大学物理-非齐次方程及其次边界条件的定解问题
合集下载
25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数资料
(85)
6
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数
w(x,t) 的表达式：
(1) u(0,t) u1(t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
4
vt (x,0) sin l x.
为了将 v(x,t) 的边界条件也化成齐次，则 w(x)满足
w(0) 3,
w(l) 6.
13
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
l
x,
为了将此方程化成齐次的，自然选取w(x) 满足
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
12
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,
6
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数
w(x,t) 的表达式：
(1) u(0,t) u1(t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
4
vt (x,0) sin l x.
为了将 v(x,t) 的边界条件也化成齐次，则 w(x)满足
w(0) 3,
w(l) 6.
13
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
l
x,
为了将此方程化成齐次的，自然选取w(x) 满足
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
12
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,
数学物理方程非齐次边界条件的处理
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x, 0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
（1） （2）
（3）
设
V
n1
vn
(t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
l
l
l
vn (t)
A'(t) sin
na
l
t
na
l
A(t) cos na
l
t
B(t) cos na t na B(t) sin na t
l
l
l
令 A'(t)sin na t B(t) cos na t 0
l
l
vn(t)
na
l
A'(t) cos na
n
l
x（5）
（4）
其中
fn
(t)
2 l
l 0
f (x,t)sin n
l
xdx
把（4）（5）代入（1）中
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
3.3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
分离变量法(非齐次方程的求解问题)
二阶非齐次常系数微分方程：
y + py + qy = f ( t )
'' '
齐次通解：
y = C 1 y1 ( t ) + C 2 y 2 ( t )
非齐次特解： y * = C 1 ( t ) y1 ( t ) + C 2 ( t ) y 2 ( t ) 非齐次特解：
y = ( C 1 + C 1 ( t )) y1 ( t ) + ( C 2 + C 2 ( t )) y 2 ( t )
此时弦的振动是由两部分干扰引起的,其一是外界的 强迫力,其二是弦所处的初始状态.由物理意义知,这 种振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初 始状态引起的振动之合成.于是我们可以设问题(**) 的解为:
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x, t )
其中
v ( x, t )
( n = 1, 2 )
将此式代入(1.1)式即得定解问题(*)的解
nπ a nπ a y1 (t ) = cos t , y2 (t ) = sin t l l l nπ a C1′(t ) = − f n (t )sin t, nπ a l l nπ a ′ C2 ( t ) = f n (t ) cos t nπ a l nπ a nπ a un (t ) = c1 cos t + c2 sin t+ l l nπ a nπ a ∫ C1′(t )dt cos l t + ∫ C2′ (t )dt sin l t
(t > 0)
1
v ( x , 0 ) = ϕ 1 ( x ) , vt ( x , 0 ) = ψ
对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题
