1.8-角动量算符的本征方程及其解
角动量算符
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ 13
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
讲解人：沈建其
第四章 量子力学中的力学量
本块内容广博，务必以自学为主。 自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。
– §1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 （§1 与§2可就所发曾谨言教程复印材料第三章学习）
§3 电子在库仑场中的运动 §4 氢原子 （用薛定谔方程再探氢原子，与Bohr半经典半量子理论思路不同） (§3和§4对照本ppt学习，学习其数学思路)
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对8 易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
角动量的本征值和本征态
究量子测量和量子态的演化。
在原子和分子物理中的应用
电子轨道角动量
在原子和分子物理中，电子绕原 子核运动的轨道角动量决定了电
子云的形状和取向。
原子光谱
角动量本征值的差异导致原子能级 的分裂，从而形成原子光谱的精细 结构。
分子振动与转动
分子的振动和转动模式与角动量密 切相关，角动量本征值和本征态有 助于理解分子的振动和转动能级。
矩阵对角化法
对于较复杂的系统，可以通过构造角动量算符的矩阵表示，并利用矩阵对角化方法求解本征值和本征态。这种方法适 用于有限维空间中的角动量算符。
微扰法
当系统受到微扰时，可以利用微扰理论求解角动量算符的本征值和本征态。这种方法适用于微扰较小且 基态已知的情况。
本征态的物理意义
01
角动量本征态描述了物体绕某点旋转的量子化状态。不同的本征态对应不同的 旋转状态，具有不同的角动量大小和方向。
角动量的本征值和本 征态
目录
• 引言 • 角动量的本征值 • 角动量的本征态 • 角动量本征值和本征态的应用 • 角动量本征值和本征态的实验研究 • 结论和展望
01
引言
角动量的定义和性质
角动量是一个物体绕着某点旋转时所具有的动量，它是一个矢量，其方向垂直于旋 转平面，大小等于物体的质量与其到旋转中心的距离和角速度的乘积。
在固体物理中的应用
晶体对称性
固体物理中，晶体的对称性与角动量密切相关，角动量本征态可用于描述晶体的对称性质。
磁性与自旋
固体中的磁性现象与电子自旋密切相关，自旋是角动量的一种表现。角动量本征值和本征态在研 究固体磁性时起到重要作用。
能带结构与电子输运
在固体物理中，角动量影响电子在晶体中的运动，从而影响固体的能带结构和电子输运性质。
第08讲角动量本征方程的解
第09-11讲 角动量本征方程的解一、角动量和角总动量算符的回忆刚体转子的薛定谔方程ψψE H = 中IMH 2ˆ =2 因此方程即是ψψE IM=2ˆ2 (Ⅱ-1) 整理后得ψψψ22ˆ2ˆM IE M== (Ⅱ-2) 其中2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M +=且 ],[ˆy z z y i M x ∂∂-∂∂-= ][ˆzz z z i M y∂∂-∂∂-= , ][ˆx y y x i M z ∂∂-∂∂-= . 式(Ⅱ-2)也是角动量2M 的本征方程。
为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系φθcos sin r x = (r:0→∞) φθsin sin r y = (θ:0→π)θcos r z = (φ:0→2π) (Ⅱ—3)逆变换关系是222z y x r ++=222cos zy x z ++=θxy=ϕtan (Ⅱ—4) 于是有偏微商关系φθcos sin =∂∂xr φθsin sin =∂∂y r θcos =∂∂z rr x φθθcos cos =∂∂ r y φθθsin cos =∂∂ r z θθsin -=∂∂θφφsin sin r x =∂∂ θφφsin cos r y =∂∂ 0=∂∂z φ则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z zy i M x⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=φφθθθφφθθφθy y r y r r z z r z r r i cos sin sin()()()]cos cot sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin [22φφθθφθφθφθφφφθ∂∂-+∂∂--+∂∂--=r r r i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφcos cot sin i同法得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφsin cot cos i M yφ∂∂-=i M z (Ⅱ---5) 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z z y i M x）（ 22cos cot sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφ）（ i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφφφθθφcos cot sin cos cot sin 2 )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=z x x z i M y）（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφφφθθφφφθθφsin cot cos sin cot cos sin cot cos 2222y M)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂-+∂∂∂-∂∂+∂∂-=2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M += )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂+∂∂-222φ∂∂-)cot cot (22222222φφθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=))1(cot cot (222222φθθθθ∂∂++∂∂+∂∂-= )sin 1cot (222222φθθθθ∂∂+∂∂+∂∂-= )sin 1sin sin 1(2222φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1φθθθθθ M (Ⅱ—6) 方程（Ⅱ—2）即为),(),(2),(sin 1sin sin 122222φθψφθψφθψφθθθθk IE ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- (Ⅱ---7) 其中常数22 IEk =。
一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
动量算符和角动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
角动量算符的本征值方程求解
角动量的平均值 、 能值以及取值几 率。 可
关 键词 ： 角动 量 算 符 ； 同本 征 函数 ； 征 值 方 程 共 本 中 图 分 类 号 ： １ Ｏ４ ３ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ７ ５ （ ０ ０ ０ － ０ ３ － ０ １０— ３３２１）６ ０９ ３
ｆ
即 （ ，） ∑ ｃ， ，， 一 （ ）
／２
由此可 见 ， 新 坐 标 系 中 ， 。 表 示 形 式 与 在 ￡ 的
（ 一
旧坐标 系 中表示 形式 一致 ， 的表示 形式 与 旧坐 ￡
标 系 中￡： 示 形 式 一 致 ， 此 ， 以 用 新 坐 标 系 表 因 可
收 稿 日期 ：２ １ 一 １ — ２ ． ００ ０ ０ 作 者 简 介 ：何 崇 荣 （ ９ ５）男 ， 北 省 武 汉 市人 ， １８ 一 ， 湖 中教 二级 ， 究 方 向 ： 学 物 理 教 学 研 中
方程 ， 接求 解 比较 困 难 。 过 旋 转 坐标 系 ， 新 直 通 使
Ｌ ， 的本征值方程简化 ， 且易于求解 。
１ 角 动 量 算 符 的 本 征 值 方 程
角 动量 算符 ￡ 一 Ｘ 在 直 角笛 卡 儿 坐标 中
的 三个 分量 ：
坐 标系 的ｚ 轴 与 轴 重合 （ 图 １ 。 新 旧坐标 之 见 ）则 间的关 系 为 ： Ｙ， ｚ ｚ ＝ ｚ对应 的球极 坐 ｚ 一 Ｙ ＝ ，
，（ ＋ １ ｈ 。 ｌ１ ） 。
由于［ ￡ ］一 ０ 因此它 们有 共 同的本 征 函 ￡ ， ，
高等量子力学 角动量的本征值和本征态
s in
x
方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
值增加 。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b> ， c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于
J
2
JБайду номын сангаас
2 z
J
2 x
J
2 y
，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的
期待值为实数，故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax
和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
D(R)=
,
六、转动算符表示的一般性质
1.由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），
c)乘积
也是成员，其中
乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。
2. 幺正性： v
v
*
D D R1 mm
jm eiJnˆ h jm
jm eiJnˆ h jm
十一、密度算符与量子统计力学
为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
求一般算符函数的矩阵元方法：
f ( A) U Uf ( A)U U U f (UAU )U
其中：(UAU )ij ij (UAU )ii; [ f (UAU )]ij ij f ((UAU )ii )
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
动量算符角动量算符
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
氢原子与类氢原子的波函数与能级
§3 量子力学中的氢原子解法简介
一、二体问题的简化: 二体问题的简化:
氢原子的 能量
2 p12 p2 E= + + U (r1 r2 ) 2m1 2m2
z m 1 r1 R
r c r2
m2
引入质心坐标和相对坐标: 引入质心坐标和相对坐标:
o x
y 定义: 定义:总质 量M与折合质 量m:
m1r1 + m2 r2 R= m1 + m2
2
d r = ∫ Ψ (r ,θ , )Ψ (r ,θ , )r sin θ drd θ d =1
* 2
2
∫
∞
r =0
R (r )r dr∫
2 n, )Yl ,m (θ , ) sinθdθd = 1
* l ,m
注意到球谐函数是已经归一化的,所以有: 注意到球谐函数是已经归一化的,所以有:
Ψ n,l , m (r ,θ ,φ ) = Rn,l (r )Yl , m (θ ,φ )
n = 1,2,3 l = 0,1,2,3 (n 1) m = 0,±1,±2,±3 ± l
称为主量子数. n --- 称为主量子数. l ---- 称为角量子数. 称为角量子数. m ---- 称为磁量子数. 称为磁量子数.
