大学物理-非齐次方程及其次边界条件的定解问题

v
ra Ca4 sin 2
其一般解为
v(r,) rn An sin n Bn cos n n0
由边界条件定出系数
A2 Ca2, An 0, (n 2), Bn 0
解得
v(r,) Ca2r2 sin 2
于是，求得
u(r,) Cr2 a2 r2 sin 2
二、非齐次边界条件的处理 定解问题：
Tn (t) cos t
t sin fn ( ) d
0
sin t
t cos fn ( ) d
0
(12)
C1
cos
t
C2
sin
t
1
t
0 fn ( )sin (t )d C1 cos t C2 sin t
将式 (12) 代入式 (11)，可得 C1 = n , C2 = n / 。再将
u(r,) Cr2(a2 r2)sin 2
方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程
有特解
2u x2
2u y2
24Cxy
us (r,) us (x, y) 2C x3 y xy3 Cr4 sin 2
设解为
u(r,) us (r,) v(r,)
v(r, ) 应该满足如下定解问题
2v 0 (r a)
( n a )
l
(10)
Tn (0) n Tn '(0) n
(11)
解：与式 (10) 相应的齐次方程 Tn'' (t) + 2 T (t) = 0 的线 性无关的特解为 cos t 和 sin t ，朗斯基行列式为
cos t(sin t) (cos t)sin t
代入式 (9) 便有
(4)
为方便起见，第二个条件规定上式第二项为零，即
u ' y1 v ' y2 0
(5)
将式 (5) 代入式 (3)，并利用 y1(x) 及 y2(x) 是齐次方程的 解，即有
u ' y1 ' v ' y2 ' f (x)
(6)
将式 (5) 和式 (6) 联立，即可求出：
u '(x) y2 f (x)
y1 f ( )
( y1, y2 )
d
C2
(8)
将式 (8) 代入式 (2) 即得式 (1) 的通解为
y y1
x 0
y2 f ( y1
( )
, y2 )
d
y2
x 0
y1 f ( )
( y1, y2 )
d
C1
y1(x)
C2
y2
(x)
(9)
[例1] 求解常微分方程的初值问题
Tn ''(t) 2 Tn (t) fn (t)
u0
qபைடு நூலகம் k
x
8q0l
k 2
n0
(1)n1 (2n 1)2
[ (2n1) a ]2 t
e 2l
sin
(2n 1) x
2l
例 求解长为 l 的均匀杆的纵振动问题
uuttx(x0 ,t)u0
a2uxx (x, t) u
xl
(0 x
Asin t
l)
(1) (2)
u t0 0
ut t0 0
(3)
1 r
d dr
r
dBn (r) dr
n2 r2
Bn (r)
0
(n 1, 2,3, ) (n 0,1, 2, )
An (a) 0, Bn (a) 0
易解得
A2 (r) Cr2 (a2 r2 )
An (r) 0
(n 1,3, 4, )
Bn (r) 0
(n 0,1, 2, )
因此，得解为
(而非外力频率) 的振动，在实际有阻尼的情况下将随时间
衰减，故常称为瞬态过程。
(2)
将它代入式 (1)，得到确定 u (x) 与 v(x) 的一个条件：
(uy1 vy2) p(uy1 vy2) q(uy1 vy2) f (x) (3)
确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定
u(x)、v(x) 的条件。为此，对式 (2) 两边求导，得到
y ' (u y1 ' v y2 ') (u ' y1 v ' y2)
说明：
(1) 由于 w (x,t) 的选取有一定的任意性，故用以上方法得 到的解将随 w(x,t) 的不同而不同。但可证明对定解问题 (6-3-10) – (6-3-13) 的解是唯一的；
(2) 这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、 第三类边值问题也可齐次化。
例 长为 l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的 x = 0
u(x,t) = X(x)T(t)，不能把方程 (1) 化为两个常微分方程。但
其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系
，
可将 u(x,t) 及非齐次项 f (x,t) 按
展开，有
(6-3-4)
(6-3-5)
其中： 把 (4) 和 (5) 代入 (1)，得到
(6-3-6)
再由
的正交性可得
(6-3-7)
wwt
(x,
x0
t)
0
a2wxx (x, t) wx xl
(0 0
x
l)
w t0 (q0 k) x
用分离变量法直接求解关于 w(x,t) 的定解问题，得到
w(x,t) 8q0l
(1)n1
[
e
(2n1) a 2l
]2
t
sin
(2n
1)
x
k 2 n0 (2n 1)2
2l
因而
u( x, t )
由 (6-3-3),(6-3-4) 可得到初始条件
(6-3-8)
求 u (x,t) 的问题变为在初始条件 (8) 下求解非齐次常微分 方程。由常数变易法可求得
(6-3-9)
把 (6-3-9) 代入 (6-3-4) 式，即为所求。
例：求解下列定解问题
2u 24Cxy (x2 y2 a2 ) U ra 0
wtt w
x0
a 2 wxx 0
(0 x l) w 0
xl
w
t
0
0, wt
t0
( A
/ sin
l )sin
a
x
a
只要 w 不是本征振动频率，w n a (n 1, 2,3,...) ，
