基本不等式培优专题(推荐)
2020年高中数学人教A版必修第一册 专项培优《 基本不等式》(含答案)
2020年高中数学人教A 版必修第一册 专项培优《 基本不等式》一、选择题1.不等式(x-2y)＋1x －2y≥2成立的条件为( )A.x ≥2y ，当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y ，当且仅当x-2y=1时取等号C.x ≤2y ，当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y ，当且仅当x-2y=1时取等号2.已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.83.若2x ＋2y=1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]4.设M=3x ＋3y 2，N=(3)x ＋y，P=3xy(x ，y ＞0，且x ≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( )A.M ＜N ＜PB.N ＜P ＜MC.P ＜M ＜ND.P ＜N ＜M5.已知a ，b 都是正数，设M=a b ＋ba，N=a ＋b ，则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.M ≥N6.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m7.点P(x ，y)是直线x ＋3y －2=0上的动点，则代数式3x ＋27y有( ) A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最大值68.若x>4，则函数y=x ＋1x －4( )A.有最大值－6B.有最小值6C.有最大值－2D.有最小值29.已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2=4，那么ab( ) A.有最大值2，有最小值－2 B.有最大值2，但无最小值 C.有最小值2，但无最大值 D.有最大值2，有最小值010.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.2311.已知a>0，b>0，2a ＋1b =16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.8B.7C.6D.512.若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2- 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4-2 2二、填空题13.已知点P(x ，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为________.14.已知x ≥52，则f(x)=x 2－4x ＋52x －4的最小值为________.15.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________.16.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6=xy ，则xy 的最小值是________.三、解答题17.已知a ，b 为正实数，且a ＋b=1，求1a ＋2b的最小值.18.已知x ≥52，求f(x)=x 2－4x ＋5x －2的最小值.19.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.20.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.22.已知a>0，b>0，a ＋b=1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.23.已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.答案解析1.答案为：B.解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y ，且等号成立时(x-2y)2=1，即x-2y=1，故选B.2.答案为：B ；解析：(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y =1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a=(1＋a)2.由(1＋a)2=9，解得a=4.3.答案为：D.解析：因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y=1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y≤14=2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2].4.答案为：D.解析：由基本不等式可知3x ＋3y2≥3x 3y =(3)x ＋y =3x ＋y 2≥3xy，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M.5.答案为：D.解析：∵a>0，b>0，∴b>0，a b ＋b ≥2a ，ba＋a ≥2 b.于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2 b.故a b ＋ba ≥a ＋b ，即M ≥N.6.答案为：C.解析：设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ， 则12ab=2，l=a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab=4＋22≈6.828(m).故选C.7.答案为：C.解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2=0上，∴x ＋3y=2.∴3x＋27y=3x＋33y≥23x·33y=23x ＋3y=232=6.当且仅当x=3y ，即x=1，y=13时，等号成立.∴代数式3x ＋27y有最小值6.8.答案为：B.解析：∵x>4，∴x －4>0，∴y=x ＋1x －4=(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4=6. 当且仅当x －4=1x －4，即x=5时，取“=”号.9.答案为： A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2=4，a 2＋b 2≥2|ab|，得|ab|≤2， 所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.10.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．11.答案为：C.解析：由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b =1， 所以2a ＋b=6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b)=6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)=54，当且仅当2a b =2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12.答案为：D ； 解析： x x ＋y ＋2y x ＋2y =x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y =1＋x x ＋y -x x ＋2y =1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )=1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2=1＋13＋x y ＋2y x，因为xy>0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22， 当且仅当x=2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22=4-2 2.一、填空题13.答案为：42；解析：∵点P(x ，y)在直线AB 上，∴x ＋2y=3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y =22x ＋2y=4 2.14.答案为：1；解析：f(x)=x 2－4x ＋52x －4=x －22＋12x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时等号成立.15.答案为：(－∞，2]；解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立.∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.16.答案为：18；解析：由x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＋6=xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x=y 时，取“=”)，即(xy)2－2 2 xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.二、解答题17.解：1a ＋2b =a ＋b a ＋2a ＋2b b =1＋b a ＋2a b ＋2≥3＋22baab =3＋2 2.当且仅当b a =2ab ，即a=2－1，b=2－2时取“=”.故1a ＋2b 的最小值是3＋2 2.18.解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f(x)=x 2－4x ＋5x －2=（x －2）2＋1x －2=(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时，等号成立.故当x=3时，f(x)min =2.19.证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac =a b ＋c d ＋b a ＋d c =⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2=4，当且仅当a=b 且c=d 时取“=”号，所以ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.20.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac. 于是2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y=45x ＋180(x －2)＋180·2a=225x ＋360a －360.由已知ax=360，得a=360x ，所以y=225x ＋3602x－360(x ＞0).(2)因为x ＞0，所以225x ＋3602x≥2225×3602=10 800.所以y=225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x=3602x时，等号成立.即当x=24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.22.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab =1a ＋1b ＋a ＋b ab =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b=1，a>0，b>0， ∴1a ＋1b =a ＋b a ＋a ＋b b =2＋a b ＋b a ≥2＋2=4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立). (2)法一 ∵a>0，b>0，a ＋b=1，∴1＋1a =1＋a ＋b a =2＋b a ，同理，1＋1b =2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b =5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4=9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a=b=12时等号成立). 法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.23.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c=1， ∴1a －1=1－a a =b ＋c a ≥2bc a ， 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .∵上述三个不等式两边均为正，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8， 当且仅当a=b=c=13时取等号．。
基本不等式培优专题
x y 1
3
13.已知正实数 x, y ,满足 1 2 1 ，则 xy 的最大值为__________, 3 2
(2x y) y (x 2y)x
2
补充：已知正实数 x, y ,则
6xy x2 9y2
2xy x2 y2
的最大值为__________,
3
三、换元法
14.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 1 1 的最小值为__________, 3 2 2
21.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x
1 y
1，则
4x x 1
9y y 1
的最小值为__________,25
22.已知实数 x, y ，满足 4x 9y 1 ，则 2 x13y1 的取值范围为__________, (2, 13]
23.已知实数 x, y ，满足 4x 4y 2x1 2y1 ，则 S 2 x 2y 的取值范围为__________, (2, 4]
一、常规配凑发
1.已知 2a 4b 2(a, b R) ，则 a 2b 的最大值为__________,0
2.已知实数 x, y ,满足 x2 y2 1，则 x 2 y 2 的最大值为__________, 9
16
4
3. 已 知 不 等 式 (x my)( 1 1 ) 9 对 任 意 正 实 数 x, y 恒 成 立 ， 则 正 实 数 m 的 最 小 值 xy
______,4
4.已知实数 x, y ,满足 x 1 ，则
x y
x
1
1
y
的最小值为__________,1
5.已知实数 x 0, y 0 ,满足 2 3 xy ，则 xy 的最小值为__________, 2 6 xy
拓展培优---基本不等式求最值的应用技巧
5
当且仅当 x2＝41x2，y2＝41y2且yx＝xy， 即 x＝y＝ 22时，取等号．即最小值为 4. [答案] 4
6
类型三 配凑——配式配系数，凑出定值 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式配
系数的方法，使配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基本不等式得出定
值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． [典例3] 已知0<x<2，则x(5－2x)的最大值为____________．
[解析] 因为 0<x<2，所以 0<2x<4，5－2x>0，
则 x(5－2x)＝12·2x·(5－2x)≤12·[2x＋（25－2x）]2＝12×245＝285，当且仅
当 2x＝5－2x，即 x＝54时等号成立，故 x(5－2x)的最大值为285.
[答案]25 8源自7[典例 4] 当 x<32时，代数式 x＋2x－8 3的最大值为________，此时 x 的值
[解析] 法一：令 y＝xx2－＋18，则 y＝（x2－x－1）1 ＋9＝x＋1＋x－9 1＝(x－1)
＋x－9 1＋2≥2 （x－1）·x－9 1＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当 x－1＝x－9 1，即 x
＝4 时等号成立．故xx2－＋18(x>1)的最小值为 8.
法二：令
x
－
1
＝
t(t>0)
，
则
x2＋8 x－1
＝
（t＋1）2＋8 t
＝
t2＋2t＋9 t
＝
t
＋
9 t
＋
2≥2× 9＋2＝8，当且仅当 t＝3，即 x＝4 时取等号．
[答案] 8
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基本不等式训练题
