函数的极值与最值【2022·全国·高考真题（理）】当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【2022·全国·高考真题（文）】函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，1．由图象判断函数()y f x ＝的极值，要抓住两点：（1）由()y f x '＝的图象与x 轴的交点，可得函数()y f x ＝的可能极值点；（2）由导函数()y f x '＝的图象可以看出()y f x '＝的值的正负，从而可得函数()y f x ＝的单调性．两者结合可得极值点．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．3．求函数()f x 在闭区间[],a b 内的最值的思路（1）若所给的闭区间[],a b 不含有参数，则只需对函数()f x 求导，并求()0f x '＝在区间[],a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（2）若所给的闭区间[],a b 含有参数，则需对函数()f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数()f x 的最值．（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>； 不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔< 不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；（6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；（7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；（8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；（9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值．注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号．②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点．2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者．（2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．1．（2022·山西太原·三模（文））已知函数()e e xf x =⋅（1）若()()()g x f x kx k k =--∈R 在1x =-时取得极小值，求实数k 的值； （2）若过点(,)a b 可以作出函数()y f x =的两条切线，求证：()0b f a <<2．（2022·湖北·模拟预测）已知函数()21ln 2f x x x mx =++，（m R ∈）． （1）若()f x 存在两个极值点，求实数m 的取值范围； （2）若1x ，2x 为()f x 的两个极值点，证明：()()()212122228f x f x m x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭．3．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数()21xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间及其最大值与最小值．4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()ln f x x mx =+，其中m ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x x ≤-，求m 的最大值．5．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数()22cos f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．6．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知()sin 2f x k x x =+． （1）当2k =时，判断函数()f x 零点的个数； （2）求证：()sin 2ln 1,(0,)2x x x x π-+>+∈．1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知函数()()ln 2,ln xxe f x xe x x g x x x x=---=+-的最小值分别为,m n ，则（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．,m n 的大小关系不确定2．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形,6ABCD AB =，沿PQ 对折使得点B 与AD 边上的点1B 重合，则PQ 的长度可以用含α的式子表示，那么PQ 长度的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．62D 933．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数()f x 为定义在R 上的增函数，且对,()()1x R f x f x ∀∈+-=，若不等式()(ln )1f ax f x +-≥对(0,)∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,e]B ．(,e]-∞C ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭4．（2022·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数()32f x x ax x a =+-+有两个极值点12,x x ，且1223x x -=，则()f x 的极大值为（ ） A 3B 23C 3D 36．（2022·广东广州·三模）设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()()21ln ,12x f x xf x x f '==-'+，则（ ）A ．()xf x 在()0,∞+单调递增B ．()xf x 在()0,∞+单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值127．（2022·全国·模拟预测（文））下列结论正确的是（ ）A ．设函数()3f x x ax b =++，其中a ，b ∈R ，当a ＝－3，2b >时，函数有两个零点B ．函数()()e 0xa f x a x=>没有极值点C ．关于x 的方程32230x x a -+=在区间[]22-,上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为[)(]4,01,28-D ．函数()()e 0e xxx a f x a -=<有两个零点8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx=-有两个极值点，其中一个极值点0x 满足01x >，则()0f x 的取值范围是（ ） A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．（多选题）（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 11．（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的最小值点 B ．0x 是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极大值点 D ．0x -是()f x --的极大值点12．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()'f x ，给出以下命题正确的是（ ） A ．()f x 的单调递减区间是2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()()()f x f a f a x a '>+-D ．函数()f x 有且只有一个零点13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6eB ．(27eC ．(23eD ．2e14．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知()()323ln 21f x x x x =--，则（ ） A ．()f x 的定义域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若直线y m =和()f x 的图像有交点，则3,ln 22m ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦C ．723ln 16< D ．()32ln22129> 15．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）如果两个函数存在零点，分别为,αβ，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”.若()()ln 2f x x =-与()2ln g x ax x =-互为“2度零点函数”，则实数a 的最大值为___________.16．（2022·浙江湖州·模拟预测）设(){}(){}0,0P f Q g ααββ====，若存在,R αβ∈∈R ，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若2()log 1f x x =-与()2x g x x a =-⋅互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为_____________．17．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））实数x ，y 满足()23e 31e x y x y -≤--，则3xy -的值为______．18．（2022·河南新乡·高三期末（文））已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．19．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数()e (sin )x f x x a =-在区间()0,π上存在极值，则实数a 的取值范围是________．20．（2022·全国·高三专题练习（理））已知x ＝1e是函数()ln()1f x x ax =+的极值点，则a ＝________.21．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设()()ex f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数())1(ln f x x x ax x=+-，0a >．(1)若2a =，求函数()f x 的极值； (2)设()()21e 2=-+axg x ax ax ，当0x >时，()()f x g x '≤（()g x '是函数()g x 的导数），求a 的取值范围．23．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．(1)若3c =，求a ，b ；(2)若()ln ≥f x x 在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．24．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知函数()ln (0)f x x ax a a =-+>. (1)当2a =时，求()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 的最大值为m ，证明：0m ≥.25．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1xf x x <+-.26．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数()(0).e xaxf x a =≠ (1)若对任意的x ∈R ，都有1()ef x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设,m n 是两个不相等的实数，且e m n m n -=．求证： 2.m n +>27．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数()1ln f x x a x x=-+ (1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)任意正实数12,x x ，当122x x +=时，试判断()()12f x f x +与()2122a --的大小关系并证明28．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数ln ()1a xf x x =+，曲线()y f x =在(1,(1))f处的切线与直线20x y +=垂直.(1)设()(1)()x g x x f x =+，求()g x 的单调区间； (2)当0x >，且1x ≠时，ln 1()1x k f x x x->+-，求实数k 的取值范围.29．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）设函数()e 1x f x a x =--，a R ∈．(1)当1a =时，求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)求证：当()0,x ∈+∞时，2e 1e x x x->．1．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．12-C ．12 D ．12．（2022·全国·高考真题（文））函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 3．（2021·全国·高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ）A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a > 4．（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．5．（2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.6．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．7．（2022·全国·高考真题（文））已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．8．（2021·北京·高考真题）已知函数()232x f x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．9．（2021·天津·高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．10．（2021·全国·高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．。

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【2022年新高考全国II 卷】已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（ ） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（ ） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是 （ ） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ， 求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=， 若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数， 求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<2．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

