谈构造法在数学解题中的运用

谈构造法在数学解题中的运用
摘要：“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。

本文从“构造函数”、“构造方程”等常见构造及“构造模型”、“构造情境”等特殊构造出发，例谈构造法在数学解题中的运用。

关键词：构造数学解题
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学中有着极为重要的作用，现举例谈谈其在数学解题中的运用。

一、构造函数
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。

很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。

[例1]（柯西不等式）设a i,b i(i=1,2,…,n)均为实数，证明：
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212
12 证：构造二次函数f(x)=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i i n i i b x b a x a 1212122,则
[例2]已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 （第15届俄罗斯数学竞赛题）
分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。

证：构造函数
f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ∵y,z ∈(0,1),
∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0 f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0 而f(x)是一次函数，其图象是直线， ∴由x ∈(0,1)恒有f(x) ＞0 即(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ＞0 整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ＜1 二、构造方程
方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。

[例3]已知a,b,c 为互不相等的实数，试证： bc (a-b)(a-c) +ac (b-a)(b-c) +ab
(c-a)(c-b) =1 (1)
证：构造方程
(x-b)(x-c)(a-b)(a-c) +(x-a)(x-c)(b-a)(b-c) +))(()
)((b c a c b x a x ----=1 (2)
显然a,b,c 为方程的三个互不相等的实根。

而对任意实数x 均满足（2）式。

特别地，令x=0，即得（1）式。

[例4]设x,y 为实数，且满足关系式： (x-1)3+1997(x-1)=-1
(y-1)3+1997(y-1)=1
则x+y= .（1997年全国高中数学联赛试题）
分析：此题用常规方法，分别求出x 和y 的值后再求x+y 则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉。

若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)= (1-y)3+1997(1-y)=1，利用函数f(t)=t 3+1997t 的单调性，易得x-1=1-y ，自然、简洁。

三、构造复数
复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。

[例5] 若a,b,x,y ∈{正实数},且x 2+y 2=1,求证： a 2x 2+b 2y 2 +a 2y 2+b 2x 2 =≥a+b 证：设z 1=ax+byi ， z 2=bx+ayi ，则 a 2x 2+b 2y 2 +
a 2y 2+
b 2x 2 =∣Z 1∣+∣Z 2∣≥∣Z 1+Z 2∣=∣(a+b)x+(a+b)yi ∣
=(a+b)2
2
y x +=a+b
不等式得证： 四、构造代数式
代数式是数学的重要组成要素之一，有许多性质值得我们去发现和应用。

图1
【例6】证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被17整除。

（首届IMO 试题）
分析：构造代数式9（2x+3y ）-2(9x+5y)，其值等于17y ，能被17整除，结合2与9均与17互素，结论易证。

五、构造数列
相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。

【例7】证明:1
11111+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n
n n (n=1,2,3……)
分析此命题若直接证明，颇具难度，倘若构造数列 x 1=x 2=…=x n =1+1
n
,x n+1=1
利用平均值不等式x 1+x 2+…+x n+1
n+1
≥
n+1
x 1x 2…x n+1 ，顿使命题明朗化。

六、构造几何图形
一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。

【例8】（见【例2】）
证：构造边长为1的正△ABC ，D ，E ，F 为边上三点，
并设BD=x ，CE=y ， AF=z ，如图1
显然有S △BDE +S △CEF +S △ADF <
4
3
即
34 x(1-y)+ 34 y(1-z)+ 34 z(1-x)＜3
4
这道竞赛题能如此简洁、直观地证明，真是妙不可言。

七、构造向量
新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这
一工具来解决.
【例9】已知a,b,c 为正数,求函数y=
2
22
2
)(b
x c a
x +-++的最小值.
解: 构造向量a =(x,a),b =(c-x,b),则原函数就可化为:
y=│a │+│b │≥│a +b │=22)()(b a x c x ++-+=22)(b a c ++ ∴y min =22)(b a c ++ 八、构造模型
数学和其它学科一样，要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想，把数学中的理论作为工作，充分发挥其作用，因而许多问题可通过构造模型来处理 【例11】（哥尼斯堡七桥问题）18世纪
图2。

当地的居民常到这散步，“如何能不重复地一次走遍这 上著名的“七桥问题”。

1735年 欧拉对该问题进行抽象，构造出 图论中的“一笔画”模型（如图3）才知该问题无解， 这一模型的构造充分展示出欧拉超人的智慧。

九、构造情境
有一些问题看似简单，但真正处理起来非难则繁，如能合理、巧妙地构造一些情境，不但易使问题“柳暗花明”，而且其新颖独特的解题模式让人深刻感受到数学思想维的美妙。

【例12】如图4摆放的24张牌，全部反面朝上，以任意一张牌为起点翻牌，一张挨一张翻，只能横着或竖着翻，不能斜着或跳着翻，问能否将每一张牌全部翻过来？
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图4 图5
分析：由于每翻一张牌，翻下一张牌又有若干不同的情况，于是情况尤为复杂，难以一一尝试，我们可以用一特殊的方法来解决此题。

构造如下情境：假设各张牌如图5染上白色或黑色，使得黑白相间。

这样，每张牌的下一张牌就是不同色的。

而由翻牌的规则可知翻完所有的牌时两色牌至多相差一张，但由图5知白色牌比黑色牌多2张，显然不可办得到。

从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。

运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。

参考文献
1、郑毓信，数学方法论。

南宁：广西教育出版社，2001
2、侯繁义，数学思维与数学方法。

长春：东北师范大学出版社，1991
3、叶景梅，楼世拓等。

数论简明教程。

银川：宁夏人民出版社，1998
4、邵光华等，数这思想方法与中学数学，北京：北京师范大学出版社，1999
5、张同君，陈传理等，竞赛数学解题研究，北京：高等教育出版社，2000
6、田发胜，例谈构造复数解题，中学数学教与学，2000（9）
7、王国军，蒋园仙，证明不等式的常用处理技巧，中学数学教与学，2000（10）
8、王复兴，由街头小把式想到的分类问题，数学通报，2002（3）
9、宋玉连，构造法在解题中的应用刍议，连云港教育学院学报，1999（2）。