基本不等式训练题一、题点全面练x 2－2x ＋1⎡1⎤1．已知f (x )＝，则f (x )在⎢，3⎥上的最小值为()x⎣2⎦14A. B.23C ．－1D ．0x 2－2x ＋11解析：选D f (x )＝＝x ＋－2≥2－2＝0，x x1⎡1⎤当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．又1∈⎢，3⎥，x⎣2⎦⎡1⎤所以f (x )在⎢，3⎥上的最小值是0.⎣2⎦2．(2018·哈尔滨二模)若2＋2＝1，则x ＋y 的取值范围是()A ．[0,2]C ．[－2，＋∞)x y x y x y B ．[－2,0]D ．(－∞，－2]x ＋y 解析：选D 由1＝2＋2≥22·2，变形为2时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．1≤，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y4123．若实数a ，b 满足＋＝ab ，则ab 的最小值为()a bA.2C ．22B ．2D ．412解析：选C 因为＋＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，a b12由ab ＝＋≥21a ba b 2·＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.31m 4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为()a b a ＋3bA ．9C ．1831m 解析：选B 由＋≥，a b a ＋3bB ．12D ．24⎛31⎫9b a得m ≤(a ＋3b ) ＋⎪＝＋＋6.⎝a b ⎭a b9b a又＋＋6≥29＋6＝12，a b⎛当且仅当9b ＝a ，即a ＝3b 时等号成立⎫，⎪a b ⎝⎭∴m ≤12，∴m 的最大值为12.1925．正数a ，b 满足＋＝1，若不等式a ＋b ≥－x ＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，a b则实数m 的取值范围是()A ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]B ．(－∞，3]D ．[6，＋∞)19解析：选D 因为a ＞0，b ＞0，＋＝1，a ba b 9a b 9a ⎛19⎫所以a ＋b ＝(a ＋b ) ＋⎪＝10＋＋≥10＋29＝16，当且仅当＝，即a ＝4，b ＝⎝a b ⎭b a b12时，等号成立．由题意，得16≥－x ＋4x ＋18－m ，即x －4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，令f (x )＝x －4x －2＝(x －2)－6，所以f (x )的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.116．(2019·青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则＋的最小值x 3y 是________．11⎛11⎫解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则＋＝ ＋⎪(x ＋3y )＝2x 3y ⎝x 3y ⎭3y x 3y x 1111＋＋≥4，当且仅当＝，即x ＝，y ＝时取等号，故＋的最小值为4.x 3y x 3y 26x 3y 答案：47．若正数x ，y 满足4x ＋9y ＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．解析：30＝4x ＋9y ＋3xy ≥236x y ＋3xy ，即30≥15xy ，所以xy ≤2，2322当且仅当4x ＝9y ，即x ＝3，y ＝时等号成立．3故xy 的最大值为2.答案：222222222228．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x的最小值为________．x解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.1⊗x x ＋x ＋11又f (x )＝＝＝1＋x ＋≥1＋2＝3，xxx当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.答案：139．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．82解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1.x y又x ＞0，y ＞0，82则1＝＋≥28x y x y28·＝，得xy ≥64，xy82当且仅当＝，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．x y所以xy 的最小值为64.82(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，x y⎛82⎫则x ＋y ＝ ＋⎪(x ＋y )x y ⎝⎭2x 8y＝10＋＋≥10＋2y x2x 8y·＝18.y x2x 8y当且仅当＝，即x ＝12且y ＝6时等号成立，y x所以x ＋y 的最小值为18.3810．(1)当x ＜时，求函数y ＝x ＋的最大值；22x －3(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 183解：(1)y ＝(2x －3)＋＋22x －32－2x 的最大值．＝－ ⎛3－2x＋8⎫＋3.⎪3－2x ⎭2⎝23当x ＜时，有3－2x ＞0，2∴3－2x 8＋≥223－2x3－2x 8·＝4，23－2x3－2x 81当且仅当＝，即x ＝－时取等号．23－2x 2355于是y ≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.222(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x－2x ＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋A ．3C ．2B.3D.21的最小值为()b －1231解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋＝7，得t ＝，t 21112即log a b ＝，a ＝b ，所以a ＋2＝a －1＋＋1≥22b －1a －1当a ＝2时取等号．故a ＋1的最小值为3.b －12a －1＋1＝3，当且仅a －112212．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为()a b a －1b －2A ．25C.2B.32232D ．1＋4122a解析：选A 由a ，b 为正数，且＋＝1，得b ＝＞0，所以a －1＞0，a b a －1所以21212a －1＋＝＋＝＋a －1b －2a －12a a －12－2a －1≥22a －1·＝2，a －122a －112＝和＋＝1同时成立，a －12a b 当且仅当即a ＝b ＝3时等号成立，所以21＋的最小值为2.a －1b －233．函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为________．x3⎛3⎫解析：∵x ＜0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋ －⎪≥1＋2x⎝x ⎭－2x3＝1＋－x26，当且仅当x ＝－63时取等号，故函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为[1＋26，＋∞)．2x 答案：[1＋26，＋∞)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与函数交汇]已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为()A ．16C ．12B ．8D ．14x ym n解析：选B 由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)，令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1，∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，3131∴＋＝2，即＋＝1.m n 2m 2nx ym n⎛31⎫913n 3m ∴3m ＋n ＝(3m ＋n ) ＋⎪＝＋＋＋≥2⎝2m 2n ⎭222m 2n时，取等号)∴3m ＋n 的最小值为8.3n 3m·＋5＝8(当且仅当n ＝m ＝22m 2n5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ，满足a m a n ＝a 4，21则＋的最小值为()*22m nA ．