对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 （一）冲量定理法 （二）傅立叶级数法齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题 （一）方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路• 用分解原理得出对应的齐次问题 • 解出齐次问题 • 求出任意非齐次特解 • 叠加成非齐次解方法一冲量定理法前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。
基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.2000(,)0,0(),()tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x φψ====⎧-=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 试设12u u u =+22211221111,(,0)(,0)(),(),(0,)0,(,)0u u a t x u x u x x x tu t u l t ϕψ⎧∂∂=⎪∂∂⎪∂⎨==⎪∂⎪==⎩， ()22222222222,,(,0)(,0)0,0,(0,)0,(,)0u u a f x t t x u x u x tu t u l t ⎧∂∂-=⎪∂∂⎪∂⎨==⎪∂⎪==⎩.物理意义：在时间 0 — t ，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。
222220,0,(,),0,0t t t x x l a t tx f x d ττωωτωωττωω====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩22222,0,(,),0,0t t t x x l v v a t tx v vf x v v ττττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩相应的，我们也可以把位移(,)u x t 也表示为20(,)(,;)d tu x t v x t ττ=⎰，则(,;)v x t d ττ就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，(,,)v x t τ就是定解问题222220,0,(,),0,0t t t x x l a t tx f x d ττωωτωωττωω====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩22222,0,(,),0,0t t t x x l v v a t tx v vf x v v ττττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩的解.非齐次项只存在于τ时刻，其全部效果只是使得弦在τ时刻获得一个瞬时速度.那么由偏微分方程的积分22000222000(,)()v v dt a dt f x t d t x τττττττδττ+++---∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰推导出(,,)(,)t v x t f x tτττ=+∂=∂令 1t t τ=-则定解问题就可以写成这种形式（0t τ=+简写成t τ=）111222221000,0,(,),0,0t t t x x l v v a t t x v v f x v v ττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项，又算入初速度！总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的求解，最后将其叠加111(,)()sin sin n n n n a n v x t B t x l l ππτ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()1(,)()sin sin n n n n a n v x t B t x l l ππττ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 其中 02()(,)sind ln n B f n a lπτξτξξπ=⎰ 201(,)(,;)()sin()sin d tt n n n a n u x t v x t d B t x l lππτττττ∞===-∑⎰⎰11(,)(cossin )sin (1,2,3,)n n n n a n a n u x t C t D t x n l l lπππ∞==+=∑ 12u u u =+ 例题1求定解问题222022sin u u a A t t x ω∂∂-=∂∂， 0x l <<， 0t >， 00x u ==， 0x l u ==， 0t ≥， 00t u ==，0t ut=∂=∂， 0x l ≤≤,其中，a 、0A 、ω均为已知常数解：用冲量定理法进行求解，此时的(,;)v x t τ应当满足定解问题22222v v a t x∂∂=∂∂， 0x l <<， t τ>， 00x v ==， 0x l v ==， t τ≥， 0t v τ==，0sin t vA tτωτ=∂=∂， 0x l ≤≤，即可得出定解问题的一般解1(,;)sin ()cos ()sin n n n n n n v x t C a t D a t x l l l πππτττ∞=⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑根据题意条件可得0n D =，002022sin sin1(1)sin ()ln n A l n C A xdx n al n aπωτωτππ⎡⎤==--⎣⎦⎰ 所以，综上可得(,)(,;)tu x t v x t d ττ=⎰02200412121sin sin sin ()(21)t n A l n n x a t d a n l lπωτπττπ∞=++=•-+∑⎰ []202222041121sin (21)(21)()n A l n x an l n a l πππω∞=+=++-∑ 21(21)sin ()sin n n a l at l πωτωπ+⎡⎤⨯+-⎢⎥⎣⎦方法二：傅立叶级数法前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件中心思想：首先要想办法找到一组本证函数{}(),1,2,3,n X x n =，如果这组函数是完备的，那么就可以将(,)u x t 以及原非齐次方程的非齐次项(,)f x t ，都按照本征函数展开简单选法：对本征函数的选法最简单的是，选择{}(),1,2,3,n X x n =为相应齐次定解问题的本征函数，即要满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件.分离变量法得出的结果提示:把所求的解本身展开为傅里叶级数(,)()()n n nu x t T t X x =∑基本函数族X n(x ) 为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数注意：傅里叶系数()n T t 不是常数，是时间t 的函数。
定解问题：非齐次方程和齐次边界条件的处理课件
化为其次边条的定解问题
精
7
非齐次稳定场问题（泊松方程）
• 利用叠加原理：
泊松方程的一般解 =其一特解+拉普拉斯方程的一般解
化为齐次定解问题
精
8
冲量定理法利用叠加原理非齐次边界条件的定解问题其一特解相应齐次边条定解问题的一般解化为其次边条的定解问题非齐次稳定场问题泊松方程利用叠加原理
定解问题：非齐次方程和齐次 边界条件的处理
精
1
齐次方程+齐次边界
• 分离变量法 • 傅里叶级数法
精
2
非齐次方程+齐次边界
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
u(x, 0) (x) u(x, 0) (x)
• 傅里叶级数法
• 冲量定理法（不要求）
精
3
傅里叶级数法(1)
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
v(x, ) 0 v(x, ) f (x, )
精
6
如何处理非其次边界条件？
• 利用叠加原理
非齐次边界条件的定解问题 =其一特解+相应齐次边条定解问题的一般解
fi Xi i
Ti 2a2T
= Ti (0) i
fi
Ti (0) i
或者
Ti 2a2T Ti (0) i
精
7
非齐次稳定场问题（泊松方程）
• 利用叠加原理：
泊松方程的一般解 =其一特解+拉普拉斯方程的一般解
化为齐次定解问题
精
8
冲量定理法利用叠加原理非齐次边界条件的定解问题其一特解相应齐次边条定解问题的一般解化为其次边条的定解问题非齐次稳定场问题泊松方程利用叠加原理
定解问题：非齐次方程和齐次 边界条件的处理
精
1
齐次方程+齐次边界
• 分离变量法 • 傅里叶级数法
精
2
非齐次方程+齐次边界
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
u(x, 0) (x) u(x, 0) (x)
• 傅里叶级数法
• 冲量定理法（不要求）
精
3
傅里叶级数法(1)
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
v(x, ) 0 v(x, ) f (x, )
精
6
如何处理非其次边界条件？
• 利用叠加原理
非齐次边界条件的定解问题 =其一特解+相应齐次边条定解问题的一般解
fi Xi i
Ti 2a2T
= Ti (0) i
fi
Ti (0) i
或者
Ti 2a2T Ti (0) i
具有非齐次边界条件的问题
(87)
u(x,0) 0,.
解 选用辅助函数 w(x,t) t x t. 令
l
u(x,t) v(x,t) t x t,
则问题(87)化成
l
vt
a 2vxx
x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
13
vt
a 2vxx
w(0,t) 3,
w(l,t) 6.
18
utt a 2u xx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x
l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
这么由代换 u(x,t) v(x,t) w(x),
问题(91)化为下面两个问题：
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )
u2
(t) 2l
u1 (t)
x2
u1 (t)x.
以上4种辅助函数旳情形对热传导方程一样合用。
12
例1 求解下列问题：
ut a 2uxx (0 x l, t 0),
u(0,t) t, u(l,t) 0,
u1 (0)
u1 (0),
1 ( x)
(x)
x lu2Βιβλιοθήκη (0)u1 (0)
u1 (0).
(79) (80) (81) (85) (86)
10
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
第3节(非齐次边界条件的处理)
自由振动问题
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
数理方程 齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
固有函数为：Xn(x) 2、令一般解为：
W ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
17
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
由齐次化原理2，有:
u ( x, t ) W (t , x, )d
.0 2 n x 2 AL 1 ht n a e exp t sin 2 2 n1 n[(n a) L h] L L 2
(a )
(b) 对自由项f(x, t)也按固有函数系展开成傅立叶 级数：
f ( x, t ) f n (t )sin
n 1
n x L
(b)
2 L n x f ( t ) f ( x , t ) sin dx 其中： n 0 L L
(n 1, 2, )
将(a)与(b)代入原方程中可得到：
本次课主要内容
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解 (一)、齐次化原理方法 (二)、固有函数值展开方法
2
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
(一)、齐次化原理方法
先讨论如下定解问题求解：
utt a 2 u xx f (t , x )(t 0,0 x L) u(t ,0) u(t , L) 0 u(0, x ) ( x ), u (0, x ) ( x ) t
**
4
W ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
17
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
由齐次化原理2，有:
u ( x, t ) W (t , x, )d
.0 2 n x 2 AL 1 ht n a e exp t sin 2 2 n1 n[(n a) L h] L L 2
(a )
(b) 对自由项f(x, t)也按固有函数系展开成傅立叶 级数：
f ( x, t ) f n (t )sin
n 1
n x L
(b)
2 L n x f ( t ) f ( x , t ) sin dx 其中： n 0 L L
(n 1, 2, )
将(a)与(b)代入原方程中可得到：
本次课主要内容
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解 (一)、齐次化原理方法 (二)、固有函数值展开方法
2
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
(一)、齐次化原理方法
先讨论如下定解问题求解：
utt a 2 u xx f (t , x )(t 0,0 x L) u(t ,0) u(t , L) 0 u(0, x ) ( x ), u (0, x ) ( x ) t
**
4
非齐次方程的解法
其中
20
因此确定函数vn(t)只需解下列定解问题: 2 2 2 anp (t ) vn (t ) f n (t ), t 0, vn 2 (2.46) l v (0) 0, v (0) 0,( n 1, 2, ). n n
21
拉普拉斯变换简介: 拉普拉斯变换简称为拉氏变换, 是将定义在 t>0区域的函数f(t)变换为另一个复变函数F(p), 对于这个复变函数F(p)又可以变换回原来的 函数f(t). 正变换和反变换的公式为:
两个函数f1(t)和f2(t)做如下运算被称为卷积:
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d
则卷积的拉氏变换等于F1(p)F2(p), 其中F1(p) 是f1(t)的拉氏变换, 而F2(p)则是f2(t)的拉氏变 换, 这在拉氏变换表中也能够查得到.
25
再来谈拉氏逆变换的公式:
f (t )
10
a0 n u ( r , ) r ( an cos n bn sin n) (2.32) 2 n 1 a0 c0 ; an,bn 分别是 an cn 与bn cn . 此式中的 就是 a0 2 最后为了确定系数 an,bn, 利用边界条件(2.26) 得 a0 n f ( ) r0 (an cos n bn sin n ) (2.33) 2 n 1 n n 因此, a0 , r0 an , r0 bn 就是 f()展开为傅里叶级 数的系数, 即有
14
