简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟

简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL 模拟

北京东之星应用物理研究所

伍勇 1.引言

COMSOL 携带的案例库里，其中一篇(以下简称< Bandgap >)对砷化镓简单正方格子2D 光子能带进行了完整计算和研究。本文将程序用于简单六方结构，并将结果在此做一介绍。

2. 关于 Floquet (弗洛盖） 波矢F k

这是入门COMSOL 光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例中，在Floquet 周期性边界条件一段写明：

)

d k (i e

)d x (p )x (p

⋅-+=由此我判断Floquet 波矢就是Bloch （布洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：

)sin a n cos a (sin k k 21211F ααα ⨯+=，以正格子基矢21a ,a

表示

（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。 3.几何建模

图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs 作为格点材料，

a 是晶格方向的单位

1b ，

a

=a

a 32=

a i )

a a (a a a x 0

2223213

2π

π=⨯⋅⨯ )

a a (a a a 3211

32

⨯⋅⨯π

里渊区六方结构光子晶体的布图2.

4.二维光子晶体主方程

COMSOL 在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下：

0)()(0

2

01=--⨯∇⨯∇-E j k E r

r ωεσεμ，

在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为，

020=-⨯∇⨯∇E k )E (r ε

电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出 介质中的麦克斯韦方程组

)(D 1ρ=⋅∇ )(B 30=⋅∇

)(t B E 2∂∂-=⨯∇ )(t

D

J H 4∂∂+=⨯∇ E D ε=，H B μ=，E J

σ=

在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。

本文档不考虑磁性质，0=ρ，0=J

，1=r μ

传播模态电场函数

COMSOL

表达为：

)(t i e

z z ik e )y ,x (E )t ,z ,y ,x (E 5ω-= ，

在周期结构中，它应具有Bloch 波的性质，不考虑衰减损耗。注意这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反。

由(2)两端取旋度，将（4）代入得：

2

2t E )E (∂∂-=⨯∇⨯∇

με ， μεω2

2=k 绝缘介质，

2

2020

2

0022n k c k r r r r ==

=μεωμμεεω， r r v c n μεμεεμ

==

=0

0折射率，

1=r μ 2n r =ε，

000c k ω

μεω=

= 为真空波数，应用（5），

如期得到前面提到的< Bandgap >中的假设波方程：

0220=-⨯∇⨯∇E n k )E ( 利用 E E )E ()E ( 22-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇

E 偏振时（又称横磁场模式TM ）对应的二维光子晶体主方程是： )()y ,x (z E k n )y ,x (z E )y x (

602022

22

2=+∂∂+

∂∂ 这里电场方

向平行于z 轴，而磁场方向只分布在x-y 平面内。

二维光子晶体主方程 )(6是计算光子能带的出发点和源依据。 5.折射率色散函数)f (n

)f (n 是COMSOL 计算能带的第二个关键点，描述折射率随频率参量f 的变化。格点材料砷化镓的)f (n ，在< Bandgap >有如下定义

n_GaAs=3.3285e5[s/ m]*c_const/f+3.5031，参变量f,单位Hz ；下限：0，上限：1

]s /m [const _c 299792458=表示真空光速，我在软件

Mathematica 上化简这个函数，给出

f /^*..GaAs _n 131097884950313+=，并绘制图3如下：

的折射率随频率的变化光子晶体图GaA s 3.

经COMSOL 计算机程序进行求解，得到E 偏振情况下2D 介质（GaAs)光子晶体能带结构。

6.光子能带图（选取能量最低的5个能带） (1)沿布里渊区 [10]方向(K →Γ) (图2): (2)沿布里渊区 [01]方向(M →Γ):

(1)

(2)

7. 电场传播模态Z分量)y,x(z E的平面图(1)和高度图(2):

A [10],band=1 （平移组合了6个单胞图）

(1)

(2)

B [01],band=5

(1)

(2)

8.讨论

作者又在文献“Bandgap And Field Propagation Analysis Using Photonic Crystal”（I nternational J ournal of I nnovative R esearch in C omputer and C ommunication E ngineering

An ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015）中，看到晶体周

期单元适合计算机运行的相同本文的图示: