北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案

第二章 《因式分解》

§2.1 分解因式

学习重点：

1．理解因式分解的意义.

2．识别分解因式与整式乘法的关系.

学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】 公式类：()()a b a b +-=2

()a b +=

2()a b -=

（1）单?单：3a×4ab= （2）单?多：(35)a a b -= （3）多?多：(3)(2)x y x y -+=

（4）混合乘：x （x-1）（x+1）=

二、独立探究问题：分解因式的概念

1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？

2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式

3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是

（2）分解因式的结果必须是几个的形式.

（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习

三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系

1．议一议

（1）由(1)(1)a a a +-=3

a a -的变形是运算.

（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想

分解因式与整式乘法有什么关系？

()ma mb mc

m a b c ++++因式分解整式乘法

.因式分解与整式乘法是的变形.

四、知识的运用

例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？

（1）x +1=x （1+

x

1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）2

4814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=-

（5）2

2

2

4(2)a ab b a b -+=-（6）2

(3)(3)9x x x +-=-

五、课堂小结

1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系

六、课堂过关

1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 2

2

3633(2)a x bx x x a b -+=-

B. ()2

2

xy x y xy x y +=+

C. 2

()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2

2

963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）2

2

()()a b a b a b +-=-的运算是 （2）3

2

2

2(2)x x x x -=-的运算是

4．计算下列各式： （1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空： （5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（） （7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）

§2.2.1 提公因式法（一）

学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 学习难点：让学生识别多项式的公因式. 一、自主回顾：

1、分解因式的概念.

2、分解因式概念应注意什么？

3、分解因式与整式乘法的关系

二、自主学习

1．公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：

⑴公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式

⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法. 2．独立将下列各式分解因式

（1）3ab 2－3a 2b ; （2）2x 3+2x 2－6x ; （3）－12a 2b +24ab 2; （4）xy －x 2y 2－x 3y 3; 三、小组合作探究：

（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？ 答：①、②

（2）提公因式要注意些什么？ 答：①、②

（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？ 四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能 P48~49 五、课堂小结

1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma +mb +mc =m （a +b +c ）. 2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3．找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的； （2）取相同的，的指数取的；

4．特别注意：①不要漏项②要防止出现符号问题 六、课堂过关：将下列各式分解因式

1．321510a a -；

2．224x y xy -；

3．64x y x z -； 4．222261530m n mn m n -+； 5．432163256x x x --+； 6．322462a b a b ab -+-； 7．3174m m m x x x ++++（m 是自然数）；

8．112416m n m n u v u v ++-+（m ，n 是自然数）.

§2.2.2 提公因式法（二）

教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 学习难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式 一、自主回顾：

1．怎么样确定一个多项式的公因式？ 2．提公因式要注意些什么？ 二、自主学习：

1．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“―”，使等式成立：

（1）()____a b b a -=-；（2）()()2

2

___m n n m -=-； （3）()()3

3

___y x x y -=-；（4）()___b c b c --=+； （5）()

2222___s t s t -+=-；（6）()()22

___p q p q --=+. （7）m －n －p =（n －m ＋p ）；（8）（1－x ）（x －2）=（x －1）（x －2） （9）)(=-4y

x )(4x y -（10）)(=-5y x )(5x y -

2．根据1题情况进行归纳总结：

一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“＋”或“―”号）：

()

()()()()

______n n

n x y n y x x y n ?-?

-=?-??为偶数为奇数. 3．指出下列各式中的公因式： （1）()()23a b c b c +-+ （2）()()2

3

279a x y b x y +-+

（3）()()2

3

5m a b n b a ---

4．自主学习教材p47，特别注意例2、3中用数学的什么思想？例3提公因式前做了什么样的变化？

5．及时反馈：

㈠完成教材第51的随堂练习题 ㈡把下列各式分解因式

（1）5（x －y ）3+10（y －x ）（2）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）

（3）()()()2

2

2

ab a b a b a ac a b --+--- （4）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） 三、合作探究

将()()()2

2

3

31218y x x y y y x -+---分解因式，总结用提公因式法分解

因式应注意什么？ 四、过关训练题

1．把下列各式分解因式：

（1）x 2y －3xy 2+y 3; （2）a （x －y ）－b （y －x ）+c （x －y ）; （3）2（x －y ）2+3（y －x ）; （4）()()2

3

515m n n m -+-. （5）（a +b －c ）（a －b +c ）+（b －a +c ）·（b －a －c ） （6）()()

222

k

k x y y x +-+-；（7）()

()

21

21

k k x y y x +--+-.

2．不解方程组23431

m n m n -=??+=?求()()23

5222n m n n m ---的值.

§2.3.1 运用公式法（一）

学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.

