三角形的2倍角公式
二倍角公式及半角公式
二倍角公式及半角公式中国传统的数学课本中，一般总会提到二倍角公式和半角公式，它们是研究三角形的重要形式。
本文的目的是通过讨论它们的概念、特点和使用情况，来简单介绍这两个概念，帮助读者更加深入地了解它们。
一、什么是二倍角公式二倍角公式也被称为展开角式，它指的是一个三角形的两个角之和等于180°，一般被写作a+b= 180°。
这是三角形的基本性质。
二倍角公式可用来计算出三角形未知变量时需要求解的其他角度。
例如，已知三角形的两个边长α和β，要求求取该三角形的另一个边角γ，则可以用展开角式求解：α++γ= 180°，所以可以解出γ=180°-α-β。
二、什么是半角公式半角公式也称展开弦式，是指三角形的两边之积等于其夹角的正弦值的平方之差，一般被写作ab=csin（A）sin（B）。
其中，a和b 是三角形的两边，而C则是夹角的正弦值。
例如，已知三角形的一边α和一个夹角的正弦值sinA，要求求取该三角形的另一边β，可以用展开弦式求出：αβ=csin（A）sin （B），得到β=csin（A）sin（B）÷α。
三、运用二倍角公式和半角公式二倍角公式和半角公式都可以用来求解三角形的各种变量和实际应用。
二倍角公式的主要用途是用来求解三角形未知变量的其他角度，在做几何学上求解时，可以用它来根据已知角加以求出未知角，从而能准确求出其他变量。
此外，它还可以用来检验三角形的正确性，即该三角形的两个角之和是否等于180°。
半角公式则可以用来计算三角形的一条边长，在求解时，可以用它来求出一边的长度，从而准确求出其他变量。
它也可以用来检验三角形的正确性，即该三角形的两边之积是否等于其夹角的正弦值的平方之差。
四、总结二倍角公式和半角公式是三角形的基本性质，可用它们求解三角形的各种变量和实际应用。
二倍角公式可用来求取三角形未知变量的其他角度，而半角公式则可以用来计算三角形的一条边长。
初中三角函数常用公式大全
初中三角函数常用公式大全一、基本关系式：1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a，b，c分别为三角形ABC的三边，A，B，C为对应的角，R为三角形的外接圆半径。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦公式：在任意三角形ABC中，有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
4. 余弦公式：在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(c²+a²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab。
二、常用比值关系：1. 任意角的正弦公式：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边。
2. 任意角的余弦公式：在直角三角形中，cosθ=邻边/斜边。
3. 任意角的正切公式：在直角三角形中，tanθ=对边/邻边。
4. 任意角的余切公式：在直角三角形中，cotθ=邻边/对边。
5. 任意角的正割公式：在直角三角形中，secθ=斜边/邻边。
6. 任意角的余割公式：在直角三角形中，cscθ=斜边/对边。
三、特殊角的值：1. π/6的正弦和余弦值：sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/22. π/4的正弦和余弦值：sin(π/4)=cos(π/4)=√2/23. π/3的正弦和余弦值：sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/24. π/2的正弦和余弦值：sin(π/2)=1，cos(π/2)=0。
四、和差化积公式：1. sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
2. cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
3. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
三角函数角度公式
三角函数角度公式三角函数角度公式是指根据不同的角度关系，通过三角函数的函数关系，得到各种角度的相互转化公式。
在数学中，三角函数是研究角度和三角形之间关系的重要工具，它涉及到正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以下将介绍一些常见的三角函数角度公式。
1.基本角度公式：- sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，tan(π/6) = 1/√3- sin(π/4) = √2/2，cos(π/4) = √2/2，tan(π/4) = 1- sin(π/3) = √3/2，cos(π/3) = 1/2，tan(π/3) = √32.基本角度的倍角公式：- sin(2θ) = 2sinθcosθ- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ- tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)3.余弦函数的和差角公式：- cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ4.正弦函数的和差角公式：- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ5.正弦和余弦的平方和恒等式：- sin²α + cos²α = 16.正切函数的和差角公式：- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) 7.三角函数的积化和差公式：- sinαsinβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2- cosαcosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2- sinαcosβ = (sin(α + β) + sin(α - β)) / 28.三角函数的倍角公式：- sin2α = 2sinαcosα- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)9.三角函数的半角公式：- sin(α/2) = ±√((1 - cosα) / 2)- cos(α/2) = ±√((1 + cosα) / 2)- tan(α/2) = ±√((1 - cosα) / (1 + cosα))10.三角函数的倒角公式：- sin(2α) = 2sinαcosα- cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α- tan(2α) = 2tanα / (1 - tan²α)11.三角函数的和差角的三角函数关系：- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)这些角度公式的应用在数学、物理、工程等领域都非常广泛，可以用于解决各种与三角函数相关的问题。
三角变换常用公式汇总
三角变换常用公式汇总三角变换是解析几何中的重要内容之一，它将与三角函数有关的数值转化为与直角三角形边长关联的数值。
在计算中，特殊角和特殊值是常用的，因为它们可以使计算更加简单快捷。
下面是一些常用的三角变换公式和特殊值的汇总。
1.三角函数的定义公式：正弦函数（Sine function）：sinθ = 对边/斜边余弦函数（Cosine function）：cosθ = 邻边/斜边正切函数（Tangent function）：tanθ = 对边/邻边余切函数（Cotangent function）：cotθ = 邻边/对边（注：在上述定义中，θ表示角度，对边表示与角度θ对应的直角三角形中的直角边长，邻边表示与角度θ对应的直角三角形中的与直角边相邻的边长，斜边表示与角度θ对应的直角三角形的斜边边长。
）2.特殊角的值：0度角的正弦、余弦和正切值为0，余切值为无穷大。
30度角（π/6弧度）的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为√3/3，余切值为√345度角（π/4弧度）的正弦值和余弦值均为√2/2，正切值和余切值均为160度角（π/3弧度）的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3，余切值为√3/390度角（π/2弧度）的正弦值为1，余弦值为0，正切值为无穷大，余切值为0。
3.三角函数的和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)cot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)（注：A和B均为任意角度）4.三角函数的倍角公式：s in2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)cot2θ = (cot²θ - 1) / 2cotθ（注：θ为任意角度）5.三角函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]cot(θ/2) = √[(1 + cosθ) / (1 - cosθ)]（注：θ为任意角度）6.三角函数的积化和差公式：sinA sinB = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]cosA cosB = (1/2)[cos(A - B) + cos(A + B)]sinA cosB = (1/2)[sin(A - B) + sin(A + B)]sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]（注：A和B均为任意角度）这些公式和特殊值可以在解析几何中的三角变换中找到广泛的应用。
高中数学3_2二倍角的三角函数教材梳理素材苏教版必修4