导数(学生版)—2024年高考真题数学试题分类汇编

导数(学生版)—2024年高考真题数学试题分类汇编

2024年高考数学真题分类汇编--导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1(新课标II卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为()A.18B.14C.12D.12(甲卷理科)设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.23二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.3(新课标II卷). 设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题：4(新课标I卷)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .5曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．四、解答题：6(新课标I卷)已知函数f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．7(新课标II卷). 已知函数f(x)=e x-ax-a3．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．8(甲卷理科)已知函数f x =1-ax-x．ln1+x(1)当a=-2时，求f x 的极值；(2)当x≥0时，f x ≥0恒成立，求a的取值范围．9已知函数f x =a x-1-ln x+1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a≤2时，证明：当x>1时，f x <e x-1恒成立．10(北京卷)已知f x =x+k ln1+x处切线为l．在t,f tt>0(1)若切线l的斜率k=-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l不经过0,0；(3)已知k=1，A t,f t，其中t>0，切线l与y轴交于点B时．当2S△ACO=15S△ABO，，O0,0，C0,f t符合条件的A的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)11设函数f x =x ln x ．(1)求f x图象上点1,f 1 处切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．12(上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ,令s x =x -a 2+f x -b 2,若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点,则称点P 是M 在f x 的 “最近点”.(1)对于f x =1xx >0 ,求证:对于点M 0,0 ,存在点P ,使得点P 是M 在f x 的 “最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ,请判断是否存在一个点P ,它是M 在f x 的 “最近点”,且直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直;(3)已知y =f x 在定义域R 上存在导函数f x ,且函数g x 在定义域R 上恒正. 设点M 1t -1,f t -g t ,M 2t +1,f t +g t ,若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的 “最近点”,试判断f x 的单调性.。

导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)

导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)

专题3.5 导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】【方法点拨】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）A．3个驻点B．4个极值点C．1个极小值点D．1个极大值点【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：C．【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是f（x）的极小值点B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减D．﹣3是f（x）的极小值点【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f （x）的极大值点，D错误；故选：B．【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，则有x0是h（x）的极小值点，故选：B．【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（）A．x＝﹣1是f（x）的零点B．x＝2是f（x）的极大值点C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【题型2 求已知函数的极值（点）】【方法点拨】求函数f(x)极值的一般解题步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)=12x−sinx在[0，π2]上的极小值为（）A ．π12−√32B ．π12−12C ．π6−12D ．π6−√32【解题思路】根据极小值的定义，结合导数的性质进行求解即可． 【解答过程】解：由f(x)=12x −sinx ⇒f′(x)=12−cosx ， 当x ∈(0，π3)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈(π3，π2)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以π3是函数的极小值点，极小值为：f(π3)=π6−√32， 故选：D ．【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f （x ）＝x 3﹣3x 的极大值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．2【解题思路】求导，利用导数确定f （x ）的单调区间，从而即可求极大值． 【解答过程】解：因为f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈R ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣1或x ＝1，所以当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以f （x ）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（1，∞）；单调递减区间为（﹣1，1）． 所以f （x ）极大值＝f （﹣1）＝2． 故选：D ．【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解题思路】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可． 【解答过程】解：对于函数f （x ）＝x +2cos x ，f ′（x ）＝1﹣2sin x ， 因为x ∈[0，π]，当0＜x ＜π6时，f ′（x ）＞0， 当π6＜x ＜5π6时，f ′（x ）＜0，当5π6＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数． 因此，函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为5π6．故选：C ．【变式2-3】（2022春•新乡期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2（2﹣x ）3，则f （x ）的极大值点为（ ） A ．1B ．75C ．﹣1D ．2【解题思路】解：因为f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ），所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【解答过程】解：f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或x =75，所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【题型3 由函数的极值（点）求参数】 【方法点拨】根据函数极值情况求参数的两个要领：①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f （x ）＝4x 3﹣ax 2﹣2bx +2在x ＝1处有极大值﹣3，则a ﹣b 的值等于（ ） A ．0B ．6C ．3D ．2【解题思路】对函数求导，利用f （1）＝﹣3以及f ′（1）＝0解出a ，b ，进而得出答案． 【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝12x 2﹣2ax ﹣2b ，因为f （x ）在x ＝1处有极大值﹣3， 所以f ′（1）＝12﹣2a ﹣2b ＝0，f （1）＝4﹣a ﹣2b +2＝﹣3，解得a ＝3，b ＝3， 所以a ﹣b ＝0． 故选：A ．【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx +12x 2−(a +6)x 有2个极值点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）C．{6}D．（0，+∞）【解题思路】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．【解答过程】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=6ax+x−(a+6)=(x−6)(x−a)x，令f′（x）＝0得，x＝6或x＝a，∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有2个不同的正实数根，∴a＞0且a≠6，故选：B．【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解题思路】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，进而可求函数的极大值．【解答过程】解：因为f′（x）＝3ax2﹣6x，由题意可得，f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，f′（x）＝3x2﹣6x，当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝0时，函数取得极大值f（0）＝1．故选：C．【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极值，则a+b的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【解题思路】根据题意，对函数求导，令f′（1）＝0可求得a2+b2＝2，利用基本不等式可求a+b的最大值．【解答过程】解：函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2a2x+2b2﹣7，因为函数在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3+2a2+2b2﹣7＝0，即a2+b2＝2，因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝2，即（a +b ）2﹣2＝2ab ， 因为ab ≤(a+b 2)2，所以(a +b)2−2≤2(a+b 2)2， 整理得（a +b ）2≤4，所以a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣5＝（3x +5）（x ﹣1），满足函数在x ＝1处取得极值， 所以a +b 的最大值为2， 故选：C ．【题型4 利用导数求函数的最值】 【方法点拨】(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导 数的实际应用中经常用到．【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x 2−2x +8x 在（0，+∞）上的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】由题意求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．【解答过程】解：因为f ′(x)=2x −2−8x 2=(x 3−2x 2)+(x 3−8)x 2=(x−2)(2x 2+2x+4)x 2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f （x ）min ＝f （2）＝4． 故选：C ．【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y ＝x ﹣2sin x 在区间[0，2]上的最小值是（ ） A ．π6−√3B ．−π3−√3C ．−π6−√3D ．π3−√3【解题思路】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可． 【解答过程】解：由y ′＝1﹣2cos x ， 当0≤x ＜π3时，y ′＜0，即y 递减； 当π3＜x ≤2时，y ′＞0，即y 递增；所以y min =π3−2sin π3=π3−√3．【变式4-2】（2022春•乐山期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，则函数f （x ）在[1，2]上的最小值为（ ） A ．1B ．√22C ．18+12ln2 D ．12+12ln2【解题思路】求导确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝x 2﹣lnx （x ＞0），所以f ′（x ）＝2x −1x =2x 2−1x ，所以当x ∈[1，2]时，f ′（x ）=2x 2−1x ＞0，则f （x ）在[1，2]上单调递增，则f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）＝1． 故选：A ．【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f （x ）＝lnx +1x −12与g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x 的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ，b 的大小不能确定【解题思路】根据函数的单调性分别求出函数f （x ），g （x ）的最小值，比较a ，b 即可． 【解答过程】解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′(x)=1−1x =x−1x， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， f （x ）的最小值是f （1）＝1，故a ＝1， g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x ，定义域（0，+∞）， g ′(x)=(x +1)e x −1x −1=x+1x (xe x −1)，令h （x ）＝xe x ﹣1，则h ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，x ∈（0，+∞），则可得h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （0）＝﹣1＜0，h （1）＝e ﹣1＞0， 故存在x 0∈（0，1）使得h （x ）＝0即x 0e x 0=1，即x 0+lnx 0＝0， 当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故当x ＝x 0时，函数取得最小值g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−x 0=1−lnx 0−x 0=1，即b ＝1， 所以a ＝b ，【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x 3−3a 2x 2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．103【解题思路】对函数求导后，分a ≤0和a ＞0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a 的值． 【解答过程】解：由f(x)=x 3−3a 2x 2+4，得f '（x ）＝3x 2﹣3ax ＝3x （x ﹣a ）， 当a ≤0时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增，所以f(x)min =f(1)=1−3a2+4=0，解得a =103（舍去）， 当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ， 当0＜a ≤1时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增， 所以f(x)min =f(1)=1−3a 2+4=0，解得a =103（舍去）， 当1＜a ＜2时，当1＜x ＜a 时，f '（x ）＜0，当a ＜x ＜2时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在（1，a ）上递减，在（a ，2）上递增，所以当x ＝a 时，f （x ）取得最小值，所以f(a)=a 3−3a2a 2+4=0，解得a ＝2（舍去）， 当a ≥2时，当1≤x ≤2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[1，2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=23−3a2×4+4=0，解得a ＝2， 综上，a ＝2， 故选：C ．【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在x ≤20222021上的最小值为e +1，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．