大学物理-解析延拓与孤立奇点 例题
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如sin果z–sainak的 一 2阶(k零点0,，1因, 2而, 是，) 函此数导数不1为零的，一故阶z1为极函点数。
sin z sin a
当 a k 时，需要求sinz–sina的二阶导数：
2
(sin
z
sin
a)z1
sin
z1
sin(
k
Fra Baidu bibliotek
2
2n )
0
这表明，当 a k 时，
2
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 的极点。
sin z sin a
为了判断零点的阶数，可以将sinz–sina 在z1, z2 作泰勒 展开，看其不为零的最小正幂项的幂次为多少，也可求
sinz–sina在z1, z2 点的导数值，看其不为零的导数的次数 为多少。
(sin z sin a)z1 cos(2n a)
第三章 解析延拓与孤立奇点 例题
3.1 单值函数的孤立奇点
例1：判断z = nπ(n=0, ±1, ± 2…)是 f (z)=1/sinz 的几阶极点？ 解法一：因sin nπ = 0，可知 z = nπ 是 f (z)的极点。 由于
故 z = nπ是 f (z)的一阶极点。 解法二：因z = nπ 是 g(z)=sinz 的一阶零点，即
z1是sinz–sina 的二阶零点，
从而是函数
sin
z
1
sin
a
的二阶极点。
同理可证，当
a
k
2
时，z2 是
sin
1 z sin
a 的一阶极点；
当
a
k
2
时，
z2
是
1 的二阶极点。
sin z sin a
所以 z = nπ 是 f (z) = 1/g(z) = 1/sinz 的一阶极点。
例2
求函数
1 sin z sin a
有哪些极点，并判断极点的阶数。
解：sinz–sina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。
sin z sin a 0 sin z sin a
此三角方程有解：
z1 2n a z2 (2m 1) a (n, m 0, 1, 2, )
sin z sin a
当 a k 时，需要求sinz–sina的二阶导数：
2
(sin
z
sin
a)z1
sin
z1
sin(
k
Fra Baidu bibliotek
2
2n )
0
这表明，当 a k 时，
2
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 的极点。
sin z sin a
为了判断零点的阶数，可以将sinz–sina 在z1, z2 作泰勒 展开，看其不为零的最小正幂项的幂次为多少，也可求
sinz–sina在z1, z2 点的导数值，看其不为零的导数的次数 为多少。
(sin z sin a)z1 cos(2n a)
第三章 解析延拓与孤立奇点 例题
3.1 单值函数的孤立奇点
例1：判断z = nπ(n=0, ±1, ± 2…)是 f (z)=1/sinz 的几阶极点？ 解法一：因sin nπ = 0，可知 z = nπ 是 f (z)的极点。 由于
故 z = nπ是 f (z)的一阶极点。 解法二：因z = nπ 是 g(z)=sinz 的一阶零点，即
z1是sinz–sina 的二阶零点，
从而是函数
sin
z
1
sin
a
的二阶极点。
同理可证，当
a
k
2
时，z2 是
sin
1 z sin
a 的一阶极点；
当
a
k
2
时，
z2
是
1 的二阶极点。
sin z sin a
所以 z = nπ 是 f (z) = 1/g(z) = 1/sinz 的一阶极点。
例2
求函数
1 sin z sin a
有哪些极点，并判断极点的阶数。
解：sinz–sina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。
sin z sin a 0 sin z sin a
此三角方程有解：
z1 2n a z2 (2m 1) a (n, m 0, 1, 2, )