多自由度体系自由振动
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
多自由度自由振动.
1、刚度法：（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y2(t)
质点动平衡方程:
m2 .y.2 r2
y2(t) r2
m1 y..1 r1 0, m2 y..2 r2 0
r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2
y1(t) m1.y.1 r1 y1(t) r1
即: m1 y..1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y..2 k21 y1 k22 y2 0
(m111 )Y1 m212Y2 0 m1 21Y1 (m2 22 )Y2 0 D m111 m212 0
m1 21 m2 22
振型方程：其中：λ=1/ω2
Y1 ，Y2不能全为零。
频率方程
不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。
Y1 12m2 Y2 11m1
Y12 12m2
1.125m/ EI
1
Y22 11m1 2 2.5m/ EI 1.125m/ EI 1
2 1
1 1
Yij为正时 表示质量mi的
运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。
m1Y11Y12
m2Y21Y22
m 2
(2) (1)
32
..
mi yi ri 0
(i 1,2,..., n)
ri ki1 y1 ki2 y2 ... kin yn
(i 1,2,..., n)
m.mmm.1.12n.y....yy....12n.m..2..k.kk.1.21n.11y.yy.111....m.k.kkn.1.22n.22y.y.y2yy...y..2...2.1.n2................kkk.k.1.2nk.k111.1.n2n.ynn..ynykkk..nn1n2.222...0..00............
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
第六节 两个自由度体系的自由振动
4l 3 = , 243EI
δ 12 = δ 21
7l 3 = 486 EI
(2)求自振频率 求自振频率 将柔度系数及m 代入式(11-48)求得 将柔度系数及 1=m2=m代入式 代入式 求得
15ml 3 λ1 = (δ 11 + δ 12 )m = , 486 EI
于是得到两个自振频率
ml 3 λ2 = (δ 11 − δ 12 )m = 486 EI
y1 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 11 − m2 ɺɺ2 (t )δ 12 y y y 2 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 21 − m2 ɺɺ2 (t )δ 22 y y
或
δ 11m1 ɺɺ1 (t ) + δ 12 m2 ɺɺ2 (t ) + y1 (t ) = 0 y y δ 21m1 ɺɺ1 (t ) + δ 22 m2 ɺɺ2 (t ) + y 2 (t ) = 0 y y
大值)和 小值)如下 由此可解出 λ 的两个正实根 λ 1 (大值 和λ 2 (小值 如下： 大值 小值 如下：
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
1 2
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m 2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 例11-9 试求图 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。
解：(1)求柔度系数 求柔度系数 体系有两个自由度。 如图b、 所示 所示。 体系有两个自由度。作 M 1、M图，如图 、c所示。由图乘法求得柔度系数 2
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。
首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。
多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。
对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。
假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。
由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。
具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。
因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。
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50. 图示体系在两等值、反向、共线的集中荷载作用下，未发生刚体位移，因 此为几何不变体系。
二、单项选择题（本大题共 0 分，共 70 小题，每小题 0 分） 1. 力法步骤前四步的顺序是（ ）。设①代表步骤“列写基本方程”、②代表 “确定基本体系”、③代表“确定超静定次数”、④代表“求解系数和自由 项”。 A. ①④②③ B. ②①③④ C. ③②①④ D. ④③②① 2. 两个刚片与地面构成几何不变体系至少需要多少个约束。（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 南京长江大桥属于（ ）结构。 A. 刚架； B. 桁架； C. 组合结构；
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判定其几何组成性质。 31. 平面一般力系的平衡方程一定可以求解出三个未知量。 32. 竖向荷载会在转角位移上作虚功。 33. 均布荷载作用的起始点和终止点处，弯矩图有尖点。 34. 取面积的曲线图形可进行任意拆分,但拆分后每一面积图只能分布杆件的一 侧。 35. 按照静力法标准步骤求解。 36. 自振频率远大于扰频时,动力荷载的作用效应与静力作用相接近。 37. 用力法计算荷载作用下的超静定结构时，解得的多余未知力与结构刚度无 关。由此可知，荷载作用下超静定结构的内力与刚度无关。
27. 控制截面的选取只与截面在杆段上的位置有关。 28. 使用单位荷载法进行超静定结构位移计算时，应保证除单位力外，其余参 与平衡的力都作用在原结构的支座约束方向上。 29. 钢筋混凝土现浇结点在计算简图中一定都简化成刚结点。 30. 如果一个体系可用二元体规则判定其几何组成性质，则无法用二刚片规则
A. 常变体系 B. 瞬变体系 C. 无多余约束几何不变体系 D.B 的弯矩 MB 的影响线，在 E 点处的值为（ ）。
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第12章 结构的动力计算(3)
l2 7m 12EI
w2
1
l2
1.309
EI 1 261 . 86 s m l3
(3)求主振型ri
第一主振型
ห้องสมุดไป่ตู้
r1
Y11 12 m2 1 Y21 11 m1 l1 1
第二主振型
Y12 12 m2 1 r2 Y22 11 m1 l 2 1
w1
1
l1
, w2
1
l2
(4)求主振型
(11m1 1 )Y1 12 m2Y2 0 1
w
2
21m1Y1 ( 22 m2
1) 第一主振型：将w w1代入
w
2
)Y2 0
Y11 12 m2 r1 Y21 11 m1 l1
2) 第二主振型：将w w2代入
y 0 [ ][M ] y
注意：[]与[K]虽然互为逆阵，但[]中之ij与[K]中之kij元素一般并不互 逆（仅单自由度体系例外）。
(2)运动方程的求解
设特解
1 11 m2 2 12 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y 2 m1 y y
1 1
C C C
l /4
M 基1
1 1 B
图
C
M 2图
B B
13ll /64 13l /64 /4
解:(1)求柔度系数ij
A
1 A B 2 C
11
M1M 基 1 l /4 EI
