古典概型举例
1-4-等可能概型(古典概型)
解： 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 (365 64 1) . 64 365
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 (365 64 1) 0.997. 1 64 365
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
为 E 的任意一个事件，且包含 k 个样本点，则事
件 A 出现的概率记为:
k A 所包含样本点的个数 P( A) . n 样本点总数
称此为概率的古典定义.
讲评
对于古典概型应注意以下几点：
(1) 古典概型是学习概率统计的基础，因此它是非
常重要的概率模型；
(2) 计算古典概型概率时，首先要判断有限性和等
因此 P ( A 2 ) 7 8 .
3. 摸球问题
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球，现从袋中无 放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率. 解： A {摸得 2 只球都是白球 设 },
6 基本事件总数为 , 2
4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样
构成的。对于复杂问题只要求基本事件的总数n，
同时求出所讨论事件A包含的基本事件数k，再利
用公式计算出P(A)。
(3) 判断是否古典概型的关键是等可能性。有限性较
容易看出，但等可能性较难判定。
一般在包含有n个样本点的样本空间中，如果没 有理由认为某些基本事件发生的可能性与另一些基本
于排列与组合的基本知识，事件间的关系及运算亦
典型例题探究(古典概型)
［典型例题探究］规律发现【例1】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 分析：理解并运用各定义. 解：（1）这个试验的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；在一次试验中，所有可能发生的每一个基本结果，都称为一个基本事件.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.（2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.【例2】甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求： （1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.解决此类题目只要理清思路，按一定的顺序逐个写出产生的各种结果即可.当然要注意不重不漏问题.分析：研究此试验是否为古典概型，如果是，基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m 各为多少.解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C . 由图3－2－1容易得到：甲布剪锤O3－2－1 （1）平局含3个基本事件（图中的△）； （2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）； （3）乙赢含3个基本事件（图中的※）. 由古典概率的计算公式，可得 P （A ）3193==； P （B ）3193==； P （C ）3193==. 利用图示法可以简捷明了地求出基本事件数以及事件A 包含的基本事件数，它在概率问题中是一种常的方法.【例3】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.分析：（1）准确求出基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件个数m . （2）可采用列表的方法求m 、n . 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 . （2）两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.要做某一件事，如果需要分“步”进行，则需用乘法计算个数（或种数）. 其中共有36种不同情况，但数字之和却只有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365.请同学们思考，出现概率最大的数字和是多少?【例4】从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢?分析：对于较简单的事件可列举出事件总数n ，从而也可找出事件A 包含的基本事件个数.列表法也是求基本事件总数、事件A 包含的基本事件数的常用方法. 解：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 求基本事件总数时也常用列举法.Ω={（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次要注意“有放回抽取”和“无放回抽取”在求基本事件总数时取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}. 事件A 由4个基本事件组成.因而P （A ）3264==. （2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2），（b 1，b 1）}，由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}. 事件B 由4个基本事件组成，因而P （B ）=94. 的区别.。
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
概率论与数理统计：1.4等可能概型(古典概型)
一、等可能概型（古典概型）
1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含有限个元素; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有以上两个特点的试验称为等可能概型或 古典概型.
2.古典概型中事件概率的计算公式
设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为 E的任意一个事件 , 且包含 m 个样本点,则事件 A出现的概率记为:
P(A)
m n
A所包样含本样点本总点数的个数.
称此为概率的古典定义.
二、古典概型的求法举例
基本模型之一摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋
中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球 的概率.
解 设 A 摸得2只球都是白球
基本事件总数为 6×5 A所包含基本事件的个数为 4×3
解
（1）总的选法种数为
n
C3 10
.
最小号码为5的选法种数为
m
C2 5
故小号码为5的概率为
P
C52 C130
1 12
（2）最大号码为5的选法种数为
C2 4
故最大号码为5的概率为
P
C42 C130
1. 20
例2 有 5 双不同型号的鞋子, 从中任取4 只 ,求
下列各事件的概率 :
1 取出的 4 只鞋恰好为两双 ; 2 取出的 4 只鞋都是不同型号的; 3 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双 .
车祸 天
小结
最简单的随机现象 古典概型
古典概率
PA
m n
A所包样含本样点本总点数的个数.
解 设 A 取出的 4 只鞋恰好为两双 , B 取出的 4 只鞋都是不同型号的, C 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双.