学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. 一、自主回顾：

独立回顾，整式乘法中的平方差公式是________________________；其特

点是 . 二、新课合作探究学习

1．先独立自主学习教材p54，例1、例2用了怎样的方法分解因式？ 2．合作探究回答以下问题：

①例2中解第1题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？

②公式a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）特点： 等号左边：（1）是一个_；

（2）每项都可以化成数（或式）的_； （3）这两项的符号_

等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积.

（2）被减数是左边平方项为_的那个数（或式）

3．独立完成教材第55页的练习题. 三、理论知识运用

例1 判断下列分解因式是否正确.

（1）()2

22222a b c a ab b c +-=++- （2）()

()()2

42221111a a a a -=-=+?-

例2 分解因式

（1）()()2

2

3649x y x y +--；（2）()()211x b x -+-（x －1）+b 2（1－x ）; （3）（x 2+x +1）2－1. （4）44a b - （5）()2

3228x x x +-；（6）()()2244x x x +++-.

四、课时小结

1．①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. ②分解时一定要分解完整彻底.

2．运用平方差公式应注意： 五、课堂过关

1、把下列各式分解因式：

（1）49x 2－121y 2; （2）－25a 2+16b 2; （3）144a 2b 2－0.81c 2; （4）－36x 2+

64

49y 2

; （5）（a －b ）2－1; （6）9x 2－（2y +z ）2; （7）（2m －n ）2－（m －2n ）2; （8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.

2、利用分解因式说明257―512能被120整除.

§2.3.2 运用公式法（二）

学习重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 一、自主回顾：

1．整式乘法中的完全平方公式是_______________； 2．乘法中的完全平方公式的特点 二、新课合作探究学习

1、先独立自主学习教材p57，例3、例4用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？

2、合作探究回答以下问题：

①例4中解第1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？

②公式a 2+2ab +b 2=（a +b ）2; a 2－2ab +b 2=（a －b ）2特点 左边的特点有（1）多项式是；（2）其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式）.

右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；

③形如的式子称为完全平方式

3．独立完成教材第58页的练习题. 三、理论知识运用

例1、将下列各式分解因式

（1）a 2b 2+8abc +16c 2; （2）4（2a +b ）2－12（2a +b ）+9;

（3）1442m －6mn +n 2; （4）5

1x 2

y －x 4－1002

y

（5）()

422422412x x y y x y ++-；（6）()

()2

222221m n

m n -+-+

例2、（1）若21y ky ++是完全平方式，则k =__________.

（2）若23x x k -+是完全平方式，则k =__________.

（3）若2930a a m -+是完全平方式，则m =__________.

例3、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足422433

2220a a b b a b ab ++--=，

试判断△ABC 的形状.

四、课时小结

1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是： （1）要求多项式有_________.

（2）其中两项_____ ，且都可以写成某数（或某式）的____，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负.

2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底） 五、课堂过关

1、把下列各式分解因式

（1）－4xy －4x 2－y 2; （2）3ab 2+6a 2b+3a 3; （3）（s+t ）2－10（s+t ）+25; （4）0.25a 2b 2－a bc+c 2;（5）x 2y －6xy+9y; （6）2x 3y 2－16x 2y+32x; （7）16x 5+8x 3y 2+xy 4 （8）

(

)

2

2

2

41x x -+（9）

()()x x 2221619---+ 2、（1）若2210049x kxy y -+是完全平方式，则k =__________. （2）若()292416x a x +-+是完全平方式，则a =__________. （3）已知1x y -=，则

2211

22

x xy y -+的值为． §2.4 因式分解（二）——分组分解法

一、分组分解法

1、将多项式采用“先部分，后整体”的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解.

2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性. 也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式.

注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子.

3、分组分解法一般有两种情况

（1）等项分组. 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式.

如22

3322(33)(22)

x xy xz yz x xy xz yz

+--=+-+

3()2()

x x y z x y

=+-+

()(32)

x y x z

=+-

（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解.

如2222

21(2)1

a a

b b a ab b

-+-=-+-

2

()1(1)(1)

a b a b a b

=--=-+--

4、分组分解应注意以下几个问题

（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解.

（2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组.

（3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的.