23 dx 24EI
M 基2 图
l /4
22
M 2 M 基2 EI
dx
23 24EI
12.6 多自由度体系的自由振动
将D展开，整理后，得 展开，整理后， 展开
k11 k22 2 k11k22 − k12k21 (ω ) − + =0 m m ω + m1m2 2 1 的两个根， 由此可以解出ω2的两个根，即
2 2
ω12， = ( 2
2
1
k 22
F S1
1
1
k 11
1
k 12
结构所受的力 FS1 、 S 2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 F 应满足刚度方程
FS1 = −(k11 y1 + k12 y 2 ) FS 2 = −(k 21 y1 + k 22 y 2 ) 是结构的刚度系数 kij 是结构的刚度系数
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代入振型方程 得
( k11 − ω 2 m1 )Y12 + k12Y22 = 0 2 k21Y12 + ( k 22 − ω 2 m2 )Y22 = 0
2
同样， 同样，也可求得
Y12 − k12 ρ2 = = 2 Y22 k11 − ω2 m1
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1
2
ω …， n 。 ，
i
n
[Y 2) 确定振型（振动形式），即[Y ( ) ]， ( ) ] ，[Y ( ) ] … [Y ( ) ]，或振型常数 确定振型（振动形式）， ），即 仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性—— ）。并讨论振型的特性 ρ1，ρ2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性 主振型的正交性。 主振型的正交性。
31 多自由度体系的自由振动计算(刚度法)
31 多自由度体系的自由振动计算（刚度法）图1图1a 示一具有n 个集中质量的无重简支梁，它是n 个自由度的体系。
设振动时其上任一质点m i 上的位移为y i ，作用于该质点上的惯性力,可列出n 个动力平衡方程为m y t i i −()k ik 表示图1b 示支座k 发生单位位移在支座i 所产生的反力，即刚度系数。
ikk 1nm km im 1m )b ()a (n y n -m k y k -m y -m 1y 1-m m i1n n n n n n n n nn n m yt k y t k y t k y t m yt k y t k y t k y t m yt k y t k y t k y t ++++=++++=++++=1111112212221122221122()()()()0()()()()0()()()()0(a )式(a )可用矩阵形式表示如下：(b )(c )设=+ωαy Y t sin()}{}{Y Y Y Y n T=12][}{M Y K Y −+=ω02}{}{][}{][M y K y +=0}{}{][}{][K M Y −=ω()02}{}{][][(d )为了得到的非零解，应使系数行列式为零，即：Y K M −=ω02][][(e )n 个自由度的频率方程n n n n n n nn n m m m y t y t y t k k k k k k k k k y t y t y t 121211121212221212()()()()()()0000⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+=M y K y 0}{}{][}{][n =)k k k m k k m k k m k k n n nn nn −−−ωωω(() ()12221222221111212展开上述行列式得到关于ω的2n 次代数方程，求出n 个频率ω1、…、ωn ，其中最小的叫基本频率或第一频率。
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
多自由度体系的振动
振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互 作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自 然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多 种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确 定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信 号，主动改变系统的振动 状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系 统振动能量，被动地抑制 系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法 的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控 制力，通过实时监测和反馈系统振动 状态，主动调整控制力的大小和方向 ，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元 间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散 射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动 形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定 的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗 散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、 振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、 滤波和模数转换，以便进行后续处理 和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的 振动，并使用主动控制算法产生
建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应
[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
－k2
－k2
k2
I＝11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt＝－M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑 阻尼影响）
质点1 fI1 fS1＝－m1x1 t m1xg t －k1x1 t k2x2 t k2x1 t ＝0
即 质点2
即
m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t ＝－m1xg t fI 2 fS2＝－m2x2 t －m2xg t －k2 x2 t x1 t ＝0
矩阵；而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
M xtCx t K x t ＝－M Ixg t （4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝0 M 1 K 其中，0， 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法） 适用条件： • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； • 房屋的总高度不超过40m； • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形 为主； • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略 不计。 结构在地震作用下的反应一第一振型为主， 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 且近似为直线。
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m1?11 ? ?
m2?12 ? 0
m1? 21 m2? 22 ? ?
解得：
?1
?
