2013高考数学二轮复习专题演练7.1_数学思想方法---转化与化归思想

2013高考数学二轮复习专题演练

7.1 数学思想方法---转化与化归思想

一、选择题

1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10等于( )

A ．－165

B ．－33

C ．－30

D ．－21 解析：由p p ＋q ＝a p ＋a q ，a 2＝－6，得a 4＝a 2＋a 2＝－12，同理a 8＝a 4＋a 4＝－24，所 以a 10＝a 8＋a 2＝－24－6＝－30.

答案：C

2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是 ( )

A ．－1≤k ≤54

B ．－54

≤k ≤0 C ．0≤k ≤54 D ．－54

≤k ≤1 解析：k ＝cos 2x －cos x －1

＝⎝

⎛⎭⎫cos x －122－54 当cos x ＝12时，k min ＝－54

当cos x ＝－1时，k max ＝1，

∴－54

≤k ≤1，故选D. 答案：D

3．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a

的取值的集合为 ( )

A ．{a |1

B ．{a |a ≥2}

C ．{a |2≤a ≤3}

D ．{2,3}

解析：∵log a x ＋log a y ＝3，∴xy ＝a 3

.∴y ＝a 3x . 由于当x 在[a,2a ]内变化时，都有y ∈[a ，a 2]满足方程，因此[a ，a 2

]应包含函数y ＝a 3x 在[a,2a ]上的值域，也就是函数y ＝a 3x

在[a,2a ]的值域是[a ，a 2]的子集． ∵12a ≤1x ≤1a ，∴a 22≤a 3x

≤a 2. ∴a 22

≥a ，∴a ≥2. 答案：B

4．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )

A ．－2 B.2－2

C ．－1

D ．1－ 2

解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则

(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2

sin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.

答案：D

5．e 416，e 525，e 636

(其中e 为自然常数)的大小关系是 ( ) A.e 416

C.e 525

D.e 636

解析：由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416

，f (5)＝ e 525，f (6)＝e 636

. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2

－2x )

x 4

，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x ) 在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)

，故选A. 答案：A

二、填空题

6．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．

解析：∵f (x )的定义域为x ∈[0,1]，

∴设x ＝sin 2α⎝

⎛⎭⎫0≤α≤π2. 则f (x )＝y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π4∈[1，2]． 答案：[1，2]

7．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的

大小关系是________．

解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题．

由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )的对称轴为x ＝2.

∴f (x )在[2，＋∞)上为单调增函数．

f (1)＝f (2×2－1)＝f (3)

∵f (2)

∴f (2)

答案：f (2)

三、解答题

8．已知非空集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －

≠∅，求实数m 的取值 范围(R －表示负实数集，R ＋

表示正实数集)．

解：设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}

＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1，或m ≥32. 方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，

2m ＋6≥0，

可得m ≥32

. ∴A ∩R －＝∅时，

实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32. ∴A ∩R －≠∅时，

实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．

9．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．

解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.

当⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧

－2(x －1)＋x 2－2x ＋1>02(x －1)＋x 2－2x ＋1>0时， 亦即当⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－4x ＋3>0x 2－1>0(*)时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得 ⎩⎪⎨⎪⎧

x >3或<1x >1或x <－1. ∴x >3或x <－1.

∴当x >3或x <－1时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立．

即：x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立．

10．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，试求m

的取值范围．

解：∵f (x )在区间(0，π)上是增函数，

∴f ′(x )＝1－2m cos x ＋2⎝

⎛⎭⎫m －12cos 2x ＝2[(2m －1)cos 2x －m cos x ＋1－m ]

＝2(cos x －1)[(2m －1)cos x ＋(m －1)]>0