13B.2C ．29D.2解析：选A 根据题意，设{a n }的公比为q ，则a m ＝q ，a n ＝q ，a 4＝q .由a m a n ＝a 4得q 22m n 4m ＋2n ＝q ，8＝1.8∴m ＋2n ＝8，∴m ＋2n21*又m ，n ∈N ，∴＋＝m nm ＋2n m ＋2n 1n m 11＋＝＋＋＋≥＋28m 8n 42m 8n 421＝1，16当且仅当＝，即m ＝2n ＝4时取“＝”，2m 8n21∴＋的最小值为1.n mm n6．[与解析几何交汇]若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)＋(y ＋1)＝1所截13得的弦长为2，则＋的最小值为()22m nA ．4C ．12B ．6D ．16解析：选B 圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直131⎛13⎫1⎛n 9m ⎫1线过圆心，所以－3m －n ＋2＝0，3m ＋n ＝2，所以＋＝(3m ＋n ) ＋⎪＝ 6＋＋⎪≥m n 2⎝m n ⎭2⎝m n ⎭2⎛6＋2⎝n 9m 13n 9m ⎫·⎪＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.m n m n m n ⎭x ＋2y －3≤0，⎧⎪7．[与线性规划交汇]已知x ，y 满足⎨x ＋3y －3≥0，⎪⎩y ≤1，a bz ＝2x ＋y 的最大值为m ，若14正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则＋的最小值为__________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y 的几何意义为直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距最大，即目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎧⎪x ＋2y －3＝0，⎨⎪x ＋3y －3＝0，⎩解得M (3,0)，所以z 的最大值为2×3＋0＝6，即m ＝6，所以a ＋b ＝6，141⎛14⎫1⎛b4a⎫1⎛故＋＝ ＋⎪·(a＋b)＝ 5＋＋⎪≥ 5＋2 a b6⎝a b⎭6⎝a b⎭6⎝b4ab4a⎫3当且仅当＝，即b＝4，·⎪＝，a ba b⎭2a＝2时等号成立．3答案：2。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
基本不等式(培优)-学案
授课主题 第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。
(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。
(简记：和定积最大)考点一： 基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。
基本不等式培优专练参考答案(1)
基本不等式培优专练参考答案培优点一 常规配凑法1.答案：0 提示：242a b +=≥20a b ⇒+≤;2.答案：94 提示：2229121682y x ++=≥=3.答案：B 提示：柯西不等式知：211()()(194x my m xy ++≥≥⇒≥4.答案：1 提示：1111111a b b a a a ++-≥++-≥++ 5.答案：6223a b =+≥62≥⇒ab 6.答案：9 提示：241()(2)(21)92a b b a b b+-+≥+=-7.答案：B 提示：2112[+12(1)]()3(1311a b a b a b +=+++-≥-=++培优点二 “1”的代换8.答案：3，21 提示：311≥++=+b a a b b a b ，当且仅当21==b a 时取等号 9.答案：D 提示：9)12()2)(12(22=+≥++=+b ab a b a10.答案：49 提示：49)12(41)134)(3(411342=+≥-++-++=-++y x y x y x y x y x y x 11.答案：C 提示：（1）当2≥≥b a 时，由2431≤≤+b b a 知，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a（2）当b a ≥≥2时，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a （3）当b a ≥≥2时，23131,,max ≥+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ba b a b a 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧+b a b a 31,,max 的最小值为2 12. 答案：322 提示：111221)11(2212222-++=-+-+++=-+++b a b b a a b b a a32213)12(1)112)(13111122=-+≥-++++=-++b a b a b a （Θ 13. 答案：3222-提示：ba ab a b b b a a a a b b b a ab ab +++=+++=+++=2221222))2(2)2(1(令abt =，则252112521621222112221222++-+=++++=+++=+++=t t t t t t t t t t tt ab 再令1-=t m ,3222926119921199212-=++≤+++=+++=mm m m m ab （补充题）答案：3 提示：109)3(810248296224224332222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=+++x y y x yxy x y y x x xy y x y x xy y x xy )323(3338848484)3()3822≥+==≤+=+=+++=x y y x t t t t t x y y x xyy x （ 培优点三 换元法14.答案：C 提示：令25221,1=+⇒=+=+n m n y m x ， 则n m y x 1121111+=+++5223)211(52)11)(252112+=+≥++=+n m n m n m （ 15.答案：9 提示：由已知可知：2)1)(2≥--b a （，9545)1()2(22=+≥+-+-=+b a b a 16.答案：B 提示：令52,522,2m n y m n x n y x m y x -=+=⇒=+=-，)3(51n m y x +=+5324)31(51)11)3(512+=+≥++=+n m n m y x （17.答案：32 提示：)1111)(11(312)1111(211++++++-=+++-=+++b a b a b a b b a a32342=-≤（当且仅当21==b a 时取等号） 18.答案：54提示：54)2(51)2214)(32(51221422222=+≥+++++=+++y x x y y x y x x y y x19.答案：B 提示：1)1)(1(111=--⇒=+b a b a，61911≥-+-b a （当且仅当4,34==b a 取等号） 20.答案：C 提示：由y x xy +=-3得13-+=x x y ，则251313611)8)(3()8(≥+-+-=-++=+x x x x x x y （当且仅当35,7==y x 时取等号）21.答案：25 提示：1)1)(1(111=--⇒=+y x y x ，251914131914≥-+-+=-+-y x y y x x （当且仅当25,35==y x 时取等号）22.答案：]13,2( 提示：θθsin 3,cos 2194==∴=+yx y x Θ（20πθ<<）)32tan )(sin(13sin 3cos 23211=+=+=+++ϕϕθθθ其中y x)2,(ϕπϕϕθ+∈+Θ1)sin(≤+∴ϕθ，最小值为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2sin(,sin min ϕπϕ132133cos )2sin(133cos ,132sin >==+∴==ϕϕπϕϕΘ]1,132()(sin ∈+∴ϕθ，因此1132+++y x 的取值范围是]132，（ 23.答案：]4,2( 提示：2)12()12(224411=-+-∴+=+++y x y x yxΘ，令)43,4(,sin 212,cos 212ππθθθ-∈=-=-y x因此]4,2()4sin(2222∈++=+=πθyxS培优点四 和、积、平方和三量减元24.答案：4 提示：4)2(,42=+≤∴=+b a ab b a Θ（当且仅当2==b a 时取等号）1616)1(12)()(1)()1)(1(22222222≥+-=+-++=+++=++ab ab b a ab b a ab b a25. 答案：34、32 提示：342)(4≤⇒≥+=xy xy xy y x xy （当且仅当y x =时取等号）32)(333333332≥+-+++=+y x y x y x 分析：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+===+=+⇒+++=+33333333)(12)(2t n m y x t ny mx t n t m y x t ny mx y x 26.答案：C 提示：1)(2)(22)(1)(211112222222222++-++-+=+++++=+++ab ab b a ab b a b a ab b a b a 4)1(262+--=ab ab0)1(1)2(12≤--=+-=-=a a a ab t 令4241111222+-=+++∴t tb a ，令22≥-=t m21248284242411112222+≤-+=+-=+-=+++∴mm m m m t t b a 27.答案：432- 提示：42642242122-≤⇒+≥+++=xy xy xy y x y x 432-≤xy 28.答案：C 提示：xy y x xy y x xyx y y x 21)2(14214222+=+⇒-=+⇒-=+ 121222)12)(12++=-+⇒=++-+y x y x xyxy y x y x （又 22)2(411)22(121y x y x xy ++=++≤+ 3322)2(411)222≤+⇒++≤+⇒y x y x y x （29.答案：4 16 提示：422222)2(161)2(44432y x y x y x xy y x +++≤+++=42≥+⇒y x 由已知可知：324)2(222=++y x y x ，因此2222]2)2(7[)17](4)2[(xy y x y x y x ++≥+++，即162)2(7≤++xy y x30.答案：]253,171(提示：20224≤<⇒+≥++=xy xy xy xy yx1161116)1(11721222+++=+++=+++xy xy xy xy xy y x xy ]253,171（∈ 31.答案：55 提示：210032424232<<⇒>+-=⇒=++x x xy y x xy 55148)1(3313168493452≥++++=+++=++x x x x x y x xy （当且仅当x=3时取等号）32.答案：61 提示：)12(6112)12)(12(6-+=++⇒-+++=b a b a ab b a b a ab 又22)22(3161)2(b a ab b a ++≤+=+22≤+⇒b a 61)12(6112≤-+=++∴b a b a ab培优点五 轮换对称与万能k 法33. 答案：5102 提示：方法1：222222)2(85)2(83)2(3)2(41y x y x y x xy y x y xy x +=+-+≤-+=++=51022≤+∴y x （当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法2：51051)2(2≤⇒≥-=-xy xy y x ，5831)2(2≤+=+xy y x 51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法3：1415)2(22=++y y x ，222)2()531](415)2[(y x y y x +≥+++51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号） 方法4：令y t x y x t 22-=⇒+=代入转化成关于y 的一元二次方程有解，判别式0≥∆可求；方法5：2222222)4()24()1()()2()2(y n xy mn x m ny mx y x y x ++-++=-++≤+512,53442412222==⇒+=-=+n m n mn m58)4()24()1()()2()2(2222222≤++-++=-++≤+y n xy mn x m ny mx y x y x34.答案：58提示：方法1：数形结合，可以理解为22=+y x 上的动点到原点的距离与到y 轴距离之和；)0,0(关于直线22=+y x 的对称点为)54,58(Q ，Q 到y 的距离为所求，即58方法2：令04)4(242222=-+-+⇒++=t x t x y x x t ， 580≥⇒≥∆t 35.答案：122 提示：令)2,0(,cos ,sin 3πθθθ∈==b a ，)cos (sin 3cos sin 3θθθθ+=+b a ab令2)4sin(2cos sin ≤+=+=πθθθt ，122)1(61)cos (sin 3cos sin 3≤-=+=+t t b a ab θθθθ 36.答案：36 提示：,1,222a c b a c b -=+-=+又222)2(2c b c b +≥+322≤⇒a 36≤⇒a37.答案：32 提示：33223)23(41161)23(22≤+⇒++≤+=+y x y x xy y x 因此3269≤+y x 参考33题 培优点六 消元法38.答案：51提示：414511145351≥+=-⇒-=+⇒+=-y y x x y x y x y x x y xy 5101452≤⇒≤-+⇒x x x39.答案：3,3 提示：3)21)(2(3121≥++=+ba b a b a ；133232≤⇒≥++=ab ab b b a )(b a =3131112134222222≥≥++=+b a b b a b a (当且仅当1==b a 时取等号） 40.答案：C 提示：a b -=1，3321331331122222+≤-+=+-=+-+=+++tt t t t a a a b a b b a a （令11>+=a t ）41.答案：B 提示：5141413433322≥++-=++-≥+-=++=aa a a ab a a b a b a μ（当且仅当2=a ）42.答案:494、 提示：由已知可知9423≥⇒≥+=ab ab b a ab （当且仅当32==b a 时取等号）又4112114≤+⇒+≥++=ab b ab b b b a （当且仅当1,21==b a 时取等号） 培优点七 不等式算两次 43.答案：C 提示：44)(1222≥+≥-+aa b a b a （当且仅当22,2==b a 时取等号）44.答案：12 提示：12)(36)()2(9)(222≥-+-≥-+-b a b a b a b b a （当且仅当3,9==b a 时取等号） 45.答案：4 提示：41414142244≥+≥+≥++abab ab b a ab b a （当且仅当42,2222==b a 取等号） 46.答案：4 提示：方法1. 4)22(21)2121(21)21()21(2222=+≥+++≥+++y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号） 方法2：4)11(2)411(2)21)(21(2)21()21(22=+≥++=++≥+++xyxy x y y x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号） 方法3：42114141)21()21(222222=++≥+++++=+++yxx y y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号）47.答案：4 提示：)2(52)54()51(2222222bc ac c b c a c b a +≥+++=++ 即22222)2(54)(bc ac c b a +≥++425)2(5425)2(5425)(22222≥+++=+++≥++++acbc ac bc ac bc ac bc ac bc c b a分析：bc n ac m nc b mc a c b a 22)()(2222222+≥+++=++54,511,2212==⇒=+=n m n m n m 48.答案：2232+ 提示：22322)(3)(232+≥-+-++++=-+++∴ba b a b a b a b a b a a49.答案：B 提示：41题50.