高中数学 3.2 二倍角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学 1.二倍角公式在两角和三角公式中，令α=β就可以得到下面的结论： sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos 2α-sin 2α, tan2α=αα2tan 1tan 2-,由于sin 2α+cos 2α=1，所以公式cos2α=cos 2α-sin 2α还可以变形为cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀 在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆. 深化升华 倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用. 对于倍角公式应注意以下几点： (1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠2πk +4π,α≠kπ+2π(k ∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式.(2)二倍角只是一个相对的概念，如：4α是8α的倍角，α±β是2βα±的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式,是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin 3α=2sin 6αcos 6α，cos3α=cos26α-sin26α=2cos26α-1=1-2sin 26α；sin3α·cos3α=21(2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；21sin 63αcos 63α=41sin3α；tan3x=23tan123tan22x x -；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等.应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.(3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α，利用该公式能消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式. 深化升华 由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=αα2tan 1tan 2+、cos2α=αα22tan 1tan 1+-，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数. 2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式.在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用；会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的，但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用.学法一得 运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式. 典题·热题知识点1 二倍角公式 例1 已知sinα=135,α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法.思路一：可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α，cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α.此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α.思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解.解：方法一∵sinα=135,α∈(2π,π), ∴cosα=-α2sin 1-=-1312.∴sin2α=2sinαcosα=-169120,cos2α=1-2sin 2α=169119,tan2α=-119120. 方法二∵sinα=135,∴cos2α=1-2sin 2α=169119.又∵α∈(2π,π)，∴2α∈(π,2π).∴sin2α=-α2cos 12-=-169120，tan2α=-119120.方法归纳 在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给，这就需要分类讨论. 例2 求证：θθθtan 24cos 4sin 1-+=θθθ2tan 14cos 4sin 1-++.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明.证明：原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 44cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+=tan2θ, 左边=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=++-+ =tan2θ=右边.方法归纳 在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式. 例3 若23π＜x ＜2π，化简x 2cos 21212121++. 思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号.根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形. 解：由于23π＜x ＜2π，则43π＜2x ＜π. 所以原式=2cos 2cos cos 212122cos 121212xx x x -==+=++. 方法归纳 解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华 对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准.化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式.例4 求sin6°cos24°sin78°cos48°的值.思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值. 解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°=︒︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin=21·︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 12sin =41·︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 24sin =161·︒︒6cos 96sin =161. 方法归纳 形如cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)或能够化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简. 例5 求(tan10°-3)sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式. 解法一：(tan10°-3)sin40°=(︒︒-︒10cos 10cos 310sin )sin40°=︒︒-=︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒10cos 80sin 10cos 40sin 50sin 210cos 40sin )60sin 10cos 60cos 10(sin 2=-1.解法二：(tan10°-3)sin40°=(tan10°-tan60°)sin40°=(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )sin40°=︒︒︒︒-︒︒60cos 10cos 60sin 10cos 60cos 10sin ·sin40° =︒︒-=︒︒︒-10cos 80sin 10cos 2140sin 50sin =-1. 方法归纳 (1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路.(2)在三角函数式的化简或求值的过程中，还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便. 例6 已知tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角，求α+2β的值. 思路分析：根据已知条件选择正切函数，先求出α+2β的正切值，再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解：∵tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角， ∴0＜α,β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.又∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=43，∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan -+=437114371⨯-+=1.∴α+2β=4π. 方法归纳 在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小，其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称. 问题·探究 交流讨论探究问题 是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形？ 探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么？ 学生甲：由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式.