20202021D ．20212020【解题思路】判断函数f （x ）的定义域，可知函数f （x ）在定义域上单调递增，由此可建立关于a 的方程，解出即可得到答案．【解答过程】解：函数的定义域为[1，20222021]，而函数y =e x ，y =lnx ，y =x √x −1在[1，+∞）上均为增函数，∴函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在[1，20222021]单调递增， ∴f （x ）min ＝f （1）＝e +a ＝e +1，解得a ＝1． 故选：B ．【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（2a ，a +3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2，12)B ．（﹣2，1）C ．[−1，12)D ．（﹣2，﹣1]【解题思路】由导数性质得f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a 的范围． 【解答过程】解：∵f （x ）＝x 3﹣3x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣3， 由f ′（x ）＝0，得x ＝±1，x ∈（﹣∞，﹣1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）， ∴x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2． f （x ）＝x 3﹣3x ＝﹣2时， x 3﹣3x +2＝0，x 3﹣x ﹣2x +2＝0， x （x 2﹣1）﹣2x +2＝0，x （x +1）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x 2+x ）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）（x 2+x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（x +2）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）2（x +2）＝0， 解得x ＝1，x ＝﹣2，∴﹣2≤2a ＜1＜a +3，∴﹣1≤a ＜12． 即实数a 的取值范围是[﹣1，12），故选：C．【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（）A．2√eB．−2e C．1√eD．√e【解题思路】把f（x）转化为f（x）＝e2lnx+ax+1﹣（2lnx+ax+1）﹣1，证明e x﹣1≥x恒成立，得到f（x）≥0恒成立，从而得到a=−2lnx−1x，令g（x）=−2lnx−1x，利用导数求出函数g（x）的最小值即可求出结果．【解答过程】解：∵函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1，令t＝lnx2+ax+1，则h（t）＝e t﹣t﹣1，f′（t）＝e t﹣1，当t∈（﹣∞，0）时h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，∴h（t）≥h（0）＝0，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1≥0，等号成立的条件是lnx2+ax+1＝0，即a=−1−2lnxx在（0，+∞）上有解，设g(x)=−2lnx+1x，则g′(x)=−2−(2lnx+1)x2=2lnx−1x2，令g′（x）＝0，解得x=√e，∴当x∈(0，√e)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈(√e，+∞)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g(x)min=g(√e)=2√e，即a的最小值为2√e．故选：A．【题型6 极值和最值的综合问题】【方法点拨】解决函数极值、最值综合问题的策略：(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R．（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数k的取值范围．【解答过程】解：（1）k＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f'（x）＝0得x1＝1，x2＝3，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）；所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f（x）在（0，3）内的极大值点为x＝1，无极小值点；（2）方法一：f'（x）＝3x2﹣3（k+1）x+3k＝3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3，即k=53（舍）；②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝8﹣6（k+1）+3k⋅2+1＝3，符合题意；③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f'（x）≤0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f'（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递减，所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3，化简得：k3﹣3k2+4＝0，即（k+1）（k﹣2）2＝0，所以k＝﹣1或k＝2（都舍）；综上所述：实数k取值范围为k≥2．【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞12 )．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；（2）当x∈[﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．【解题思路】（1）利用导数求得函数极值，代入计算即可得到a的值；（2）f'（x）＝0的根分类讨论，然后列表表示f'（x）的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【解答过程】解：（1）由题意可知f'（x）＝3x2﹣3a，因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝0，即3﹣3a＝0，解得a＝1，经检验a＝1，符合题意，所以a＝1；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣3a，令f'（x）＝0，x=±√a，当0＜√a＜1，即0＜a＜1时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，√a)√a(√a，1)1 f'（x）+0﹣0+f（x）﹣7+6a单调递增单调递减单调调增2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当1≤√a＜2，即1≤a＜4时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，1)1f'（x）+0﹣f（x）﹣7+6a单调递增单调递减2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当√a≥2即a≥4时，f'（x）＝3x2﹣3a≤0恒成立，即f（x）在[﹣2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f （﹣2）＝﹣7+6a ，综上所述，当12＜a ＜4时，f （x ）的最大值为2a √a +1；当a ≥4时，f （x ）的最大值为﹣7+6a ．【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2−2x ，f '（x ）为f （x ）的导函数，函数g （x ）＝f '（x ）．（1）当t ＝1时，求函数g （x ）的最小值；（2）已知f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f(x 1)+52e −1＜0，求实数t 的取值范围． 【解题思路】（1）当t ＝1时，根据题意可得g （x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，求导得g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1，分析g （x ）的单调性，进而可得g （x ）min ．（2）问题可化为t =e x −2x，有两个根x 1，x 2，令ℎ(x)=e x −2x，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0，求导分析单调性，又x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0，推出t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)，分析f （x 1）的单调性，又φ(−1)=−52e +1，推出﹣1＜x 1＜0，即可得出答案．【解答过程】解：g （x ）＝f '（x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，（1）当t ＝1时，g （x ）＝xe x ﹣x ﹣2，g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1， 当x ≤﹣1时，x +1≤0，e x ＞0， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1≤0﹣1＜0， 当﹣1＜x ＜0时，0＜x +1＜1，0＜e x ＜1， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＜1×1﹣1＝0， 当x ＞0时，x +1＞1，e x ＞1，所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞1×1﹣1＝0．综上g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数， 所以g （x ）min ＝g （0）＝﹣2．（2）依题有：方程g （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2， 方程g （x ）＝0可化为t =e x −2x ， 令ℎ(x)=e x −2x ，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0， 所以h （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是增函数，因为x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0， 所以t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)， 所以f(x 1)=(x 1−1)e x 1−t2x 12−2x 1 =(x 1−1)e x 1−12(e x 1−2x 1)x 12−2x 1=(−x 122+x 1−1)e x 1−x 1＜−52e +1，令φ(x)=(−x 22+x −1)e x −x(x ＜0)，则φ′(x)=−12x 2e x −1＜0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又因为φ(−1)=−52e +1， 所以﹣1＜x 1＜0， 所以t =e x 1−2x 1＞1e+2． 【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件： ①函数f （x ）在x ＝1处取得极小值2； ②f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值6； ③函数f （x ）的极大值为6，极小值为2．这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax +b （a ＞0），并且 _____． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣3，1]时，求函数f （x ）的最值．【解题思路】（1）求出函数f （x ）的导数f ′（x ），选择条件①，②，利用给定的极值点及对应的极值列式求解并验证作答；选择条件③，判断极大值与极小值列式求解并验证作答． （2）利用（1）的结论，利用导数求出给定区间上的最值作答． 【解答过程】解：（1）选条件①：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(1)=0f(1)=2，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， 则f （x ）在x ＝1处取得极小值2， 所以f （x ）＝x 3﹣3x +4；选条件②：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(−1)=0f(−1)=6，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＝＜0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4．选条件③：求导得f′（x）＝3x2﹣3a，令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x=±√a，当x＜−√a或x＞√a时，f′（x）＞0，当−√a＜x＜√a时时，f′（x）＜0，因此，当x=−√a时，f（x）取得极大值f（−√a），当x=√a时，f（x）取得极小值f（√a），于是得{(−√a)3−3a(−√a)+b=6(√a)3−3a√a+b=2，解得{a=1b=4，此时f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在x＝1处取得极小值2，在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣3x+4，当x∈[﹣3，1]时，f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，﹣1）上递增，在（﹣1，1]上递减，而f（﹣3）＝﹣14，f（1）＝2，所以f（x）max＝f（﹣1）＝6，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14．。