Z 2me4 1 En = 2 2 (4πε 0)2 n2
(n =1,2,3,) ----- 系统的能量
具有分立谱. 具有分立谱.
②径向本征波函数: 径向本征波函数: 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态. 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态.
Zr na e l
Rn , l ( r ) = N n , l
角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的, 角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具 有共同的本征函数系. 有共同的本征函数系. 6.球坐标系中角动量算符的表示: 球坐标系中角动量算符的表示 6.球坐标系中角动量算符的表示:
角动量算符的本征值和本征函数
角动量算符的本征值和本征函数角动量算符是量子力学中非常重要的一个概念，它描述了粒子的旋转运动。
而角动量算符的本征值和本征函数则是解决角动量问题的基础。
我们来了解一下角动量算符的定义。
在量子力学中，角动量算符是用来描述粒子围绕一个固定点旋转的运动的。
它是一个矢量算符，通常用符号$\hat{L}$表示。
角动量算符可以被分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两种类型。
轨道角动量算符$\hat{L}$描述的是粒子在绕某个点旋转时的运动，而自旋角动量算符$\hat{S}$描述的是粒子自身固有的旋转运动。
接下来，我们来了解一下角动量算符的本征值和本征函数。
本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
本征值是指在某个特定的状态下，测量角动量算符所得到的结果。
而本征函数则是指在这个状态下，角动量算符作用于某个量子态所得到的结果。
对于轨道角动量算符$\hat{L}$来说，它的本征值为$L(L+1)\hbar^2$，其中$L$为量子数，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。
轨道角动量算符的本征函数是球谐函数，它们描述的是粒子在三维空间中的运动。
对于自旋角动量算符$\hat{S}$来说，它的本征值为$s(s+1)\hbar^2$，其中$s$为自旋量子数。
自旋角动量算符的本征函数是自旋函数，它们描述的是粒子自身固有的旋转运动。
在物理学中，我们经常需要计算多个角动量算符的本征值和本征函数。
这时候，我们可以使用CG系数来计算。
CG系数是一组复数系数，它们描述的是两个角动量算符的本征函数之间的关系。
角动量算符的本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
我们可以使用它们来计算粒子的旋转运动，以及多个角动量算符之间的关系。
在量子力学中，角动量算符的本征值和本征函数是非常重要的概念，对于我们理解粒子的旋转运动和量子力学的基础理论都有着重要的作用。
1.8-角动量算符的本征方程及其解
= ___ sin 2 θe−2iϕ
Y2,−1 = ___ sinθ cosϕe−iϕ
三．讨论
1、角动量量子化
角动量的大小是量子化的:
r L
=
l(l + 1)h,l = 0,1,2L
角动量的分量是量子化的 :
Lz = mh2, m = 0,立的数值 cosα = m
2
1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂
∂θ
)
+
− m2
sin 2 θ
Θ(θ
)
=
λh2Θ(θ )Φm (ϕ)
约去两边的公共项，变形得：
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
Θ(θ ) + (λ
−
m2 sin 2
θ
)Θ(θ
)
=
0
令：
u = cosθ
u ≤1
①式
①式为：
d du
(1
−
u
2
)
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
(1
−
u
2
)
d 2Θ du 2
−
2u
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
---- 缔合legendre方程，它的解是一个特殊函数，即缔 合legendre多项式，
解法（大意）：
①:奇点附近的渐近解： u = ±1
u → +1
m
量子力学课件：角动量算符专题
(I) 定义
Lˆ Lˆ x iLˆ y
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(II) 对易关系
[Lˆz , Lˆ ] [Lˆz , Lˆ x iLˆ y ] [Lˆz , Lˆ x ] i[Lˆz , Lˆ y ] iLˆ y i(iLˆ x ) (Lˆ x iLˆ y ) Lˆ
显
所以，这两个算符 不是厄密算符。
可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和
l (l+1) 2。
由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
Lˆ Ylm almYl ,m1
同理
LˆYlm blmYl ,m1
角动量算符专题
角动量算符问题
算符构造： Lˆ rˆ pˆ ir
直角坐标系
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
球极坐标系：
Lˆ x
i[sin
cot
cos
]
Lˆ y
i[cos
Lˆ Lˆ2 Lˆ2
Lˆ2z
Lˆz
(2) (3)
LˆLˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆz
(4)
证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：
将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：
Lˆz LˆYlm Lˆ (Lˆz )Ylm (m 1)LˆYlm
动量算符角动量算符
所以，角动量平方算符的本征值是l(l 1) 2 ，本征 函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm ( , ) ：
2 2 ˆ L Y ( , )( l l 1 ) Y ( , ) ( 2 4 ) l m l m
本征方程(24)是式(18)的简化表示。
６、角动量 z 分量算符 L ˆ z 的本征值方程
Lˆ 2
本征值是 (2 l 1) 度简并的。
９、球谐函数的例子：
Y 1 ,1
1 s 态 : Y p 态 : 0 0 4
3 s i n e i 8 3 cos 4 3 s i n e i 8
Y 1 ,0 Y 1, 1
分量式为
ˆ ˆz zp ˆy (y z ) L p i (y z ) x y i z y z y ˆ ˆ ˆ L p x ) i (z x ) ( 1 3 ) y zp x x z (z i x z x z ˆ ˆ ˆ L p p y ) i (x y ) z x y y x (x i y x y x
2 2 2 ,p ,p 相邻两个分立值的差： p x y z L L L p , pd p , pd p , 当 L 时， pd 分立 x x y y z z
值
连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为１，归一化常数 C
1 L
3 2
，即
1 i 3 e x pp r ( 1 0 ) p 2 L L L L 1 2 2 2 ( r )p ( r ) d d xd yd z 1 证： 3 L L L p 2 2 2 L 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件 归一化方法，称为箱归一化。
角动量算符的本征值方程[精华]
![角动量算符的本征值方程[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/7539bdfd18e8b8f67c1cfad6195f312b3169eb84.png)
角动量算符的本征值方程在量子力学中，我们知道，角动量算符x L ∧，y L ∧，z L ∧满足本征值方程:()()(),1,1,,,x lm l m l m L Y ∧+-=+θφθφθφ， (1)()()(),1,1,, ,y lm l m l m L Y ∧+-=+θφθφθφ,(2)()(),,z lm lm L Y mY ∧=θφθφ. （3）或取ˆˆˆx yL L iL ±=±,则()()1ˆ,,lmlm L Y ±±θϕ=θϕ, （4）而()()()2ˆ,1,lm lmL Y l l Y θϕ=+θϕ 这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知()()()()''1212ˆ(),, (,, 1, , )ll lm m mlm m lP R f D R f m m l l l '=-='=--+∑ ξξξξ, (5)其中()12,lm f ξξ取形式()12,l m l mlm f +-ξξ=其性质与球谐函数()φθ,lm Y 相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：()()'ˆ()(,)(,)ll lmlm m m m lP R Y D R Y ''=-=∑θφθφ (6)首先考虑绕x 轴转角为0∆η→的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符()0ˆˆˆ1xi L xxP R e i L ∆η→-∆η=-∆η （7）由于绕x 轴转动η∆角，可视为欧勒角为2πα-=，ηβ∆=，2πγ=的转动，这样由§5.4节(2)式知：()()()()()()()()()∑+='+-'-'--+'-'+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-m l k kl m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 0!!!!!!!!12,,2πηπ ()m m ikm m km m l e-'+-'-'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆22222sin 2cos πηη亦即()()()()0221 2l mk l m m x k m m kim m D R e+'='-+π'-∆η→-⨯∆η⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (8)在0→∆η时，展开式只保留η∆的零级与一级项， 则有：20m m k '-+= 或 21m m k '-+=. (9)(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），故0=k 或m m =', 而()()1lmm x D R = (10)(2)当+21m m k '-=, 或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0, 1k =.当0=k 时， 1=-'m m ，或1+='m m ，则由(8)式知：()()1!2)2l m m x i D R i +∆η⎫=-⎪⎝⎭∆η- (11)当1=k 时，1-=-'m m ，即1-='m m ，则由（8）式得()()1!2 )2l m m x D R i i -∆η⎫=⎪⎝⎭∆η=-(12)将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得()()11ˆ(1),,)(,)2(,)]x lm lm lm lm i i L Y Y +-∆η-∆ηθϕ=θϕ-θφ+θφ由此得()()(),1,1ˆ,,,x lml m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （13）与(1)式完全一致.再考虑饶y 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：()0ˆˆˆ1y i L y yP R e i L ∆η→-∆η=-∆η （14）该转动的三个欧勒角分别为0=α，ηβ∆=，0=γ，将其代入§5.4节（2）式得()()()=02220,,01 cos sin 22l mkl m m k l m m km m kD +'''+---+∆η=-∆η∆η⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ 在0→∆η时，()()()()()()()()()()∑+-''⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-+-'-'--+'-'+-+-=∆k k m m kl m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 22!!!!!!!!10,,0ηη （15）在展开式中，只保留η∆的零级与一级项，则有20m m k '-+= 或 21m m k '-+=.(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='，则()() 1.lmm y D R = （16）（2）当12=-'+m m k ，或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故10==k k 或.当0=k 时， 1+='m m ，与上面同样的讨论知()1()2l m my DR +∆η⎫=-⎪⎭（17）当1=k 时，1-='m m . 与上面同样的讨论知()1()l m m y D R -=（18）将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6）式得()()(),1,1ˆ,,,y lml m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （19）与(2)式一致.最后考虑饶z 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：()0ˆˆˆ1zi L z z P R ei L ∆η→-∆η=-∆η .（20）该转动的三个欧勒角分别为0=α，0=β，ηγ∆=. 将其代入§5.4节（2）式得()()()20,0,1.kl m m k im m m kD e '-+-∆η'∆η=-∑要使上式不等于零，02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-. 另外,0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='.又0→∆η时，ηη∆-≈∆-im e im 1，因此()()1lmm z D R im =-∆η. （21）将（20）与（21）式代入（6）式得()()φθφθ,,ˆ,ml lm z mY Y L = （22）与（3）式一致.这样，由SO （3）群的不可约表示，ˆˆˆx y zL L L 、及的本征值方程很自然地得到.由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量n、转角为0∆η→的无穷小转动算符为：()ˆ,1n P R i n L ∆η=-∆η⋅ （23）令m αη=∆，其中m 为一无限大的整数，α为一有限量，则ˆ,1n i n L P R m m αα⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于有限转角为α的转动，可以看成是转角为mαη=∆的m 次连续转动而成，所以()()ˆˆ,lim ,lim 1exp mm n n m m i n L P R P R i n L m m →∞→∞⎛⎫αα⋅⎛⎫α==-=-α⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . (24)这就是沿任意方向n 转角为α的转动算符，若假设n的角坐标为()φθ,，则()31231ˆˆˆˆsin cos sin sin cos i i i n L L L L L =α⋅=αθϕ+θϕ+θ=α∑其中φθααcos sin 1=，φθααsin sin 2=，θααcos 3=. （25）这样()()31ˆˆ,exp exp n i i i P R i n L i L =⎛⎫α=-α⋅=-α⎪⎝⎭∑ （26）由此可见，（25）式定义的321,,ααα为正则参数，这一点与三个欧拉角γβα,,是不同的，我们知道γβα,,不是正则参数.§5.7 SO(3)群表示直积的分解SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即()()12()()()()lll l lD R D R a D R ⊕⊗=∑ （1）其中l α为不可约表示()()l D R 出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.1. SO(3)群表示的特征标在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类.证：设()αζR 代表绕过o 点的ζo 轴、转角为α的转动，如图1示.图1为简单起见，设ζo 轴在yoz 平面上，上述转动可通过下述步骤进行：（1） 绕ox 轴转-θ角，故ζo 与oz 轴重合，记该转动为()1()x x R R --θ=θ.（2） 绕oz 轴转α角，记该转动为()αz R .（3） 再将ζo 绕x 轴转θ角回到原处，该转动为()x R θ.这样()()()()1x z x R R R R -ζα=θαθ （2）根据类的定义，上式中()αζR 与()αz R 属同一类，由于这里z 轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点o 某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.由§5.3节(10)式我们知道，绕z 轴转动φ角的不可约表示为：()()0,0,l im m m m m D e -φ''φ=δ （3）这样由上面的讨论知，SU （2）群的绕通过原点o 任意轴转过φ角的不可约表示的特征标为：()21201 1i l llim il ik il l i m l k e k l m e e e e e +φ-φ-φφ-φφ=-=-=-χ==-∑∑1122221sin 2sin 2i l i l ii l ee ee⎛⎫⎛⎫-+φ+φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭φφ-⎛⎫+φ ⎪-⎝⎭==φ- 2. SO(3)群表示的直积的分解为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积()()12()()llD R D R ⊗的特征标.12121212121122()()()()()() ()() l l l l l l l l im im m l m l D R D R D R D R ee -φ-φ=-=-⎡⎤χ=χ⊗⎣⎦⎡⎤⎡⎤=χχ⎣⎦⎣⎦=χχ=∑∑()1212122maxmin 12 l l i m m m l m l l lim l l m lem m m e -+φ=-=--φ==-==+∑∑∑∑其中21min l l l -= 21max l l l +=，而lim l m le -φ=-χ=∑故121212()()()()l l l l ll l l D R D R +=-⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑而由（1）式知：12()()()()l l l l lD R D R a ⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑比较以上两式知，1=l a , 当 121212, 1, , l l l l l l l =++-- ,0=l a , 其它情况.