6-4-一阶线性微分方程的应用举例
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用【1】摘要：微分方程在实际中应用广泛。
简单介绍了一阶微分方程的几种应用。
关键词：微分方程;应用;研究微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.一、在力学中的运用动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为F=mg-kv2由牛顿第二定律列出微分方程m■=mg-kv2因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.求解上述微分方程的特解即得：v=■当t→+∞时，有v1=■=■.据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.二、流体混合问题中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.因为c2=■，代入上式有dx=(c1v1-■)dt，或■=-■x+c1v1.这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.于是有4050dx=360(0.05-x)dt，即dx=■(0.05-x)dt，初始条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分，初值解满足■■=■■dt，求出x有x=0.05+0.15e-■t.t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.三、牛顿冷却定律的应用牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的'介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程■=-k(T-T0)，k>0.例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，解得T(t)=21+13e-0.167t.设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间t=■・ln■≈-1.25小时.由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.四、医学中的应用例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题■=-0.4SS(0)=0.3，通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为S(30)=0.3-0.4×30≈0，而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.参考文献：[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.一阶高次微分方程的求解【2】【摘要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。
常微分方程课件--一阶微分方程的应用
样的曲线族（2.7.2）是已知曲线族（2.7.1）的
等角轨线族（2.7.1）的
正交轨线族。
y kx 0是曲线族 x 2 y 2 C 2 0 例如：曲线族
的正交轨线族。
y Cx 2的正交轨线族。 例2.7.1求抛物线族
解：对方程两边关于x求导得 dy 2Cx dx y Cx 2解出C代入上式得曲线族 y Cx 2 由
2.我国人口的发展预测 设 N (t ) 为t时刻我国人口的总数，且设N (t )是连 续可微函数，在 [t , t t ] 区间内人口的改变有
Nt t Nt bNt t dNt t
上式同除以 t 令 t 0得
r bd
dN rN , N (t0 ) N 0 （2.7.9） dt b为生育率，d为死亡率
（2.7.9）称为人口增长的Malthus模型
求解初始值问题（2.7.9）得
N (t ) N0e
r ( t t0 )
模型的优缺点： 优点：可以做大体预测，经济有效。
r 缺点：作为长期预测不合理， 0 时人口按指数
N 级增长，当 t t0 充分大时， (t ) 就大得令
人难以置信，故需要对模型修改。
在点( x, y )处切线斜率为 dy 2 y dx x
y Cx 2 中的曲线在( x, y ) 由于所求曲线族的曲线与
正交，故满足方程
dy x dx 2y y Cx 2的正交 这是一个变量可分离方程求解得
曲线族为
x 2y k
2 2
2
y
这是一个椭圆，如右图
x
放大此图 图2.16
y
x
图 2.16
§2.7一阶微分方程的应用 1.曲线族的等角轨线
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
6-4一阶电路的全响应及阶跃响应
第6章一阶电路讲授板书1、理解一阶电路的全响应和阶跃响应概念和物理意义。