2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项（导数的概念及运算）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－42．已知函数f (x )＝g (x )＋2x 且曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)ꞏ(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2155．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知曲线y ＝x 24 －3ln x 的一条切线的斜率为－12 ，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．127．f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝2 ，则实数a 的值为( ) A ．23 B ．12C ．34D ．18．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与二次曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．89．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝12t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．11．已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．[强化练习]13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋114．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是()A．0 B．1 27C．128D．12915．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)e x＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．16．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．参考答案1．D ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，∴f (x )＝－4x ＋x 2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，∴f ′(0)＝－4.2．B ∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.∵函数f (x )＝g (x )＋2x ，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2＝g ′(1)＋2，∴f ′(1)＝2＋2＝4，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为4.故选B.3．D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以当x ＝1时，y ′＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1b ＝－1. 4．C ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.5．D ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.6．B 令y ′＝2x 4 －3x ＝－12 ，解得x ＝－3(舍去)或x ＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．B ∵f ′(x )＝cos x －a sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝22 －22 a ＝24 ，得a ＝12 . 8．D 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴当x ＝1时，y ′＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2＋ax ＋2＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－8a ＝0， 得a ＝8. 9．B 设g (x )＝f (x )－2x －4，g ′(x )＝f ′(x )－2，由题意得g ′(x )>0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，又f (x )>2x ＋4等价于g (x )>0，∴原不等式的解为x >－1.10．5答案解析：由题知s ′＝32 t 2－1，故当t ＝2时，该物体的瞬时速度为32 ×22－1＝5.11．e答案解析：f ′(x )＝e x ꞏln x ＋e x x ，∴f ′(1)＝e.12．(－ln 2，2)答案解析：∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，设P (x 0，y 0)，由题意得－e －x 0＝－2，∴e －x 0＝2，∴－x 0＝ln 2，x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2，2).13．B f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.14．CD ∵f (x )＝－x 3＋2x 2－x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋4x －1.由已知得，过点P (1，t )作曲线y ＝f (x )的三条切线，情况如下：①点P (1，t )在曲线上，此时切点为P (1，t )，把P 点坐标代入函数答案解析式可得P (1，0)，利用切线公式得y ＝f ′(1)(x －1)，所以切线为x 轴，但此时切线只有一条，不符合题意．②点P (1，t )不在曲线上，设切点为(x 0，y 0)，又切线经过点P (1，t )，所以切线方程为y －t ＝f ′(x 0)(x －1). 因为切线经过切点，所以y 0－t ＝(－3x 20 ＋4x 0－1)(x 0－1).又因为切点在曲线上，所以y 0＝－x 30 ＋2x 20 －x 0.联立方程得化简得t ＝2x 30 －5x 20 ＋4x 0－1. 令g (x )＝2x 3－5x 2＋4x －1，即t ＝g (x )有三个解，即直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点．令g ′(x )＝6x 2－10x ＋4＝2(x －1)(3x －2)＝0，可得两极值点为x 1＝1，x 2＝23 .所以x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23 和(1，＋∞)时，g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫23，1 时，g (x )单调递减， 所以当g (1)＝0＜t ＜127 ＝g ⎝⎛⎭⎫23 时，满足直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点，而0＜129 ＜128 ＜127 ，故选CD.15．－2答案解析：因为f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＝x e x ，所以切线l 的斜率为f ′(1)＝e ，由f (1)＝3e 知切点坐标为(1，3e)，所以切线l 的方程为y －3e ＝e(x －1).令y ＝0，解得x ＝－2，故直线l 的横截距为－2.16．(－∞，－4)∪(0，＋∞)答案解析：设切线的切点坐标为(x 0，y 0).令f (x )＝(x ＋a )e x ，则f ′(x )＝(x ＋1＋a )e x ，f ′(x 0)＝(x 0＋1＋a )e x 0.因为y 0＝(x 0＋a )e x 0，切线过原点，所以f ′(x 0)＝y 0x 0，即(x 0＋1＋a )ꞏe x 0＝（x 0＋a ）e x 0x 0.整理，得x 20 ＋ax 0－a ＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＜－4或a ＞0.。

2025新高考数学计算题型精练专题03 导数计算(解析版)

2025新高考数学计算题型精练专题03 导数计算(解析版)