例 解下列定解问题 2u 1 u 1 2u 2 0, r r0 ,0 2p , 2 2 r r r r u | A cos , 0 2 p , A 为常数 . r r 0
非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式
中图分类号 ： ４ １１ ０ １ ． 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
第三讲-非齐次方程定解问题
u0,t ul,t 0 ux,0 0,ut x,0 0
2020/1/28
14
三、非齐次方程及非齐次边界 条件的定解问题
utt a2uxx f x, t , 0 x l, t 0
u0,t u1t, ul,t u2t ux,0 x, ut x,0 x
nz
c
e2pmnt
ux, y, z upmnx, y, z,t
2020/1/28
p , m , n 1
33
6、由初始条件确定系数
ux, y, z,0 x, y, z
Apmn
8 abc
a 0
b 0
cx, y, zsin
0
px sin my sin nz e2pmntdxdydz
l
7
二、非齐次方程及齐次边界条件的定解问题 例3、求两端固定弦的强迫振动的规律
utt a2uxx f x, t , 0 x l, t 0
u0,t ul,t 0 ux,0 x, ut x,0 x
2020/1/28
由于“源项”的 存在，分离变量 法不能直接应用
vx,0 ux,0 wx,0 x2 1 l x
10 5 10
v x,0 t 2020/1/28 ut x,0 wt x,0 0
24
齐次方程 齐次边界条件
非齐次方程 齐次边界条件
分离变量 本征函数展开
本征函数展开
非齐次方程 非齐次边界条件
2020/1/28
18
u(x,t)的方程变为v(x,t)的方程：
vtt a2vxx f x,t wtt a2wxx,
2020/1/28
14
三、非齐次方程及非齐次边界 条件的定解问题
utt a2uxx f x, t , 0 x l, t 0
u0,t u1t, ul,t u2t ux,0 x, ut x,0 x
nz
c
e2pmnt
ux, y, z upmnx, y, z,t
2020/1/28
p , m , n 1
33
6、由初始条件确定系数
ux, y, z,0 x, y, z
Apmn
8 abc
a 0
b 0
cx, y, zsin
0
px sin my sin nz e2pmntdxdydz
l
7
二、非齐次方程及齐次边界条件的定解问题 例3、求两端固定弦的强迫振动的规律
utt a2uxx f x, t , 0 x l, t 0
u0,t ul,t 0 ux,0 x, ut x,0 x
2020/1/28
由于“源项”的 存在，分离变量 法不能直接应用
vx,0 ux,0 wx,0 x2 1 l x
10 5 10
v x,0 t 2020/1/28 ut x,0 wt x,0 0
24
齐次方程 齐次边界条件
非齐次方程 齐次边界条件
分离变量 本征函数展开
本征函数展开
非齐次方程 非齐次边界条件
2020/1/28
18
u(x,t)的方程变为v(x,t)的方程：
vtt a2vxx f x,t wtt a2wxx,
非齐次方程的求解问题
x l
0
t 0 0
0
时刻以前，瞬时热源不起作用， t 0 0 时刻瞬时热源起作用。瞬时热源发出的热量使 系统温度升高。
d
c ( t 0 t 0 ) cf ( x, )
2
0时刻瞬时热源已经作用完， t a u xx 0
可以齐次化。
一、两端固定弦的受迫振动问题：
由于边界条件已是齐次的， 如果能将泛定方程也化成齐次 的，便可以求解。所以用叠加 原理，令
u u
(1)
u
( 2)
utt a 2u xx f ( x, t ) u x 0 0, u x l 0 u t 0 ( x), ut t 0 ( x)
f ( x, )
从时刻 t 0 时刻开始，瞬时力不再起作用，
方程转化为齐次方程。
【例题一】
utt a u xx Acon
2
x
ux
x 0
0 ux
x l
l 0
sin t
u t 0 0 ut
【解】应用冲量定理求解
t 0
0
tt a 2 xx 0 x
从物理学的角度理解，受迫振动是由受迫力引起的振
动与初始状态下引起振动的合成。其中：
u (1)为受迫振动引起的位移， u ( 2 )为初始条件下引起的位移。
第一组方程（关于 u
()
的方程）就是曾经讨论过的，
可以直接求解。方程二（关于 u ( 2 ) 的方程）是非齐次， 但边界条件、初始条件都为齐次的。现关键是如何求解方
定解问题转化为：
t 0 f ( x, )（或采用方程两边积分的形式得到该式）
数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解
Vx0 0,uxL0
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
通过比较系数得：
B0
0
b
A0 B0 Lna 1
A2a 2 B2a 2 a 4
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级 数法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设 置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：
W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
19
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
u2
(t) u1(t) 2L
x2
10
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令： W (x,t) A(t)x2 B(t)x
V
x t0 W (x) 3(1 l ),Vt
非齐次方程的解法
x cos
y
sin
2u
2
1
u
1
2
2u
2
12 2
cos 2
u
|
a
u
| b
0
ab 0 2π
由于齐次之解为
u( ,
)
a0 2
n1
n(an
cos n
bn
sin n
)
因此利用常数变易法令上述问题为:
u( , ) [ An( )cos n Bn( )sin n ] n0
vtbvt22222116214212222221421相加起来即得vxt将这个vxt代入uxtvxtxxyyxbuu用分离变量法求解各种有界问题直角坐标系中的分离变量有界弦的自由振动分离变量法的精神分离变量法的四项步骤特征值问题非齐次方程的求解非齐次边界条件的齐次化1适当选择坐标系
现考虑有界弦(或杆)受强迫力作用所产生的振动 现象:
An(
)
n0
1
An ( )
n2
2
A（n ) cos n
Bn(
)
1
Bn ( )
n2
2
B（n ) sin n
12 2
cos 2
比较两端关于 sin n , cos n 的系数可得:
A2( )
1
A2 ( )
n2
2
A（2 ) 12 2
(e)
An( )
1
An ( )
n2
2
A（n )
2、将未知函数 u(x，t) [或 u(x，y)等]按上面求得 的特征函数展开，其展开系数为另一变量的函数， 代入非齐次方程和初始条件(或另一变量的边界条 件)，得到关于时间因子的常微分方程的初值问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
u(r,) Cr2(a2 r2)sin 2
方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程
有特解
2u x2
2u y2
24Cxy
us (r,) us (x, y) 2C x3 y xy3 Cr4 sin 2
设解为
u(r,) us (r,) v(r,)
v(r, ) 应该满足如下定解问题
2v 0 (r a)
u(x,t) = X(x)T(t)，不能把方程 (1) 化为两个常微分方程。但
其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系
，
可将 u(x,t) 及非齐次项 f (x,t) 按
展开，有
(6-3-4)
(6-3-5)
其中： 把 (4) 和 (5) 代入 (1)，得到
(6-3-6)
再由
的正交性可得
(6-3-7)
v '(x) y1 f (x)
(7)
( y1, y2 )
( y1, y2 )
式中 (y1, y2) = y'2 y1 – y2 y'1 为朗斯基行列式。用 表示式 (7) 中的 x，再对 由 0 到 x 积分，得到
u(x)
x 0
y2 f ( )
( y1, y2 )
d
C1
(x)
x 0
由 (6-3-3),(6-3-4) 可得到初始条件
(6-3-8)
求 u (x,t) 的问题变为在初始条件 (8) 下求解非齐次常微分 方程。由常数变易法可求得
(6-3-9)
把 (6-3-9) 代入 (6-3-4) 式，即为所求。
例：求解下列定解问题
2u 24Cxy (x2 y2 a2 ) U ra 0
(2)
将它代入式 (1)，得到确定 u (x) 与 v(x) 的一个条件：
(uy1 vy2) p(uy1 vy2) q(uy1 vy2) f (x) (3)
确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定
u(x)、v(x) 的条件。为此，对式 (2) 两边求导，得到
y ' (u y1 ' v y2 ') (u ' y1 v ' y2)
(I) 非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解
C1y1(x) C2 y2 (x)
与非齐次方程的特解之和。对于某些类型的非齐次项，
可用待定系数法确定非齐次方程的特解。
(II) 采用常系数变易法求非齐次方程的解。将 C1 变为 u(x)，C2 变为 v (x)，即设式 (1) 的解具有下述形式：
y(x) u(x)y1(x) v(x)y2(x)
vtt a2vxx (0 x l)
v x0 0
v Asin t xl
于是得到 A(x) 的定解问题
解之得到
A
''(
x)
(
)2
A(
x)
0
a
A(0) 0 A(l) A
A( x)
A
sin
l
sin
x
a
a
所以
v(x,
t
)
A
sin
l
sin
x
a
sin
t
(4)
a
于是，w (x,t) 的定解问题是
6.3 非齐次方程及齐次边界条件的定解问题
前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力 的作用，振动纯粹是由初位移和初速度引起的。
驱动力：方程非齐次
边界条件非齐次
