北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案
北师大版数学八年级下第二章、因式分解复习讲义(三)分组分解法
2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义（三）1.5、分组分解法第一部分、知识要点【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
第二部分、典例分析例1：分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++变式训练1-1：选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A ）mp np n m +++)22( （B ）)2()2(mp n np m +++（C ）)()22(np mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22(变式训练1-2：分解因式：（1）x xy y x 21372-+- （2）)15)(3()3()3(531552223--=---=+--x x x x x x x x例2：（1）分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+（2）分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---变式训练2-1：分解因式（1）y y x x 3922--- （2）yz z y x 2222---变式训练2-2：分解因式：m n m nn 222141()-+-+ 解：m n m nn 222141()-+-+ =-+-+=++---=+--=-+++-+m n m m n n m n m n m m n n m n m n m n m n m n m n 222222222241212111()()()()()()例3：把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
1 因式分解-初中八年级下册数学教学导学案(北师版)
因式分解-初中八年级下册数学教学导学案（北师版）一、背景初中数学教学中，因式分解是一个比较重要的知识点。
因式分解是将代数式分解成乘积的形式，帮助学生了解多项式的构成，掌握多项式的基本性质和运算方法，为后续的学习打下基础。
二、教学目的•掌握因式分解的方法和步骤。
•理解多项式的基本构成和性质。
•能够运用因式分解法简化运算。
•培养学生的推理思维能力，提高学生的数学综合素质。
三、教学内容1. 因式分解的基本思路因式分解的基本思路是将多项式进行拆分，得到可以拆分的因式，再将这些因式相乘得到原多项式。
例如，(x^2 + 3x + 2)可以分解为(x + 1)(x + 2)。
2. 因式分解的方法（1）提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提出来，然后再根据乘法分配律整理得到因式分解式。
例如，把 6x + 9y 写成 3(2x + 3y) 的形式，其中3就是公因式。
（2）配方法配方法是将多项式拆成两个部分，其中一个部分是二次的完全平方式，另一个部分是该完全平方式的“平方项系数”和零次项的乘积。
例如，将x^2 + 6x + 5分解成(x + 1)(x + 5)，其中(x + 1)是一个完全平方式，(x + 5)的平方项系数是1，零次项是5，它们的积是5。
（3）直接相除法直接相除法就是按照长除法的方法，求出多项式的一个因式和余数。
然后再对因式进行因式分解。
例如，对于x^2 - 1，可以先除以x - 1，得到x + 1，然后再将x + 1分解为(x + 1)(1)。
（4）公式法公式法是通过特定的公式来分解多项式。
例如，x^2 - a^2可以使用差平方公式(x-a)(x+a)进行分解。
3. 教学重点和难点（1）教学重点因式分解的基本思路、方法和步骤。
（2）教学难点运用因式分解法简化多项式的实际问题。
4. 教学方法综合使用讲授、演示、对话、自主学习等多种教学方法，重点强调提问、讲解和操练。
5. 教学时序（1）第一课时授课主题：因式分解的基本思路主要内容：•引入因式分解的概念和基本思路。
2022-2023学年八年级数学北师大版下册4.1因式分解 教案
2022-2023学年八年级数学北师大版下册4.1因式分解教案一、教学目标1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法；3.能够应用因式分解解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。
二、教学内容1.回顾负数的乘法和除法；2.因式分解的基本概念；3.因式分解的基本方法；4.应用因式分解解决实际问题。
三、教学重点1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法。
四、教学难点1.能够应用因式分解解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。
五、教学准备1.北师大版八年级数学下册教材；2.学生练习册；3.教学投影仪和课件。
六、教学过程1. 导入（5分钟）目的：进一步激发学生对因式分解的兴趣。
1.引入一个生活中的问题：小明买了5个苹果，小红买了3个苹果，他们一共买了多少个苹果？请用数学式子表示出来。
2. 新课讲解（10分钟）目的：引入因式分解的概念和意义。
1.引导学生思考：在小明和小红买苹果的问题中，能否用一种更简洁的方式表示数量关系？2.引出因式分解的概念：将一个数或者一个代数式写成若干个乘积的形式，其中每个乘积的因数称为因式。
3.引导学生发现因式分解的意义：通过因式分解，可以使问题的表达更加简洁，同时也方便我们进行计算和解题。
3. 示例演练（15分钟）目的：回顾负数的乘法和除法，并让学生掌握基本的因式分解方法。
1.提醒学生注意负数的乘法和除法规则：两个负数相乘得正数，一个正数和一个负数相乘得负数，负数除以正数得负数，正数除以负数得正数。
2.给出一个示例：将14ab分解为因式的乘积。
3.引导学生思考解题思路：首先确定14的因数，然后确定a和b的因数，并组合得到14ab的所有因式。
4.和学生一起分解示例：14ab = 2 * 7 * a * b。
4. 练习与巩固（15分钟）目的：让学生通过练习巩固所学的因式分解方法。
1.学生完成教材上的练习题，老师及时给予指导和解答。
5. 拓展与应用（10分钟）目的：引导学生将因式分解应用到实际问题中。
北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章导学案
北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章导学案一、前导知识本章主要内容为因式分解，因此我们需要掌握一些前导知识，如质因数、公因数和最大公因数等。
1. 质因数质因数是指一个正整数的因数中，质数所占的因数。
举个例子，12可以分解成2\2\3，因此12的质因数为2和3。
2. 公因数和最大公因数公因数是指多个数同时拥有的因数，最大公因数是指多个数中，最大的公因数。
如6和8的公因数为1和2，最大公因数为2。
3. 带余除法带余除法是指，对于任意两个整数a和b（b不为0），均存在唯一的一个整数q和一个非负整数r，使得a=bq+r，其中r<|b|。
a称为被除数，b称为除数，q称为商，r称为余数。
二、因式分解1. 因式及因式分解的定义因式是指一个数的因数中，不再有其他因数的因数。
因式分解是指将一个数分解为一些因式的乘积。
2. 因式分解的基本方法（1）分解质因数法将一个数不断分解质因数，直到无法再分解为止。
例如，将24分解质因数，可以表示为2\2\2\*3。
（2）公因式提取法对于多个项的和或积，如果其中有公因式，则可以将公因式提取出来。
例如，将3x2+6x的公因式3x提取出来，得到3x(x+2)。
（3）配方法对于二次三项式，可用配方法将其分解为两个因式的乘积。
例如，将x2+4x+ 3分解为(x+1)(x+3)。
3. 因式分解在实际问题中的应用因式分解在实际问题中有广泛的应用，如化简分数、解二次方程、计算周长面积等。
三、练习题1.将12x2+30x分解为一些因式的乘积。
2.将4x4−16分解为一些因式的乘积。
3.将x2+10x+24分解为一些因式的乘积。
4.在田地的四周围栽树，田地周长为120米，每行树距离相等，树之间的距离也相等，树与树之间的距离为5米，问这个田地最多能种多少棵树？（答案为30棵）四、总结因式分解是数学中的重要概念，它不仅有理论应用，还有实际问题中的应用。