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
摘要：
1.概论古典概型
2.古典概型的性质与运算
3.例题解析
4.总结
正文：
一、概论古典概型
古典概型是概率论中的一个基本概念，主要用于描述随机试验的结果。
古典概型假设每个试验的结果都是等可能的，即每个结果的概率相等。
古典概型可以应用于各种实际问题，例如掷骰子、抽取扑克牌等。
二、古典概型的性质与运算
1.性质
古典概型的性质主要体现在以下几点：
（1）每个结果的概率相等。
（2）所有可能结果的概率和为1。
（3）任意两个结果的概率和可以表示为它们交集的概率。
2.运算
古典概型的运算主要包括加法和乘法。
（1）加法：对于两个古典概型A 和B，若它们是互斥的，即A 和B 没有相同的结果，则A 和B 的并集的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（2）乘法：对于两个古典概型A 和B，若它们是独立的，即A 的结果不影响B 的结果，则A 和B 的交集的概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。
三、例题解析
例题：一个袋子里有3 个红球和2 个绿球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
解析：这是一个典型的古典概型问题。
根据古典概型的性质，抽到红球的概率为红球的个数除以总球数，即P(红球)=3/(3+2)=3/5。
四、总结
古典概型是概率论中的一个基本概念，它具有一些基本的性质和运算规律。
通过理解古典概型的概念和运算，我们可以解决许多实际问题。
古典概型及其概率计算公式
古典概型及其概率计算公式古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果只有有限个可能结果、这些结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，可以使用概率计算公式来计算特定事件发生的概率。
首先，我们来了解一下古典概型的基本概念和特点。
古典概型由以下两个要素组成：1.试验空间：试验的所有可能结果构成的集合，记为S。
例如，一次掷硬币的试验空间为S={正面，反面}。
2.事件：试验空间的子集，即试验的一些结果或一些结果组成的集合。
事件可以用大写字母A、B、C等表示。
在古典概型中，如果试验的所有可能结果有n个，且这些结果发生的概率相等，则每个结果发生的概率为1/n。
这种情况下，事件A的概率可以用以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)其中，n(A)表示事件A中的结果个数，n(S)表示试验的结果个数。
接下来，我们通过几个具体的例子来进一步理解和应用古典概型及其概率计算公式。
例子1：一枚骰子的掷出结果。
试验空间S={1,2,3,4,5,6}，共有6个可能的结果，每个结果发生的概率为1/6事件A：出现偶数点数；事件B：出现奇数点数。
n(A)=3，n(B)=3因此，事件A的概率为P(A)=n(A)/n(S)=3/6=1/2；事件B的概率为P(B)=n(B)/n(S)=3/6=1/2例子2：一副扑克牌中抽出一张牌的结果。
试验空间S={52张不同的牌}，共有52个可能的结果，每个结果发生的概率为1/52事件A：抽出一张红心牌；事件B：抽出一张大于10的牌。
n(A)=26，n(B)=16因此，事件A的概率为P(A)=n(A)/n(S)=26/52=1/2；事件B的概率为P(B)=n(B)/n(S)=16/52=4/13例子3：一个有5个不同颜色的球的盒子中抽出3个球的结果。
试验空间S={所有可能的颜色组合}，共有C(5,3)=10个可能的结果，每个结果发生的概率为1/10。
事件A：抽出的3个球颜色不相同。
n(A)=C(5,3)=10。
古典概型(原卷版)
10.1.3 古典概型1 概率对随机大事发生可能性大小的度量〔数值〕称为大事的概率，大事A的概率用P(A)表示.【例】掷一个硬币，大事A为硬币消失的是正面，那么P(A)=12.2 古典概型的特点①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.满意以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.【例1】“在1,2,3,4,5中取2个数，其差为1概率〞属于古典概型，由于试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等；【例2】“在区间[1,5]中取2个数，其差为1概率〞不属于古典概型，由于试验的结果有无限种可能；【例3】“贵哥投篮中与否〞不属于古典概型，由于中与不中的可能性相等.3 古典概型大事A的概率(1) 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，大事A包含其中的k个样本点，那么定义大事A的概率P(A)=n(A) n(Ω)其中n(A)和n(Ω)分别表示大事A和样本空间Ω包含的样本点个数.【例】掷一个骰子，大事A=“点数为奇数〞，那么n(Ω)=6，n(A)=3，P(A)=n(A)n(Ω)=36=12.(2) 求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观看的结果，用适当的符号〔字母、数字、数组等〕表示试验的可能结果〔借助图表可以关心我们不重不漏地列出全部的可能结果〕；②依据实际问题情境推断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及大事A包含的样本点个数，求出大事A的概率.【题型1】古典概型的概念【典题1】以下概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，…，9，10中任取一个整数，求取到1的概率；③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④抛掷一枚质地不匀称的骰子，求向上点数为3的概率．A．1B．2C．3D．4【稳固练习】1.以下是古典概型的个数有()①1≤x≤9且x∈Z，从x中任取一个数，那么满意2<x≤5的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；③近一周中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．A．1B．2C．3D．42.以下试验中，为古典概型的是()A．种下一粒种子，他是否发芽B．从规格质量为59千克的产品中任意抽取一袋，其是否合格C．抛掷一枚硬币，观看其消失正面还是反面D．