2、掌握一阶电路的全响和阶跃响应的计算方法一阶电路的全响的计算方法一阶电路的阶跃响的计算方法、求解初始值的方法1. 组织教学 5分钟3. 讲授新课70分钟2. 复习旧课5分钟基尔霍夫定律4.巩固新课5分钟5.布置作业5分钟一、学时：2二、班级：06电气工程（本）/06数控技术（本）三、教学内容：[讲授新课]：§6.4一阶电路的全响应一阶电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
1.全响应以图 6.19 所示的 RC 串联电路为例：图 6.19 图 6.20电路微分方程为：方程的解为：u C(t)=u C＇+ u C＂令微分方程的导数为零得稳态解：u C＂=U S暂态解，其中τ= RC因此由初始值定常数A，设电容原本充有电压：u C(0－)= u C(0+)=U0代入上述方程得：u C(0+)= A + U S = U0解得：A = U0 - U S所以电路的全响应为：2. 全响应的两种分解方式（1）上式的第一项是电路的稳态解，第二项是电路的暂态解，因此一阶电路的全响应可以看成是稳态解加暂态解，即：全响应 = 强制分量 ( 稳态解 )+ 自由分量 ( 暂态解 )（2）把上式改写成：显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应此种分解方式便于叠加计算，如图 6.21 所示。
图 6.213. 三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为：t= 0+时有：则积分常数：代入方程得：注意直流激励时：以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的初值f（0+），稳态值f （￥）及时间常数τ的三个要素的问题。
求解方法为：f（0+）：用t → ￥的稳态电路求解；f（￥）：用 0+等效电路求解；时间常数τ：求出等效电阻，则电容电路有τ=RC ，电感电路有:τ= L/R。
一阶微分方程及其应用
单元1：一阶微分方程及其应用
特定目标：
1. 学习解某些特定一阶微分方程技巧。
2. 在实际的情况下应用有关建立及解一阶微分方程的技巧。
3. 能够理解一阶微分方程的解。
学生亦应能识别函数内任意常数的数目。
例如，函数两个任意常数，但事x x e ce =，其中 可由一个任意常数取代，所以最终只有一个任意常数。
对于能力较佳的学生，教们讨论方程的奇解。
例21c c e 1+ 中，1c y cx =+ 是一般解而 本节的重点在于怎样由实际情况建立微分方程，立的方程则可留待以后的章节。
教师可提供学生一些例子，指。
一阶微分方程应用举例
t i1
?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
研究解的性质
模型4
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
SIR模型
消去dt
/
1 di 1 s ds i i0 ss
0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
1 s s0
P2
im
s 1 / , i im
P1 P3
s 满足 s 0 i 0 s
ln
0
0
s
S0 1 /
s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
一阶微分方程的应用
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
例1混合溶液问题
问题 设有一容器，内有100升盐水，其中含盐50 克。要将浓度为2克/升的盐水以流速3升/分 钟注入容器内，同时将搅拌均匀的混合物 以流速2 升/分从容器内流出。试求30分钟 后容器内所含的盐量。
di i (1 i ) i dt i (0 ) i 0
一阶微分方程的应用
正交，故满足方程 dy x dx 2 y
这是一个变量可分离方程求解得 y C x 2的正交
曲线族为
x2 2y2 k2
y
这是一个椭圆，如右图
放大此图
•第一章一阶微分方程的应用
x
图2.16
y
x
•第一章一阶微分方程的应用
应用二： 雨滴的下落
考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速 度的变化
三种不同的假设 (1) 自由落体运动 (2) 小阻力的情况 (3) 大阻力的情况
Solution: exponential growth):
•第一章一阶微分方程的应用
Model 3: Population dynamics Logistic Growth
• An exponential model y' = ry, with solution y = e^{rt}, predicts unlimited growth, with rate r > 0 independent of population.
•第一章一阶微分方程的应用
Qualitative analysis of the logistic equation
• To better understand the nature of solutions to autonomous equations y’= f(y), we start by graphing f (y) vs. y. • In the case of logistic growth, that means graphing the following function and analyzing its graph using calculus.