因此，我们需要掌握因式分解的基本方法，并且不断进行练习，以提高自己的能力。
北师大版八年级数学(下册)优秀教学案例：4.1因式分解
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解因式分解的概念和意义，我将通过创设丰富多样的教学情景，引导学生从生活中发现数学的影子。例如，通过实际生活中的物品购买问题，让学生体会因式分解在简化计算方面的作用；或者通过设计有趣的数学故事，将因式分解融入其中，激发学生的学习兴趣。此外，利用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示因式分解的过程，帮助学生形成直观的认识。
1.例题1：（a+b）×（a+b）
例题2：（x+y）×（x-y）
例题3：a^2+2ab+b^2
2.讨论要求：
（1）各小组讨论并确定解题方法。
（2）各小组派代表展示解题过程及答案。
（3）讨论过程中，鼓励学生提问、质疑，分享解题心得。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的因式分解方法，总结各方法的优缺点及适用场景。
2.因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
3.因式分解的方法：介绍提取公因式法、十字相乘法、平方差公式等常用的因式分解方法。
在讲解过程中，结合具体例题，让学生直观地感受因式分解的过程，并强调各方法的适用条件及注意事项。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出几个具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同完成因式分解的任务。
北师大版八年级数学（下册）优秀教学案例：4.1因式分解
一、案例背景
八年级(下册)初二数学-《因式分解》教(学)案
因式分解【知识梳理】●因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b+=+因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。
【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法●提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
---------⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数)【例题】333234221286a b c a b c a b c-+的公因式是．【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多项式的公因式是232a b c．小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
【基础练习】1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________． 2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1B ．)11(22222xx x x +=+C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）3．将多项式－6x 3y 2＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．－3xyB ．－3x 2yC ．－3x 2y 2D ．－3x 3y 34．多项式a n－a 3n＋an ＋2分解因式的结果是（ ）A ．a n （1－a 3＋a 2）B ．a n （－a 2n ＋a 2）C ．a n （1－a 2n ＋a 2）D ．a n （－a 3＋a n ）5．把下列各式因式分解： 5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋16．应用简便方法计算：（1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当的式子：（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）； （2）=+c b ab 3294278（ ）（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝－2D ．m ＝－1，n ＝－24．（－2）10＋（－2）11等于（ ）A ．－210B ．－211C ．210D ．－25．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．6．已知x ＋y ＝2，,21-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ； （2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案
第二章 《因式分解》§2.1 分解因式学习重点：1．理解因式分解的意义.2．识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】公式类：()()a b a b +-= 2()a b += （1）单⨯单：3a×4 （2） 单⨯多：(35)a a b -= （3） 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4） 混合乘：x （1）（1） = 二、独立探究问题：分解因式的概念1．自主学习教材p4344，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？2．分解因式的概念：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个 的形式.（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再 为止. 4．与时反馈：完成书p45随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系1．议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是 运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想分解因式与整式乘法有什么关系？()ma mb mcm a b c ++++因式分解整式乘法.因式分解与整式乘法是的变形.四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）1（1+x1） （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-五、课堂小结1．分解因式的概念：2．分解因式应注意：3．分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）A ．x 2－（x －1）B ．a （a －b ）2－ C ．（3）（a －3）2－9D ．x 2－21（x －2）+12．下列各式分解因式正确的是（ ） A. 223633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()22xy x y xy x y +=+C.2()a ab ac a a b c -+-=-+-D.22963(32)abc a b abc ab -=-3.（1） 22()()a b a b a b +-=-的运算是（2） 3222(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式： （1）（）（a －b ）.（2）（）2.（3）8y （1）. （4）a （1）.根据上面的算式填空：（5）（ ）（ ）（6）a 2－b 2=（ ）（ ）（7）a 2+22=（ ）（ ）（8）8y 2+8（ ）（ ）§ 提公因式法（一）学习重点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.学习难点：让学生识别多项式的公因式. 一、自主回顾：1、分解因式的概念.2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系 二、自主学习1．公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：⑴公因式：多项式的各项中都含有 叫做这个多项式各项的公因式⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.2．独立将下列各式分解因式（1）32－3a2b; （2）2x3+2x2－6x;（3）－12a2242; （4）－x2y2－x3y3;三、小组合作探究：（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？答：①、②（2）提公因式要注意些什么？答：①、②（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能 P48~49五、课堂小结1．提公因式法分解因式的一般形式，如：（）.2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3．找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的；（2）取相同的，的指数取的；4．特别注意：①不要漏项②要防止出现符号问题六、课堂过关：将下列各式分解因式1．321510a a-；2．224x y xy-；3．64x y x z-； 4．222261530m n mn m n-+；5．432163256x x x--+；6．322462a b a b ab-+-；7．3174m m mx x x++++（m是自然数）；8．112416m n m nu v u v++-+（m，n是自然数）.§提公因式法（二）教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.学习难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式 一、自主回顾：1．怎么样确定一个多项式的公因式？ 2．提公因式要注意些什么？ 二、自主学习：1．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“―”，使等式成立：（1）()____a b b a -=-； （2）()()22___m n n m -=-；（3）()()33___y x x y -=-； （4）()___b c b c --=+； （5）()2222___s t s t -+=-； （6）()()22___p q p q --=+.（7）m －n － （n －m ＋p ）； （8）（1－x ）（x －2）= （x －1）（x －2）（9）)(=-4y x )(4x y - （10）)(=-5y x)(5x y -2．根据1题情况进行归纳总结：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“＋”或“―”号）：3．指出下列各式中的公因式： （1）()()23a b c b c +-+（2）()()23279a x y b x y +-+ （3）()()235m a b n b a ---4．自主学习教材p47，特别注意例2、3中用数学的什么思想？例3提公因式前做了什么样的变化？5．与时反馈：㈠完成教材第51的随堂练习题 ㈡把下列各式分解因式（1）5（x －y ）3+10（y －x ） （2）（b －a ）2（a －b ）（b －a ）（3）()()()222ab a b a b a ac a b --+---（4）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） 三、合作探究将()()()22331218y x x y y y x -+---分解因式，总结用提公因式法分解因式应注意什么？ 四、过关训练题1．把下列各式分解因式：（1）x 2y －323; （2）a （x －y ）－b （y －x ）（x －y ）;（3）2（x －y ）2+3（y －x ）; （4）()()23515m n n m -+-. （5）（－c ）（a －）+（b －）·（b －a －c ） （6）()()222kk x y y x +-+-；（7）()()2121k k x y y x +--+-. 2．不解方程组23431m n m n -=⎧⎨+=⎩求()()235222n m n n m ---的值.§ 运用公式法（一）学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.一、自主回顾：独立回顾，整式乘法中的平方差公式是；其特点是 . 二、新课合作探究学习1．先独立自主学习教材p54，例1、例2用了怎样的方法分解因式？2．合作探究回答以下问题：①例2中解第1题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a 2－b 2=（）（a －b ）特点：等号左边：（1）是一个_ ；（2）每项都可以化成数（或式）的_ ； （3）这两项的符号_等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积.（2）被减数是左边平方项为_ 的那个数（或式）3．独立完成教材第55页的练习题.三、理论知识运用例1 判断下列分解因式是否正确. （1）()222222a b c a ab b c +-=++- （2）()()()242221111a a a a -=-=+⋅-例2 分解因式（1）()()223649x y x y +--； （2）()()211x b x -+-（x －1）2（1－x ）;（3）（x 21）2－1. （4） 44a b -（5）()23228x x x +-； （6）()()2244x x x +++-. 四、课时小结1．①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. ②分解时一定要分解完整彻底.2．运用平方差公式应注意： 五、课堂过关1、把下列各式分解因式：（1）49x 2－121y 2; （2）－25a 2+16b 2; （3）144a 2b 2－0.81c 2; （4）－36x 264492; （5）（a －b ）2－1; （6）9x 2－（2）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（）2.2、利用分解因式说明257―512能被120整除.§ 运用公式法（二）学习重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 一、自主回顾：1．整式乘法中的完全平方公式是；2．乘法中的完全平方公式的特点 二、新课合作探究学习1、先独立自主学习教材p57，例3、例4用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？2、合作探究回答以下问题：①例4中解第1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a2+22=（）2; a2－22=（a－b）2特点左边的特点有（1）多项式是；（2）其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式） .右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；③形如的式子称为完全平方式3．独立完成教材第58页的练习题.三、理论知识运用例1、将下列各式分解因式（1）a2b2+816c2; （2）4（2a）2－12（2a）+9;（3）1442m－6mn2; （4）51x2y－x4－1002y （5）()422422412x x y y x y++-；（6）()()2222221m n m n-+-+例2、（1）若21y ky++是完全平方式，则k.（2）若23x x k-+是完全平方式，则k.（3）若2930a a m-+是完全平方式，则m.例3、在△中，已知三边a、b、c满足4224332220a ab b a b ab++--=，试判断△的形状.四、课时小结1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有.（2）其中两项，且都可以写成某数（或某式）的，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负.2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底）五、课堂过关1、把下列各式分解因式（1）－4－4x 2－y 2; （2）32+6a 23a 3; （3）（）2－10（）+25;（4）0.25a 2b 2－2; （5）x 2y －69y; （6）2x 3y 2－16x 232x; （7）16x 5+8x 3y24（8）()22241x x -+ （9）()()x x 2221619---+2、（1）若2210049x kxy y -+是完全平方式，则k . （2）若()292416x a x +-+是完全平方式，则a . （3）已知1x y -=，则221122x xy y -+的值为 ．§2.4 因式分解（二）——分组分解法一、分组分解法1、将多项式采用“先部分，后整体”的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解.2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性. 也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式.注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子.3、分组分解法一般有两种情况（1）等项分组. 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式.如223322(33)(22)x xy xz yz x xy xz yz +--=+-+（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解.如222221(2)1a ab b a ab b -+-=-+- 4、分组分解应注意以下几个问题（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解.（2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组.（3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的. 二、典型例题 例1、分解因式：（1）2ab bc ac b --+ （2）393am bm b a -+- （3）22234334x y axz y z ax -+- （4）24144914m mx nx mn -+- 例2、分解因式：（1）2222a b a b -+- （2）22241299x xy z y --+ （3）224484x xy y --- （4）2244241m mn n m n ++--+ 三 、课堂练习把下列各式分解因式：1.2323 axy ax ax y ay --+2. 222444 x xy y z -+-3. 322333 x x y xy y -+-4.2222224 b c b c a -+-（）四、课后作业 1.选择题：（1）下列分解因式，结果正确的是（ ）A ．55()(5)m n my ny m n y +--=+- B. 22()(1)m n m n m n m n +--=++- C. 2233()(3)a a b b a b a b ++-=++- D. 2221(2)(1)(1)x x y x x y y -+-=-+-+（2）分解因式后,结果等于(2)(3)a b +-的多项式是（ ）A. 236ab a b -+-B. 623b a ab --++C. 326ab b a -+-D. 623b a ab -+-+（3）把多项式233x xy y x -+-分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（ ）A ．2(3)(3)x x y xy -+- B. 2(3)3x x y -+ C. 2()(33)x xy y x -+- D. 2(3)(3)x x y xy ---+ 2.填空题： （1）分解因式：ax by bx ay -+-= ；（2）分解因式：22x y ax ay --+= ；（3）分解因式：2221a ab b --+= ；（4）分解因式：2244(4)a ab b -++= ；（5）若2a b +=，则222a ab b a b ++++= ； 3.解答题：（1）若0a b +=，求332222a b a b ab -+-的值 （2）若2222()(10)250x y x y ++-+=，求22x y +的值 （3）计算：22621769473148-⨯-（4）分解因式(1)(2)6x x x --- （5）分解因式22()()ax by bx ay ++-§2.5 因式分解（二）——十字相乘法一、十字相乘法1、使用十字相乘法把二次三项x 2因式分解，如果常数项q分解成a 、b 两个因数的积，并且等于一次项系数p ，则二次三项式2x 2+（）（）（）2、使用十字相乘法把二次三项式2分解因式，如果二次项系数a 分解成a 1、a 2;常数项c 分解成c 1、c 2；并且1 c 2 a 2 c 1等于一次项系数b ,则二次三项式a x 21a 2x 2+（ a 1 c 2+ a 2 c 1） c 1c 2= （a 1 c 1）（ a 22）借助于画十字交叉线排列如下： 二、典型例题例1、把下列各式分解因式：（1）256x x ++ （2）26x x -- （3）256x x +-例2、把下列各式分解因式：（1）26136x x ++ （2）2384a a -+ （3）22584y xy x --例3、把2()3()2x y x y ---+分解因式 ※例4、把2222(2)5(2)3x x x x ----分解因式三、课堂练习： 将下列各式分解因式： 1. 2568x x +-2. 2221012x xy y --3. 222430x xy y --4. 25398x x --5. 262x x --6. 23415x x --7. 4223x x +- 8. 2222248x xy y x y ++--- 9. 222(2)(3)13x x x +++- 四、课后作业 1.选择题：（1）把多项式2151263x x --+分解因式的结果是（ ） A ．1(2)(31)6x x --+ B. 1(1)(32)6x x ---C. 1(2)(31)6x x -+-D. 1(1)(32)6x x -++（2）把多项式432235x x x +-分解因式的结果是（ ） A ．22(5)(7)x x x x -+ B. 22(235)x x x +- C. 2(5)(7)x x x +- D. 2(5)(7)x x x -+（3）在多项式 ①276x x ++；②243x x ++；③268x x ++；④2710x x ++⑤21544x x ++中，有相同因式的是（ ）A ．①② B. ②④ C. ②⑤ D.以上都不正确.（4）若二次三项式212(4)(3)x mx x x --+-分解成，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ． 2-2.填空题： （1）分解因式：2121115x x --= ；（2）分解因式：22910a b ab --= ；（3）分解因式：282221x x --= ；（4）分解因式：222(5)16x x x --= ；3.把下列各式因式分解（1）225-6+73x xy y -（2）217366x x -++（3）222(2)7(2)8x x x x +-+-4.已知222314x xy y -+=，且7x y -=；求2x y -的值.5.若二次三项式23235(0)kx x k +-≠有一个因式是27x +；求k 的值与另一因式.第二章 分解因式（单元归纳）学习重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程： 一、自主复习： 【回顾】1．分解因式的定义：把一个多项式化成 ，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2．分解因式与整式乘法是 变形. 3分解因式的主要方法是 ， ，4．（1）平方差公式：a 22= （2）完全平方公式a 2±22=二、例题精讲（一）利用提公因式法分解因式例1 用提公因式法将下列各式因式分解.（1）34x z x y -+； （2）3x （）+2y （）；（3）（2a ）（2a -3b ）+（2a +5b ）（2a ）； （4）()()324121p q q -+-.（二）利用公式法分解因式例2 把下列各式分解因式.（1）（）2-4a 2； （2）1-1025x 2； （3）（）2-6（）+9.（4）（x 2+4）2-2（x 2+4）+1； （5）（）2-4（1）.（三）利用分组分解法分解因式例3 把下列各式分解因式.（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）22144a ab b --- （4） a 2－b 2－a ＋b（四）利用十字相乘法分解因式 例4 把下列各式分解因式.