1991年考研数学一试题及完全解析(Word版)

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1) 设21,cos ,

x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.

(2)

由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分

dz =__________.

(3) 已知两条直线的方程是1123:

101x y z L ---==-；221:211

x y z

L +-==,则过1L 且平行

于2L 的平面方程是__________.

(4) 已知当0x →时,1

23

(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.

(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

,则A 的逆阵1A -=__________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲

线

2

2

11x x e y e

--+=

-

( )

|

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20

()ln 22x

t f x f dt ⎛⎫

=

+ ⎪⎝⎭

⎰

,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x

e (B) 2ln 2x

e

(C) ln 2x

e + (D) 2ln 2x

e +

(3) 已知级数

1

1

(1)

2n n n a ∞

-=-=∑,211

5n n a ∞-==∑,则级数1

n n a ∞

=∑等于 ( )

(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9

(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部

分,则

(cos sin )D

xy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )

(A) 1

2

cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 1

2D xydxdy ⎰⎰

(C) 1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0

《

(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =

(C) BAC E = (D) BCA E =

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1) 求0

)x x π

+

→. (2) 设n 是曲面222

236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数

u =

P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2

2

()x y z dV Ω

++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,

0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面

4z =所围成的立体.

（

四、(本题满分6分)

在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从

O 到A 的积分3(1)(2)L

y dx x y dy +++⎰的值最小.

五、(本题满分8分.)

将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

2

11

n n

∞

=∑的和.

六、(本题满分7分.)

设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

23

3

()(0)f x dx f =⎰

,证明在(0,1)内存在一点c ,

使()0f c '=.

-

七、(本题满分8分.)

已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及

(1,1,3,5)b β=+.

(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合

(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式并写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.

九、(本题满分8分) `

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2

σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则

{}0P X <=_______.

(2) 随机地向半圆0y <(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率

与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π

的概率为_______.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(2)2, 0,0

(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他

,

>

求随机变量2Z X Y =+的分布函数.