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
第六节微分方程的应用举例
第六节 微分方程的应用举例在学习了以上几节内容关于微分方程解法的基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上和物理上的实际问题。
例1 设曲线过（1，1），且其上任意点p 的切线在y 轴上的截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程（图12-1）解：设所求的曲线方程为()()y x P x y y ,，=为其上任意点，则过点P 的切线方程为()x X y y Y -'=-. 其中()Y X ,是切线上动点，()y x ,是曲线上L令0=X ,的y x y Y '-=为切线在y 轴上的截距。
由x所给的条件得微分方程： 图12-1y y x y 3='-这是一阶线性齐次方程，易得其通解为2xCy =。
因曲线过点（1，1），代入上式，得1=C ，所以曲线方程为21x y =. 例2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比（比例系数为常数0>k ），起跳时的速度为0。
求下落的速度与时间之间的函数关系。
解：这是一个运动问题，我们可以利用牛顿第二定律ma F =建立微分方程。
首先，设下落速度为()t v ，则加速度()t v a '=。
再分析运动物体所受的外力。
在此，跳伞员只受重力和阻力这两个力的作用。
重力的大小为mg ，方向与速度方向一致；阻力大小为kv ，方向与速度方向相反。
因此，所受的外力为kv mg F -=，于是，由牛顿第二定律可得到速度()t v 应满足的微分方程为v m kv mg '=-，又因为假设起跳时的速度为0，所以，其初始条件为00==t v ， 至此，我们已将这个运动问题化为一个初值问题()⎩⎨⎧=-='.00,v kv mg v m 解此初值问题。
这是一个一阶线性非齐次微分方程，但由于v v '，的系数及自由项均为常数，故也可按分离变量方程来解。
求出方程的通解为t mk Cekv mg -=-.将初始条件()00=v 代入，得mg C =。
一阶微分方程求解与几何应用
一阶微分方程求解与几何应用一阶微分方程是微分方程中最简单的一类方程，它包含一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶微分方程是微积分学中一个基本的问题，同时也是很多实际问题的描述方式，具有广泛的应用价值。
本文将介绍如何求解一阶微分方程，并探讨其在几何学中的应用。
一阶微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
求解该方程的目标是找到一个或一类函数 y(x)，使得当 x 变化时，y 的导数与 f(x, y) 之间的关系成立。
求解一阶微分方程的常用方法有分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
将方程中的 dy 和 dx 分别移到方程两边，整理后通过变量的代换和积分求解出 y(x)。
2. 齐次方程法：适用于满足齐次性质的一阶微分方程。
通过引入新的变量和代换，将方程化简为可分离变量的形式，再通过分离变量法求解。
3. 线性方程法：适用于一阶线性微分方程。
通过利用线性微分方程的性质，将方程转化为一个更简单的形式，并求解得到 y(x)。
在几何学中，微分方程也有重要的应用。
1. 曲线的切线与法线：对于给定的曲线方程 y = f(x)，可以通过求解方程 dy/dx = f'(x) 来得到曲线上每个点的切线斜率。
切线的斜率即为微分方程右侧的函数 f(x) 的导数。
同样地，法线的斜率为切线斜率的负倒数。
2. 曲线的弧长与曲率：通过一阶微分方程 dy/dx = f'(x) 可以求解曲线的弧长。
利用微分的概念，将微小的曲线段表示为ds = √(dx² + dy²)，然后将 dx 和 dy 用 f'(x)表示，进行积分即可得到曲线的弧长。
曲率则是曲线上某一点的切线与曲线的夹角，在微积分中可以通过求解方程 d²y/dx² = f''(x)/[1+(f'(x))²]^(3/2) 来计算。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
一阶微分方程的初等解法及其应用
一阶微分方程的初等解法及其应用摘 要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解.关键词:变量分离方程;恰当微分方程;常数变易法;积分因子.The Solution of First-order Differential EquationsAbstract :This article focuses on the solution of first-order differential equations and its several applications,through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice,From the abstract into concrete laws,so as to enhance the understanding of the knowledge.Keywords :separable equations;exact equations;constant variation ;integrating factor.引言一阶微分方程的解法与很多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1.