这个结果表明，在表示的直积()()12()()l l D R D R ⊗中，不可约表示()()l D R （121212, 1, , l l l l l l l =++-- ）仅出现一次，即表示的直积有如下分解()()()()121212121()()()()()lll l l l l lD R D R D R D R D R ++--⊗=⊕⊕⊕亦即()()()121212()()(). (4)l l l l ll l l D R D R D R +⊕=+⊗=∑如131()()()(1)222()()()()D R D R D R D R ⊗=⊕.()()()()()12321()()()()()D R D R D R D R D R ⊗=⊕⊕.§5.8 角动量的耦合与C-G 函数角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合, 求得耦合系数，即C-G 系数.由前面的讨论我们可以看出，球谐函数()φθ,lm Y 按SO(3)群的不可约表示()()lD R 变换，在一般情况下，考虑到变量r ，函数()()(),l m l l mr R r Y ψ=θφ也应按SO(3)群的不可约表示()()lD R 变换，亦即()()()()()ˆjjjmm m jm m jP R r D R r '''=-ψ=ψ∑(1)其中, , 1, , m m j j j '=--+ 共12+j 个取值. 这里按习惯将角动量量子数用符号j 表示，这里的()jm r ψ是2ˆj 与z j ˆ的本征函数，即()()()()()2ˆ1ˆjm jm z jm jm j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩ （2）考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为()111j m r ψ与()222j m r ψ，它们分别按SO(3)群的不可约表示()()l D R 变换，即()()()()()()111111111111111ˆj j j m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑（3）其中 11111, , 1, , m m j j j '=--+ .()()()()()()222222222222222ˆj jj m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑（4）其中22222, , 1, , m m j j j '=--+ .而()()()()()111111112111111111ˆ1ˆj m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩,()()()()()222222222222222222ˆ1ˆj m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩.两个电子组成的耦合系统的波函数为：()()()11221122, 1212,j m j m j m j m r r r r ψ=ψψ （5）在()3SO R ∈的转动变换下，有()()()()()()()()()()11221122121111222212, 121212ˆ, j m j m j m j m j j m m j m m m j m m m P R r r r r D R r D R r ''''''ψ''=ψψ=ψψ∑∑()()()()()()12112222122212, j j j m j m m m m m m m D R D R r r ''''''⎡⎤=⊗ψψ⎣⎦∑ （6）因此，耦合系统的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ按SO(3)群表示的直积()()12()()jjD R D R ⊗变换，而由§5.7节的讨论知，直积()()12()()jjD R D R ⊗是可约的，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是按SO(3)群的不可约表示变换，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.下面我们来讨论一下，如何由()111j m r ψ与()222j m r ψ来构成总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.由§5.7节(4)式知，表示的直积可约化成准对角矩阵，121212()(1)()()()()()j j j j j j D R D R N R D R --+-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 1020(7)其中10与20代表零矩阵元. 这样()()()121212, =, 1, j j m jm j j m m N R D R j j j j j j j j ''''=δ'--++ ， （8）这表明存在矩阵C ，使得()()()()()C R N C R D R D j j 121-=⊗ （9）因为()R N 与()()()()R D R D j j 21⊗都是幺正的，所以C 应为幺正矩阵，即+C C -=. 而(9)式的矩阵元可以写成：()()()()()()()1211221,2121212, , , jjm m m m j jj jm m j m j m jm jm m m m m j jD R D R C N R C ''+''''''''=∑∑()()()12121222*(), , (8)j j j j j jm m m m m jm m m m mjC D R C '''''∑∑式 （10）这里的()1212, j j jm m m C 是jm 行，21m m 列矩阵，其中121212, 1, , j j j j j j j =--++ ，1111, 1, , m j j j =--+ ，2222, 1, , m j j j =--+ .利用变换矩阵C 可将()()121221++j j 个线性无关的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ线性组合成另一组()()121221++j j 个线性无关的函数：()121211221212,,12(, )(, )j jjm m m jmj m j m m m r r C r r +ψ=ψ∑ （11）利用C 变换矩阵的幺正性，即()()121212121122+,,j jj jm m jm jm m m m m m m jmC C ''''=δδ∑可得(11)式的逆变换为：()12112212,12, 12(, )(, )j jj m j m jm m m jm jmr r C r r ψ=ψ∑ （12）不难证明由(11)式表示的函数12(, )jm r r ψ按SO(3)群的不可约表示()()jD R 变换，因为()()()121211221212,, 12ˆ(, )ˆ (, )jm j jm m jm j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑()()()()()121212112212121212, , 12, , (6)(, )j j j j m m jm j m j m m m m m m m m m C D R D R r r +''''''⎡⎤⊗ψ⎣⎦∑式()()()()()()121212121212121212,, ,, 12 (12)(, )j j j j m m jmm m m m j m m m m m j jj m m m j m C D R D R C r r +''''''''''''⎡⎤⊗⨯⎣⎦ψ∑∑式()()()(){}1212, (, )j j j m j m jmj m C D R D R C r r +''''''⎡⎤=⊗ψ⎣⎦∑()12()12 (9)(, )(8) ()(, )j m jmj m j m j m m jm m NR r r D R r r '''''''''ψψ∑∑式式 可见12(, )jm r r ψ按不可约表示()()R D j 变换，因此按（11）式组合得到的12(, )jm r r ψ是总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.(11)式中由1122, 12(, )j m j m r r ψ到12( )jm r r ψ的变换系数()1212, j j m m jmC +称为克莱布什-戈登(Clibushi-Gordan)系数或维格纳(Wigner)系数或矢量耦合系数，简称为C-G 函数，通常取该系数为实数，所以()12121212(), ,1122==j j j j m m jm jm m m C C j m j m jm + （13）下面我们来求C-G 系数的具体形式.