答案：510+ 提示：25452)(21222221122222≥+=-++=-+=-+ab b a ab ab b a a ab ab a ab b a2525252-+≥-+-+c c c c ab c b ac 510525)2(25+≥+-+-=c c 培优点八 齐次化51.答案：422- 提示：))1,0((112121)(22222∈=--=--=--≤xyt t t t t x y x y x c422411)1(21122-≥--+-=--tt t t （当且仅当221-=t 时取等号）52.答案：B 提示：12212)2(3322222+≥++=++=+∴=+xyy x xy y x y x xy y x y x Θ 53.答案：]30,350[3、 提示：4)3()3(8109)3(829624224332222+++=+++=+++ab b a a bb a a b a b ab b a a b ab a b ab令323≥+=a b b a t 3324328484)3()3(829622222≤+≤+=+++=+++t t a b b a a b b a a b ab a b ab 方法1.令223y x t +=，θθsin ,cos 3t y t x ==代入已知条件可得]30,350[)2sin(626725∈--=ϕθt 方法2.由已知可得：25415)2(22=+-x x y ，令θθcos 3152,sin 52==-x x y θθcos 315sin 5+=y]30350[)2sin(320370322∈-+=+ϕθy x 54.答案：224- 提示：可以用三角换元，参考53题也可以使用判别式；222222222)2(22)1()(22y n xy mn x m ny mx y x y x -+--=+-+≥+)12(2,122212222-=-=⇒-==-n m n mn m2)22()2(22)1(2222222⨯-=-+--≥+y n xy mn x m y x培优点九 待定与技巧性强的凑配55.答案：37提示：6543=++z y x Θ 36212421-+++=++++∴z x z y z x z y z y 316)232(61)3318242)(3324616212=+≥++++++=+++z x z y z x z y z x z y （37331636212421=-≥-+++=++++∴z x z y z x z y z y56.答案：36- 提示：由已知可知xy y x =+，36)6(12)(102222--=-+=+-xy xy y x y xy x57.答案：222- 提示：1321222111211111122++++=+++=+++≥∴≤y y y y y y y y yM xy Θ2222231131********-=+-=++-=++-=yy y y y（当且仅当22=y 时取等号） 58.答案：C 提示：)22(4121214141411222bc ac ab bc ac ab c b a ++=++≥++=Θ 422≤++∴bc ac ab又2220211)2121(2-≥++∴≥+++=++bc ac ab bc ac ab c b a Θ 59.答案：210 提示：yz m xy m z y m my x z y x -+≥+-++=++=122)1(1222222210111232=⇒-=m m m 即)3102122yz xy yz m xy m +=-+（2103≤+yz xy 60.答案：212+ 提示：)()1()1()(12222222222w nz z n y m my x w z y x ++-+-++=+++=zw n yz n m xy m 2)1)(1(22+--+≥2)12(223122)1)(1(212-=-==⇒=--=m n nn m m )2)(1222)1)(1(221zw yz xy zw n yz n m xy m +-=+--+≥（212)12(212+=-≤++∴zw yz xy 61.答案：A 提示：依题意T y x ≥+2)(，T y z ≥+2)(，T z x ≥+2)(≤T 3++2)(y x ++2)(y z zx yz xy xz yz xy z x 222222)(2+++++=+8)4=++≤xz yz xy （，38≤T62.答案：25提示：参考47题 63.答案：72 提示：bc m ab m c b m mb a c b a -+≥+-++=++=122)1(422222227521252=⇒-=m m m)25721224222bc ab bc m ab m c b a +=-+≥++=（7225≤+∴bc ab64.答案：36222、提示：)(2212142222222bc ab c b b a c b a +≥+++=++=22≤+∴bc ab,,222c b a c b a -=+-=+由36238)2(22222≤⇒≤⇒+≥+c c b a b a 培优点十 多元变量的不等式最值问题 65.答案：B 提示：414121≥⇒≤⇒≥+=abab ab b a Θ 9)12()14)((14112=+≥++=+≥+∴dc d c d c d abc66.答案：21132119-=-z 、 提示：81)21(21212+--=-=xy xy xyxyz ，又2222)1(412)1(415xy xy xy y x -+≥-++=37200196)(,02-≤≤⇒≤-+≥xy xy xy xy ，,0<xy 0112501910)(2<≤-⇒≤--xy xy xy3211981)21(212-≥+--=xy xyz ，此时211-=z67.答案：212- 提示：21241)()(41)(222-≤+⇒≤+++⇒+≤=++c b a c b a c b a c b bc c b a a68.答案：A提示：21211-<<-⇒>-->⇒>-->a c a c a c c c a a 222222222)(12121)(a c a c c a ac c a c a c a b ++=++=++=+Θ 令a c t = )51,0[121)(12121)(222222222∈++=++=++=++=+∴tt a c a c c a ac c a c a c a b 69.答案：C 提示：ab ab b a c 221222-=≥+=-（当0,0<<c ab 时最小）11)1(212122-≥-+=+-≥+∴c c c c ab 70.答案：A 提示：132222=++c b a Θ，12022≤+≤∴b a ，令θθsin 22,cos t b t a ==33)sin(3sin 2cos 2≤≤+=+=+t t t t b a ϕθθθ71.答案：78提示：8222≥⇒≥+=ab ab b a ab 7811112≤-=-=⇒+=++=abab ab c c ab c b a abc72.答案：212- 提示：)()21(211212a bt t t t t b a a a b c b a a b =++=++=++≥++21221)21(2121)21(21-≥-+++=++≥++t t t t c b a a b（当且仅当212-==a b t 时取等号） 73.答案：]34,1( 提示：42111≥⇒≥+=∴=+ab ab b a ab b a Θ，411≤ab34111,4311111≤<∴<≥-=+-=c c ab b a c 又 74.答案：26 提示：依题意01222=--++-bc c b ab a 有解，04443022≤-+-⇒≥∆c bc b有解，则262302≤⇒≤⇒≥∆c c75.答案：]1,81[- 提示：1)31(49)21()1()())((2222≤-=-+--≤++-=--c c c c c ab c b a c b c a c 8181)41(2)1()())((222-≥--=--≥++-=--c c c c ab c b a c b c a c76.答案：91-提示：222914,312z y x z y x -=+-=+Θ，319101627)231(291222≤≤-⇒≤--⇒-≥-∴z z z z z 91min -=∴z培优点十一 不等式综合应用 77.答案：C 提示：)14(6)14)(4()14(14642yx y x y x y x y x y x ++++=+∴+=++Θ2)14(y x +∴)146222y x +++≥（）（814≥+⇒yx78.答案：B 提示：9)(8)41)(()(8)(2++≥++++=+y x yx y x y x y x （当且仅当y=2x 取等号）9≥+∴y x79.答案：41-提示：在已知等式两边加y x 1673-可2921416141613419=+≥+++=-+y y x x y x （当且仅当41,2==y x 时取等号）411673-≥-∴y x 80.答案：B 提示：依题意可知：b a M -+≥112，c b M -+≥112，ac M -+≥112 a a M -+≥∴1123b b -++112cc -++112 Θ223)12()112)(1(1122+=+≥-+-+=-+aa a a a a223+≥∴M81.答案：9 提示：101114)1(111114=+-++-∴=+-++y x y x y x y x Θ，两边同承yx 111+-)111](4)1[()111()111102y x y x y x y x +-+-++-=+-（9)111(2++-≥yx91111≤+-≤⇒yx 82.答案：122- 提示：2222)2(4443)2)(23)1(+-=--=-+=-y y y y y y xy （Θ 4)21()1(22=++-∴y y x 1221)11(21)2112122-≤+⇒++=++-≥yx y x y y x （83.答案6 提示：6838)18(118322=≥++=++=+∴=+y yx x y y x x y x y x Θ。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