2025新高考数学计算题型精练导数计算1．求下列函数的导数：(1)cos sin cos xy x x -=；(2)221e x y x +=.【答案】(1)()21sin cos x x --；(2)()222141exx ++【详解】（1）()()()()22sin sin cos cos sin cos 1sin cos sin cos x x x x x xy x x x x ---+'==---；（2）()()22221221221e 21e 41e xx x y x x x +++''=++=+.2．求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=；(4)()f x =；【答案】(1)84x -(2)441x -(3)3232ln2x +⨯【详解】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '==3．求下列函数的导数：(1)32235y x x =-+；(2)241y x x =++；(3)2log y x =；(4)e n xy x =；(5)31sin x y x-=；(6)sin sin cos xy x x=+．【答案】(1)266x x -(2)()22241x x ----+(3)1ln 2x (4)()1e n xx n x -+(5)()2323sin 1cos sin x x x x x--(6)11sin 2x+【详解】（1）()()32223566y x x x x ''''=-+=-.（2）()()()22242411y x x x x ''--'=+=+++()22241x x --=--+.（3）()21log ln 2y x x ''==.（4）()()()11e e e e e n x n x n x n x n x y x x nx x x n x --'''=+=+=+.（5）()()()()33321sin 1sin 1sin sin x x x x x y x x '''---⎛⎫-'== ⎪⎝⎭()2323sin 1cos sin x x x x x --=.（6）()sin sin cos x y x x ''=+()()()()2sin sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x ''+-+=+()()()2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x +--=+()2111sin 2sin cos x x x ==++．4．求下列函数的导数：（1）1)1y ⎫=+-⎪⎭；（2）3ln (0,1)x y x a a a =+>≠；（3）sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2ln(23)1x y x +=+.【答案】（1）11y x ⎫'=+⎪⎭；（2）3ln (0xy a a a x '=+>且1)a ≠；（3）1sin 42cos 42y x x x --'=；（4）y '()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++【详解】（1）1)11y ⎫==-=⎪⎭，11y x '⎛⎫'∴===+⎪⎭⎝.（2）()'33ln ln (0,1)xxy x aa a a a x=+=+>≠'.（3）11sin 2cos 2sin(4)sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111sin 44cos 4sin 42cos 4222x x x x x x y '∴=--⋅=--.（4）()()()2222[ln(23)]1ln(23)11x x x x y x ''++-++'=+()()222(23)12ln(23)231x x x x x x '+⋅+-++=+()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++.5．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-.【详解】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-；6．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）2ln 1xy x =+【答案】（1）322y x x -=-'；（2）()()22112ln 1x x xy x-+'=+【详解】（1）322y x x -=-'；（2）()()()()()22222212ln ln 1ln 111x x xx x x x x y xx ⎛⎫+-'' ⎪+-+⎝⎭'==++()()()2222112ln 12ln 11x x x x x x x x x -+-+==++.7．求下列函数的导数：（1）2()(1sin )(1)f x x x =+-；（2）()31x xf x x =-+.【答案】（1）()2cos 12(1sin )x x x x --+；（2）213ln 3(1)x x -+.【详解】（1）22()(1sin )(1)(1sin )(1)f x x x x x '''=+-++-2cos (1)(1sin )(2)x x x x =-++-()2cos 12(1sin )x x x x =--+（2）()((3)1x xf x x '''=-+2()(1)(1)3ln 3(1)x x x x x x ''+-+=-+213ln 3(1)x x =-+.8．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'=【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x xx =+22log (3)ln 2xx x =+.(2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.9．求下列函数的导数：(1)111x y x x+=+-；(2)ln(21)y x x =+．【答案】(1)22221(1)x x y x x +-'=-(2)2ln(21)21xy x x '=+++．【详解】(1)2222(1)(1)(1)121(1)(1)x x y x x x x --+⨯-'=-=---22221(1)x x x x +-=-；(2)12ln(21)2ln(21)2121xy x x x x x '=++⋅⋅=++++．10．求下列函数的导数：(1)()ln 21x y x+=；(2)()ln 25y x =-；(3)sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)()()()2221ln 2121x x x y x x-++'=+(2)225y x '=-(3)1sin 42cos 42y x x x --'=【详解】（1）()()()()()2221ln21ln 21ln 21ln 2121x x x x x x x x x y x x x '+'⋅-+''+-+⎡⎤+⎡⎤⎣⎦+'===⎢⎥⎣⎦()()()()222ln 21221ln 212121xx x x x x x x x -+-+++==+．（2）令25u x =-，ln y u =，则()112ln 222525y u u u x x '''=⋅=⋅=⋅=--．（3）因为()11sin 2cos 2sin 4sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11111sin 4sin 4sin 44cos 4sin 42cos 422222y x x x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫=-+-=--⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．11．求下列函数的导函数．(1)324ln 1y x x x =+-+；(2)24cos 2xy x -=+；(3)21e sin +=x y x ．【答案】(1)21122x x x +-(2)()()2222sin 2cos 82x x x x x x ++-+(3)()212sin cos e x x x ++【详解】（1）'21122y x x x=+-；（2）()()()()()22'2222sin 224cos 2sin 2cos 822x x x x xx x x xy xx+--++-==++；（3）()'2121212e sin e cos 2sin cos e x x x y x x x x +++=+=+.12．求下列函数的导数.（1）(11y⎛=+ ⎝；（2）ln xy x=.【答案】（1）'y =，（2）'21ln x y x -=【详解】解：（1）因为(11221111y x x-⎛=+==- ⎝，所以31'22211111)22222x y x x x --+=--=-=-，（2）由ln x y x =，得'21ln x y x -=13．求下列函数的导数：(1)5log 2y x =；(2)8x y =；(3)cos 2y x =；(4)()432y x =．【答案】(1)1ln 5y x '=(2)8ln8x y '=(3)2sin 2y x '=-(4)1013323y x =【详解】（1）555log 2log 2log x x =+ 1ln 5y x '∴=（2）8ln8x y '=（3）令2,t x =则cos y t =()()()cos 2cos 2sin 22sin 2x t x y y t x t x t x''''''∴=⋅⇒=⋅=-⨯=-，故2sin 2y x '=-（4）()10444414313333334222233y x x y xx -'==⋅∴=⨯= 14．求下列函数的导数：（1）8y x =；（2）4x y =；（3）3log y x =；（4）sin(2y x π=+；（5）2e y =.【答案】（1）'78y x =；（2）'4ln 4x y =⋅；（3）'1ln 3y x =⋅；（4）'sin y x =-；（5）'0y =.【详解】（1）8y x =,'78y x =；（2）4x y =，'4ln 4x y =⋅；（3）3log y x =,'1ln 3y x =⋅；（4）sin()cos 2y x x π=+=，'sin y x =-；（5）2e y =，'0y =.15．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)ln y x =；(5)cos y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x'=-(3)3ln 3xy '=(4)1y x '=(5)sin y x '=-【详解】（1）()121112y x x ''==（2）()4545144y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭（3）()ln 333x x y ''==（4）()1ln y x x''==（5）()cos sin y x x''==-16．求下列函数的导函数(1)4235+6y x x x =--；(2)21y x x=+；(3)2cos y x x =；(4)tan y x =【答案】(1)3465y x x =--'；(2)321y x '=-；(3)22cos sin y x x x x -'=；(4)21cos y x'=【详解】（1）由4235+6y x x x =--，则3465y x x =--'；（2）由21y x x =+，则321y x '=-；（3）由2cos y x x =，则22cos sin y x x x x -'=；（4）由sin tan cos x y x x ==，则2222cos sin 1cos cos x x y x x+'==.17．求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+；（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈；（4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x =；（6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+(2)2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【详解】解：（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.18．求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）cos x y e x =；【答案】（1）y ′＝18x 2＋4x －3；（2）y ′＝ex (cos x －sin x ).【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-，（2）()cos (cos )cos sin (cos sin )x x x x x y e x e x e x e x e x x '''=+=-=-.19．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =．【答案】(1)π(2)0【详解】(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=.(2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.20．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)5log y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x '=-(3)3ln3xy '=(4)1=ln5y x '【详解】（1）12y x =，则1112y x '=（2）441y x x -==，则41544y x x --'-==-（3）3x y =，则3ln3x y '=（4）5log y x =，则1=ln 5y x '21．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln 1y x x'=++【详解】解：（1）因为23cos =+y x x所以()()23cos 6sin y x x x x '''=+=-，即6sin =-'y x x（2）因为()1ln =+y x x所以()()()()111ln 1ln ln 1ln 1y x x x x x x x x x '''=+++=++⋅=++，即1ln 1y x x'=++22．求下列函数的导数.(1)()()22331y x x =+-；(2)1sin 1cos xy x-=+.【答案】(1)21849y x x '=-+(2)21cos sin (1cos )'--+=+x x y x 【详解】（1）解：因为326293y x x x =-+-，所以21849y x x '=-+（2）()()2cos (1cos )1sin sin (1cos )x x x x y x -+---=+'，21cos sin (1cos )x xx --+=+.23．求下列函数的导数.(1)()()ln sin f x x x x =+；(2)()()521exx f x +=.【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2)()()()42192e xx x f x +-'=【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭ln sin cos 1x x x x =+++.（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==()()()()442110212192e ex xx x x x +--+-==.24．求下列函数的导数：(1)()2sin 2x f x x x=+(2)()()3e ln 24xf x x =+【答案】(1)()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x x x +-+'=+(2)()()33e 3e ln 224xxf x x x =+++'【详解】（1）()2sin 2xf x x x=+，()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x xx +-+'=+（2）()()3e ln 24xf x x =+，()()()3333e 3e ln 242242e 3e ln 24x xxxx f x x x x '=++++=++.25．求下列函数的导数：(1)()f x =(2)()cos 21x y x+=.【答案】(1)21x x +(2)()()22sin 21cos 21x x x x -+-+（2）求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+ .【详解】（1）因为()f x =所以()()122'211221x x x f x x -+⋅===+'.（2）()()()'2cos 21cos 21x x x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦''=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.26．求下列函数的导函数.(1)()()22331y x x =+-；(2)233x y x +=+.【答案】(1)21849x x -+(2)()222633x x x--++【详解】（1）()()22331y x x =+- ，()()()()()()2222233123314313231849y x x x x x x x x x '''∴=+-++-=-++=-+；（2）233x x y +=+ ，()()()()()()()()()2222222222333332363333x x x x x x x x x xxxy ''∴++-+++-+--+=='=+++.27．求下列函数的导数:(1)32234y x x =--；(2)ln xy x=.【答案】(1)266x x -(2)21ln x x -【详解】（1）322(2)(3)(4)66y x x x x ''''=--=-（2）()2221ln ln ln ()1ln x xx x x x x x y x x x ⋅-''⋅-⋅-'===28．求下列函数的导数：(1)31x x y e-=(2)ln(52)y x =+(3)cos(21)x y x +=【答案】(1)3231e x x x y -+'+=(2)552y x '=+(3)22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-【详解】（1）∵31xx y e-=，则()()()()()()''333232221e 1e 31e 31e e e x xxxx xx x xx x x y ----++-++==='，故3231e xx x y -+'+=.