1.8-角动量算符的本征方程及其解

3.角动量的球坐标表达式
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
可得：
Lˆx
=
ih(sin ϕ
∂
∂θ
+
ctgθ
cosϕ
∂
∂ϕ )

Lˆ y
=
ih(− cosϕ
∂
∂θ
+ ctgθ
sin ϕ
∂
∂ϕ )
Lˆz
=
−ih
∂
∂ϕ

一般地： E>0，E可取任意值
R(r) r→∞ ≠ 0
（电离态）
E<0， E = En，取特定值
Rn (r) r→∞ = 0 （束缚态）
（ⅱ）由于径向方程中只包含角量子数 l ，不包含磁量子数m。 E至少有 2l+1 重简并
ψ
E
nlm
=
(r,θ
Enl
,ϕ)
=
Rnl
(r)Ylm
(θ
,ϕ
)
（ⅲ）
ψ ~ Ylm (θ ,ϕ )
Lˆ2 Lz
− −
l(l + 1)h2 mh
确定值
Lx ,Ly
—— 一般没有确定值
特例：l = m = 0
Y00 =
1
4π
Lˆ x Y00 = 0 Lˆ y Y00 = 0
这说明 Y00 也是 Lˆ x Lˆ y 的本征态，本征值为零。
不对易的算符没有没有共同的本征函数系，但可以有个别的共 同本征函数。
Lˆ2ψ = (2IE)ψ
ψ
jm
= Y jm (θ ,ϕ) =N
Pm
jm j
(cosθ )eimϕ
2IE = J (J + 1)h2
刚性转子S方程解为：
ψ Jm =
EJ =
YJm (θ ,ϕ ) =
J (J + 1)h2 2I
N
Pm
Jm J
(cosθ
)eimϕ
m = 0, ±1, L, ± J ; J = 0, 1, 2L
Lˆ2Y (θ ,ϕ) = λh2Y (θ ,ϕ)
−
h
2

1 sin
θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin 2 θ
∂2
∂ϕ 2
Y
(θ
,ϕ
)
=
λh2Y (θ ,ϕ)
变量分离： Y (θ ,ϕ) = Θ(θ )Φ m (ϕ)
代入上式并注意到 : Φ m (ϕ) =
1
2π
e imϕ
Φ
'' m
四．中心力场中的粒子
1．中心力场的一般特点
定义：设粒子的质量为m ， V=V（r）
V (r) =
−α
r
1 ω 2r2
2 0 r<a ∞ r ≥ a
---库伦势 ---球谐振子（三维各向同性谐振） ---球方势箱
2
Hˆ = − h ∇2 + V (r) 2m
∇2
=
=
δδ mm' ll '
几个 l 取值较小的球谐函数 :
Y00 =
1
4π
Y11 =
3
8π
sin θe iϕ
Y1,−1 =
3
8π
sin θe −iϕ
Y22 =
15
32π
sin 2 θe2iϕ
Y10 =
3
4π
cosθ
Y21 =
15
8π
sin θ
cosϕeiϕ
Y20 =
5
16π
(3cos2 θ −1)
Y2,−2
得径向方程：
Lˆ2Ylm = l(l + 1)hYlm
1 r2
d dr
(r 2
dR ) + dr
2m h2 (E
− V (r)) −
l(l + 1) r 2 R
=
0
该方程与体系的边界条件一起决定能量的取值
（ⅰ）如已知 V（r）的具体形式，代入径向方程即可解得 R(r） 在解径向方程的同时，即得到参数E的可能取值——即定态能量。
l(l + 1)
α 角有一定的取值 ，经典α可连续变化
——空间量子化（spatial quantization）
实验证据： Zeeman效应（原子光谱在磁场中的分裂）： ①轨道磁矩与光场的作用；②变化是不连续的
Stern-Gerlach实验等（基态原子在不均匀电场中的偏转 同时证明电子自旋）
2．一个特例
得常微分方程:
dΦ
dϕ
=
imΦ
得:
Φ(ϕ) = Aeimϕ
--- 本征函数
由：
Φ(ϕ) = Aeimϕ
利用单值条件: Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π )
eim(ϕ +2π ) = eimϕ eim ⋅ 2π = eimϕ
即：
ei2mπ = 1
ei2mπ = cos 2mπ + i sin 2mπ = 1
Lˆ2
=
−h
2