变量分离法1.1变量分离方程的解法 形如()()dyf x y dxϕ= （1） 的方程,称为变量分离方程,这里()f x ,()y ϕ分别是,x y 的连续函数.如果()0,y ϕ≠我们可将（1）改写成(),()dyf x dx y ϕ=这样,变量就"分离"开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰. （2）这里我们把积分常数c 明确写出来,而把()dyy ϕ⎰,()f x dx ⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的原函数.常数c 的取值必须保证（2）有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.把（2）理解为,,y x c 的隐函数关系式(,,)0y x c Φ=或y 的,x c 函数关系式(,)y y x c =.微分（2）两边,知对任意常数c ,由（2）所确定的函数关系式(,)y y x c =满足（1）,因而（2）是（1）的通解.因（2）式不适合()0y ϕ=的情形.但如果存在0y 使0()0y ϕ=,则直接验证知0y y =也是（1）的解.因此,还必须寻求()0y Φ=的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解（2）中时,必须补上特解0y y =. 1.2变量分离法的应用例1 求一曲线族,使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分. 解 设所求的曲线方程为()y y x =,过曲线上任一点(,)P x y 的切线交ox 轴于A 点,交oy 轴于B 点.由题意,P 为的AB 中点,不妨设(2,0)A x ,(0,2)B y ,则切线的斜率为x y -,另一方面,曲线在P 点的斜率为dydx,因此 dy y dx x=-, 将变量分离,得到1dy dx y x=-, 两边积分得1ln ln y x c =-+.因此方程的通解为xy c =,即得所求的曲线族为xy c =,这里c 为任意常数.1.3可化为变量分离方程的类型 这里只是介绍一种简单的情形. 形如()dy yg dx x= （3） 的方程,称为齐次微分方程,这里()g u 是u 的连续函数.作变量变换yu x= （4） 即y ux =,于是dy du x u dx dx=+ （5） 将（4）,（5）代入（3）,则原方程变为()duxu g u dx+=. 整理后,得到()du g u udx x-=. （6） 方程（6）是一个变量分离方程.可按分离变量的方法求解,然后代回原来的变量,便得方程的解.1.4可化为变量分离方程的一类方程的应用例2 tanyxy y x x'-=. 解 将方程改写成tan ,dy y y dx x x=+ 这是齐次方程.作变换y xu =,代入原方程得到tan duu xu u dx+=+. 即cot (sin 0).dxudu u x=≠ 两边积分得sin ,u cx =代回原变量,得通解sinycx x=.此外,方程还有解sin 0,u =它包含在通解中. 2.线性微分方程与常数变易法2.1常数变易法 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+ （7） 其中(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0,Q x =（7）变为()dyP x y dx=, （8） （8）称为一阶齐次线性微分方程.若()0,Q x ≠(7)称为一阶非齐次线性微分方程.（8）是变量分离方程,它的通解为()P x dxy ce ⎰= (9)这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性微分方程(7)通解的求法.不难看出,(8)是(7)的特殊情形,可以设想:在(9)中,将常数c 变易为x 的待定函 数()x c .令()()P x dxy c x e⎰= ()10微分之,得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x p x edxdx ⎰⎰=+ (11) (10),(11)代入(7),得()()()()()()()()(),P x dxP x dx P x dx dc x e c x p x e c x p x e q x dx⎰⎰⎰+=+ 即()()(),P x dx dc x q x e dx-⎰= 积分后得到()()(),P x dxc x eq x dx c -⎰=+⎰这里c 是任意常数.将上式代入(10),得到方程(7)的通解()()(())P x dxP x dxy e eq x dx c -⎰⎰=+⎰. (12)这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,通过变换(10)可将方程(7)化为变量分离方程.若方程不能化为(7)形式,可以将x 看作是y 的函数,再看是否为(7)形式. 2.2常数变易法的应用 例324.dyxy x dx=-+ 解 首先求线性齐次方程20dyxy dx+=的通解.分离变量得 2(0).dyxdx y y=-≠ 两边积分,化简后得到2.x y ce -=再应用常数变易法求线性非齐次方程的通解,为此在上式中把常数c 变易成待定函数()c x .令2()x y c x e -=.代入原方程,得到222()2()2()4,x x x c x e xc x e xc x e x ---'-=-+化简得2()4,x c x e x -'=上式两边积分得2()2,x c x e c =+于是原方程的通解为22.x y ce -=+3.恰当微分方程与积分因子3.1 恰当微分方程 我们可以将一阶方程(,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或把,x y 平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += (13)这里假设(,),(,)M x y N x y 在某矩形域内是,x y 的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求方程的通解.如果方程(13)的左端恰好是某个二元函数(,)U x y 的全微分,即(,)(,)(,)u uM x y dx N x y dy dU x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ (14) 则称(13)为恰当微分方程.容易验证,(13)的通解就是(,)U x y c =,这里c 是任意常数. 3.2恰当微分方程解法的应用 例43(ln ).ydx y x dy o x++= 解 这里3(,),(,)ln ,yM x y N x y y x x==+ 于是(,)1(,).M x y N x y y x x∂∂==∂∂ 因此这是一个恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到3(ln )0,ydx xdy y dy x+++ 即41(ln )04d y x dy +=. 所以方程的通解为41ln 4y x y c +=. 3.3积分因子如果存在连续可微的函数 (,)0,u u x y =≠ 使得(,)(,)(,)(,)0u x y M x y dx u x y N x y +=为一恰当微分方程,即存在函数v 使uMdx uNdy dv +≡ (15)则称(,)u x y 为方程(13)的积分因子.这时(,)v x y c =是(15)的通解,因而也就是(13)的通解.3.4积分因子解法的应用例5 432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=. 解 4322,y M xy e xy y =++ 24223,y N x y e x y x =--342826 1.y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂4222 3.y Nxy e xy x∂=--∂ 所以4,M Ny xM y ∂∂-∂∂=--得到方程的积分因子为441().dy y u y ye -⎰== 原方程可化为22324213(2)()0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++--=.将原方程重新分项得22234213(2)()()0,yyx x xxe dx x e dy dx dy dx dy y y y y++-+-=即223()0.yx xd xe y y++=因此,方程的通解为223.yx xx e c y y++=另外,0y =也是方程的解.4 .一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的一般形式可表示为(,,)0.F x y y '=如果能从此方程中解出导数,y '其表达式为(,),y f x y '=则可依(,)f x y 的具体形状如何而选择前面所介绍的某一方法求解.但如果难以从方程中解出y '或即使解出y ',而其表达式相当复杂的情况下,则宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型,这正是本部分讨论的主要思想.这里主要介绍以下四种类型的求解方法:(1) (,);y f x y '= (2) (,);x f y y '=(3) (,)0;F x y '= (4) (,)0.F y y '=4.1可解出y 的方程 讨论形如),(dxdyx f y = (16) 的方程的解法.这里假设函数有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则(16)变为 (,)y f x p =, (17)将(17)两边对x 求导数,并以dyp dx=代入,得到 f f dp p x p dx∂∂=+∂∂, (18) 方程(18)是关于,x p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面的方法求出它的解.若已求得(18)的通解的形式为(,),p x c ϕ=将它代入(17)得(,(,),y f x x c ϕ= 这就是(16)的通解.若求得(18)的通解的形式为()c p x ,ψ=则得到(16)的参数形式的通解为⎩⎨⎧==)),,((),(p c p f y c p x ψψ 其中p 是参数,c 是任意常数.若求得(18)的通解的形式为(,,)0,x p c Φ=则得到(16)的参数形式的通解为()⎩⎨⎧==),(0,,p x f g c p x φ 其中p 是参数,c 为任意常数. 4.2可解出y 的方程解法的应用例6 2ln ().y xy x xy ''=+ 解 设,dyp dx=则原方程写为 2ln ()y xp x xp =+ (19)两边关于x 求到导,得22ln ln 22,dp dp p x x p x p xp xp dx dx=++++ 化简到(ln 2)()0,dpx xp xp dx++= 由此得到ln 2x p x =-或.dpx p dx=- 把ln 2xp x=-代入(19),得原方程的一个特解 21(ln ).4y x =-由方程.dpxp dx=- 解得,cp x=代入(19),得到原方程的通解 2ln .y c x c =+4.3不显含y 的方程. 