11 m L3 24 EI
? ? ? ? 称为第j振型A。j ? A1j A2j ?????? Anj T
? [计算举例]
图示体系，EI=常数，质点的质量为m，各杆的长度都 是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。
解：1）2个动力自由度，质点的水平位 移和竖向位移
2）质点在振动过程中有2 个方向的位 移 ，各由2 个方向的惯性力共同产生， 振动方程为：
方程（1）的解设为 ： ?y (t )? ? ?A?sin( ? t ? ? ) 式中，?A?? ?A1 A2 ?????? ? An T
? 把 ?y (t )? ? ?A?sin( ? t ? ? ) 代入（1）
?A? ? ? 2 ?? ???M ???A?
??? ???M ?? ? E ???A?? 0
位移的叠加。写成矩阵的形式为：
? y1(t)? ??11 ?12 ??? ? 1n ? ?m1
0 ? ??y?1(t)?
?? y2 (t)??
? ?
???
? ?
?? yn
? ???
??? n1
? 22
???
? n2
???
?
2n
? ?
? ??
??? ???? ?
???
?
nn
记
?
?
1
?2
----------------（2）
（2）式称为振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不 产生振动）的条件是：
? ? ? ? ? ? M ? ? E ? 0 ---------------------（3）
（3）式称为频率方程
频率方程有n个互不相同的实数根λ1，λ2，...， λn ，对应着n个互不相同的频率；分别代入 （2）式可得到n个线性无关的振型。记，
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2 (t)由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1
y1 (t)
y1(t) ? ?m1?y?1(t)?11 ? m2?y?2?12
? ?
? ?
m2 0
??? mn ??????????????yy???2n?((?tt))??????
? 简写为 ：
?y?t ??? ? ?? ???M ????y?(t)? ------------（1）
?? ? 称为柔度矩阵
?M ? 称为质量矩阵
?y(t)? 称为位移列向量 ??y?(t)? 称为加速度列向量
?A1?? ?A11 ? A21 T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2 与A1的比值，记为
A22 ? ? 2 ? m1? 11
A12
m 2? 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ）
y2(t)= A22sin（ω2t + φ）
同样，称?A2 ?? ?A12 ? A22 T 为第二振型
? 说明
从数学上讲，两个不同实数根（特征根）λ1与λ2对应的两个 振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意 时刻 t 的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方 程的一般解：
y1(t)= A11sin （ω1t + φ ）+ A12sin （ω2t + φ ） y2(t)= A21sin （ω1t + φ ）+ A22sin （ω2t + φ ）
相应的
T1
?
2? ?1
,T2
?
2? ?2
T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? m2? 12 A2 ? 0 ??m1? 21A1 ? ?m2? 22 ? ? ?A2 ? 0
将λ=λ1 代入振型方程中的任意一个方程，
得 A2与A1的比值
记为
A21 ? ?1 ? m1?11
? ? ?
y1(t)? y2 (t)??
?
sin(?
1t
?
?
? )? ?
A11 A21
? ? ?
?
sin(?
2t
?
?
? )? ?
A12 A22
? ? ?
? n个自由度体系的振动及其矩阵表示
n
? 振动方程可表示为 yi (t ) ? ? m j ?y?j (t )? ij j?1
即，第 i 质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生
A11
m2? 12
y1(t)= A11sin（ω1t + φ）
y2(t)= A21sin（ω1t + φ）
显然
y2 (t) ? A21 ? ?1 ? m1?11 (常数）
y1 (t) A11
m2?12
这表示y1与y2是相关的
结构位移形状保持不变的振动形式叫主振型或振型
对应于ω 1的振型称为第一振型，或基本振型
?
? ? ?
m1?
21 A1
?
m2? 22 ? ?
A2 ? 0
此式称为振型方程
考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使
m1? 11 ? ?
m2? 12 ? 0
m1? 21 m2? 22 ? ?
此式称为频率方程
行列式有两个不同实数根λ1与λ2 。记
?1 ?
1
?1
??
2
?
1
?2
则ω1称为第一频率或基本频率；则ω2称为第二频率
L/4
L/4
M2
? 22
?
L3 12 EI
3）求频率
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
记，
?
?
1
?2
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? ? 12 m2 A2 ? 0 ? ? ??? 21 m1 A1 ? m2? 22 ? ? A2 ? 0
y2(t) ? ?m1?y?1(t)?21? m2?y?2?22
式中，δi j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。 i ，j = 1，2
? 设方程的特解形式为
y1(t)= A1sin（ωt + φ） y2(t)= A2sin（ωt + φ）
记
?
?
1
?2
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? m2? 12 A2 ? 0
y1 (t ) ? ? m1 ?y?1 (t)? 11 ? m2 ?y?2? 12
y2 (t) ? ? m1?y?1(t)? 21 ? m2 ?y?2? 22
y1(t)
y2 (t)
? 方程中各个系数意义如下：
P=1
P=1
L/4
L
L/2
L/4
L/4 L/2
? 11
?
11 L3 24 EI
M1 δ12 =δ21 = 0