（1）22421x xy y --； （2） 2295x x +- （3）()()267a b a b +-+-； （4）()()22524x x -+-+（五）综合运用例5 ： 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）x 3-2x 2；（2）x 2（）2（）；（3）（x 2－2x ）2－4（x 2－2x ）－5 （4） a 2＋2＋b 2－－例6（1）试用简便方法计算：1982-396202⨯+2022 （2）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n ，求n ．（3）若9m 2－128n 2－42p 2－44=0，求的值．（4）若x 220能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个（六）课后作业：1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 22=（）（x －y ）B ．x 2－y 2=（）（x －y ）C ．x 22=（）2D ．x 2－y 2=（x －y ）2 2．下列各式不是完全平方式的是（ ）A ．x 2+41 B ．x 2－22C ．x 2y 2+21 D ．m 2－1423．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．m 2－2 B ．（）2－4 C ．x 2－214D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（2）（x －▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，85．若129x 2是一个完全平方式，则k 应为（ ）A.2B.4C.2y2D.4y 26.若x 2+2（3）16, 是一个完全平方式，则m 应为（ ）5 B.3C.7D.7或-17.若n 为正整数，（11）22的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A.11B.22C.11或22D.11的倍数.8．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是．（填上一个你认为正确的即可） 9. 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）（x 2－3）2＋（x 2－3）－2 （2）a 4－2a 2b 2－8b 4 （3）4－6x 3＋9x 2－16 （4） 12+22分解因式（5）()22241x x -+ （6）（x 42-4）（x 42+3）+10.。
北师 八年级 下册 第二章 分解因式全章教案
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1、 已知 ab=7,a+b=6,求多项式 a2b+ab2 的值。 2、多项式 8xmyn-1-12x3myn 的公因式是 1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？ 3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
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活动二：1、找出下列多项式的公因式，尝试把它提出来，从而将下列多 项式进行分解因式： （1）3x+6 （2）7x2–21x
1、分解因式：7x -21x 2、填空： （1） （x+3） –3） = （x ； （4x+y） –y）= （2） （4x ； （3m+2n） （4） （3m–2n）= ；
( ( ( (
) ) ) )
（1）4–m2 ．
（2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
（4）4m3–8m2
（5）–48mn–24m2n3（6）–2x2y+4xy2–2xy
3、利用分解因式法计算： （1）121×0.13+12.1×0.9-12×1.21
5、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 讨 而将多项式化成 法．
八年级数学下册 4.1 因式分解教案1 北师大版(2021-2022学年)
课题：４．1因式分解教学目标:１、理解因数分解的概念，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、体会因式分解与整式乘法在整式变形过程中的互逆关系。
3、培养学生类比的数学思想和逆向运算的能力,逐步形成独立思考，主动学习的习惯.重点与难点分析:重点：因式分解的概念.难点:理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们寻求因式分解的方法.课前准备:教师准备：多媒体课件.学生准备:复习整式的乘法。
教学过程:一、创设情境,自然引入拼图游戏：( 老师课件出示）四个图形能不能拼成一个大的长方形？思考：拼成前后它们面积有什么样的关系?通过前后的面积相等,老师写出关系式，左边是一个多项式,右边是一个整式的乘积的形式，这就是我们即将学习的内容:因式分解的问题.（老师板书课题：４。
1因式分解.）复习回顾：1.整式乘法有几种形式？（1）单项式乘以单项式(2）单项式乘以多项式: a（m+n)=__＿____(３)多项式乘以多项式:(a+ｂ)(m+n）=＿＿___________2。
乘法公式有哪些?(1)平方差公式： (a+b)(a-b）=＿______（2)完全平方公式:（a±b)2=___＿___＿__＿处理方式：让学生独立思考回答,然后老师找个学生用鼠标拼图演示.设计意图:通过一个拼图游戏引入新课,想让学生感受它们面积相等,为因式分解的推出做好铺垫，同时提高学生的学习兴趣，在玩中学，在学中玩。
同时复习回顾整式乘法为新学知识做准备。
二、师生互动,探究新知活动一：议一议993－99能被1００整除吗？你是怎样想的?与同伴交流．９93－99 = 9９×992－99×1 ＝ 9９（99２－１)= 99(99＋1)(99－１)＝ 99×９8×100所以９93—9９能被100整除.还能被哪些正整数整除?(99,９8,980,990,9７０2）(老师点拨:回答这个问题的关键是把９９3—99化成了怎样的形式?）从上面的推导过程看,等号左边是一个数,而等号右边是变成了几个数的积的形式．活动二:比一比如果将上面问题中的99换成a,你能尝试把ａ３—a 化成了几个整式积的形式吗? a3-a=a （ａ2-1)＝ａ(ａ-1)(a+1）从上面的推导过程看,等号左边是一个多项式，而等号右边是变成了几个整式积的形式.处理方式：学生自己独立完成，小组内互相矫正。
最新初中数学八年级下第二章分解因式教案精编版
2020年初中数学八年级下第二章分解因式教案精编版北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式教案回顾与思考一、学情分析：认知基础：回顾本章所学的知识，在应用方面学生掌握较好，对于公式的变式问题对于个别同学仍然没有突破。
二、教材处理中的问题与思考：采用什么形式梳理本章知识能更有效地让学生掌握知识结构以及知识的应用？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：加深学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力。
2、过程与方法：使学生经历探究分解因式的方法的过程，进一步发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力。
3、情感、态度与价值观：有意识地培养学生逆向思考问题的习惯。
（二）教学重点：理清知识脉络，注意知识间的相互联系。
（三）教学难点：符号问题与公式的变式问题；以及灵活运用知识解决综合问题。
（四）教学过程：本章知识结构梳理：分解因式：1、两个概念：（1）分解因式（2）公因式2、两种方法：（1）提公因式法（2）运用公式法3、两个公式：（1）平方差公式（2）完全平方公式4、一种关系：分解因式与整式乘法的互逆关系。
本章专题讲解：一、抓特征，巧妙进行分解因式：分解因式首先考虑提取公因式，然后以整式的项数为线索，当多项式是二项式时，一般可考虑用平方差公式；如果多项式是三项式时，一般可考虑运用完全平方公式，分解因式要分解到不能再分为止。