处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx 入手，将二倍角的正弦展开建立关于x 的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可. 师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙：我知道，显然方程可化为cos2x+4sin 2xcosx=2cosx, 即cos2x(2cosx-1)=0，解得cos2x=0或cosx=21. 但接下来怎样求x 的值我还不清楚.学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x 的取值只能是4π，43π，3π.而在这些值中只有3π+3π+3π=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形，它是一个正三角形.探究结论:存在，它是一个正三角形. 思维陷阱探究问题 在处理问题“已知cos(x+4π)=53,2π≤x＜23π,求cos(2x+4π)的值”时，一个同学给出了下面的解题过程： 因为cos(x+4π)=53，所以cos(2x+4π)=2cos 2(2x+4π)-1=2×259-1=-257.上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在上面的解题过程中以为2x 是x 的二倍，则2x+4π也是x+4π的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念.而事实上x+4π的二倍应是2x+2π. 探究结论:上面的解法不正确，正确的解法如下： cos(2x+4π)=cos2xcos 4π-sin2xsin 4π=22(cos2x-sin2x). 因为2π≤x＜2π,则43π≤x+4π＜47π,又cos(x+4π)=53＞0，则sin(x+4π)=-54,则cos2x=sin(2x+2π)=2sin(x+4π)cos(x+4π)=-2524， sin2x=-cos(2x+2π)=2cos 2(x+4π)-1=257,所以cos(2x+4π)=22(cos2x-sin2x)=-50231.。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正切公式的应用
在三角函数求值中的应用
01
利用二倍角的正切公式，可以求出一些特殊角的三角函数值。
在三角函数化简中的应用
02
在化简一些三角函数式时，可以利用二倍角的正切公式将式子
化简为更简单的形式。
在解三角形中的应用
03
在解三角形时，可以利用二倍角的正切公式来求出一些未知角
度或边长。
06
结论
总结二倍角的正弦余弦正切公式
正弦公式
$\sin(2A) = 2\sin Aห้องสมุดไป่ตู้cos A$
余弦公式
$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$
正切公式
$\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$
对三角函数学习的意义
01
02
03
深入理解三角函数的性 质和关系
掌握三角函数在数学和 实际生活中的应用
为后续学习三角函数和 相关学科打下基础
对后续学习的作用
为学习三角函数和解析几何等学科打 下基础
为学习物理、工程、经济等领域中的三角 函数应用提供支持
为进一步学习数学分析、微积分等 高级数学课程打下基础
THANKS
感谢观看
应用举例
在解三角函数方程时，通过使用二倍角的余弦公式可以 将方程化简，从而方便求解。例如，在求解 $\sin(x+60^\circ)$ 时，可以使用二倍角的余弦公式 将 $\sin(x+60^\circ)$ 化为 $\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$，从而简化计算。
互余关系
$\sin(π - α) = \sin α$，$\cos(π α) = - \cos α$，$\tan(π - α) = \tan α$
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中的重要概念，它可以描述角度与三角形之间的关系。
在三角函数的研究中，倍角与半角公式是常用的工具，用于求解一些特殊角度的三角函数值。
本文将介绍三角函数的倍角与半角公式及其应用。
一、三角函数的倍角公式在三角函数中，倍角公式用于求解角度的两倍角的三角函数值。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下倍角公式：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示，角度θ的两倍角的正弦值等于正弦值乘以余弦值的两倍。
2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ根据勾股定理可知，正弦值的平方加上余弦值的平方等于1，因此我们可以将倍角公式表示为：cos(2θ) = 2cos²θ - 1这个公式表示，角度θ的两倍角的余弦值等于余弦值的平方减去正弦值的平方。
3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式表示，角度θ的两倍角的正切值等于正切值的两倍除以1减去正切值的平方。
二、三角函数的半角公式与倍角公式相对应，半角公式则是用于求解角度的一半角的三角函数值。
半角公式的推导相对复杂，但我们可以通过倍角公式的逆运算来得到半角公式：1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √((1-cosθ)/2)这个公式表示，角度θ的一半角的正弦值等于1减去余弦值的一半开平方。
2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = √((1+cosθ)/2)这个公式表示，角度θ的一半角的余弦值等于1加上余弦值的一半开平方。
3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = sinθ/(1+cosθ)这个公式表示，角度θ的一半角的正切值等于正弦值除以1加上余弦值。
三、倍角与半角公式的应用倍角与半角公式在三角函数的求解中具有广泛的应用。
它们可以用于简化复杂角度的三角函数计算，拓展三角函数的性质等。
和角公式与倍角公式
§4.5 和角公式与倍角公式1．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝____________________________ (C α＋β) sin(α－β)＝____________________________ (S α－β) sin(α＋β)＝______________________________ (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，k ∈Z ，且α＋β≠k π＋π2(T α＋β需满足)，α－β≠k π＋π2(T α－β需满足)k ∈Z 时成立，否则是不成立的．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T α±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解． 2．二倍角公式sin 2α＝__________________；cos 2α＝________________＝__________＝__________； tan 2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为：tan α±tan β＝________________________， tan αtan β＝________________＝________________.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝____________或f (α)＝______， 其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β等．1．化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝___________________________________. 2．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为________．3．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．4．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于 ( )A ．－79B ．－19 C.19 D.795．假设sin⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( )A.13 B ．－13 C.79 D ．－79题型一 三角函数式的化简求值问题例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°. 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．探究提高 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；假设角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；假设角的范围是(0，π)，选余弦较好；假设角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤为： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)假设tan α＝2，求f (α)的值；(2)假设x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．探究提高 (1)将f (x )化简是解题的关键，此题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)假设f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．