(完整版)初中三角函数基础知识完整剖析(全)

曲老师推荐中考数学专题之：
初中三角函数完整剖析
一、 重点、难点剖析
１. 正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个锐
角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义： sinA ＝c
a ,
cosA ＝c
b ,
tgA ＝b
a ,
ctgA ＝a
b .
其中a 、b 分别为∠Ａ的对边和邻边，c 为斜边．
学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解．
２. 学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多相
类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆． 如，在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝９０°． sinA ＝cosB ＝c a
; cosB ＝sinB ＝c b ; tgA ＝ctgB ＝
b
a ; ctgA ＝tgB ＝a
b .
这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是经常用到的．
若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β． 则 sin α＞sin β;
tg α＞tg β;
cos α＜cos β; ctg α＜ctg β.
可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增
大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．
如，比较tg43°与ctg57°的大小
∵ tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°, 而ctg47°＞ctg57° 即tg43°＞ctg57°
值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.
a
C b
３．要熟记特殊角的三角函数值
学习正弦和余弦时已经知道，30°、45°、60°称为特殊角，对于这些角的各个三角函数值应用极为广泛，必须熟记．
角度α
函数值
函数
名称
30°45°60°
正弦
sinα2
1
2
2
2
3
余弦
cosα
2
3
2
2
2
1
正切
tgα
3
3
１
3
余切
ctgα
3
１
3
3
怎样熟记呢？
正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为1（＝１）、2、3；余弦为3、2、1（＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．
正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（3）1、(3)2、(3)3,即
tg3０°＝
3
3
＝
3
)3
(1
，tg45°＝
2
3
)3
(
＝
3
3
＝1
tg60°＝
3
3
)3(＝333＝3. 余切则相反．
必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且
sin ０°＝０， cos0°＝1, tg0°＝0, ctg0°不存在； sin ９０°＝１， cos90°＝1, tg90°不存在， ctg90°＝０． 因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°．
４．同角三角函数间的关系 同角三角函数间存在以下关系： 平方关系： sin ２
α＋cos 2α＝1; 商的关系： tg α＝α
αcos sin , ctg α＝
α
α
sin cos ;
倒数关系： tg α＝
αctg 1, ctg α＝α
tg 1.
理解．如，
sin ２
α＋cos 2α
＝（c a ）２＋（c
b ）２
＝2
2+2c b a ＝１ (c 2＝a 2＋b 2);
α
α
ctg cos ＝a
b c b ＝
c
a
＝ sin α; tg α·ctg α＝b
a ·a
b ＝1, 即tg α
a C。