设z R 为绕z 轴转角为α的旋转，由§5.3节(10)式知()()αδim m m m m z j e R D -''= （14）用()zR P ˆ作用于(11)两端，得()()()121211221212, , 12ˆˆ(, )(, )j j z jm m m jm z j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑ （15）由于()()()121212ˆ(, )(, ) (14) (, )j z jm m m z jm m im jm P R r r D R r r e r r '''-αψ=ψψ∑式又由(6)式知：()()()()()()1122121122221222, 1212, ˆ()(, ) z j m j m j j z z j m j m m m m m m m P R r r D R D R r r ''''''ψ⎡⎤=⊗ψψ⎣⎦∑ 而121212121122121122()()()(), ()[()()]()() (14)j j j j z z m m m m m m z m m z i m m m m m m D R D R D R D R e ''''-+α''⊗=δδ式这样1211221122(), 12, 12ˆ()(, )=(, )i m m z j m j m j m j m P R r r e r r -+αψψ 故(15)式变为()()12121211221212,12(, )(, )j ji m m im jm m m jm j m j m m m e r r C er r +-+α-αψ=ψ∑ （16）再利用（11）式得()121211221212,, 12(, )=(, )j jim im jm m m jm j m j m m m e r r e C r r +-α-αψψ∑由于1122,12(, )j m j m r r ψ线性无关，所以21m m m +=. （17）这样()()2121212121,,,m m m j j m m j j j m m jm C C +=δ（18）将其代人(10)式，得()()()()()()()1212121211221212121212(),,,j j j j j jj jj m m m m j m m m m m m j m m j j j D R D R C D R C +''''''++=-=∑ （19）由§4.4节(10)式知：两不可约表示的矩阵元满足正交性()()()()()121122*,,,,,jjm m m m GD D W d d d ''αβγαβγαβγαβγ=⎰1212121(,,)m m m m j j j W d d d l ''αβγαβγδδδ⎰（20）三个欧勒角的变化范围分别为：0()2, 0.≤αγ≤π≤β≤π 权重因子(,,)sin W αβγ=β，所以2(,,)8W d d d αβγαβγ=π⎰（21）1j l 为表示的维数，对于表示()()R D j 1，1211+=j l j .用()1212*(),j m m m m D R ''++乘（19）式两边并对欧勒角加权积分，利用正交关系(20)得()()()()()1211221212*(),21,,,,,,sin 8j j j m m m m m m m m D D D d d d ''''++αβγαβγαβγβαβγπ⎰ ()()12121212, , 121j j j j j m m j m m C C j ''=+ （22）为了确定()1212, j j j m m C ，在上式中令11j m ='，22j m -='，并由§5.4节（2）（3）与（4）式知：1212121212121212*(),12121212222[()()](,,)(1)11(cos )(sin ) 22j j j m m kkj m m j j k j j m m k i j j m m D e -+++-+----+-α++γαβγ=-⨯β-β∑(22)()111111111()(,,)11 (cos )(sin )22j j m i j m m j j m De -α+γ+-αβγ=β-β （24）()()22222222222()(,,)111 (cos )(sin )22j m j j m i j m j m j m D e+---α+γ-+αβγ=-β-β （25）将（23）（24）（25）三式代人（22）式并注意()()()112211, 11j m k--=-=,得:()()()()()()()()()()1212121212122111122222!2!!!!!18!!!!j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m ⎡⎤++--+--+⨯⎢⎥π+-+-⎣⎦()()()()221212121211!!!!k j m Rk j m m k j j j k j j m m k ++-⨯++--+----+∑211122+2222211(cos )(sin )sin 22j j m k j m kd d d +--+βββαβγ⎰ ()()12121212, , 121j j j j j j j j m m C C j -=+ （26）利用积分()222111!!(cos )(sin )sin 8221!a b a b d d d a b βββαβγ=π++⎰ 则()()()211122222222211112111cos sin sin 822+!!1!j j m k j m kd d d j j m k j m k j j j ++--+⎛⎫⎛⎫βββαβγ⎪ ⎪π⎝⎭⎝⎭+--+=+++⎰代入（26）式得:()()()()()()()()()()()1212121212121211112222211!2!2!!!!!!!!!j j j j j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m +⨯+++⎡⎤++--+--+⨯⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()()()22211112121212!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k ++++--+-++--+----+∑()()12121212, , j jj jj j j j m m C C -= (27)在上式中再令11j m =，22j m -=，得:()()()()()()()()()()12112212121212121221!1!!! 1!!!j j j j j kkj j j j c j j j j j j j j j k k j j j k j j j k -++-=⨯+++-+++--+---+-∑再利用恒等式()()()()()()()()()!!!2!2!!!!!121211*********j j j j j j j j k j j j k j j j k k j j j j j j kk-+-+=-+---+-+++--∑这样()()()()()121212()12, 1212212!2!1!!j j j j j j j j Cj j j j j j -⎡⎤+=⎢⎥++-+-⎣⎦(28)代入(27) 式得()()()()()()()()()()()()1212121212121212,1211112222!!!!!21=1!!!!!j j j m m j j j j j j j j j j m m j m m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤+--++-++--+⨯⎢⎥++++-+-⎣⎦()()()()()()22211112121212+!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k +++--+-++--+----+∑将其代入(18)式, 最后得C-G 系数为:()()()()()()()()()()()()121212121212,1211112222!!!!!211!!!!!j j jm m m j j j j j j j j j j m j m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤+--++-+-+=⨯⎢⎥++++-+-⎣⎦()()()()()()2221111212+!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m k j j j k j j m k +++--+-+--+---+∑. (29)表1与表2分别给出了11212, j jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1121, j jm m m C 的C-G 系数.表1 11212, j jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭系数表2 ()1121, j jm m m C 系数例如11212, j jm m m C⎛⎫⎪⎝⎭, 112j j =+, 212=m .111112111222j j m m C⎛⎫⎪⎝⎭++，()()()12111111111111111111111111111!!!!!222222222222=1111111!!!!!222222j j j j jj j m j m j jj j m j m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++--++++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111111111111!!221111111!!!!222222k kj m k j m k k j m k j j k j m k +⎛⎫+++--+ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()()()()()()()()()()()()()121111111111111111111111111112!1!0!1!!2222!!!1!0!1!!!1! 0!1!1!1!1!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯⎢⎥++-⎣⎦⎡⎤++-+-+-+⎢⎥++--+-⎣⎦()()1211111111121j m j m j m j ⎛⎫++=--+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭==再例如 ()112,1, j jm m m C , 11+=j j , 12=m .()1111,111, 1j j m m C ++()()()()()()()()()121111111111111111111!11!11!11!11!23111!!!2!0!j j j j j j j m j m j j j j m j m ⎡⎤++-+-++--++++--+=⨯⎢⎥+++++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()111111111111!!1!11!11!11!kkj m k j m k k j m k j j k j m k +++--+-+++-+-+-----∑()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12111111111111111111111111111111111112!2!0!2!!2323!!!2!0!2!!1!1!!2! 