（2）设52u x =+，则ln ,52u y u u x ==+，则()()()()''''15ln 52552u y y u u x u x '==+=⨯=+，故552y x '=+.（3）∵cos(21)x y x+=，则[]()2222sin(21)cos(21)2sin(21)cos(cos(21)cos 2121)x x x x x x y x x x x x x x ''+⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'==-+-++++=-，故22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-.29．求下列函数的导数.(1)n 1l y x x =+;(2)sin cos 22x y x x =-；(3)cos ex xy =【答案】(1)211y x x '=-.(2)11cos 2y x '=-(3)sin cos e x x x y +'=-.【详解】（1）22111(ln )(y x x x x''=+=-；（2）由已知1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-；（3）22(cos )e cos (e )sin e cos e sin cos (e )e e x x x x x x xx x x x x xy ''--⋅-⋅+'===-．30．求下列函数的导数：(1)21y x x=+；(2)e sin x y x =；(3)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()e sin cos x y x x '=+(3)y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x（2）解：()()()e sin e sin e sin e cos e sin cos x x x x x y x x x x x x '''=+=+=+（3）解：()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .31．()2ln 3=+y x x x ．【答案】y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】()()22ln 3ln 3y x x x x x x '⎡⎤''=+++⎣⎦()()221ln 3233x x x x x x =++⋅⋅++()223ln 33x x x x +=+++.32．21y x x =+；【答案】312y x -=-'【详解】221y x x x x-=+=+，()2312y x x x --'''=+=-.33．求下列函数的导数(1)2(2)(31)y x x =-+；(2)2cos 2x y x=【答案】(1)2272411y x x '=--(2)y '222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=【详解】（1）因为2232(2)(31)(2)(961)912112y x x x x x x x x =-+=-++=---，所以()()()32291211272411y x x x x x ''''=--=--（2）222222()cos 2(cos 2)2cos 2(2sin 2)cos 2(cos 2)(cos 2)x x x x x x x x x y x x x '''⎛⎫---'=== ⎪⎝⎭222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=34．求下列函数的导数(1)()2112f x x x x=--；(2)()e ln sin x f x x x =++【答案】(1)()3221x x f x x -+'=；(2)()1e cos xf x x x '=++【详解】（1）解：因为()2112f x x x x =--，则()3222111x x f x x x x -+=-+='.（2）解：因为()e ln sin x f x x x =++，则()1e cos xf x x x'=++.35．求下列函数的导数.(1)ln(21)y x =+；(2)sin cos x y x=；(3)()2ln 1y x x =+；(4)1()23()()y x x x =+++.【答案】(1)221y x '=+；(2)21cos y x ='；(3)()2222ln 11x x xy +++'=；(4)231211y x x =++'.【详解】（1）函数ln(21)y x =+，所以()12212121y x x x '=⋅+=++'.（2）函数sin cos x y x =，所以()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x y x x x -+=='=.（3）函数2)ln(1y x x =+，所以22222212ln(1(1)())ln 111x x x x x x y x '++⋅⋅+=++++'=.（4）依题意，32123()()()6116y x x x x x x ==++++++，所以231211y x x =++'.36．求下列函数的导函数．(1)()4ln =+f x x x ；(2)()sin cos =-x f x x x；(3)()21e xf x -=．【答案】(1)31()4f x x x '=+；(2)()2cos sin sin x x xf x x x'-=+；(3)21()2e x f x '-=.【详解】（1）31()4f x x x '=+；（2）()2cos sin sin x x xf x x x'-=+.（3）2121(21()e )e 2x x x x f --'==⋅-'.37．求下列函数的导数.(1)y =(2)()()()123y x x x =+++；(3)y =【答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x x y ---=-+-+'；(2)231211y x x =++'；(3)()221y x '=-【详解】（1） 13523222sin sin x x x x y x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x xx x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x===-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.38．求下列函数的导数：(1)()()311y x x =--；(2)sin 3y x =；(3)21ex x y +=．【答案】(1)32431y x x =--'；(2)3cos 3y x ='；(3)221e xx x y -+'=-【详解】（1）()()()()()()''3332321111131431y x x x x x x x x x =--+--=-+--'=-；（2）令3u x =，则sin y u =，所以()()''3sin 3cos 3cos3y x u u x =⋅=='；（3）()()()()()()''2222221e 1e 2e 1e 21e e e x xx xxx xxx x x x x y +-+-+-+=='=-．39．求下列函数的导数：(1)πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()2ln 35y x =+．【答案】(1)21πcos 0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()2223563535x x y x x '+'==++【详解】（1）πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x xy x x '+'==++40．求下列函数的导数：(1)21y x x =+；(2)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x ；（2）()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .41．求下列函数的导数．(1)()2ln 2xx f x x +=；(2)()()3ln 45f x x =+．【答案】(1)()312ln ln 222xx x x -+-；(2)1245x +【详解】（1）函数()2ln 2xx f x x +=的定义域为()0+∞，.所以()()()()()()22232ln 2ln 212ln ln 222xxxx x x x x x f x x x ''+-+-+-'==（2）函数()()()3ln 453ln 45f x x x =+=+的定义域为54⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.所以()()'345124545x f x x x +==++'42．求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)2y =(3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【答案】(1)()2(62)cos 321sin x x x x x +-++；(2)132291122x x --+；(3)17118cos x x x+-；(4)()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x ---；(5)()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x +-⋅；(6)21e cos e sin cos x xx x x-+.【详解】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x -==+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x'⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3x xy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.43．求下列函数的导数：(1)2e axbxy -+=；(2)2sin(13)y x =-；(3)y(4)y =(5)2lg sin 2x y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(6)221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】(1)2(2)eax bxax b -+-+(2)6cos(13)x --(3)()()()231cos 2sin 22ln 213x x x x x --+⋅+⋅+(4)cos 2(1sin )x x +(5)22cos 122lg e 2sin 2x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭(6)22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数2e axbxy -+=可以看做函数e u y =和2u ax bx =-+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2e u ax bx ''=⋅-+()e 2u ax b =⨯-+2(2)e axbxax b -+=-+；（2）因为函数2sin(13)y x =-可以看做函数2sin y μ=和13u x =-的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2sin 13x μ''=⋅-()2cos 3μ=⨯-6cos(13)x =--；（3）因为函数y =y =()cos 2xu x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅，又因为函数()cos 2xu x =+可以看做函数cos t μ=和2x t x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xt x t μμ'''=⋅所以x u t xy y u t ''''=⋅⋅()()cos2xt x'''=⋅⋅+()()231sin2ln213xtμ-⎛⎫=⨯-⨯+⎪⎝⎭()()()231cos2sin22ln213x x xx x-⎡⎤=+-+⨯+⎣⎦()()()231cos2sin22ln213x x xx x-=-+⋅+⋅+；（4）函数y=()1ln1sin2y x=+因为函数()1ln1sin2y x=+可以看做函数1ln2yμ=和1sinu x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，所以x u xy y u'''=⋅()1ln1sin2xμ'⎛⎫'=⋅+⎪⎝⎭1cos2xμ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭cos2(1sin)xx=+；（5）因为函数2lg sin2xy x⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可以看做函数lgy u=和2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，又因为函数2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭可以看做函数sin tμ=和22xt x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x t xtμμ'''=⋅所以x u t xy y u t''''=⋅⋅()()2lg sin2xt xμ'⎛⎫''=⋅⋅+⎪⎝⎭()11cos2ln102t xμ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos122lg e2sin2x xxx x⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭；（6）函数221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为211cos 2e 2x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，因为函数2221cos e 2xx y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=可以看做函数1cos 2y μ+=和222e xx u +=的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u x y y u '''=⋅，所以xu x y y u '''=⋅21cos 222e xx μ''⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()224e e 221sin 2e x x x x x μ⎡⎤-+⎢⎥=-⋅⎢⎥⎣⎦21242sin 2e x x x μ⎛⎫-+-=-⋅ ⎪⎝⎭22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.44．求下列函数的导数.(1)()()1ln 2y x x =+；(2)21e x y x+=.【答案】(1)y '()1ln 21x x =++(2)212122e ex x x y x ++-='【详解】（1）()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''45．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-；(2)()()521e 182x y x x -+'=--【详解】（1）2211221x y x ++===-()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--46．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x '=-；(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【详解】（1）()()()5252423423106y x x x x x x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin e e sin sin x x xx x y x x '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x x x -47．求下列函数的导数：(1)2sin y x x =；(2)n 1l y x x=+；(3)tan y x x =⋅；(4)()()()123y x x x =+++；(5)()()22332y x x =+-；(6)cos e xxy =．【答案】(1)22sin cos y x x x x '=+(2)211y x x'=-(3)2tan cos x y x x '=+(4)231211y x x =++'(5)21889y x x '=-+(6)sin cos e xx xy +'=-【详解】（1）()()()2222sin sin sin 2sin cos y x x x x x x x x x x ''''==+=+；（2）()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222sin cos sin tan tan tan tan tan cos cos x x x y x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫'''=⋅=+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2tan cos x x x =+；（4）()()()()()()123123y x x x x x x '''=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()123123123x x x x x x x x x '''=+++++++++++()()()()()()231312x x x x x x =++++++++231211x x =++.（5）()()()()()()2222233223324323231889y x x x x x x x x x '''=+-+++=-++=-+；（6）()2cos 1111sin cos cos cos sin cos e e e e e e e x x x x x x xx x x y x x x x ''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫''==+=-⋅+⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数及其应用》课件ppt