培优专题-不等式培优资料(教师版)
不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11ax =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程11ax =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0，所以⎩⎨⎧≠<-.0,01a a 解得，a<1且0a ≠.故应选B. 例2如果方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 .分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x ，得x ＋y=4k＋1.又由x ＋y>0， 所以4k＋1>0，解得，k>－4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式84x x m +>+，得x<38m-. 由3x <，所以38m-=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x 的解是－1<x<1，则（a ＋b ）2006= . 分析：先解关于x 的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.解：解不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧<+>.2,2bx a x由于这个不等式组有解，所以其解集应为a ＋2<x<2b.又－1<x<1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.12,12b a 解得，a=－3，b=2.故（a ＋b ）2006=（－3＋2）2006=1.例5. 不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231ax xa +-=+的解，求a a221+的值。
基本不等式培优专题(学生版)
2
，则
ac b
c ab
c 2
c
5 2
的最小值是
培优点八 齐次化
51．（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 x2 2 y2 d cx( y x) 对满足 x ! y ! 0 的任
意实数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x ! 0, y ! 0, x 2 y 3，则 x2 3y 的最小值为（
4.
则
x2
y2
xy 1 2xy
17
的取值范围
31.（2017 武进区模拟）已知正实数 x 、 y 满足 xy 2x 3y 42, 则 xy 5x 4 y 的最小值
为
4
基本不等式培优专题学生版
32．（2017 宁波期末）若正实数 a,b 满足 (2a b)2
1
6ab
，且
2 a
+
3 b
=
ab ，则 ab 的最小值是
6．（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知 a ! b ! 0 ， a b
1，则
a
4
b
1 2b
的最小
值等于
7．（2018
届浙江省部分市学校高三上学期
9+1
联考）已知实数
a
!
0
，b
!
0
，
a
1
1
b
1
1
1，
则 a 2b 的最小值是
1 ，则
2a a2 b
b a b2
的
最大值是
基本不等式培优专题(推荐)
基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。
2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。
3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。
4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。
5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。
6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。
2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。
专题1 培优点2 基本不等式的综合问题(教师版)
培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
专题7 线性规划与基本不等式(培优)
专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是___【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z 与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】1.设,x y 满足约束条件20{230 0x y x y x y --≤-+≥+≤，则46y x ++的取值范围是 ( ) A. []4,1- B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-⋃+∞D. []3,1-2.若实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤6,x −y ≤0,则目标函数z =2x −3y 的最大值是__________．3.设点(),Px y 是平面区域0{10 220x x y x y ≤++≤++≥内的任意一点，则224x y x +-的最小值为 A. 12 B. 1 C. 92D. 5【题型二】 由参数确定图像形状【典例分析】若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】1.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．22,25⎡⎣B ．(22,32]C ．(22,25]D ．(0,22)(25,)+∞2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .3.已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．01a <≤D ．0a ≤【题型三】 含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．B ．1C ．4D ．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。
基本不等式培优拓展资料
故选：BC.
练透核心考点
1．（2023· 全国· 高三专题练习）当 0 x 2 时， x(2 x) 的最大值为（
）
A． 0
B．1
C． 2
D． 4
【答案】B
【详解】 0 x 2 ，2 x 0 ，又 x (2 x) 2
x(2 x) x (2 x)2 1 ，当且仅当 x 2 x ，即 x 1时等号成立，
f (x) x a 在 (, a ) ， x
( a, ) 上单调递增；在 ( a, 0) ， (0, a ) 单调递减
类型一：直接法
典型例题
例题 1．（2023· 高一课时练习）下列不等式中正确
x2
3 x2
2
3
C．
ab a b 2
D． a2 b2 4ab
【答案】B 【详解】A. 当 a<0 时， a 4 0 ，故错误；
ab
a
成立，故 C 正确；
对于 D， y x 1 x 2 1 2 2 (x 2) 1 2 4 ，故 D 错误．
x2
x2
x2
故选;C.