6.构造辅助角逆用和角公式解题试题：(12分)已知函数f (x )＝2cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，假设f (α)＝1，求α的值．审题视角 (1)在f (x )的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式时，可考虑辅助角公式． 标准解答解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x [2分] ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.[6分] (2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，[8分] 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造：f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)．第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中φ为辅助角)． 第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第五步：反思回忆．查看关键点、易错点和解题标准．批阅笔记 (1)在此题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ ＝b a )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 cos(α－φ) (其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率 是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)此题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有：a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．§4.5 和角公式与倍角公式(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19 C.19 D.532．(2011·福建)假设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 3．(2011·浙江)假设0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69二、填空题4．(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x 的值为________． 5．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．6． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝________. 三、解答题7．已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 8．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－222．假设将函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．在△ABC 中，假设tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A cos A ＝34，则△ABC ( )A ．等腰三角形B ．等腰或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 二、填空题4．化简：sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝___________________________________________. 5.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 三、解答题7．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.8．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角,假设cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sinA .答案 要点梳理1．cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α2tan α1－tan 2α3．tan(α±β)(1∓tan αtan β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)－14.a 2＋b 2sin(α＋φ)a 2＋b 2cos(α－φ)基础自测 1.32 2.7133.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z ) 4．A 5.D 题型分类·深度剖析 例1 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°.＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.变式训练1 (1)2sin α(2) 6例2 解 (1)∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 变式训练2 (1)2 (2)1665例3 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 变式训练3 (1)最小正周期为π，最大值为2，最小值为－1(2)3－4310课时标准训练A 组 1．B 2.D 3.C 4.49 5.1－2 6.π27．解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－ 1－sin 2A ＝－25＝－2 55， cos B ＝－ 1－sin 2B ＝－310＝－3 1010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－2 55×⎝⎛⎭⎫－3 1010－55×1010＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4. 8．解 由题意，得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2， 所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6.又f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减， 所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 又f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32. 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值分别为1与－32. B 组1．A 2.D 3.C 4.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2 5．－43 6.10137．解 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 8．解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝－π4＋k π (k ∈Z )时， f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223. 因此sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36.。
19《三角函数-两角和与差二倍角公式》
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
1sin555
5 2 cot 12
例2
P(53 例1)
1 2 设 . , sin , cos 2 9 2 3
50
3
求α+2β。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步 完成：第一步，先求出此角的某一三角函数 值；第二步，再根据此角的范围求出此角。 在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围 缩小，否则易产生增解。
四.给式求值 例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
和sin2a+cos2a的值
5 cos sin 求 sin con 2 2 2 2 2
【作业布置】
三角函数的化简与证明
一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量 不含分母和根号 （2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简 （3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名 化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函 数值互化。
一.给角求值. 例1、计算 sin 40 (tan 10
0 0
3 ) 的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的 特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等，有时需将其转化 成某个角的三角函数，这种技巧在化 简求值中经常用到。
二.给值求值 例2、例2、(P(55) 已知
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.