例1、分解因式（1）a3b-ab3；（2）ax2-2ax+a；（3）x2-y2-z2-2yz二、分解因式的应用：分解因式是一种重要的整式变形，它的应用主要体现在以下几个方面：（1）利用整式乘法的和分解因式的关系，求一些系数的值；（2）利用分解因式，可以整体代入，求一些复杂代数式的值；（3）可以利用因式分解判断多项式的整除性；另外分解因式可使计算简化等。
例2、若整式x2-kx-15分解因式后得(x+5)(x-3)，求k的值。
例3、已知a+b=5，ab=7，求a2b+ab2-a-b的值。
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第二章 《因式分解》§2.1 分解因式学习重点：1．理解因式分解的意义.2．识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】 公式类：()()a b a b +-=2()a b +=2()a b -=（1）单⨯单：3a×4ab= （2）单⨯多：(35)a a b -= （3）多⨯多：(3)(2)x y x y -+=（4）混合乘：x （x-1）（x+1）=二、独立探究问题：分解因式的概念1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个的形式.（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系1．议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是运算.（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想分解因式与整式乘法有什么关系？()ma mb mcm a b c ++++因式分解整式乘法.因式分解与整式乘法是的变形.四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）x +1=x （1+x1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=-（5）2224(2)a ab b a b -+=-（6）2(3)(3)9x x x +-=-五、课堂小结1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 223633(2)a x bx x x a b -+=-B. ()22xy x y xy x y +=+C. 2()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 22963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）22()()a b a b a b +-=-的运算是 （2）3222(2)x x x x -=-的运算是4．计算下列各式： （1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空： （5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（） （7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）§2.2.1 提公因式法（一）学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 学习难点：让学生识别多项式的公因式. 一、自主回顾：1、分解因式的概念.2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系二、自主学习1．公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：⑴公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法. 2．独立将下列各式分解因式（1）3ab 2－3a 2b ; （2）2x 3+2x 2－6x ; （3）－12a 2b +24ab 2; （4）xy －x 2y 2－x 3y 3; 三、小组合作探究：（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？ 答：①、②（2）提公因式要注意些什么？ 答：①、②（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？ 四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能 P48~49 五、课堂小结1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma +mb +mc =m （a +b +c ）. 2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3．找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的； （2）取相同的，的指数取的；4．特别注意：①不要漏项②要防止出现符号问题 六、课堂过关：将下列各式分解因式1．321510a a -；2．224x y xy -；3．64x y x z -； 4．222261530m n mn m n -+； 5．432163256x x x --+； 6．322462a b a b ab -+-； 7．3174m m m x x x ++++（m 是自然数）；8．112416m n m n u v u v ++-+（m ，n 是自然数）.§2.2.2 提公因式法（二）教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 学习难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式 一、自主回顾：1．怎么样确定一个多项式的公因式？ 2．提公因式要注意些什么？ 二、自主学习：1．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“―”，使等式成立：（1）()____a b b a -=-；（2）()()22___m n n m -=-； （3）()()33___y x x y -=-；（4）()___b c b c --=+； （5）()2222___s t s t -+=-；（6）()()22___p q p q --=+. （7）m －n －p =（n －m ＋p ）；（8）（1－x ）（x －2）=（x －1）（x －2） （9）)(=-4yx )(4x y -（10）)(=-5y x )(5x y -2．根据1题情况进行归纳总结：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“＋”或“―”号）：()()()()()______n nn x y n y x x y n ⎧-⎪-=⎨-⎪⎩为偶数为奇数. 3．指出下列各式中的公因式： （1）()()23a b c b c +-+ （2）()()23279a x y b x y +-+（3）()()235m a b n b a ---4．自主学习教材p47，特别注意例2、3中用数学的什么思想？例3提公因式前做了什么样的变化？5．及时反馈：㈠完成教材第51的随堂练习题 ㈡把下列各式分解因式（1）5（x －y ）3+10（y －x ）（2）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）（3）()()()222ab a b a b a ac a b --+--- （4）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） 三、合作探究将()()()22331218y x x y y y x -+---分解因式，总结用提公因式法分解因式应注意什么？ 四、过关训练题1．把下列各式分解因式：（1）x 2y －3xy 2+y 3; （2）a （x －y ）－b （y －x ）+c （x －y ）; （3）2（x －y ）2+3（y －x ）; （4）()()23515m n n m -+-. （5）（a +b －c ）（a －b +c ）+（b －a +c ）·（b －a －c ） （6）()()222kk x y y x +-+-；（7）()()2121k k x y y x +--+-.2．不解方程组23431m n m n -=⎧⎨+=⎩求()()235222n m n n m ---的值.