某人射击中靶或不中靶【题型2】求古典概型概率【典题1】如图是一个古典概型的样本空间Ω和大事A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，以下运算结果，正确的有()A．n(AB)=4B．P(AB)=16C．P(A⋃B)=23D．P(A B̅)=12【典题2】假设连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，那么点P落在区域|x−2|+|y−2|⩽2内的概率是.【典题3】将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【稳固练习】1.从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参与数学竞赛，其中甲被选中的概率是()A ．13B ．12C ．23D ．352.先后抛掷两枚骰子，设消失的点数之和是8，7，6的概率依次为P 1，P 2，P 3，那么( )A ．P 1=P 2<P 3B ．P 3<P 2<P 1C ．P 3=P 1<P 2D ．P 3=P 1>P 23.从集合A ={−1，12，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ={12，32，2}中随机选取一个数记为a ，那么a k >1的概率为( ) A ．13B ．23C ．79D ．594.抛掷两颗质地匀称的正方体骰子，登记骰子朝上面的点数．设A =“两个点数之和等于8〞，B =“至少有一颗骰子的点数为5〞，那么大事A ∪B 的概率是( ) A ．118B ．29C ．718D ．495.数学与文学有很多奇异的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫〞，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，那么三位数的回文数中为偶数的概率是( ) A ．19B ．29C ．13D ．496.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A 1,A 2，4个黑球记为B 1,B 2,B 3，B 4，从中一次摸出2个球．(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率．7.调查某校高三班级500名同学的肥胖状况，得到下表：从这批同学中随机抽取1名同学，抽到偏瘦女生的概率为0.1．(1)求x的值；(2)假设用分层抽样的方法，从这批同学中随机抽取50名，问应在偏胖同学中抽多少名？(3)y≥46，z≥46，求偏胖同学中男生人数大于女生人数的概率．8.从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x，y)，x为第一次取到的数字，y为其次次取到的数字．设大事A=“第一次取出的数字是1〞，B=“其次次取出的数字是2〞．(1)写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；(2)推断A与B是否为互斥大事，并求P(A∪B)；(3)写出一个大事C，使A⊆C成立．【A组根底题】1.以下古典概型的说法中正确的个数是()①试验中全部可能消失的根本领件只有有限个；②每个大事消失的可能性相等；③根本领件的总数为n，随机大事A包含k个根本领件，那么P(A)=kn；④每个根本领件消失的可能性相等．A．1B．2C．3D．42.以下试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[−1，5]上任取一个实数x，使x2−3x+2>0C．抛一枚质地匀称的硬币，观看其消失正面或反面D．某人射击中靶或不中靶3.掷一枚匀称的硬币两次，大事M={一次正面对上，一次反面对上}；大事N={至少一次正面对上}．以下结果正确的选项是()A．P(M)=13,P(N)=12B．P(M)=12,P(N)=34C．P(M)=13,P(N)=34D．P(M)=12,P(N)=124. 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.5D.0.8755.(多项选择)甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，大事A为“抽取的两个小球标号之和大于4〞，大事B为“抽取的两个小球标号之积小于5〞，那么以下结论正确的选项是() A．A与B是互斥大事B．A与B不是对立大事C．Ω=A∪B D．P(A)+P(B)=986.将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，假设第一次朝上一面的点数为a，其次次朝上一面的点数为b，那么函数y=ax2−2bx+1在(−∞，2]上为减函数的概率是．7.经过某十字路口的汽车，它可能连续直行，也可能向左转或向右转，假如这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．8.有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用(x，y)表示试验的样本点，其中x表示第一次取出的根本结果，y表示其次次取出的根本结果．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用A表示大事“第一次取出的球的数字是1〞；用B表示大事“两次取出的球的数字之和是4〞，求证：P(AB)=P(A)P(B)．9.将一枚骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，求：(1)两数之和为6的概率；(2)两数之和是3的倍数的概率；(3)两数之积是6的倍数的概率；(4)以第一次向上的点数为横坐标x、其次次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2+y2=25的内部的概率．10.将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【B组提高题】1.一个正方体，它的外表涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为()A．16117B．32117C．839D．1639。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
古典概型(等可能概型)
P(C )
=
⎜⎜⎝⎛
n mΒιβλιοθήκη ⎟⎟⎠⎞(N
−1)n−m
Nn
=
⎜⎜⎝⎛
n m
⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛
1 N
⎟⎞m ⎠
⎜⎛1 − ⎝
1 N
⎟⎞ n−m ⎠