【初中数学】三角函数公式汇总
定义式函数公式倒数关系：①②③商数关系：平方关系：诱导公式公式1：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式2：设a为任意角，Π+a与a的三角函数值之间的关系：公式3：任意角与a的三角函数值之间的关系：公式4：Π-a与a的三角函数值之间的关系：公式5：与a的三角函数值之间的关系：公式6：Π/2+a及与a的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
基本公式【和差角公式】◆二角和差公式◆三角和公式【和差化积公式】口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．【积化和差公式】【倍角公式】◆二倍角公式◆三倍角公式◆四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)◆五倍角公式◆半角公式（正负由所在的象限决定）◆万能公式◆辅助角公式◆余弦定理◆三角函数公式算面积定理：在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设BC边对应的高是AD，那么△ABC的面积就是AD*BC*1/2。
而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，显然，由此可以得出，AD=ACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：，同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。
◆公式：若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：则S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB.◆反三角函数反三角函数主要是三个：y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]y=arccos(x)，定义域[-1,1] ，值域[0,π]y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】◆反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),。
初等数学的三角公式
初等数学的三角公式初等数学中的三角公式是指与三角函数相关的一些基本公式和恒等式。
三角公式在解决各种数学问题和实际应用中起着重要作用。
本文将介绍一些常见的三角公式，包括正弦定理、余弦定理、正切定理、倍角公式和半角公式。
一、正弦定理正弦定理是三角形中最基本的定理之一。
对于任意三角形ABC，设边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，A、B、C分别为三角形ABC的内角。
正弦定理的应用非常广泛，可以用于求解三角形的边长和角度。
通过已知两边和夹角，可以利用正弦定理计算出第三边的长度；通过已知三边长度，可以利用正弦定理计算出三角形的各个角度。
二、余弦定理余弦定理也是三角形中常用的定理之一。
对于任意三角形ABC，设边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C，则有以下关系成立：c² = a² + b² - 2abcosC其中，C为三角形ABC的内角。
余弦定理的应用范围广泛，可以用于求解三角形的边长和角度。
通过已知两边和夹角，可以利用余弦定理计算出第三边的长度；通过已知三边长度，可以利用余弦定理计算出三角形的各个角度。
三、正切定理正切定理是三角函数中的另一个重要定理。
对于任意三角形ABC，设边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C，则有以下关系成立：tanA = (b+c) / (a-b)tanB = (c+a) / (b-c)tanC = (a+b) / (c-a)正切定理可以用于求解三角形的角度。
通过已知两边长度和夹角，可以利用正切定理计算出第三边的长度。
四、倍角公式倍角公式是三角函数中的重要公式之一，用于计算角的两倍或半角的值。
以下是常见的倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = (2tanA) / (1-tan²A)倍角公式可以用于求解三角函数的特殊值，如sin60°、cos45°等。
三角函数公式大全很详细
高中三角函数公式大全图1 三角函数的定义三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数：•正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数：•正弦函数r •余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数2 转化关系倒数关系平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式倍角公式半角公式万能公式4 积化和差、和差化积积化和差公式证明过程首先,sinα+β=sinαcosβ+sinβcosα已证;证明过程见因为sinα+β=sinαcosβ+sinβcosα正弦和角公式则sinα-β=sinα+-β=sinαcos-β+sin-βcosα=sinαcosβ-sinβcosα于是sinα-β=sinαcosβ-sinβcosα正弦差角公式将正弦的和角、差角公式相加,得到sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ则sinαcosβ=sinα+β/2+sinα-β/2“积化和差公式”之一同样地,运用诱导公式cosα=sinπ/2-α,有cosα+β=sinπ/2-α+β=sinπ/2-α-β=sinπ/2-α+-β=sinπ/2-αcos-β+sin-βcosπ/2-α=cosαcosβ-sinαsinβ于是cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ余弦和角公式那么cosα-β=cosα+-β=cosαcos-β-sinαsin-β=cosαcosβ+sinαsinβcosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ余弦差角公式将余弦的和角、差角公式相减,得到cosα+β-cosα-β=-2sinαsinβ则sinαsinβ=cosα-β/2-cosα+β/2“积化和差公式”之二将余弦的和角、差角公式相加,得到cosα+β+cosα-β=2cosαcosβ则cosαcosβ=cosα+β/2+cosα-β/2“积化和差公式”之三这就是积化和差公式：sinαcosβ=sinα+β/2+sinα-β/2sinαsinβ=cosα-β/2-cosα+β/2cosαcosβ=cosα+β/2+cosα-β/2和差化积公式部分证明过程：sinα-β=sinα+-β=sinαcos-β+sin-βcosα=sinαcosβ-sinβcosαcosα+β=sin90-α+β=sin90-α-β=sin90-αcosβ-sinβcos90-α=cosαcosβ-sinαsinβcosα-β=cosα+-β=cosαcos-β-sinαsin-β=cosαcosβ+sinαsinβtanα+β=sinα+β/cosα+β=sinαcosβ+sinβcosα/cosαcosβ-sinαsinβ=cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα/cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ=tanα+tanβ/1-tanαtanβtanα-β=tanα+-β=tanα+tan-β/1-tanαtan-β=tanα-tanβ/1+tanαtanβ•sin-a=-sina•cos-a=cosa•sinpi/2-a=cosa•cospi/2-a=sina•sinpi/2+a=cosa•cospi/2+a=-sina•sinpi-a=sina•cospi-a=-cosa•sinpi+a=-sina•cospi+a=-cosa•tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数•sina+b=sinacosb+cosαsinb•cosa+b=cosacosb-sinasinb•sina-b=sinacosb-cosasinb•cosa-b=cosacosb+sinasinb•tana+b=tana+tanb/1-tanatanb•tana-b=tana-tanb/1+tanatanb 三角函数和差化积公式•sina+sinb=2sina+b/2cosa-b/2•sina−sinb=2cosa+b/2sina-b/2•cosa+cosb=2cosa+b/2cosa-b/2•cosa-cosb=-2sina+b/2sina-b/2 积化和差公式•sinasinb=-1/2cosa+b-cosa-b•cosacosb=1/2cosa+b+cosa-b•sinacosb=1/2sina+b+sina-b•sin2a=2sinacosa•cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a半角公式•sin^2a/2=1-cosa/2•cos^2a/2=1+cosa/2•tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa万能公式•sina= 2tana/2/1+tan^2a/2•cosa= 1-tan^2a/2/1+tan^2a/2•tana= 2tana/2/1-tan^2a/2其它公式•asina+bcosa=sqrta^2+b^2sina+c 其中,tanc=b/a•asina-bcosa=sqrta^2+b^2cosa-c 其中,tanc=a/b•1+sina=sina/2+cosa/2^2•1-sina=sina/2-cosa/2^2其他非重点三角函数•csca=1/sina•seca=1/cosa双曲函数•sinha=e^a-e^-a/2•cosha=e^a+e^-a/2•tgha=sinha/cosha常用公式表一1;乘法公式1a+b ²=a 2+2ab+b 22a-b ²=a ²-2ab+b ² 3a+ba-b=a ²-b ²4a ³+b ³=a+ba ²-ab+b ² 5a ³-b ³=a-ba ²+ab+b ²2、指数公式：1a 0=1 a ≠0 2a P -=P a 1a ≠0 3a mn=m n a 4a m a n =a n m + 5a m ÷a n =n ma a =a n m - 6a m n =a mn7ab n =a n b n8b an =n nb a 9a 2=a102a =|a| 3、指数与对数关系：1若a b =N,则N b a log = 2若10b=N,则b=lgN3若b e =N,则b=㏑N 4、对数公式：1b a b a =log , ㏑e b=b 2N a aN =log ,e Nln =N3aNN a ln ln log =4a b b e a ln = 5N M MN ln ln ln += 6N M N M ln ln ln -= 7M n M nln ln = 8㏑n M =M nln 15、三角恒等式：1Sin α²+Cos α²=1 21+tan α²=sec α²31+cot α²=csc α² 4αααtan cos sin = 5αααcot sin cos =6ααtan 1cot = 7ααcos 1csc = 8ααcos 1sec =1αααcos sin 22sin = 2ααα2tan 1tan 22tan -=3ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式降幂公式：12sin α2=2cos 1a - 22cos α2=2cos 1a +32tan α=a a sin cos 1+=a a cos 1sin +9、三角函数与反三角函数关系：1若x=siny,则y=arcsinx 2若x=cosy,则y=arccosx 3若x=tany,则y=arctanx 4若x=coty,则y=arccotx10、函数定义域求法：1分式中的分母不能为0, a 1α≠02负数不能开偶次方, a α≥0 3对数中的真数必须大于0, N a log N>0 4反三角函数中arcsinx,arccosx 的x 满足：--1≤x ≤1 5上面数种情况同时在某函数出现时,此时应取其交集;11、直线形式及直线位置关系：1直线形式：点斜式：()00x x k y y -=-斜截式：y=kx+b两点式：121121x x x x y y y y --=--2直线关系：111:b x k y l += 222:b x k y l +=平行：若21//l l ,则21k k = 垂直：若21l l ⊥,则121-=⋅k k常用公式表二1、求导法则：1u+v /=u /+v / 2u-v /=u /-v /3cu /=cu /4uv /=uv /+u /v 52v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2、基本求导公式：1c /=0 2xa /=ax1-a 3ax /=a xlna4e x /=e x 5㏒a x /=a x ln 1 6lnx /=x 17sinx /=cosx 8cosx /=-sinx9tanx /=2)(cos 1x =secx 210cotx /=-2)(sin 1x =-cscx 211secx /=secxtanx 12cscx /=-cscxcotx13arcsinx /=211x - 14arccosx /=-211x -15arctanx /=211x + 16()211cot x x arc +-='3、微分1函数的微分：dy=y /dx2近似计算：|Δx|很小时,f ()x x ∆+0=fx 0+f/x 0x ∆4、基本积分公式1kdx=kx+c 2C x a dx x a a ++=+⎰111 3c x dx x +=⎰ln 14C aa dx a x x+=⎰ln 5⎰+=c e dx e xx 6⎰+-=C x xdx cos sin7⎰+=C x xdx sin cos 8C x dx xxdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22 9c x dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210⎰+=-cx dx x arcsin 11211c x dx x +=+⎰arctan 1125、定积分公式：1⎰⎰=babadtt f dx x f )()( 2⎰=aadx x f 0)(3()()dx x f dx x f abb a⎰⎰-= 4⎰⎰⎰+=bacabcdxx f dx x f dx x f )()()(5若fx 是-a,a 的连续奇函数,则⎰-=aadx x f 0)(6若fx 是-a,a 的连续偶函数,则:6、积分定理：1()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ⎰⎰- = aa a dx x f dx x f 02()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2 3若Fx 是fx 的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f bab a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2 ()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx xa +=-⎰arcsin 1422 ()C a x ax a dx a x ++-=-⎰ln 2115228．