1 sin
θ
∂
∂θ
(sinθ
∂
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2
∂ϕ 2
=

−h
2∇θ2
,ϕ

球坐标下 ：
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
(r
2
∂ ∂r
)
+
1
r 2 sinθ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r 2 sin 2 θ
∂2
∂ϕ 2
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
(r
2
∂ ∂r
)
−
Lˆ2 r2h2
(ϕ
)
=
−m
2Φ
m
(ϕ
)
得：
Φ
m
(ϕ
)−
h
2

1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂
∂θ
)
+
− m2
sin 2 θ
Θ(θ
)
=
λh2Θ(θ )Φm (ϕ)
约去两边的公共项，变形得：
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
Θ(θ ) + (λ
−
m2 sin 2
θ
)Θ(θ
)
=
0
令：
u = cosθ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Lˆ y Lˆ z Lˆ2
, , ,
Lˆ z Lˆ x Lˆ x
= ihLˆx = ihLˆ y = Lˆ2 , Lˆ y
=
Lˆ2 , Lˆz
=0
量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量
[ ] Lˆ2, Lˆz = 0 ---- 有共同本征函数完备系
l = 0, 1, 2, L m = 0, ±1, ± 2, L, ± l
——球谐函数
——归一化因子 ——角量子数 ——磁量子数
*球谐函数是角动量和z分量的共同本征函数。全部球谐函数构 成一个正交归一的完备集合。
*正交归一性：
∫ ∫2π 0
π
Y*
0 l'm'
(θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ) sinθdθdϕ
l(l + 1)h2 2mr 2
—— “离心能”，离心能对能量为一正的贡献 。 l 越大，角动量越大，离心势能越大，能级越高。
五．双粒子刚性转子
刚性：
r
0
不变，V=0
经典（刚体转动）： T = 1 Iω 2 = L2
2
2I
算符化：
Hˆ = Lˆ2 2I
S方程： 即： 其解为：
Lˆ2 ψ = Eψ
2I
u ≤1
①式
①式为：
d du
(1
−
u
2
)
dΘ du

+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
(1
−
u
2
)
d 2Θ du 2
−
2u
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
---- 缔合legendre方程，它的解是一个特殊函数，即缔 合legendre多项式，
解法（大意）：
①:奇点附近的渐近解： u = ±1
v Lx
=
(−ih)(
y
∂ ∂z
−
z
∂ ∂y
)
Lv
y
= (−ih)(z
∂ ∂x
−
x
∂ ∂z
)
v Lz
=
(−ih)(x
∂ ∂y
−
∂ y ∂x )
定义角动量平方
Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z
容易验证它们都是线性厄米的
2. 对易关系
[ ]