形如(,)0F x y '= (20)的方程的解法.记.dyp y dx'==从几何的观点看,(,)0F x p =代表oxp 平面上的条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式{()()x t p t ϕψ== (21)这里t 为参数.再注意到,沿方程(20)的任何一条积分曲线上,恒满足基本关系式.dy pdx =以(21)代入上式得()(),dy t t dt ψϕ'=两边积分,得到()(),y t x t dt c ψϕ'=+⎰于是得到方程(21)的参数形式的通解为{()()(),x t y t x t dt c ϕψϕ='=+⎰其中c 为任意常数.4.4不显含y 的方程的解法的应用例7 2.y y y e ''=解 令,y p '=则原方程化为2.yp y p e =对x 求导数,即得11 ()dxdp e p p p p 22+= 积分之,即得()c e p x p ++=1所以,方程的通解为{2(1)p p x p e c y p e =+⋅+=另外,0y =也是方程的解. 小结：熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是必须做到的.然而我们所遇到的方程未必都恰好是本文所介绍过的几种类型,因此,还需要注意解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性.还有一点很重要,就是要善于根据方程的特点, 引进适当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解.参考文献:[1] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:北京科学出版社,1999.[2] 尤秉礼.常微分方程补充教程[M].北京:人民教育出版社,1981.[3] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985.[4] 许凇庆.常微分方程稳定性理论[M].上海:上海科技出版社,1964.[5] 周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2005.。
《微积分(应用型)》教学课件 第六章
形如
dy p(x) y q(x) dx
（6-18）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 p(x) ， q(x) 为已知函数．当 q(x) 0 时，称
dy p(x) y 0 dx
（6-19）
为一阶齐次线性微分方程，也称为式（6-18）对应的齐次方程．
6. 2. 1 一阶线性微分方程求解
下面我们来求式（6-18 ）的通解．为此 ，先求式（6-19 ）的通解．对式（6-19 ）分离变
y 3y 2 y (C1ex 4C2e2x ) 3(C1ex 2C2e2x) 2(C1e x C2e2x) (C1 3C1 2C1)ex (4C2 6C2 2C2)e2x 0 ．
6. 1. 1 相关定义
这表明函数 y C1ex C2e2x 满足所给微分方程，因此它是微分方程的解．又因为此解中有 两个独 立的任意常数 ，且任意常数 的个数正好与 微分方程的阶 数相同，所以 此解为微分方 程 的通解．
本节介绍了微分方程的一些概念，可分离变量的 微分方程、一阶齐次微分方程和高阶微分方程的解 法．
其中，可分离变量的微分方程的解法是： （1）将方程整理为变量分离方程，然后对方程的 两边取不定积分； （2）一阶齐次微分方程的解法是令 u y ；高阶微
x
分方程的解法是对方程两边进行n 次积分．
6.2 一阶线性微分方程
1 dy sin xdx ， y
两边积分
dy y
( sin
x)dx
，
得方程的通解为
ln | y | cos x C ．
该解称为微分方程的隐式通解．
因为 eln|y| ecos xC1 ，即 y eC1ecos x ．令 C eC1 ，得 y Cecos ，此解称为原微分方程的显
一阶微分方程的应用举例
dT 由牛顿冷却定律，得 k (T 20)， dt dT 分离变量，得 kdt， T 20
dT 两端积分，得 kdt， T 20
即 ln(T 20) lne
kt
ln C ln(Ce
kT
)
(C为任意常数)，
所求通解为 T 20 Ce kt .
(2)求水温自 100℃降至30℃所需的时间 在上式中，令T 30，代入得 30 ＝ 20 80e 0.138 6t，
3 ln 2 t 15(min). 0.1386
例2 设质量为m的降落伞从飞机上落下后，所受空气阻
力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时(t 0)速度为 零，求降落伞下落的速度与时间的函数关系 .
解 设降落伞下落速度为v(t )，
其所受力为 F mg-kv，
由牛顿第二定律得 F ma， dv 其中a为运动加速度 ， dt
dv dv dt ， m mg kv ， mg-kv m dt
k t (1 e m ).
mg 所求特解为v k
例3 把温度为100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃ 的环境中自然冷却，经5min时测得水温为60℃.试求 (1)水温T(℃)与时间t(min)之间的函数关系；
(2)问水温自100℃降至30℃所需的时间.
解 这是一个热力学中的冷却
问题.取t 0为沸水冷却开 始的时刻，设经t分钟时水 温为T℃，即T T (t ).此 dT 时水温下降的速度为 ， dt
第四节 一阶微分方程的应用举例
例1 一曲线通过点(1,2)，它在两坐标轴间的任意切线
线段均被切点所平分，求这曲线的方程.