§2.3.1 运用公式法（一）学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. 一、自主回顾：独立回顾，整式乘法中的平方差公式是________________________；其特点是 . 二、新课合作探究学习1．先独立自主学习教材p54，例1、例2用了怎样的方法分解因式？ 2．合作探究回答以下问题：①例2中解第1题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）特点： 等号左边：（1）是一个_；（2）每项都可以化成数（或式）的_； （3）这两项的符号_等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积.（2）被减数是左边平方项为_的那个数（或式）3．独立完成教材第55页的练习题. 三、理论知识运用例1 判断下列分解因式是否正确.（1）()222222a b c a ab b c +-=++- （2）()()()242221111a a a a -=-=+⋅-例2 分解因式（1）()()223649x y x y +--；（2）()()211x b x -+-（x －1）+b 2（1－x ）; （3）（x 2+x +1）2－1. （4）44a b - （5）()23228x x x +-；（6）()()2244x x x +++-.四、课时小结1．①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. ②分解时一定要分解完整彻底.2．运用平方差公式应注意： 五、课堂过关1、把下列各式分解因式：（1）49x 2－121y 2; （2）－25a 2+16b 2; （3）144a 2b 2－0.81c 2; （4）－36x 2+6449y 2; （5）（a －b ）2－1; （6）9x 2－（2y +z ）2; （7）（2m －n ）2－（m －2n ）2; （8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.2、利用分解因式说明257―512能被120整除.§2.3.2 运用公式法（二）学习重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 一、自主回顾：1．整式乘法中的完全平方公式是_______________； 2．乘法中的完全平方公式的特点 二、新课合作探究学习1、先独立自主学习教材p57，例3、例4用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？2、合作探究回答以下问题：①例4中解第1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a 2+2ab +b 2=（a +b ）2; a 2－2ab +b 2=（a －b ）2特点 左边的特点有（1）多项式是；（2）其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式）.右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；③形如的式子称为完全平方式3．独立完成教材第58页的练习题. 三、理论知识运用例1、将下列各式分解因式（1）a 2b 2+8abc +16c 2; （2）4（2a +b ）2－12（2a +b ）+9;（3）1442m －6mn +n 2; （4）51x 2y －x 4－1002y（5）()422422412x x y y x y ++-；（6）()()2222221m nm n -+-+例2、（1）若21y ky ++是完全平方式，则k =__________.（2）若23x x k -+是完全平方式，则k =__________.（3）若2930a a m -+是完全平方式，则m =__________.例3、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足4224332220a a b b a b ab ++--=，试判断△ABC 的形状.四、课时小结1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是： （1）要求多项式有_________.（2）其中两项_____ ，且都可以写成某数（或某式）的____，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负.2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底） 五、课堂过关1、把下列各式分解因式（1）－4xy －4x 2－y 2; （2）3ab 2+6a 2b+3a 3; （3）（s+t ）2－10（s+t ）+25; （4）0.25a 2b 2－a bc+c 2;（5）x 2y －6xy+9y; （6）2x 3y 2－16x 2y+32x; （7）16x 5+8x 3y 2+xy 4 （8）()22241x x -+（9）()()x x 2221619---+ 2、（1）若2210049x kxy y -+是完全平方式，则k =__________. （2）若()292416x a x +-+是完全平方式，则a =__________. （3）已知1x y -=，则221122x xy y -+的值为． §2.4 因式分解（二）——分组分解法一、分组分解法1、将多项式采用“先部分，后整体”的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解.2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性. 也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式.注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子.3、分组分解法一般有两种情况（1）等项分组. 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式.如223322(33)(22)x xy xz yz x xy xz yz+--=+-+3()2()x x y z x y=+-+()(32)x y x z=+-（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解.如222221(2)1a ab b a ab b-+-=-+-2()1(1)(1)a b a b a b=--=-+--4、分组分解应注意以下几个问题（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解.（2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组.（3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的.二、典型例题例1、分解因式：（1）2ab bc ac b--+（2）393am bm b a-+-（3）22234334x y axz y z ax-+-（4）24144914m mx nx mn-+-例2、分解因式：（1）2222a b a b-+-（2）22241299x xy z y--+（3）224484x xy y---（4）2244241m mn n m n++--+三、课堂练习把下列各式分解因式：1.2323axy ax ax y ay--+ 2. 222444x xy y z-+-3.322333x x y xy y-+- 4. 2222224b c b c a-+-（）四、课后作业1.选择题：（1）下列分解因式，结果正确的是（）A．55()(5)m n my ny m n y+--=+-c2c 1a 2a 1 B.22()(1)m n m n m n m n +--=++- C.2233()(3)a a b b a b a b ++-=++- D. 2221(2)(1)(1)x x y x x y y -+-=-+-+ （2）分解因式后,结果等于(2)(3)a b +-的多项式是（）A.236ab a b -+-B.623b a ab --++C.326ab b a -+-D. 623b a ab -+-+（3）把多项式233x xy y x -+-分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（） A ．