积分方法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。
倍角公式和半角公式
半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-cosα)/si nα=+或-[1-cosα）/（1+c osα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαco sαt an2α=2t anα/(1-tan^2(α))c os2α=c os^2(α)-si n^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2si n^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：si n(2α)=2sinα·c osαc os(2α)=c os^2(α)-sin^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：si n3α=3sinα-4si n^3(α)c os3α=4c os^3(α)-3c osαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nα·万能公式：si nα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]c osα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：si nα·cosβ=(1/2)[si n(α+β)+sin(α-β)]c osα·si nβ=(1/2)[si n(α+β)-sin(α-β)]c osα·c osβ=(1/2)[c os(α+β)+c os(α-β)]si nα·si nβ=-(1/2)[c os(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：si nα+si nβ=2si n[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]si nα-si nβ=2cos[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]c osα+c osβ=2c os[(α+β)/2]c os[(α-β)/2]c osα-c osβ=-2si n[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]·其他：si nα+si n(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+si n(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0c osα+c os(α+2π/n)+c os(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及si n^2(α)+si n^2(α-2π/3)+si n^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：si n4A=-4*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1))c os4A=1+(-8*c os A^2+8*c os A^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：si n5A=16si nA^5-20si nA^3+5si nAc os5A=16c os A^5-20c os A^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：si n6A=2*(cosA*si nA*(2*si nA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*si nA^2))c os6A=((-1+2*c os A^2)*(16*c os A^4-16*c os A^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：si n7A=-(sinA*(56*si nA^2-112*si nA^4-7+64*si nA^6))c os7A=(c osA*(56*c osA^2-112*c osA^4+64*c os A^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：si n8A=-8*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1)*(-8*si nA^2+8*sinA^4+1))c os8A=1+(160*c os A^4-256*c os A^6+128*c os A^8-32*c os A^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：si n9A=(sinA*(-3+4*si nA^2)*(64*sinA^6-96*si nA^4+36*si nA^2-3))c os9A=(c osA*(-3+4*cosA^2)*(64*c os A^6-96*cosA^4+36*c os A^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：si n10A=2*(c os A*sinA*(4*sinA^2+2*si nA-1)*(4*sinA^2-2*si nA-1)*(-20*si nA^2+5+16*si nA^4))c os10A=((-1+2*c os A^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*c os A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
三角函数的倍角公式
三角函数的倍角公式三角函数是数学中的重要概念，它在几何和物理等众多领域中有着广泛的应用。
在三角函数中，倍角公式是一项重要的推导公式，可以简化计算和求解问题的过程。
本文将介绍三角函数的倍角公式及其应用。
一、正弦函数的倍角公式正弦函数是三角函数中的一种，用简写为sin，表示一个角的对边与斜边的比值。