4、配对问题 例. 设有带号码1,2,3,4的四件物品，任意的放在标有1,2,3,4的 空格中，问恰好没有一件物品与所占空格号码想一致的概率 是多少？至少有一件物品与它所占的空格号码想一致的概率 又为多少？
例. 从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个
数以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数， 求系列事件的概率：
（1）A1={7个数全部相同} （2）A2={不含10和1} （3）A3={10恰好出现两次} （4）A4={10至少出现两次}
解:
P( A1)
=
P7 10
=
189
≈ 0.06048
§1.3 古典概型（等可能概型）
一、古典概型的概念 1、古典概型的定义 2、古典概型计算公式
二、古典概型举例 1、随机取数问题 2、抽球问题 3、质点入盒问题（分房问题） 4、配对问题
§1.3古典概型（等可能概型）
一、古典概型的概念
1、古典概型的定义
设试验具有下述两特点： 1°试验的样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
A A A 解 : P(A) =
3 + 4×8×
9 4
10
2
8 = 0.4556
A 因为从十个数字中不重复任取四个的取法总数为 4 , 10
A 而0在个位的四位数共有 3 种取法,而个位为2,4,6,8, 9
A 且首位不为0的取法数为4 × 8 × 2 种 D 8
古典概型例子
古典概型例子
1. 比如说掷骰子，这多经典啊！你想想，骰子那六个面，掷出每个点数的机会不就是均等的嘛，这就是典型的古典概型呀！
2. 抽奖的时候也一样呀！那一堆奖券放在箱子里，你随手一抽，和别人抽到大奖的概率理论上是一样的。
哎呀，想想都有点小紧张呢！
3. 抛硬币算吧，正面和反面出现的概率相等，这就好像人生的选择，有时候真不知道会抛出个啥结果来！
4. 从一副牌里抽一张牌，每种牌被抽到的概率也符合古典概型呢。
嘿，可别小瞧这抽牌，有时候能决定游戏的胜负哦！
5. 选彩票号码也是哦，每个号码出现的可能性都一样，虽然中大奖很难，但也是古典概型的体现呀，说不定哪天好运就砸到你头上了呢！
6. 还记得小时候玩的转转盘游戏不？转到不同区域的概率，那也是古典概型呀，当时玩得多开心啊！
7. 抓阄决定顺序也类似呀，大家机会均等，真公平呀，就看谁运气好了！
8. 把不同颜色的球放在一个袋子里，伸手去摸一个球，摸到特定颜色球的概率不就是古典概型嘛，你说神奇不神奇！
9. 猜硬币正反的游戏，多简单但又多能说明古典概型啊。
天哪，生活中到处都是古典概型的例子呀！
我的观点结论就是：古典概型在我们生活中无处不在，很多看似平常的事情都蕴含着它的原理。
古典概型典例精讲
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A （1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A = （3）所有基本事件的并事件为必然事件由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++ 因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++= 4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为1n证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A === ()()()121n P A P A P A +++= 所以可得()1i P A n=6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个（2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个数()n A 占基本事件空间的总数()n Ω的比例进行表示，即()()()n A P A n =Ω7、运用古典概型解题的步骤：①确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件②()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
古典概型的几个例子
古典概型的几个例子
古典概型是一种文学模式，它描述了一个人物在一个特定的情境中所经历的变化。
它是一种普遍的文学模式，可以在许多文学作品中找到，包括古典文学、浪漫主义文学和现代文学。
其中一个最常见的古典概型是“英雄的旅程”，它描述了一个英雄从一个普通的人物发展成为一个英雄的过程。
这个概念可以追溯到古希腊神话，其中许多英雄都经历了一段令人难以置信的旅程，从而成为英雄。
例如，希腊神话中的阿喀琉斯，他经历了一段令人难以置信的旅程，从而成为希腊最伟大的英雄。
另一个古典概型是“失去与恢复”，它描述了一个人物在一段时间内失去一些重要的东西，然后在一段时间内恢复这些东西。
这个概念可以追溯到古希腊神话，其中许多英雄都经历了失去和恢复的过程。
例如，希腊神话中的阿喀琉斯，他失去了他的家园，但最终他恢复了他的家园，并成为希腊最伟大的英雄。
另一个古典概型是“反抗与接受”，它描述了一个人物最初反抗一些事物，但最终接受它们。
这个概念可以追溯到古希腊神话，其中许多英雄都经历了反抗和接受的过程。
例如，希腊神话中的阿喀琉斯，他最初反抗他的命运，但最终他接受了他的命运，并成为希腊最伟大的英雄。
总之，古典概型是一种普遍的文学模式，可以在许多文学作品中找到，包括古典文学、浪漫主义文学和现代文学。
它们描述了一个人物在一个特定的情境中所经历的变化，包括“英雄的旅程”、“失去与恢复”和“反抗与接受”等。
古典概型是一种普遍的文学模式，它们可以帮助我们更好地理解文学作品，并从中获得更多的启发。
第四节古典概型
C
0 26
从而:
P(B)
k n
C
1 4
C
2 26
C
2 4
C
1 26
C
3 30
C
3 4
C
0 26
1460 0.36 4060
概率统计
例2. 有 0,1,29 十个数字, 现从中任取 6 个不同
的数 求： 能排成一个六位数是偶数的概率
解: 设事件A： “排成的六位数是偶数”
由题意可知:它的样本空间元素是有限个,并且 每个基本事件发生的可能性也是相同的。
例5 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号
1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有
多少投法？
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
n个元素
因为：C
r1 n
C r2 n r1
C rrkk
n! r1!r2!rk !