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数及其应用》课件ppt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴3k≥xsin
x－cos x2
xmax，
令
F(x)＝xsin
x－cos x2
x，F′(x)＝x2cos
x＋2cos x3
x>0，x∈0，π2，
∴F(x)在0，π2上单调递增，F(x)<Fπ2＝2π，
值点”的个数为
A.3 √B.2
C.1
D.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数f(x)＝x3－3x， 则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3， 由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)， 得f′(c)＝1，即3c2－3＝1， 解得 c＝±233∈[－2,2]， 所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)x－2n＋3 m， 若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m<2n＋3 m，则 n>m，即mn <1； 若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m>2n＋3 m，则 n<m，即mn <1， 综上，mn <1.
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对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈0，1e时，y′<0，函数 单调递减，当 x∈1e，＋∞时，y′>0，函数单调递增，所以函数 y＝ xln x 在 x＝1e处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x 在R上单调递减，没有极值点.

专题05导数及其应用解答题(原卷版)

专题05导数及其应用解答题(原卷版)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题05导数及其应用解答题1．【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．2．【2022年全国乙卷理科21】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷22】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷22】已知函数f(x)=x e ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)．5．【2021年全国甲卷理科21】已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年新高考1卷22】已知函数f(x)=x(1−lnx).（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e.7．【2021年全国乙卷理科20】设函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．（1）求a；真题汇总（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g(x)<1．8．【2021年新高考2卷22】已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2+b ． （1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．9．【2020年全国1卷理科21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x . （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 10．【2020年全国2卷理科21】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：|f(x)|≤3√38； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .11．【2020年全国3卷理科21】设函数f(x)=x 3+bx +c ，曲线y =f(x)在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年山东卷21】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．13．【2020年海南卷22】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．14．【2019年新课标3理科20】已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．15．【2019年全国新课标2理科20】已知函数f （x ）＝lnx −x+1x−1．（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 16．【2019年新课标1理科20】已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明： （1）f ′（x ）在区间（﹣1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．17．【2018年新课标1理科21】已知函数f （x ）=1x −x +alnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2．18．【2018年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2． （1）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．19．【2018年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝（2+x +ax 2）ln （1+x ）﹣2x ． （1）若a ＝0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0； （2）若x ＝0是f （x ）的极大值点，求a ．20．【2017年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．【2017年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．22．【2017年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝x ﹣1﹣alnx ． （1）若f （x ）≥0，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+12）（1+122）…（1+12n ）＜m ，求m 的最小值． 23．【2016年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2．24．【2016年新课标2理科21】（Ⅰ）讨论函数f （x ）=x−2x+2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，（x ﹣2）e x +x +2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=e x−ax−ax2（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．25．【2016年新课标3理科21】设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．26．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax+14，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．27．【2015年新课标2理科21】设函数f（x）＝e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．28．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx+be x−1x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．29．【2014年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜√2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．30．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y ＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．31．【2013年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．1．已知函数f(x)=x22+cosx−1．(1)求函数f(x)的最小值；(2)证明：∑cos1k >n+12n−1nk=1．2．已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)−asinx..(1)当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；(2)若函数y=f(x)在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a的取值范围3．已知函数ℎ(x)=x−alnx(a∈R).(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；(2)若方程x e x−a(lnx+x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2x1x2.4．已知函数f(x)=a2x2+(a−1)x−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>4时，若方程f(x)=ax2−x+a2在(0，1)内存在唯一实根x0，求证：x0∈(14,1e)．5．已知函数f(x)=e1−x+a(x2−1)，a∈R．(1)若a=12，求f(x)的最小值；(2)若当x>1时，f(x)>1x+lnx恒成立，求a的取值范围．6．已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx+1)−f(x)x2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.7．已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e2]上存在极值，求a的取值范围.8．设函数f(x)=a e x−x−1，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；模拟好题(3)求证：当x∈(0,+∞)时，e x−1x>e x2．9．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1).(1)若f(x)恒有两个极值点x1，x2（x1<x2），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明f(x1)+f(x2)>32.10．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2,x∈[0,π].(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数.11．已知函数f(x)=xe x−1+(1−a)lnx，g(x)=lnx+ax．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a=2时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e g(x0+1)−3x0−2+b2x02<1，请说明理由；(3)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，x1是ℎ(x)的极小值点，且ℎ(x1)≥0，证明：ℎ(x1)≥2(x12−x13)．12．已知函数f(x)=ax−2e x+3(a∈R)，g(x)=lnx+x e x（e为自然对数的底数，e<259）．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=−1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，当x∈[12,1]时，ℎ(x)∈(m,n),(m,n∈Z)，求n−m的最小值．13．已知函数f(x)=a e xx+lnx−x(a∈R)．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，设F(x)=f(x)−(2lnx−x+1x )，求证：F(x)>ln(ax)x−lnx+e−1．14．设函数f(x)=m e x−1,g(x)=lnx+n，m、n为实数，若F(x)=g(x)x 有最大值为1e2(1)求n的值；(2)若f(x)e2>xg(x)，求实数m的最小整数值.15．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1),a>0.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上有且仅有一个极值点m，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明34<f(m)<e24.16．已知函数f(x)=ln(x−1)−mx(m∈R),g(x)=2x+n−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−1≤m≤e−2时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求n−3的最小值．m+217．已知函数f(x)=e x2lnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2)=e k．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明x2e2−2e≤e−e21．x118．已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1),a∈R(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若过原点作曲线y=f(x)的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．19．已知函数f(x)=e−x+sinx−ax，g(x)为f(x)的导函数．]内存在唯一的极值点x0，√2<2cosx0<√3；(1)证明：当a=0时，函数g(x)在区[0,π2(2)若f(x)在(0,π)上单调递减，求整数a的最小值．(x>0).20．已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)试判断函数f(x)在(0，+∞)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)>k对于∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数k的最大值；x+1(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)⋯[1+n(n+1)]>e2n−3．。

导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向14 导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2．过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．一、导数的概念和几何性质1．概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．二、导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为（ ） A ．34y x =+ B ．43y x =+ C ．34y x =-D ．43y x =-2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310 B ．±310C ．35D ．±353．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线()2:ln 3C y x x a x =++-上的一动点，曲线C 在P点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)23,0⎡⎣B ．)22,0⎡⎣C ．(,23⎤-∞⎦D ．(,22⎤-∞⎦4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ）A ．1-B ．23-C ．12D ．11．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<-B ．3n m >-C ．0n <D ．30n m <=-3．（2022·全国·模拟预测（理））过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．135．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．eC eD ．2e6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是（ ） A ．ln y x x =+ B ．3y x = C ．cos y x x =-D ．sin y x x =+7．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e x f x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <8．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．219ab+≥B ．19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数()()()2e R x f x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，当a 变化时，记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ，点()()22,x f x 构成的曲线为2C ，则（ ） A ．曲线1C 恒在x 轴上方 B ．曲线1C 与2C 有唯一公共点C ．对于任意的实数t ，直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D ．存在实数m ，使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧 11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________. 13．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______．15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()2e ,x f x g x x a==，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围__________．16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩，函数在1x =处的切线方程为____________．若该切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是____________．1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）参考答案 A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +123．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+4．（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线5．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．6．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．7．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．8．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 9．（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线．(1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．12．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．。

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1
专训1.5 导 数
1. 若函数3
21()53
f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．[1,1]-
C ．(,1)
(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞
2．已知5ln 5a =，1b e -=，3ln 2
8
c =
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
思维导图
答题区
一．单选题（每题5分，8题，共40分） 限时：16min
2
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．b a c >>
3．点P 在曲线3
2
3
y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ） A ．[0,]2
π
B ．3(
,
]24ππ
C ．3[
,)4
ππ D ．3[0,
)[
,)2
4
π
ππ⋃
4．若函数()3
3=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]1,4-
B ．()1,4-
C ．11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．11,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
5．函数4
()3ln f x x x x
=+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)- B ．(0,1)
C ．(4,)+∞
D ．(0,4)
6．()||f x lnx =，()()g x f x mx =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．12,
e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()0,1
D ．1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
7．若函数()x
x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2a ≤
B ．1a ≤
C ．1a ≥
D ．2a ≥
8．函数()3
2
2
f x x ax bx a =--+在1x =处有极值为10，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．-4
C ．-3
D ．-4或3
9．设函数()ln x
e f x x
=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 定义域是()0,∞+
B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方
C ．()f x 存在单调递增区间
D ．()f x 有且仅有一个极值点
二．多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题，共20分） 限时：10min
3 10．若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为( ) A ．2 B ．1 C ．0
D ．1-
11．设函数2()ln =+f x x x x 的导函数为()'f x ，则（ ） A ．1()0f e
'= B ．1
=
x e
是()f x 的极值点 C ．()f x 存在零点 D ．()f x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增
12．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点(1,)P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值可以是（ ） A ．0 B ．
1
27
C ．
128
D ．
129
13．函数()ln x
f x x e =-的图象在点()()
1,1f 处的切线方程是______．
14．已知函数()x
f x x e -=⋅，()2
1ln 2
g x x x a =
-+，若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______.
15．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()>0xf x f x '-，且()10f =，则()0f x <的解集为______.
16．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________.
三．填空题（每题5分，4题，共20分） 限时：10min。

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