如何求解？
补充：非齐次方程
y '' py ' qy f (x)
(1)
设 y1(x), y2(x) 是与式 (1) 相应的齐次方程 y'' + py' + qy = 0 的线性无关的特解。
v
ra Ca4 sin 2
其一般解为
v(r,) rn An sin n Bn cos n n0
由边界条件定出系数
A2 Ca2, An 0, (n 2), Bn 0
解得
v(r,) Ca2r2 sin 2
于是，求得
u(r,) Cr2 a2 r2 sin 2
二、非齐次边界条件的处理 定解问题：
1 r
d dr
r
dBn (r) dr
n2 r2
Bn (r)
0
(n 1, 2,3, ) (n 0,1, 2, )
An (a) 0, Bn (a) 0
易解得
A2 (r) Cr2 (a2 r2 )
An (r) 0
(n 1,3, 4, )
Bn (r) 0
(n 0,1, 2, )
因此，得解为
Tn (t) cos t
t sin fn ( ) d
0
sin t
t cos fn ( ) d
0
(12)
C1
cos
t
C2
sin
t
1
t
0 fn ( )sin (t )d C1 cos t C2 sin t
将式 (12) 代入式 (11)，可得 C1 = n , C2 = n / 。再将
wwt
(x,
x0
t)
Hale Waihona Puke 0a2wxx (x, t) wx xl
(0 0
x
l)
w t0 (q0 k) x
用分离变量法直接求解关于 w(x,t) 的定解问题，得到
w(x,t) 8q0l
(1)n1
[
e
(2n1) a 2l
]2
t
sin
(2n
1)
x
k 2 n0 (2n 1)2
2l
因而
u( x, t )
y1 f ( )
( y1, y2 )
d
C2
(8)
将式 (8) 代入式 (2) 即得式 (1) 的通解为
y y1
x 0
y2 f ( y1
( )
, y2 )
d
y2
x 0
y1 f ( )
( y1, y2 )
d
C1
y1(x)
C2
y2
(x)
(9)
[例1] 求解常微分方程的初值问题
Tn ''(t) 2 Tn (t) fn (t)
u(x,t) v w(x,t)
(4)
并使得 v 满足与 u (x,t) 相同的方程和边界条件。于是， 函
数 w (x,t) 也满足与 u (x,t) 相同的方程，而所满足的边界条
件就是齐次的了。为使 v 的形式尽可能地简单，取它为 x
的线性函数 (这必定满足原来的方程) v = Ax + B， 其中常
端保持恒温 u0，另一端 x = l 有面积热流量为 q0 的定常 热流进入。设杆的初始温度分布也是 u0 ，求杆上的温度 变化。
解： 它的定解问题是
ut (x,t) a2uxx (x,t) (0 x l)
(1)
u x0 u0
ux
xl
q0 k
(2)
u t0 u0
(3)
按照解的叠加原理，我们设法将这个 u (x,t) 的定解 问题分解为 v 的定解问题与 w (x,t) 的定解问题之和，即
说明：
(1) 由于 w (x,t) 的选取有一定的任意性，故用以上方法得 到的解将随 w(x,t) 的不同而不同。但可证明对定解问题 (6-3-10) – (6-3-13) 的解是唯一的；
(2) 这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、 第三类边值问题也可齐次化。
例 长为 l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的 x = 0
u0
q0 k
x
8q0l
k 2
n0
(1)n1 (2n 1)2
[ (2n1) a ]2 t
e 2l
sin
(2n 1) x
2l
例 求解长为 l 的均匀杆的纵振动问题
uuttx(x0 ,t)u0
a2uxx (x, t) u
xl
(0 x
Asin t
l)
(1) (2)
u t0 0
ut t0 0
(3)
C1 及 C2 代入式 (12) 即得解。
现在研究：一、有外力作用的情况 为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，
考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次 的，边界条件和初始条件是齐次的。 例：求两端固定弦的受迫振动的规律。
(6-3-1)
(6-3-2)
(6-3-3)
解：对非齐次方程 (1)，若直接用分离变量的方法，设特解
( n a )
l
(10)
Tn (0) n Tn '(0) n
(11)
解：与式 (10) 相应的齐次方程 Tn'' (t) + 2 T (t) = 0 的线 性无关的特解为 cos t 和 sin t ，朗斯基行列式为
cos t(sin t) (cos t)sin t
代入式 (9) 便有
wtt w
x0
a 2 wxx 0
(0 x l) w 0
xl
w
t
0
0, wt
t0
( A
/ sin
l )sin
a
x
a
只要 w 不是本征振动频率，w n a (n 1, 2,3,...) ，
l 用分离变量法容易求得此定解问题的解。
w(x,t) 2A al
(1)n1
n1 ( )2 ( n )2
解： 为将边界条件齐次化，设
u(x,t) v(x,t) w(x,t)
但是，现在如取 v 为 x 的线性函数，则无法满足边界条