3．（2022 秋· 安徽· 高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（
）
A．
x 1 2x 0
x
B．
x
2 x
2
2 x 0
对于 B，要 y
x2 2
1 x2 2 取到最小值 2，需满足
x2 2
1 x2 2 ，此时 x2 1，不可能成立，故
B 错误；
对于 C， ab 0, b 0 ， y b a [( b ) ( a)] 2 ( b ) ( a) 2 ，当且仅当 b 1 时，等号
a
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高中数学——基本不等式培优专题目录培优（1）常规配凑法培优（2）“1”的代换培优（3）换元法培优（4）和、积、平方和三量减元培优（5）轮换对称与万能k法培优（6）消元法（必要构造函数求异）培优（7）不等式算两次培优（8）齐次化培优（9）待定与技巧性强的配凑培优（10）多元变量的不等式最值问题培优（11）不等式综合应用培优（1） 常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________2. 已知实数x,y 满足11622=+y x ，则22y x +的最大值为_____________3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)11)((≥++yx my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值是（ ）A.2B.4C.6D.84.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++11的最小值是_____________5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab ba =+32，则ab 的最小值是_____________6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则bb a 214+-的最小值是_____________7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ）A.23B.22C.3D.2培优（2） “1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则ba b 1+的最小值为_____________此时a=______9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+b a 则b a+2的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.910.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则3yx 4y -x 1++的最小值是_____________11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,ba 31+｝ 的最小值为（ ）A.2B.3C.2D.312. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21222-+++b b a a 的最小值为_____________13. 已知正实数a,b 满足1)2(221=+++aa b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________（补充题）已知x,y ﹥0,则2222296yx xyy x xy +++的最大值是_____________培优（3） 换元法14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则yx 21111+++的最小值是（ ） A. 2833 B.67 C.5223+ D.5615.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最下值时ab=（ ）A.3B.4C.6D.916.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且12121=++-yx y x ，则x+y 的最小值为（ ） A.5323+ B.5324+ C.5342+ D.5343+17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则bba a +++11的最大值是_____________18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则221422+++x y y x 的最小值是_____________19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足111=+b a ，则1911-+-b a 的最小值为（ ） A.1 B.6 C.9 D.1620.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）A.33B.26C.25D.2121. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1914-+-y yx x 的最小值为_____________22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________23.（2018上海二模）若实数x,y 满足112244+++=+y x y x ，则S=y x 22+的取值范围是_____________培优（4） 和、积、平方和三量减元24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，则)1)(1(22++b a 的最小值是_____________25. (2019届镇海中学考前练习14)已知正数x,y 满足xy(x+y)=4,则xy 的最大值为_____________，2x+y 的最小值为_____________26.（2018春台州期末）已知a,b ∈R ，a+b=2,则的最大值为（ ）A.1B.56C.212+D.227.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足214-=+xy x y y x ，则122-+y x xy 的最大值为（ ） A.332 B.23 C.1332+ D. 213+29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442222=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，xy y x 2)2(7++的最大值是_____________30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42=++xy yx 则172122+++xy y x xy 的取值范围是_____________31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2+=+,则12++b a ab的最大值为_____________培优（5） 轮换对称与万能k 法33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足1422=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为_____________35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则ba ab+3的最大值为_____________36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________37.（2018届杭二高三下开学）若164922=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________培优（6） 消元法（必要构造函数求异）38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_____________39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+R ，且a+2b=3,则ba 21+的最小值是_____________， 2221b a +的最小值是_____________40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（ ）A.2B.21+C. 1332+D. 2223+41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为342.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且311=+ba ，则ab 的最小值是_____________ abb+1的最大值是_____________培优（7） 不等式算两次43. 设a ＞b ＞0,那么)(12b a b a -+的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.544. 设a ＞2b ＞0，则)2(9)(2b a b b a -+-的最小值为_____________45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则abb a 1444++的最小值为_____________46. 若x,y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是_____________47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则acbc c b a ++++25)(2222的最小值为_____________48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则ba b a a -+++232的最小值为_____________49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为350. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则252-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________培优（8） 齐次化51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(222x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，则实数c 的最大值为_____________52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xyy x 32+的最小值为（ ）A.223-B.122+C.12-D.12+53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则2222296b a abb a ab +++的最大值为_____________ 若25422=+-y xy x ，则223y x +的取值范围是_____________54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是_____________培优（9） 待定与技巧性强的配凑55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则z x z ++++2y 4z y 21的最小值为_____________56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11x 1=+y ，则2210y xy x +-的最小值为_____________57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1211x 1+++y 的最小值为_____________58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14141222=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（ ） A.(]4，∞- B. []44，- C. []42，- D. []41，-59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________60.（2016大联考）已知12222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知{}222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2，则T 的最大值是（ ） A.38 B.8 C. 34 D. 32 62. 已知a,b,c ∈+R ,则bc ab c b a 2222+++的最小值是_____________63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,则c 的最大值是_____________培优（10） 多元变量的不等式最值问题65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1， 则d1abc 1+的最小值是（ ） A.10 B.9 C.24 D.3366.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足⎩⎨⎧=++=+512222z y x z xy ，则xyz 的最小值为_____________ 67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c b +a 的最大值为_____________ 68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则22c a b+的取值范围是（ ） A.)55,55(- B. )51,51(- C.)2,2(- D. )55,2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（ ）A.-2B.23-C.-1D.-21 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足132222=++c b a ，则a+2b 的最大值为（ ） A.3 B.2 C.5 D.371.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则cb a a b ++的最小值为_____________73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足11a 1=+b ，11b a 1=++c ，则c 的取值范围是_____________74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足1222=--++bc ab c b a ，则c 的最大值为_____________75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围是_____________76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 194222=++z y x ,则z 的最小值为_____________培优（11） 不等式综合应用77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=++ 则yx 14+的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.978.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,841x ）＞（y yx y ++=+则x+y 的最小值为（ ）A.35B.9C.2624+D.1079.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y 167x 3-的最小值是_____________ 80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设a c cb b a -+-+-+112,112,112这三个数的最大值为M ， 则M 的最小值为（ ）A.5B.223+C. 223-D.不存在81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111114x =+-++y x y 则y 11-x 1+的最大值 为_____________82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足)2)(23(12-+=-y y xy ）（，则y1+x 的最大值 为_____________83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y1x 82=+，则x+y 的最小值为_____________。