Lˆ
x
,
Lˆ
y
= ihLˆz
v=0
得到系数递推公式：
av+2
=
(v
+
m )(v + m + 1) − (v + 1)(v + 2)
λ
av
③但是，可以证明，当 u→ ± 1 时，级数不收敛
让级数截止到有限次，即
ak ≠ 0
ak+2 = 0
这要求递推公式的分子为0:
λ = (k + m )(k + m + 1)
14243 14243
§1.8 轨道角动量的本征方程及其解
应用：原子结构、配位场理论、分子转动、分子散射（反应动力学）
一、定义：对易关系
1. 轨道角动量算符及其分量算符
经典表达式:
r L
=
rr
×
pr
算符化:
Lvˆ = rrˆ × (−ih∇)
rrr i jk Lrˆ = −ih x y z ∂∂∂
∂x ∂y ∂z
角动量
二．本征方程及其解
Lˆ2 , Lˆ z
--- 共同本征函数完备系
本征方程：
LLˆˆ2zYY
(θ (θ
,ϕ ,ϕ
) )
= =
λh2Y (θ ,ϕ) mhY (θ ,ϕ)
1. Lˆz 的本征方程：
LˆzY (θ ,ϕ) = mhY (θ ,ϕ)
或
−
ih
∂
∂ϕ
Y(θ
,ϕ
)
=
mhY(θ
,ϕ)
分离变量： Y(θ ,ϕ ) = Θ(θ )Φ(ϕ )
= ___ sin 2 θe−2iϕ
Y2,−1 = ___ sinθ cosϕe−iϕ
三．讨论
1、角动量量子化
角动量的大小是量子化的:
r L
=
l(l + 1)h,l = 0,1,2L
角动量的分量是量子化的 :
Lz = mh2, m = 0, ± 1,L, ± l; ( m ≤ l)
—— 2l +1个分立的数值 cosα = m
l
l +1
l ≥ m
l
=
0,1,2......
这样得到一系列多项式，称缔合legendre多项式
得：
Θ ∝ Pl m (u)
= Байду номын сангаасl m (cosθ )
---缔合legendre函数
利用：
∫π o
Pl m
(cosθ
)
Pl
m '
(cosθ ) sinθdθ
=
2 (2l + 1)
(l (l
+ −
u → +1
m
Θ → (1 − u) 2
u → −1
m
Θ → (1 + u) 2
②令
∑ m
m∞
Θ = (1 + u) 2 (1 − u) 2 avu v
v=0
代入原方程：
∑ { [ ] ∞ u v av+2 (v + 2)(v + 1) − av v(v −1) + 2( m + 1)v + av (λ − m − m2 )} = 0
故m为整数，m = 0，±1，±2， ±3，……
归一化: 得： 结果：
∫ ∫ 2π Φ 2 dϕ = A2 2π eimϕ 2 dϕ = A2 2π = 1
0
0
A=
1
2π
Φ m (ϕ) =
Lz = mh
1
2π
e imϕ
m = 0，±1，±2， ±3，…… m 是量子化的，称为磁量子数
2. Lˆ2 的本征方程
*
E
J
——2J+1
重简并
双粒子刚性转子能级只与J有关，m决定角动量矢量的空间取向。
m )!δ
m )! ll'
可以定义一个归一化的函数：
Θlm (θ ) =
2l + 1 2
(l (l
− +
m )! m )!Pl
m
(cosθ
)
( m ≤ l)
*
∫π 0
Θ lm
2
sin θdθ
=1
3.结果
YLLNˆˆl2zmYlYm(llθmm=((,θθϕ,,)ϕϕ2=4l))π+=N=1llmm(((Plllhl++−Yml1m(mm)c(hθo))2!!s,Yϕθlm))(eθim,ϕϕ )
(r 2
∂ ∂r
)
−
Lˆ2 h2r2
Hˆ 与角动量有共同的本征函数，角动量本征函数已知 分离变量： ψ (r,θ ,ϕ) = R(r)Ylm (θ ,ϕ)
−
2
h
2m

1 r2
∂ ∂r
r2
∂ ∂r
−
Lˆ2 h2r2

+ V (r)}R(r)Ylm (θ ,ϕ)
=
ER(r)Ylm (θ ,ϕ)
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——相互对易。
Lˆ2, Lˆz 不包含径向坐标 r 或者是对 r 的运算。
* 守恒量定义：
[ ] ∂∂Ftˆ = 0
Fˆ , Hˆ = 0
* 中心力场： Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——守恒量
2．中心力场径向方程
S—方程 Hˆψ = Eψ
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ ∂r
)
−
Lˆ2 h2r 2
2
Hˆ = − h ∇2 + V (r) 2m
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ ∂r
)
−
Lˆ2 h2r2
中心力场中的粒子满足：
[[ ]] [[ ]]
Lˆ2 Lˆz
, ,
∇2 ∇2
= =
Lˆ2,V (r) Lˆz ,V (r)
=0 =0