解 (i)建立微分方程并确定初 值条件.
几类简单的微分方程
2008年12月17日
南京航空航天大学 理学院 数学系
5
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
z x y, x
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
则 原 方 程 称 为 可 分 离 变量 的 微 分 方 程.
分离变量法步骤:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
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g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
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分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
一阶微分方程在实际问题中的应用
目录内容摘要 (1)关键词 (1)1引言 (1)1.1研究的背景 (2)1.2研究的目的及意义 (2)2一阶段常微分方程建模 (3)2.1常微分方程建模概述及建模方法 (3)2.1.1常微分方程建模概述 (3)2.1.2常微分方程建模主要几种方法 (4)2.1.3应用常微分方程建模的注意事项 (6)2.2一阶线性常微分方程模型 (6)3小结 (10)参考文献 (12)[Abstract] (13)[Key words] (13)一阶微分方程在实际问题中的应用专业：数学与应用数学学号：201413008148 学生姓名：李洪祥指导老师：陈迪三职称：讲师【内容摘要】大家都知道自然界里的所有物质均是依照本身的规律进行运动及演化。
虽然运动的方式不一样，但是不一样的物质的运动规律都是于空间和时间上运动。
物质的变化很大，但大家都可以辨认出它们相同的一个地方，就是数目上的同样的变化规律。
在针对一些一定的运动及进化的阶段里进行定量的、定性的考究，一定要使得物质运动及进化阶段相关的要素有一个数学化的形式，这便是数学建模的阶段，就是依照规律变化的阶段。
从运动及进化这两个方面来看出这种种的不一样的变量的相互约束和相互影响之间的关系。
本文主要研究的是一阶线性微分方程的应用。
在现有线性微分方程模型的基础上，对打假问题的求解方程进行了改进，并建立了一种模型，使其更接近实际情况。
【关键词】模型；一阶微分方程；打假问题1引言随着科学技术的飞速发展，人们常常用数学建模或数学模型来研究和掌握某事物的发展规律。
比如，城市规划师要组建人口、环境、交通等的数学模式模型，使得城市发展策略的制定有了理论化的根据。
生理学家建立了人体内部的药物的浓度伴随空间及时间的改变的数学模型，能够解析药品的序贯效应，能够在临床上更好的形式药品。
要是经理及主管可以依据生产的要求、生产的成本、产品的需要、存储的成本等资料来规划项目，他们可以得到极多的成果。
电气工程师一定要组建一种数学模型来管理产品的阶段，并利用该模型进行规划及计算，来达到管理操纵设备的生产阶段。
一阶微分方程在经济领域中的简单应用
dy 1 解： 由已知 dt 10
1 所以得国民收入函数 t c y 10
由t 0时y 5得c 5，于是国民收入函数为
1 y t 5 10
dD 1 1 1 又由已知 y ( t 5) dt 20 20 10
解：
dy 1 5 dt S 由已知 dS 1 S dt 3
t 3
(1) ( 2)
解(2)得 S ce .由t 0时S 10解出c 10
于是存储费用与时间t的函数关系为
t 3
S 10e
将上式代入方程1)得 (
dy 1 e 5 dt 10
1 2 1 解此方程得 D t t c1 400 4
由t 0时D 0.1得c1 0.1，故国民债务函数为
1 2 1 1 D t t 400 4 10
５．关于流动收入、流动消费和流动投资问题
例 9 某地区考察消费-投资-收入的关系时，得知消 费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变 化率正比于过度需求.若C1 , I1 , y1分别表示在时刻 t 时，消费、投资、收入与它们各自均衡值C , I , y 的 偏差.若由统计资料分析得知
(这里取e 2.7128)
６．关于商品存储过程中的基本衰减问题
例 10 设在冷库中存储的某蔬菜有 A(吨)，已发现其 中有些开始腐败，其腐败率为未腐败的 倍 (0 1)，设腐败的数量为 x(吨)，则显然它是时间 t 的函数，试求此函数.
dx 解： 由 ( A x ) 解此微分方程得 dt dx dt 即A x Ce t A x
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由（4）式可以看出，随着时间 t 的增大，速度 v 逐
渐接近于常数 mg , 且不会超过mg ，也就是说，跳伞后开
k
k
始阶段是加速度运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例 3 一曲线过点（3，4），在该曲线上任意点处的 切线在 y 轴上的截距恰等于原点（0，0）到该点的距离.