二、典型例题

例1、分解因式：

（1）2

ab bc ac b

--+（2）393

am bm b a

-+-

（3）2223

4334

x y axz y z ax

-+-（4）2

4144914

m mx nx mn

-+-

例2、分解因式：

（1）2222

a b a b

-+-（2）222

41299

x xy z y

--+

（3）22

4484

x xy y

---（4）22

44241

m mn n m n

++--+

三、课堂练习

把下列各式分解因式：

1.2323

axy ax ax y ay

--+ 2. 222

444

x xy y z

-+-

3.3223

33

x x y xy y

-+- 4. 222222

4b c b c a

-+-

（）

四、课后作业

1.选择题：

（1）下列分解因式，结果正确的是（）

A．55()(5)

m n my ny m n y

+--=+-

c

2

c 1a 2a 1 B.22

()(1)m n m n m n m n +--=++- C.22

33()(3)a a b b a b a b ++-=++- D. 22

21(2)(1)(1)x x y x x y y -+-=-+-+ （2）分解因式后,结果等于(2)(3)a b +-的多项式是（）

A.236ab a b -+-

B.623b a ab --++

C.326ab b a -+-

D. 623b a ab -+-+

（3）把多项式2

33x xy y x -+-分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（） A ．2(3)(3)x x y xy -+- B.2

(3)3x x y -+ C.2()(33)x xy y x -+- D. 2

(3)(3)x x y xy ---+ 2.填空题：

（1）分解因式：ax by bx ay -+-= ； （2）分解因式：22

x y ax ay --+= ； （3）分解因式：2221a ab b --+= ； （4）分解因式：22

44(4)a ab b -++= ；

（5）若2a b +=，则22

2a ab b a b ++++=；

3.解答题：

（1）若0a b +=，求332222a b a b ab -+-的值 （2）若2

2

2

2

()(10)250x y x y ++-+=，求2

2

x y +的值

（3）计算：22621769473148-?-

（4）分解因式(1)(2)6x x x ---（5）分解因式2

2

()()ax by bx ay ++-

§2.5 因式分解（二）——十字相乘法

一、十字相乘法

1、使用十字相乘法把二次三项x 2+px+q 因式分解，如果常数项q 分解成a 、b 两个因数的积，并且a+b 等于一次项系数p ，那么二次三项式2x +px+q=x 2+

（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）

2、使用十字相乘法把二次三项式ax 2+bx+c 分解因式，如果二次项系数a 分解成a 1、a 2;常数项c 分解成c 1、c 2；并且a 1 c 2+ a 2 c 1等于一次项系数b ,那么二次三项式a x 2+bx+c =a 1a 2x 2+（ a 1 c 2+ a 2 c 1）x + c 1c 2= （a 1x + c 1）（ a 2x +c 2）

借助于画十字交叉线排列如下： 二、典型例题

例1、把下列各式分解因式：

（1）256x x ++（）26x x --（3）256x x +-

例2、把下列各式分解因式：

（1）26136x x ++（2）2384a a -+（3）2

2

584y xy x --

例3、把

2()3()2

x y x y ---+分解因式

※例4、把

2222(2)5(2)3

x x x x ----分解因式

三、课堂练习：

将下列各式分解因式：

1. 2

568x x +-

2. 22

21012x xy y --

3. 2

2

2430x xy y -- 4. 25398x x -- 5. 262x x -- 6. 23415x x --

7. 4223x x +-8. 2

2

22248x xy y x y ++--- 9. 2

2

2(2)(3)13x x x +++- 四、课后作业 1.选择题：

（1）把多项式2151

263

x x -

-+分解因式的结果是（） A ．1(2)(31)6x x --+ B.1

(1)(32)6x x ---

C.1(2)(31)6x x -+-

D. 1

(1)(32)6

x x -++

（2）把多项式4

3

2

235x x x +-分解因式的结果是（） A ．2

2

(5)(7)x x x x -+ B.2

2

(235)x x x +- C.2

(5)(7)x x x +- D. 2

(5)(7)x x x -+

（3）在多项式①276x x ++；②243x x ++；③268x x ++；④2710

x x ++⑤2

1544x x ++中，有相同因式的是（）

A ．①②B. ②④C. ②⑤D.以上都不正确.

（4）若二次三项式212(4)(3)x mx x x --+-分解成，则实数m 的值为（） A ．1 B ．2

C ．1-

D ．2-

2.填空题：

（1）分解因式：2121115x x --= ；

（2）分解因式：22910a b ab --= ； （3）分解因式：282221x x --= ； （4）分解因式：2

2

2

(5)16x x x --= ； 3.把下列各式因式分解 （1）225-6+73x xy y -（2）217

3

66x x -++

（3）

222(2)7(2)8

x x x x +-+-

4.已知2

2

2314x xy y -+=，且7x y -=；求2x y -的值.

5.若二次三项式2

3235(0)kx x k +-≠有一个因式是27x +；求k 的值及另一因式.

第二章 分解因式（单元归纳）

学习重、难点：

用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程： 一、自主复习： 【回顾】

1．分解因式的定义：把一个多项式化成，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2．分解因式与整式乘法是变形. 3分解因式的主要方法是，， .

4．（1）平方差公式：a 2-b 2= （2）完全平方公式a 2±2a b+b 2= 二、例题精讲