正弦函数的倍角公式表示一个角的两倍角的正弦值与原角的正弦值之间的关系。
设一个角为α，则其两倍角为2α。
根据正弦函数的定义，有：sin(2α) = 2sinαcosα这就是正弦函数的倍角公式。
二、余弦函数的倍角公式余弦函数是另一种常见的三角函数，用简写为cos，表示一个角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的倍角公式表示一个角的两倍角的余弦值与原角的余弦值之间的关系。
设一个角为α，则其两倍角为2α。
根据余弦函数的定义，有：cos(2α) = cos²α - sin²α这就是余弦函数的倍角公式。
三、正切函数的倍角公式正切函数是三角函数中的另一种，用简写为tan，表示一个角的对边与邻边的比值。
正切函数的倍角公式表示一个角的两倍角的正切值与原角的正切值之间的关系。
设一个角为α，则其两倍角为2α。
根据正切函数的定义，有：tan(2α) = (2tanα) / (1 - tan²α)这就是正切函数的倍角公式。
四、应用示例下面通过一个应用示例来展示三角函数的倍角公式的实际应用。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，斜边的长度为5。
求这个三角形的另一个角的角度。
首先根据正弦函数定义，我们可以得到：sinθ = 对边 / 斜边 = 3 / 5然后，根据反正弦函数，可以求得这个角的度数为sin⁻¹(3/5) ≈ 36.87°。
接下来，利用正弦函数的倍角公式，可以求得这个角的两倍角的sin值：sin(2θ) = 2sinθcosθ代入sinθ = 3/5，可以得到sin(2θ) = 2 * (3/5) * (4/5) = 24/25。
三角函数倍角半角公式大全
三角函数倍角半角公式大全三角函数是数学中的一个重要分支，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
其中，倍角公式和半角公式是三角函数中常见的一类公式，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而方便求解问题。
在本文中，我们将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，帮助读者更好地理解和应用这些重要的数学工具。
1.倍角公式的概念和推导在三角函数中，倍角指的是角度的两倍。
而倍角公式则是用来表示一个角的两倍的三角函数值与该角的三角函数值之间的关系。
常见的倍角公式包括正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式和正切函数的倍角公式。
1.1正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ表示原角的大小。
这个公式可以通过利用三角形的性质和勾股定理来进行推导。
假设在单位圆上，一个角的终边与x轴的交点为P(x, y)，那么P点的坐标可以表示为(cosθ, sinθ)。
因此，角2θ的终边与x轴的交点可以表示为(cos2θ, sin2θ)。
通过单位圆的性质，我们可以得到：cos2θ = cos^2θ - sin^2θsin2θ = 2sinθcosθ将sin2θ的表达式带入上述公式中，即可得到正弦函数的倍角公式。
1.2余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θcos(2θ) = 2cos^2θ - 1cos(2θ) = 1 - 2sin^2θ这个公式可以通过正弦函数的倍角公式推导得到。
首先，根据正弦函数的倍角公式，我们可以将cos2θ表示为cos2θ = 1 -2sin^2θ。
然后，利用三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，可以将cos2θ用sinθ表示出来。
1.3正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)这个公式可以通过利用sin2θ和cos2θ的表达式，以及tanθ = sinθ/cosθ的表达式，将sin2θ和cos2θ用tanθ表示出来，并进行简化得到。
三角函数计算公式大全
三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
定义式锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典[1]．函数关系倒数关系：①；②；③商数关系：①；②．平方关系：①；②；③．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形二倍角公式
复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式
如何求得sin2α？
二倍角的正弦公式：
sin2A ＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A 二倍角的正切公式：
tan2A ＝
22tan A 1tan A －
例1、求值：
（1）00sin 2230'cos2230'
（2）00sin15sin 75
（3）22sin cos 88π
π
-
（4）20
01tan 75tan 75
－ （5）sin cos cos cos 4848
2412ππππ （6）22cos
18π-
例2、口答：
cos__sin__24sin )1(=α
__sin __cos 2cos )2(22-=α
__tan 1tan__23tan )3(2-=
α
对公式的再认识：
(1) 适用范围：二倍角的正切公式有限制条件： A ≠kπ＋2π且A ≠k 2π＋4
π (k ∈Z )； (2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。
(3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。
例3、设α∈(
2
π，π)，sin α＝1213， 求2α的正弦、余弦和正切。
例4、试用完全平方式表示下列各式
（1）1sin2α+
（2）1sin2α-
（3）1cos2α+
（4）1cos2α-
例5、化简： (1)
1cos 1cos αα＋－
(2)
α∈(－2π，0)
(3)
α∈(π，32π)
(4)
α∈(32
π，2π)
小结：
倍角公式：
sin2A ＝2sinAcosA
cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A tan2A ＝
22tan A 1tan A
－
化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A ＝(sinA ＋cosA)2，
1－sin2A ＝(sinA －cosA)2
1＋cos2A ＝2cos 2A
1－cos2A ＝2sin 2A
降幂公式 cos 2A ＝
1cos 2A 2
＋ sin 2A ＝1cos 2A 2－
例：已知等腰三角形ABC 的一个底角A 的余弦值等于
35
，求顶角C 的正弦值。
思考：C 是锐角还是钝角？
[例3] 用cos α表示cos3α；
用sin α表示sin3α。
[例5] 求证：(1)tan(4π＋x)－tan(4π－x)＝2tan2x
[例6]求证：
1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ-=--+－
[例7]求值：cos200 cos400 cos800。