0!2!2!2!1!1!1!1!2!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++-++-++-+-+⎢⎥++--++--+-⎢⎥⎣⎦()()()()()()12111111111111111111(1)(2)(21)(22)11 112122j m j m j j j m j m j m j m j m j m ⎛⎫++++=⨯⎪++⎝⎭⎡⎤-----+-+-+-+⎢⎥⎣⎦()()()()21111122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=j j m j m j C-G 系数有下列性质()()()()()1212121221121221, , , 11j j j j j j j j j j j j jm m m j m m m jm m m C C C +-+----=-=-()()11122112, 221121j m j jj mm mj C j ---⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭（30）例如：()()()()()()2212122111(), 01212!!1!!!!k j m j j j m m m kj j m k j m k C C k j m k j j j k j j m k +----+--++=----+--++∑ (31)其中：()()()()()()()()()()()2122221111212121210!!!!!112!!!!!⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++++-+-++--+=m j m j m j m j j j j j m j m j j j j j j j j j j C 与求和无关，且在12, , m m m 变号情况下，其值不变.令12j j j k k '-+-=，则12k j j j k '=-+-, (31)式求和项变为：()()()()()()122211211212!!1!!!!j j j m k k j m k j j m k j j j k k j j m k j m k '-+--'''-+++--''''-+---++-∑而()()()()122122221222241111j j j m k j j j j j m k j j jk j m '''-+----+---+-++-=-=--这样()()12221212(), 011j j jk j m j j j m m m kC C +-++---=--⨯∑()()()()()21111212!!!!!!j j m k j m k k j m k j j j k j j m k ++--++--+---+()()121212,=1j j j j j jm m m C +--.其它性质亦可用同样方法予以证明.例1：现在我们利用两波函数的耦合公式()12121211221211221212()12, 12, 12()()()()()j jj j jm m m jmj m j m jm m m j m j m m m m m r r C r r C r r +ψ=ψψ=ψψ∑∑（32）及表1所给的C-G 函数来讨论两电子的合成自旋波函数，为此采用惯用的符号⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01α, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10β (33)分别代表自旋向上⎪⎭⎫ ⎝⎛=21z S 与自旋向下⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21z S 的自旋波函数，用mj ,代表合成的自旋波函数.由于电子的自旋为2121==j j ，则合成的总自旋为1, 0j =. 当1=j 时，1, 0, 1m =-. 当0=j 时，0=m . 考虑到21m m m +=，则由表1可得121122, jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭系数，如表3示.表3 121122, jm m m C ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数这样由（32）、（33）两式及上表可得：()()()()()()[]()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==211,12121210,1211,1ββαββααα ()()()()[]2121210,0αββα-=以上合成波函数在量子力学中我们早就熟悉.§ 5.9 张量算符1.算符的变换我们先看一下坐标转动时，算符的变换规则.设有算符()r F ˆ，作用在波函数()r ψ后可得到另一波函数()r φ，即()()()r r r F φψ=ˆ（1）设在坐标转动R 下的算符为()R P ˆ，用()R Pˆ作用在上式两边得： ()()()()()r R Pr r F R P φψˆˆˆ= 求：()()()()()()()r R Pr R P R P r F R P φψˆˆˆˆˆ1=- 令()()()()R P r F R P r F1ˆˆˆˆ-=' （2）且注意到：()()()r R r R P 1ˆ-=φφ ()()()r R r R P 1ˆ-=ψψ则上式变为：()()()rR r R r F 11ˆ--='φψ(3)又由（1）式知：()()()rR r R r F 11ˆ--='φψ(4)因此：()()()()()r R F R P r F R P r F11ˆˆˆˆˆ--==' (5)2. 矢量算符如果算符F ˆ有三个分量iF ˆ()3,2,1=i ，在坐标转动变换下，它按如下规则变换()()F R R P F R P Fˆˆˆˆˆ11--==' (6)或()()∑∑==='--jjji jj ij i i F R F R R P F R P F ˆˆˆˆˆˆ11()3,2,1,=j i(7)则该Fˆ为矢量算符.例1.算符iix e ∂∂=∇是矢量算符（3,2,1=i ）分别对应于x ，y ，z ）是矢量算符.因为此时iix F ∂∂=ˆ，在坐标经R 变换后，Rrr ='或∑='jj ij i x R x（8）而()()r F R r F x R x x x x j j ji i j j ji jj i j i '=⇒'∂∂='∂∂∂'∂=∂∂∑∑∑ˆˆ)8(式 （9）又由算符变换性质（5）知()()()()()()()()r F R P r F R P r R F R P r R F R P ii ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111='⇒='---- （10）（9）+（10）得()()()()()r F R R P r F R P r F j jji i i ˆˆˆˆˆ1∑=='-因此按矢量算符的定义（6）或（7）知，iix e ∂∂=∇是矢量算符.3.二阶张量算符如果算符F ˆ有9个分量ij F ˆ()3,2,1,=j i ，而且ijF ˆ的变换性质为：()()()()klkllj ki kkl ljk ik ij ij F R R F R R R P r F R P r F ˆˆˆˆˆˆ111∑∑∑==='--- （11）则称Fˆ为二阶张量算符.由于()klij lj ki R R R R ⊗=，所以ijF ˆ是按直积R R ⊗变换的.4. 高阶张量算符如个指数n ijk F ˆ的变换性质为：()()∑'''''''''-=k j i k j i k k j j ii ijk F R R RR P F R P ˆˆˆˆ1 （12）则称k j i F '''ˆ为n 阶张量算符，n 是F ˆ下脚标的数目，显然矢量算符可以看成是一阶张量算符.5.不可约张量算符设有算符()l mT ˆl l l m ,,1, +--=，共有12+l 个分量，它们在坐标转动R 下，按下式变换()()()()()()()l m llm lmm l ml m T R D R P T R P T '-='-∑=='ˆˆˆˆˆ1（13）也就是说，()l m T ˆ的12+l 个分量按SO （3）群的不可约表示()()R D l 变换，则称()l mT ˆ为l -阶不可约张量算符.当0=l 时，即为零阶不可约张量算符，它只有一个分量()00ˆT ，称为标量算符，其表示矩阵()10=D ，即标量算符在坐标转动下不变.当1=l 时，即为1阶不可约张量算符，它有三个分量，其变换关系为：()()()()()()1111ˆˆˆˆm llm mm mT R D R P T R P '-='-∑=()1,0,1,-='m m（14）前面我们曾介绍过矢量算符满足变换关系()()()()r F R R P r F R P j jji i ˆˆˆˆ1∑=-()3,2,1,=j i（15）而由前面§5.4节的讨论知：()()R D l 与R 等阶，即()()11-=M R MD R 或()()∑'-''=mm mi m m m j ji M R D M R 11（16）其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-0,2,211,0,00,2,211i i M⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0,1,02,0,221,0,21i i M（17）将（16）代入（15）得：()()()()∑'-''-=m jm j m i m m m j i F M R D M R P F R P ˆˆˆˆ111上式两边同乘in M 并对求和得：()()()()∑∑∑''-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛mjm jm j imi in m m ii in F M M M R D R P F M R P ˆˆˆˆ111 利用M 矩阵的正交性nm imi in M M δ=∑-1，上式变为：()()()()∑∑∑'''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛m j j m j m m i i in F M R D R P F M R P ˆˆˆˆ11 将上式与（14）式比较知：()∑'''=m m m m l m F M T ˆˆ（18）亦即：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-21113102111ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆF i F T F T F i F T （19）由此可见，任一矢量算符的分量可组合成一阶不可约张量算符.