(完整版)初中三角函数基础知识完整剖析(全)
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曲老师推荐中考数学专题之:
初中三角函数完整剖析
一、 重点、难点剖析
1. 正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数,由于任意一个锐
角都可以看作是直角三角形的一个角(显然这样的直角三角形都是相似的).因此,我们在直角三角形中,就可以对这个锐角A作出如下的定义: sinA =c
a ,
cosA =c
b ,
tgA =b
a ,
ctgA =a
b .
其中a 、b 分别为∠A的对边和邻边,c 为斜边.
学习锐角三角函数时首先要熟知定义,切不可以张冠李戴,只有在理解的基础上熟记,在运用中加深理解.
2. 学习正切和余切时,要充分利用学过的正弦和余弦,经常地把它们加以比较,就会既见到许多相
类似的地方,又重视它们的区别,不至于产生混淆. 如,在Rt △ABC 中,∠C=90°. sinA =cosB =c a
; cosB =sinB =c b ; tgA =ctgB =
b
a ; ctgA =tgB =a
b .
这种互为余角的三角函数关系,为我们把它化为同角的三角函数创造条件,这在解题中是经常用到的.
若∠α、∠β都是锐角,且∠α>∠β. 则 sin α>sin β;
tg α>tg β;
cos α<cos β; ctg α<ctg β.
可见一个锐角的正弦值(或正切值)随着锐角的增大而增大;余弦值或余切值随着锐角的增
大而减小,这就为比较三角函数值的大小提供了依据.
如,比较tg43°与ctg57°的大小
∵ tg43°=tg(90°-47°)=ctg47°, 而ctg47°>ctg57° 即tg43°>ctg57°
值得一提的事,比较两个三角函数值的大小,通常总是先把它们化为同名三角函数.
a
C b
3.要熟记特殊角的三角函数值
学习正弦和余弦时已经知道,30°、45°、60°称为特殊角,对于这些角的各个三角函数值应用极为广泛,必须熟记.
角度α
函数值
函数
名称
30°45°60°
正弦
sinα2
1
2
2
2
3
余弦
cosα
2
3
2
2
2
1
正切
tgα
3
3
1
3
余切
ctgα
3
1
3
3
怎样熟记呢?
正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2,而分子,正弦为1(=1)、2、3;余弦为3、2、1(=1),分别读作根号1、2、3;根号3、2、1.
正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是3,分子则为(3)1、(3)2、(3)3,即
tg30°=
3
3
=
3
)3
(1
,tg45°=
2
3
)3
(
=
3
3
=1
tg60°=
3
3
)3(=333=3. 余切则相反.
必须告诉大家,0°、90°也是特殊角,且
sin 0°=0, cos0°=1, tg0°=0, ctg0°不存在; sin 90°=1, cos90°=1, tg90°不存在, ctg90°=0. 因此,今后我们指的特殊角是:0°、30°、45°、60°、90°.
4.同角三角函数间的关系 同角三角函数间存在以下关系: 平方关系: sin 2
α+cos 2α=1; 商的关系: tg α=α
αcos sin , ctg α=
α
α
sin cos ;
倒数关系: tg α=
αctg 1, ctg α=α
tg 1.
理解.如,
sin 2
α+cos 2α
=(c a )2+(c
b )2
=2
2+2c b a =1 (c 2=a 2+b 2);
α
α
ctg cos =a
b c b =
c
a
= sin α; tg α·ctg α=b
a ·a
b =1, 即tg α
a C