l 用分离变量法容易求得此定解问题的解。
w(x,t) 2A al
(1)n1
n1 ( )2 ( n )2
(6-3-14) (6-3-15)
满足条件 (6-3-14) 的 w (x, t) 很多,最简单的是设 w (x, t) 为 x 的线性函数：w (x, t) = A(t) x + B(t),由条件 (6-3-14) 得到
(6-3-16) (2) 求解 v (x,t) 的定解问题
此类问题属于非齐次方程、齐次边界条件问题，已解决。
sin n at sin n x
l
l
(5)
al
(4) 式和 (5) 式之和即是原定解问题的解。在物理上，
(4) 式表示由外力引起的稳恒振动。由于这个外力是在 t = 0
时开始，在端点 x = l 突然加上去的而不是“绝热地” (即
“准静态地”) 加上去的，所以不可避免在同时激发起由
(5) 式描述的振动。后者的特点是，它包括一切本征频率
数
A, B 由边界条件
v x0
u0 和 vx
xl
q0 k
定出，即
A q0 k
B u0
所以
v
t0
q0 k
x u0
既然 v 的定解问题是
vvt
(x,
x0
t)
u0
a
2vxx vx
(0 x xl q0
k
l)
v t0 (q0 k) x u0
那么 w(x,t) = u(x,t) – v 的定解问题则是
v '(x) y1 f (x)
(7)
( y1, y2 )
( y1, y2 )
式中 (y1, y2) = y'2 y1 – y2 y'1 为朗斯基行列式。用 表示式 (7) 中的 x，再对 由 0 到 x 积分，得到
u(x)
x 0
y2 f ( )
( y1, y2 )
d
C1
(x)
x 0
解： 为将边界条件齐次化，设
u(x,t) v(x,t) w(x,t)
但是，现在如取 v 为 x 的线性函数，则无法满足边界条
件 (2)。考虑到本问题的直接扰动源 u|x = l = A sint， 而且这 是频率为 的振动，我们试取
v(x,t) A(x)sin t
适当选取函数 A (x) 使 v (x,t) 满足方程 (1) 和边界条件 (2)：
vtt a2vxx (0 x l)
v x0 0
v Asin t xl
于是得到 A(x) 的定解问题
解之得到
A
''(
x)
(
)2
A(
x)
0
a
A(0) 0 A(l) A
A( x)
A
sin
l
sin
x
a
a
所以
v(x,
t
)
A
sin
l
sin
x
a
sin
t
(4)
a
于是，w (x,t) 的定解问题是
(I) 非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解
C1y1(x) C2 y2 (x)
与非齐次方程的特解之和。对于某些类型的非齐次项，
可用待定系数法确定非齐次方程的特解。
(II) 采用常系数变易法求非齐次方程的解。将 C1 变为 u(x)，C2 变为 v (x)，即设式 (1) 的解具有下述形式：
y(x) u(x)y1(x) v(x)y2(x)
(6-3-10)
(6-3-11)
(6-3-12)
思路：把非齐次边界条件齐次化
(1) 设： u (x,t) = v (x,t) + w (x,t)
(6-3-13)
w (x,t) 满足 u (x,t) 的边界条件，即
w (0, t) = u1(t) w (l, t) = u2(t) 于是 v (0, t) = 0 v (l, t) = 0
6.3 非齐次方程及齐次边界条件的定解问题
前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力 的作用，振动纯粹是由初位移和初速度引起的。
驱动力：方程非齐次
边界条件非齐次
如何求解？
补充：非齐次方程
y '' py ' qy f (x)
(1)
设 y1(x), y2(x) 是与式 (1) 相应的齐次方程 y'' + py' + qy = 0 的线性无关的特解。
u(x,t) v w(x,t)
(4)
并使得 v 满足与 u (x,t) 相同的方程和边界条件。于是， 函
数 w (x,t) 也满足与 u (x,t) 相同的方程，而所满足的边界条
件就是齐次的了。为使 v 的形式尽可能地简单，取它为 x
的线性函数 (这必定满足原来的方程) v = Ax + B， 其中常
C1 及 C2 代入式 (12) 即得解。
现在研究：一、有外力作用的情况 为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，
考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次 的，边界条件和初始条件是齐次的。 例：求两端固定弦的受迫振动的规律。
(6-3-1)
(6-3-2)
(6-3-3)
解：对非齐次方程 (1)，若直接用分离变量的方法，设特解
解 方法一：用相应齐次方程的本征函数展开的方法 设解为
u(r,) An (r)sin n Bn (r) cos n n0
将非齐次项展开，这时只有一项，即
24Cxy 12Cr2 sin 2
将它们代入原方程及边界条件，即得
1 r
d dr
r
dAn (r dr
)
n2 r2
An (r)
12Cr 2n2
端保持恒温 u0，另一端 x = l 有面积热流量为 q0 的定常 热流进入。设杆的初始温度分布也是 u0 ，求杆上的温度 变化。
解： 它的定解问题是
ut (x,t) a2uxx (x,t) (0 x l)
(1)
u x0 u0
ux
xl
q0 k
(2)
u t0 u0
(3)
按照解的叠加原理，我们设法将这个 u (x,t) 的定解 问题分解为 v 的定解问题与 w (x,t) 的定解问题之和，即