概率统计
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
N
A99 A33
A96
60480
概率统计
引申：有三人从左到右顺序一定；
分析：N
C93
A99 A33
C93 A96
5080320
点评：定序问题除法处理
古典概型与几何概型知识点总结
古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中最基础的概率模型，它们分别适用于简单事件和几何事件的计算。
以下是古典概型和几何概型的知识点总结：一、古典概型：1.古典概型是指事件的样本空间具有有限个数的元素，样本点的概率相等。
2.样本空间是指实验中所有可能的结果的集合，例如掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3.事件是样本空间的子集，例如“掷一枚骰子，出现的点数为偶数”的事件为{2,4,6}。
4.古典概型的概率计算公式为：P(A)=n(A)/n(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，n(A)为事件A包含的样本点个数，n(S)为样本空间的样本点个数。
5.古典概型的概率计算要求样本点的概率相等，且样本点的个数有限。
二、几何概型：1.几何概型是指事件的样本空间是一个几何图形，而不是有限个元素。
2.在几何概型中，事件的概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
3.几何概型的概率计算需要使用几何图形的面积或体积的计算方法，例如计算矩形的面积为长乘以宽，计算圆的面积为π乘以半径的平方。
4.几何概型可以应用于连续变量的概率计算，例如计算一些范围内的事件发生的概率。
5.几何概型的概率计算要求事件与样本空间之间存在其中一种几何关系，例如事件发生的可能性与事件所占的几何图形的面积或体积成正比。
综上所述，古典概型适用于简单事件且样本空间的样本点个数有限的情况，其概率计算公式为P(A)=n(A)/n(S)；几何概型适用于事件的样本空间是一个几何图形的情况，概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
掌握古典概型和几何概型的知识点，能够帮助我们更好地理解和计算事件的概率，为概率论的进一步学习奠定基础。
古典概型的计算公式
古典概型的计算公式好的，以下是为您生成的关于“古典概型的计算公式”的文章：在咱们学习概率的这个大天地里，古典概型那可是个相当重要的角色。
要说这古典概型的计算公式，就像是打开概率世界大门的一把神奇钥匙。
先来说说啥是古典概型。
想象一下，咱有一个抽奖箱，里面的奖券数量有限，而且每张奖券被抽到的可能性都相等，这就是古典概型的一个简单例子。
古典概型的计算公式是：P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件A 发生的概率，n(A) 是事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 则是样本空间Ω包含的基本事件总数。
比如说，咱有一个盒子，里面装着 5 个红球和 3 个白球。
现在从盒子里随机摸一个球，摸到红球的概率是多少？这时候，样本空间Ω就是 8 个球，事件 A 就是摸到红球，红球有 5 个，所以摸到红球的概率P(A) 就是 5÷8 = 5/8 。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷糊地问我：“老师，这公式咋用啊？感觉好难！”我就跟他说：“别着急，咱来做个小游戏。
” 于是我拿出一堆卡片，上面写着不同的数字，然后跟他说：“咱们就假设从这里面随机抽一张，抽到数字3 的概率是多少？” 我们一起数了数总共有 20 张卡片，其中写着数字 3 的有 4 张。
然后按照公式，他自己算出了抽到数字 3 的概率是 4÷20 = 1/5 。
那小同学一下子就乐了，说：“原来这么简单呀！”再举个例子，咱扔骰子。
一个标准的骰子，扔一次，扔出 4 的概率是多少？这骰子一共 6 个面，也就是 6 种可能，而 4 就那一个面，所以扔出 4 的概率就是 1÷6 = 1/6 。
还有像从一副扑克牌里抽一张黑桃的概率，咱们知道扑克牌一共 54 张，其中黑桃 13 张，所以抽到黑桃的概率就是 13÷54 。
总之啊，古典概型的计算公式虽然看起来简单，但是要真正理解透，用得灵活，还得多做练习，多去实际的例子里感受感受。
古典概型
例5： 1) A发生而B与C都不发生可以表示为：
ABC或A B C或A B C
2) A与B都发生而C不发生可以表示为：
ABC或AB C或AB ABC
3) 所有这三个事件都发生可以表示为：
ABC
4) 这三个事件恰好发生一个可以表示为：
ABC ABC ABC
5) 这三个事件恰好发生两个可以表示为：
等可能概率模型（古典概型）
等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机 现象具有下列两个特征： (1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬 如为 n个，记为e1，e2，…,en，而且这些事件是两两互不 相容的； (2)事件｛ei｝（i=1,2, …n)的发生或出现是等可能的， 即它们发生的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的 概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模 型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位， 它具有简单、直观的特点，且应用广泛。
随机事件
试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简 称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。
基本事件（简单事件）、复合事件
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两 个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。
必然事件、不可能事件
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集， 在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的 子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
A B C A B C ;
A B C A B A C ; A B A B; A B A B。
高中数学古典概型-典型例题
古典概型-典型例题规律发现【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率.分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个.解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为1001. 【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率.分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同.解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为1001. 【例3】从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂.（1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4个基本事件.因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为3264 . 解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），共2个.因此结果与解法一相同.（2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a ，a ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观.这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系.建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答.每次摸出一球是有顺序的，（a ，b ）与（b ，a ）不同.可不考虑顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）可认为相同.结果（a ，a ）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能.个基本事件.因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为94. 互斥事件规律发现【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的一等品”，事件B =“抽到的二等品”，事件C ＝“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05.求下列事件的概率. （1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”； （2）事件E =“抽到的是二等品或三等品”. 分析：事件A 、B 、C 彼此互斥，且D =A +C ，E =B +C .解：（1）∵D =A +C ，且事件A 和C 互斥，P （A ）=0.7，P （C ）=0.05， ∴P （D ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ）=0.7+0.05=0.75. （2）∵事件E =B +C ，且事件B 和C 互斥，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，∴P （E ）=P （B +C ）=P （B ）+P （C ）=0.1+0.05=0.15. 【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员：（1）他至少参加2个小组的概率为多少? （2）他只参加1个小组的概率是多少?分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组.解：设事件A =“只参加英语小组”，B =“只参加音乐小组”，C =“只参加数学小组”，D =“只参加英语、音乐小组”，E =“只参加英语、数学小组”，F =“只参加音乐、数学小组”，G =“参加了英语、音乐、数学3个小组”.（1）设事件M =“他至少参加2个小组”，则M =D +E +F +G . ∵3个小组共有60人，且P （D ）=607，P （E ）=6011，P （F ）=6010，P （G ）=608， ∴P （M ）=P （D +E +F +G ）=P （D ）+P （E ）+P （F ）+P （G ）=6.0603660860106011607==+++. （2）设事件N =“他参加不超过2个小组”，则N =“他参加3个小组”=G .∴P （N ）=1－P （N ）=1－P （G ）=1－1513608=. 【例3】小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2、4、6、8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少?分析：密码只有1个，由2、4、6、8能组成多少个不同的四位利用互斥事件有一个发生的概率计算公式，首先确定是否是互斥事件.英语 音乐数学6881010117首先确定某个事件由哪些互斥事件组成，或确定它的对立事件，然后求出各事件的概率.把整个事件彻底分解，所求事件中有几个互斥事件则一目了然.也可用M 的对立事件M 求，即P （M ）=1－P （M ）.用对立事件求比较简单.“打开锁”与“打不开锁”是对立事件，因此可用“打开锁”的概率表示“打不开锁”的概率.也可直接求P （A ）=2423.数呢?用树状图分析知有4×3×2=24（个）.解：设事件A =“由2、4、6、8组成的四位数不是开锁密码”，而由2、4、6、8组成的所有四位数有4×3×2=24个，且P （A ）=241. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－241=2423，即小明随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率为2423.【例4】班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等.指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1、2、3、4、5，其中1、2、3号是男生，4、5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：①独唱和朗诵是由同一个人表演的概率；②取出的2人不全是男生的概率.分析：为了得到从5张卡片中连续抽取2张的所有结果，利用树状图列出，所有情况直观显现，有助于下面问题的解决.在第（2）题中也可用树状图表示，由于它是放回抽取，也可用有序数组的方式一一列举出.解：（1）首先利用树状图列举所有可能结果如下：1112222333344455555,,,,. 由图可看出所有可能结果数为20.每个结果出现的可能性相同，属古典概型.方法一：设A 1=“2人中恰有1人是女生”，A 2=“2人都是女生”，A =“2人不全是男生”，则A =A 1+A 2.由树状图易知P （A 1）=2012，P （A 2）=202，且A 1与A 2是互斥事件， ∴P （A ）=P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=2012+202=107=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.方法二：设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=206=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2个不全是男生的概率为0.7.方法三：不考虑抽取的顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）相同，则要认真阅读题目内容，明确题目的条件和要求，这是解题的关键第一步. 有多少种不同抽法，可用树状图表示.利用树状图进行列举是常用的方法.也可用有序数组列举：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20个.通过A 的对立事件A 求P （A ）.最后考虑的是结果，可不考虑顺序.所有可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种.易知这也属于古典概型.设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=103=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）利用有序数组的方式列出所有结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.①设事件A =“独唱和朗诵由同一个人表演”，则P （A ）=255=0.2，即独唱和朗诵由同一个人表演的概率为0.2.②设事件A =“有放回抽取，取出的两人不全是男生”，则A =“有放回抽取，取出的两人全是男生”，且P （A ）=259， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－259=0.64，即有放回地抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.64.【例5】10件产品中有两件次品，任取两件检验，求下列事件的概率（不放回抽取）.（1）至少有1件是次品； （2）最多有1件是次品.分析：可用树状图列出所有结果，从正面回答，不如从反面解决快捷.解：由树状图可知，共有90种可能结果.（1）设事件A =“至少有1件是次品”，则A =“没有次品”，且P （A ）=9056. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－45179056=，即至少有1件是次品的概率为4517. （2）设事件A =“最多有1件是次品”，则A ＝“2件都是次品”，且P （A ）=902. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－4544902=，即最多有1件是次品的概率为4544. 这是放回抽取，也可用树状图，如112345也可从正面直接解答,A 中含有两个互斥事件：“2人是一名男生和一名女生”和“2人都是女生”.列树状图要列10组,每组中有9个结果,共90个结果,通过想象可解决问题.也可从不考虑顺序的角度求解.。
古典概型的例子
古典概型的例子
- 投掷一个质地均匀、形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是1/2。
这是因为硬币的质地均匀，形状规范，所以每一面出现的概率都是相等的。
- 袋中有5个球，其中3个为白球，2个为黄球，设取到每一球的可能性相等。
从袋中随机取一球，取到白球的概率为3/5；从袋中不放回取两球，两个都是白球的概率为3/10。
- 足球场内23个人（双方队员11人加1名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大。
总样本空间有365的23次方个样本个数，而任何两人生日不同的事件样本数位365×364×…×（365-22）。
这些例子都具有有限的可能性，并且每个基本结果发生的概率是相同的，这就是古典概型的特点。
古典概型
蹈、插花、茶道，由于报选修课的人数众多，该职业学校采取随机抽签的方式确定课程。 （1）若小红打算报1门课，求她恰抽到插花课的概率； （2）若小红打算报2门课，求她恰抽到插花课的概率；
例-5：某职业学校开设的艺术类选修课有7门，分别为绘画、书法、钢琴、唱歌、舞
解： （1） 随机事件：
从 7 门选修课中 1 门，则共有 7 种情况。
A. 抛掷硬币
B. 投掷骰子
C.