在前面§5.6节中我们曾得绕任意方向n绕角为α的转动算符为()()ταα ⋅-=n i R P ne x p ,ˆ 若取n沿z 轴，转角0→∆=ηα，则()()zz z L i L i R P ˆ1ˆexp ,ˆηαηαη∆-≈∆-=∆ （20）而此时()()()()m i m m l m m l m m eD R D ηδη∆-'''=∆=,0,0 （21）将（20）与（21）两式代入（13）式得：()()()()()()l mm l m m z l m z T D R P T R P '''-∑∆=∆∆ˆ,0,0,ˆˆ,ˆ1ηηη 亦即：()()()()()l ml m z l m z T m i T L i T L i ˆˆˆ1ˆˆ1ηηη∆-=∆+∆- 由此可得：()[]()l ml m z T m T L ˆˆ,ˆ= （22）结合§5.6节的结果，同样的方法可以证明.()[]()()[]()l m l m T m l m l T L 121ˆ1ˆ,ˆ±±+±=（23）其中yx L i L L ˆˆˆ±=±.下面我们再讨论一下，不可约张量算符对按()3SO 群不可约变换的函数作用.设22m j ψ是按不可约表示()2j D变换的函数，不可约张量算符()11ˆj mT 作用在22m j ψ上后，在转动变换下有：()()()()()()22112211ˆˆˆˆˆˆ1m m j j m j j m R P R P T R P T R P ψ=ψ-()()()()()221222111111ˆm j m j m m m j m j m m R D T R D '''''ψ=∑∑ ()()()()()222111222111ˆm j m m j m j m m j m m T R D R D '''''ψ=∑()()[]()222111212121ˆm j m m j m m m m m j j T D D '''''ψ⊗=∑（24）由此可见，()()121221++j j 个函数()2211ˆm j j m T ψ按()3SO 群的表示直积()()21j j D D ⊗变换，则由前面§5.8节的讨论知，()2211ˆm j j m T ψ不是角动量2ˆJ 与zJ ˆ的本征函数，利用C-G 函数，可将()2211ˆm j j m T ψ线形组合为：()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm jm T C ψ（25）其中,,,1,212121j j j j j j j ++--= j j j m ,,1, +--=，则jm ψ将构成总角动量2ˆJ 与zJ ˆ的本征函数，其本征值方程为：()()∑ψ=2122112121ˆˆˆ,m m m j j m z j j m m jm jmz T J C J ψ()()()()()∑ψ+=212211112121ˆˆˆ1,22m m m j j m z j m j j m m jm T m J T C 式()()()∑ψ+=2122112121ˆ,21m m m j j m j j m m jm T C m m()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m亦即jmjm z m J ψψ=ˆ（26）由（23）式，用同样的方法可以证明()()()[]1211ˆˆ±+±=±jm jm y x m j m j J i J ψψ（27）6维格纳-艾卡特（Wigner-Echart ）定理现在我们来计算一下不可约张量算符()11ˆj m T 在态222m j Nψ和态Njm ψ之间的矩阵元，这里的2N 与N 代表除22m j 或jm 外的其它量子数，由于算符()R P ˆ的正交性有：()()()()()()()()2221122211ˆˆˆˆ,ˆˆ,1m j N j m Njm m j N j m NjmR P R P T R P R P T ψψ=ψψ-()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=∑∑∑''''''''*'m m m j N j m m j m j m m m m Nj j m m R D T R D R D 22222211111ˆ,()()()()()()()()∑''''''''*'ψψ=2122211222111ˆ,m m m m j N j m m Nj j m m j m m j mm T R D R D R D （28）又由前面§5.8节()9'式知()()()()()()()()∑∑'''''''''''=m m j j j m m m j j m m j j m m m j j m m j m m C R D C R D R D 21212121222111,,()()()()∑+-=''+'''+'+''''+''=21212121212121212121,,,j j j j j j j m m m m j j m m m m j j m m m m j C R D C （29）将（29）代入（28）式得：()()()()()()∑'''''''+'''''+''=ψψ2121212121212122211,,ˆ,m m m j j m m j j m m m m j j j m m m m j m j N j m NjmR D C C T()()()222112121ˆ,,m j Nj m m Nj j m m m m T D ''''+'+'ψψ*上式两边对欧勒角γβα,,加权重βsin 积分，并利用不可约表示正交性得()()()()∑'''''+'''''+''=ψψ2121212121212122211,,ˆ,m m m j j j m m m m j j j m m m m j m j N j m NjmC C T()()222112121ˆ,121,,m j N j m m Nj m m m m m m j j T j ''''+'+'''ψψ*+=δδδ()()212121212121212121,,,,12m m m m m m j j m m m m j m m m j j m m m jm j C C '+''''''''+'++∑+*=δδ()()22211ˆ,m j N j m m Nj T '''*ψψ(30)由（30）式知，求和部分仅与j N N ,,2，2j 有关，而与21,,m m m 无关，为简单起见，将求和部分记为：22j NjN T 称为不可约张量算符的约化矩阵，则（30）式可写成：()()()()122212122211ˆˆ,,j j NjN j j m m jm jm N j m Njm T C T =ψψ（31）上式就是维格纳-艾卡特定理的数学形式，说明一个不可约张量算符在角动量本征态之间的矩阵元等于一个C-G 函数与其约化矩阵的直积.由该定理可以看出，不可约张量算符的矩阵元与其中出现的C-G 函数有相同的选择定则，即只有当()j j j 21∆，212121,,1,j j j j j j j ++--=（32） 以及21m m m += （33）时不可约张量算符的矩阵元才不为零.例1. 角动量算符的矩阵元前面在§5.6节中，我们曾经得到角动量算符的矩阵元为：()()()()φθφθ,1,ˆ1±±±+±=lm lm Y m l m l Y L y x L i L L ˆˆˆ±=± ()33' 下面我们由不可约张量算符来导出这些矩阵元.由本节（19）式知，zy x L L L ˆ,ˆ,ˆ可以组合成一阶不可约张量算符为：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-yx z y x L i L T L T L i L T ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆ111011（34）前面得到的维格纳-艾卡特定理知：()()()()1,1,122212211ˆll l m m lm m l m lm T C Y TY=（35）为了确定约化矩阵元()12ll T ，在上式中取01=m ，则有：()()()()()1222222222111,10,21ˆˆˆll l m lm mm ll m l z lmm l m lm T C m Y L YY TY===δδ故得：()()222212,10,21ˆmm ll l m lm ll C m T δδ=而由前面§5.8节的讨论知：()()()()()()21,21,222211122211,0,1,10,mm ll C l m lm ll l m lm l l m C C l m mlm δ+-=-=-+-+表知故()()()()2212111ˆ2211ll ll l l lll l l l T δδ+-=+-=-+ 代入（35）式得：()()()()()()1ˆ,1,,1,21211+-=l l C Y T Y l mm lm lm m lm φθφθ （36）则()()()()()()1ˆ,11,,11,221+-=l l C Y T Y l mlm lm lm φθφθ 而()()()()()()1,21,1,1,1,11,2221211+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-=m m l m lm l l l m lm l l m l m l C C δ ()()()1,21222121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=m m l l m l m l δ 故()()()()()()1,2122,11,22121ˆ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=m m lm lm m l m l Y T Y δφθφθ 由于()()+-=+-=L L i L T y x ˆ21ˆˆ21ˆ11，故()()()[]()φθφθ,121,1ˆ++-++=lm lm Y m l m l Y L 与()33'式一致.再由（35）式得：()()()()()()1ˆ,11,,11,221+-=--l l C Y T Y l mlm lm lm φθφθ 而。