2(3)(3)x x y xy -+- B.2(3)3x x y -+ C.2()(33)x xy y x -+- D. 2(3)(3)x x y xy ---+ 2.填空题：（1）分解因式：ax by bx ay -+-= ； （2）分解因式：22x y ax ay --+= ； （3）分解因式：2221a ab b --+= ； （4）分解因式：2244(4)a ab b -++= ；（5）若2a b +=，则222a ab b a b ++++=；3.解答题：（1）若0a b +=，求332222a b a b ab -+-的值 （2）若2222()(10)250x y x y ++-+=，求22x y +的值（3）计算：22621769473148-⨯-（4）分解因式(1)(2)6x x x ---（5）分解因式22()()ax by bx ay ++-§2.5 因式分解（二）——十字相乘法一、十字相乘法1、使用十字相乘法把二次三项x 2+px+q 因式分解，如果常数项q 分解成a 、b 两个因数的积，并且a+b 等于一次项系数p ，那么二次三项式2x +px+q=x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）2、使用十字相乘法把二次三项式ax 2+bx+c 分解因式，如果二次项系数a 分解成a 1、a 2;常数项c 分解成c 1、c 2；并且a 1 c 2+ a 2 c 1等于一次项系数b ,那么二次三项式a x 2+bx+c =a 1a 2x 2+（ a 1 c 2+ a 2 c 1）x + c 1c 2= （a 1x + c 1）（ a 2x +c 2）借助于画十字交叉线排列如下： 二、典型例题例1、把下列各式分解因式：（1）256x x ++（）26x x --（3）256x x +-例2、把下列各式分解因式：（1）26136x x ++（2）2384a a -+（3）22584y xy x --例3、把2()3()2x y x y ---+分解因式※例4、把2222(2)5(2)3x x x x ----分解因式三、课堂练习：将下列各式分解因式：1. 2568x x +-2. 2221012x xy y --3. 222430x xy y -- 4. 25398x x -- 5. 262x x -- 6. 23415x x --7. 4223x x +-8. 2222248x xy y x y ++--- 9. 222(2)(3)13x x x +++- 四、课后作业 1.选择题：（1）把多项式2151263x x --+分解因式的结果是（） A ．1(2)(31)6x x --+ B.1(1)(32)6x x ---C.1(2)(31)6x x -+-D. 1(1)(32)6x x -++（2）把多项式432235x x x +-分解因式的结果是（） A ．22(5)(7)x x x x -+ B.22(235)x x x +- C.2(5)(7)x x x +- D. 2(5)(7)x x x -+（3）在多项式①276x x ++；②243x x ++；③268x x ++；④2710x x ++⑤21544x x ++中，有相同因式的是（）A ．①②B. ②④C. ②⑤D.以上都不正确.（4）若二次三项式212(4)(3)x mx x x --+-分解成，则实数m 的值为（） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-2.填空题：（1）分解因式：2121115x x --= ；（2）分解因式：22910a b ab --= ； （3）分解因式：282221x x --= ； （4）分解因式：222(5)16x x x --= ； 3.把下列各式因式分解 （1）225-6+73x xy y -（2）217366x x -++（3）222(2)7(2)8x x x x +-+-4.已知222314x xy y -+=，且7x y -=；求2x y -的值.5.若二次三项式23235(0)kx x k +-≠有一个因式是27x +；求k 的值及另一因式.第二章 分解因式（单元归纳）学习重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程： 一、自主复习： 【回顾】1．分解因式的定义：把一个多项式化成，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2．分解因式与整式乘法是变形. 3分解因式的主要方法是，， .4．（1）平方差公式：a 2-b 2= （2）完全平方公式a 2±2a b+b 2= 二、例题精讲（一）利用提公因式法分解因式例1 用提公因式法将下列各式因式分解.（1）34x z x y -+；（2）3x （a -b ）+2y （b-a ）；（3）（2a +b ）（2a -3b ）+（2a +5b ）（2a +b ）；（4）()()324121p q q -+-. （二）利用公式法分解因式 例2 把下列各式分解因式. （1）（a +b ）2-4a 2；（2）1-10x+25x 2；（3）（m+n ）2-6（m+n ）+9. （4）（x 2+4）2-2（x 2+4）+1；（5）（x+y ）2-4（x+y-1）. （三）利用分组分解法分解因式 例3 把下列各式分解因式.（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102 （3）22144a ab b ---（4） a 2－b 2－a ＋b （四）利用十字相乘法分解因式 例4 把下列各式分解因式.（1）22421x xy y --；（2）2295x x +-（3）()()267a b a b +-+-；（4）()()22524x x -+-+ （五）综合运用例5 ：用适当的方法把下列各式分解因式. （1）x 3-2x 2+x ；（2）x 2（x-y ）+y 2（y-x ）； （3）（x 2－2x ）2－4（x 2－2x ）－5 （4） a 2＋2ab ＋b 2－ac －bc 例6（1）试用简便方法计算：1982-396202⨯+2022 （2）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n ，求n ．（3）若9m 2－12mn+8n 2－4np+2p 2－4p+4=0，求m+n+p 的值．（4）若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个 （六）课后作业：1．下列因式分解正确的是（）A ．x 2+y 2=（x+y ）（x －y ）B ．x 2－y 2=（x+y ）（x －y ）C ．x 2+y 2=（x+y ）2D ．x 2－y 2=（x －y ）2 2．下列各式不是完全平方式的是（）A ．x 2+4x+1B ．x 2－2xy+y 2C ．x 2y 2+2xy+1D ．m 2－mn+14n 23．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A ．m 2－mn+n 2B ．（a+b ）2－4ab C ．x 2－2x+14D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（x+2）（x －▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（） A ．8，1 B ．16，2 C ．24，3 D ．64，8 5．若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2B.4C.2y 2D.4y 2 6.若x 2+2（m-3）x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（） A.-5 B.3 C.7 D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2的值总可以被k 整除，则k 等于（） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数.8．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可） 9. 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）（x 2－3）2＋（x 2－3）－2（2）a 4－2a 2b 2－8b 4 （3）.x 4－6x 3＋9x 2－16（4） 1-x 2+2xy-y 2分解因式 （5）()22241x x -+（6）（x 4+x 2-4）（x 4+x 2+3）+10.。