选派代表
D. 幸运抽奖
古典概型的概率计算公式：
例-2：随机抛掷一枚骰子，记事件E：显示点数为6的情况，求其概率。
例-3：求随机抛掷一枚骰子显示点数大于4的概率。
解：
随机事件： 抛掷一枚骰子显示点数可能为1、2、3、4、5、6六种情况，
事件 E： 所以点数大于4的概率
选插花课事件 A： 选修插花课，则有 1 种情况。 则恰抽到插花课的概率为
（2） 随机事件：
从 7 门选修课中 2 门，则共有 种情况。
种情况。
选插花课事件 B： 选修插花课，则有 则恰抽到插花课的概率为
中随机抽取3人组成志愿者服务团队，求小明和小李都被选中的概率。（保留0.01）
ห้องสมุดไป่ตู้
例-6：某职业学校的学生积极参与志愿者活动，在某次志愿者招募中，要从10人
随机事件： 10人中选3人，则共有 个基本事件。 种选派情况 。
解：
选派事件 E：选派3人中包含小明、小李的，则共有 则小明和小李都被选中的概率
课堂总结 1、概率
2、古典概型
古典概型的概率计算公式 可能性
3、概率性质
布置作业
必做题：练习册 选做题：练习册 P30 P32
12-1-2 古典概型
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第三讲
等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法 小结
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
概率论
定义 1
若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
有许多问题和本例有相同的数学模型。
概率论
如，假设每人的生日在一年365天中的 任一天是等可能的，即都是1/365，那么随 （ 机选取n n 365） 个人
则每个人生日各不相同的概率为
365 364 (365 n 1) n 365
n个人中至少有两人生日相同的概率为
365 364 (365 n 1) 1－ n 365
2 9
所以
CC 9 3 9 PC 2 . C12 12 11 22 21
1 9 1 3
例3、将n只球随机地放入N ( N n) 个盒子 中去，试求每个盒子中至多有一只球的概率 （设盒子的容量不限）。
概率论
解：将n只球随机地放入N个盒子中去，
每一种放法是一个基本事件，每一只球都可以放入 N个盒子中的任一个盒子，一共有Nn不同的放法， 即样本空间所含基本事件数为Nn
有趣的是，当n=23时，至少有2人同一天过生日的概率 大于0.5；而当n=50时，至少有2人的生日是同一天的概率 为0.97。也就是说，如果随机地产生的50个人聚在一起， 则他们中至少有2人的生日在同一天的可能性很大。
例1.5 设在10张卡片上分别定有字母A，C，I，I， S，S，S，T，T，T；将10张卡片随意排成一列，求恰好 排成英文单词STATISTICS（统计学）的概率。 解
解
本例可以用古典概型公式，也可以用减法公式。 B8={此数不含8}
设 B6={此数不含6}
故
A=B8－B6
注意到所得数的千位数字不能是0，由古典概型公式得
8 93 P( B8 ) 9 103
因此，由减法公式，得
7 83 P( B6 B8 ) 9 103
P( A) P( B8 B6 ) P( B8 ) P( B6 B8 )
解 设事件A＝“发往同一地区的车皮恰好相邻” 设事件Bi＝“发往Ei地区的车皮恰好相邻” (i=1,2,3) 已知发往3个地区的共有9节车皮，这样随机编组时，共 有9！种不同的排法，即样本空间的基本事件数为n=9！ 将发往E1、 E2、 E3地区的的车皮统一编组（相当于把发 往各地的车皮看作一个整体，这样就是3个物体），且发往 同一地的车皮恰好相邻共有3！＝6种不情形。其中每一种情 形对应B1，B2，B3的一种排列
所以
(n 1)!m m P ( A) n! n
这说明了无论是放回抽样还是不放回抽样，抽到红球的 概率与哪次抽取无关，只与红球所占的比例有关。教材中给 出另外 两种解法，供大家学习参考。
例1.7 假设某铁路编组站随机地发往三地E1，E2，E3 的各2、3、4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率。
每个盒子中至多放一只球，则一共有
概率论
N ( N 1) ( N n 1)
种不同的放法，即事件A所含的基本事件数为
N ( N 1) ( N n 1)
故
n ( N 1) ( N 2) ( N n 1) AN P( A) n n N N
B 第一次取得正品, 第二次取得次品, C 取得一件正品一件次品 ,
A 取得两件正品,
解 1 采取有放回抽样 . 从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 122.