角动量算符
角动量算符
动量最常用的是惯性动量算符，这个定理几乎可以应用到每一个领域中。
根据这个定理，动量只有在受外力影响时才会发生变化，并保持原有的形态。
因此，要证明或计算一个物体的移动情况，需要综合考虑这个物体受外力的变化以及它的动量。
总而言之，动量算符是一种十分重要的物理定理，它已经成为宇宙中物质之间发生变化机制的基石。
它被广泛应用于各种学科，从生物医学到电子技术，它有助于我们更好地理解宇宙中物质的运动。
量子力学中 算符及其本征函数
论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。
本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。
关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。
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[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Lˆ y Lˆ z Lˆ2
, , ,
Lˆ z Lˆ x Lˆ x
= ihLˆx = ihLˆ y = Lˆ2 , Lˆ y
=
Lˆ2 , Lˆz
=0
量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量
[ ] Lˆ2, Lˆz = 0 ---- 有共同本征函数完备系
§1.8 轨道角动量的本征方程及其解
应用：原子结构、配位场理论、分子转动、分子散射（反应动力学）
一、定义：对易关系
1. 轨道角动量算符及其分量算符
经典表达式:
r L
=
rr
×
pr
算符化:
Lvˆ = rrˆ × (−ih∇)
rrr i jk Lrˆ = −ih x y z ∂∂∂
∂x ∂y ∂z
角动量
*
E
J
——2J+1
重简并
双粒子刚性转子能级只与J有关，m决定角动量矢量的空间取向。
一般地： E>0，E可取任意值
R(r) r→∞ ≠ 0
（电离态）
E<0， E = En，取特定值
Rn (r) r→∞ = 0 （束缚态）
（ⅱ）由于径向方程中只包含角量子数 l ，不包含磁量子数m。 E至少有 2l+1 重简并
ψ
E
nlm
=
(r,θ
Enl
,ϕ)
=
Rnl
(r)Ylm
(θ
,ϕ
)
（ⅲ）
(ϕ
)
=
−m
2Φ
m
(ϕ
)
得：
Φ
m
(ϕ
)−
h
2
1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂
∂θ
)
+
− m2
sin 2 θ
Θ(θ
)
=
λh2Θ(θ )Φm (ϕ)
约去两边的公共项，变形得：
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
Θ(θ ) + (λ
−
m2 sin 2
θ
)Θ(θ
)
=
0
令：
u = cosθ
得常微分方程:
dΦ
dϕ
=
imΦ
得:
Φ(ϕ) = Aeimϕ
--- 本征函数
由：
Φ(ϕ) = Aeimϕ
利用单值条件: Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π )
eim(ϕ +2π ) = eimϕ eim ⋅ 2π = eimϕ
即：
ei2mπ = 1
ei2mπ = cos 2mπ + i sin 2mπ = 1
=
δδ mm' ll '
几个 l 取值较小的球谐函数 :
Y00 =
1
4π
Y11 =
3
8π
sin θe iϕ
Y1,−1 =
3
8π
sin θe −iϕ
Y22 =
15
32π
sin 2 θe2iϕ
Y10 =
3
4π
cosθ
Y21 =
15
8π
sin θ
cosϕeiϕ
Y20 =
5
16π
(3cos2 θ −1)
Y2,−2
Lˆ2ψ = (2IE)ψ
ψ
jm
= Y jm (θ ,ϕ) =N
Pm
jm j
(cosθ )eimϕ
2IE = J (J + 1)h2
刚性转子S方程解为：
ψ Jm =
EJ =
YJm (θ ,ϕ ) =
J (J + 1)h2 2I
N
Pm
Jm J
(cosθ
)eimϕ
m = 0, ±1, L, ± J ; J = 0, 1, 2L
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——相互对易。
Lˆ2, Lˆz 不包含径向坐标 r 或者是对 r 的运算。
* 守恒量定义：
[ ] ∂∂Ftˆ = 0
Fˆ , Hˆ = 0
* 中心力场： Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——守恒量
2．中心力场径向方程
S—方程 Hˆψ = Eψ
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
u → +1
m
Θ → (1 − u) 2
u → −1
m
Θ → (1 + u) 2
②令
∑ m
m∞
Θ = (1 + u) 2 (1 − u) 2 avu v
v=0
代入原方程：
∑ { [ ] ∞ u v av+2 (v + 2)(v + 1) − av v(v −1) + 2( m + 1)v + av (λ − m − m2 )} = 0
l = 0, 1, 2, L m = 0, ±1, ± 2, L, ± l
——球谐函数
——归一化因子 ——角量子数 ——磁量子数
*球谐函数是角动量和z分量的共同本征函数。全部球谐函数构 成一个正交归一的完备集合。
*正交归一性：
∫ ∫2π 0
π
Y*
0 l'm'
(θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ) sinθdθdϕ
l(l + 1)h2 2mr 2
—— “离心能”，离心能对能量为一正的贡献 。 l 越大，角动量越大，离心势能越大，能级越高。
五．双粒子刚性转子
刚性：
r
0
不变，V=0
经典（刚体转动）： T = 1 Iω 2 = L2
2
2I
算符化：
Hˆ = Lˆ2 2I
S方程： 即： 其解为：
Lˆ2 ψ = Eψ
2I
二．本征方程及其解
Lˆ2 , Lˆ z
--- 共同本征函数完备系
本征方程：
LLˆˆ2zYY
(θ (θ
,ϕ ,ϕ
) )
= =
λh2Y (θ ,ϕ) mhY (θ ,ϕ)
1. Lˆz 的本征方程：
LˆzY (θ ,ϕ) = mhY (θ ,ϕ)
或
−
ih
∂
∂ϕ
Y(θ
,ϕ
)
=
mhY(θ
,ϕ)
分离变量： Y(θ ,ϕ ) = Θ(θ )Φ(ϕ )
l
l +1
l ≥ m
l
=
0,1,2......
这样得到一系列多项式，称缔合legendre多项式
得：
Θ ∝ Pl m (u)
= Pl m (cosθ )
---缔合legendre函数
利用：
∫π o
Pl m
(cosθ
)
Pl
m '
(cosθ ) sinθdθ
=
2 (2l + 1)
(l (l
+ −
3.角动量的球坐标表达式
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
可得：
Lˆx
=
ih(sin ϕ
∂
∂θ
+
ctgθ
cosϕ
∂
∂ϕ )
Lˆ y
=
ih(− cosϕ
∂
∂θ
+ ctgθ
sin ϕ
∂
∂ϕ )
Lˆz
=
−ih
∂
∂ϕ
ψ ~ Ylm (θ ,ϕ )
Lˆ2 Lz
− −
l(l + 1)h2 mh
确定值
Lx ,Ly
—— 一般没有确定值
特例：l = m = 0
Y00 =
1
4π
Lˆ x Y00 = 0 Lˆ y Y00 = 0
这说明 Y00 也是 Lˆ x Lˆ y 的本征态，本征值为零。
不对易的算符没有没有共同的本征函数系，但可以有个别的共 同本征函数。
四．中心力场中的粒子
1．中心力场的一般特点
定义：设粒子的质量为m ， V=V（r）
V (r) =
−α
r
1 ω 2r2
2 0 r<a ∞ r ≥ a
---库伦势 ---球谐振子（三维各向同性谐振） ---球方势箱
2
Hˆ = − h ∇2 + V (r) 2m
∇2
=
l(l + 1)
α 角有一定的取值 ，经典α可连续变化
——空间量子化（spatial quantization）
实验证据： Zeeman效应（原子光谱在磁场中的分裂）： ①轨道磁矩与光场的作用；②变化是不连续的
Stern-Gerlach实验等（基态原子在不均匀电场中的偏转 同时证明电子自旋）
2．一个特例
u ≤1
①式
①式为：
d du
(1
−
u
2
)
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
(1
−
u
2
)
d 2Θ du 2
−
2u
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
---- 缔合legendre方程，它的解是一个特殊函数，即缔 合legendre多项式，
解法（大意）：
①:奇点附近的渐近解： u = ±1