即样本空间中所含的基本事件数为 122 . C1C1 92 . 事件 A 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 所以 P A 2 . 12 16 C1C1 9 3 . 事件 B 中所含有的基本事件数为 9 3 9 3 3 所以 P B 2 . 16 12 1 1 1 1 事件 C 中所含有的基本事件数为 C9 C3 C3C9 54 . 54 3 P C 2 . 所以 8 12
概率论
2 解 从箱子中任取两件产品 , 取法总数为 C12 . 2 C12 . 即试验的样本空间中所含有的基本事件总数为
事件 A 中所含有的基本事件数为 C . 98 2 C9 21 6 . 所以 P A 2 C12 12 11 11 21 1 1 事件 C 中所含有的基本事件数为 C9 C 3 .
8 93 7 83 2248 0.2498 3 3 3 9 10 9 10 9 10
例1.14 (一般加法公式) 假设四个人的学生证混放在 一起，现在将其随意地发给四个人．试求事件A＝{没有一 个人领到自己学生证}的概率p
解 设 Ak={第k个人恰好领到自己的学生证}(k = 1,2,3,4)． 则
P( A1 A2 A3 A4 )
四个人各领一个学生证总共有4!种不同情形．四个人中任 何两个人（例如第一个人和第二个人）都领到自己学生证总共 有1×1×2×1＝2 种不同情形（第一个人和第二个人各有一种选 择，对于第三个人剩下两种选择，对于第四个人最后只剩下一 种选择）．因此
概率论
事件 C 中所含有的基本事件数为
C1C1 C1 C1 9 3 3 9 . 9 3 3 9
9 3 39 9 P C . 12 11 22
所以
例3 从有 9 件正品 、 件次品的箱子中任取两件产 3 品 即一次抽取两件产品 , 求事件 A 取得两件正品 , C 取得一件正品一件次品 , 的概率 .
二、古典概型中事件概率的计算
概率论
设古典概型 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
又由于基本事件是两两互不相容的 . 于是
1 P S P e1 e 2 e n
即
P ( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
概率论
[ P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P ( A1 A4 ) P ( A2 A3 ) P( A2 A4 ) P( A3 A4 )]
[ P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A4 ) P( A1 A3 A4 ) P ( A2 A3 A4 )]
设事件A＝“10字母恰好排成STATISTICS”
概率论
由于从10
张卡片中任取一张进行排列，则样本空间所包含
的基本事件数：
n 10! 3628800
又所做的排列中，3张写有S的卡片交换位置有3！种不 同的排法、3张写有T的卡片交换位置有3！种不同的排法、 2张写有I的卡片交换位置有2！种不同的排法、，所以
每次取一件 , 试分别以 :
1 有放回抽样法 :即每次抽取的产品观察后放回 ; 2 不放回抽样法 :即每次抽取产品观察后不放回 ;
两种抽样方式求事件
A 取得两件正品 ,
B 第一次取得正品 , 第二次取得次品 ,
C 取得一件正品一件次品 ,
的概率 .
例2 从有 9 件正品、件次品的箱子中任取两次 , 每次取一件概率论 3
例1.10 某幼儿园小班有20位同年龄的儿童，求至 少两个儿童的生日不在同天的概率。
概率论
解 设A={至少有2人的生日不在同一天}，其对立事件为
A={20个人的生日在同一天}
则由上例的分析可知， 365 1 P ( A) 20 365 36519
1 P ( A) 1 P ( A) 1 1 19 365
事件A所包含的基本事件数：
于是
k 3! 3! 2! 72
3! 3! 2! 72 P ( A) 0.00001984 10! 36288000
概率论
实际推断原理 人们在长期的实践中总结得到：
“概率很小的事件在一次试验中 实际上是几乎不会发生的”
例1.6（简单随机抽样） 假设箱总共有n个球，其 中有m(0≤m≤n)个红球，其余的是白球。现在一个接一个 的从箱中抽球，试就放回和不放回两种方式，分别求第 k(0≤k≤n)次抽到红球的概率。
A 取得两件正品 ,
B 第一次取得正品 , 第二次取得次品 ,
概率论
C 取得一件正品一件次品 ,
2 采取不放回抽样 .
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 12 11 .
即样本空间中所含有的基本事件总数为 12 11 . 1 1 事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C8 9 8 . 98 6 . 所以 P A 12 11 11 事件 B 中所含有的基本事件数为 C1C1 9 3 . 9 3 9 3 9 所以 P B . 12 11 44
概率论
A A1 A2 A3 A4 由对偶律，得 A A1 A2 A3 A4 p P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 A3 A4 )
又，每个学生领到自己的学生证的概率都等于1/4，
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) 4 由四个事件的加法公式，有
概率论
显然，6种不同情形是等可能的，如其中一种可能是 B1B2B3，即“发往E1的2节车皮排在最前面，发往E2的3节车 皮排在中间，发往E3的4节车皮排在最后面”，则由于
发往E1地区的2节车皮如果恰好相邻，则有2！种排法； 发往E2地区的3节车皮如果恰好相邻，则有3！种排法；发 往E3地区的4节车皮如果恰好相邻，则有4！种排法；