解 i）列方程并确定初始条件
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（其中 a 为加速度），得3)
dt
按题意，处始条件为
ii）求通解
v 0 t0
方程（3）是可分离变量后，得
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件；
(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解；
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
作业
P231 1, 3
Qdp
已知该商品的最大需求量为1200，故得初始条件Q p0 1200.
(ii) 求通解.
dQ Q
ln
3
dp,
ln Q p ln 3 C1
即所求通解为
Q Ce pln3 C3 p.
(iii) 确定任意常数以求得特解.
将初始条件代入通解，得C=1200，故所求需求量Q对价格
p的函数关系为Q=1200 3 p.
（1）
由于曲线通过点（2，3），故得初始条件
ii)求通解.
y x2 3
（2）
将方程（1）分离变量，得 ydy=2xdx=0，两端积分，
得
y2 2
x2
C1，, 即通解为
y2+2x2=C，
iii)确定任意常数以求得特解.
将初始条件（2）代入通解，解得 C=17，则所求曲
线方程为
y2 2x2 17
例 2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速
度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零，求降
落伞下落速度与时间的函数关系.
解 i)列方程并确定初始条件.
设降落伞下落速度为 v(t)，降落伞
在空中下落时，同时受到重力 P
与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力
大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 小为 kv（k 为比例系数），方向与 v
kv
dt m
考虑到mg kv 0,得
即
1 k
ln(m g
kv)
t m
C1
mg
kv
e
k m
t
kc1
或
v
mg
kt
Ce m (C
e kc1
)
k
k
这就是方程（3）的通解.
iii）确定任意常数以求得特解.
将初始条件v t0 0代入通解，得
C mg
k
于是所求的特解为
v
mg
(1
kt
em
)
(4)
k
iv）实际问题的物理意义.
(3)利用初始条件，定出通解中的任意常数，求得满足 初始条件的特解；
(4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.
以上四个步骤中列方程、解方程是重点.
例 1 一曲线通过点（2，3），在该曲线上任一点 P(x,y)处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 恰被 y 轴 平分，求此曲线方程.
方程为
y x2 y2 9.
*例 4 容器内有 100L 的盐水,含 10kg 的盐，先以 3L/min 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合），
又以 2L/min 的均匀速率从容器中抽出盐水，问 60min 后 容器内盐水中盐的含量是多少？
解 ⅰ）列方程并确定初始条件. 本题用用微元法来建立微分方程.设在时刻 t，盐的含 量为 x(t)，依题意，注入容器的净水为 3tL,抽出容器的盐 水为 2tL，因此这时溶液的总量为
其浓度为
100+(3-2)t=100+t x(t) ;
100 t
在时间间隔t,t t内，抽出容器的盐水为 2dt，即
容器中盐的改变量是
x x(t) (2d t) 2x d t,
100 t
100 t
由此得微分方程
d x 2x dt 100 t
根据题设条件又知，初始条件为 x |t0 10. ⅱ）求通解.
方程（5）是齐次方程，令 y u(x)x，则 d y u x d u ，
dx
dx
于是
u x du u 1u2 dx
即
du 1dx
1u2 x
两端积分，得 ln(u 1 u2 ) ln x C1
即通解为
y x2 y2 C
ⅲ）确定任意常数以求得特解 将初始条件（6）带入通解，解得 C=9,则所求曲线
解 i)列方程并确定初始条件. 设所求曲线方程为 y=y(x)，则它在 P(x,y)处的法线方程 为
Y y 1 (X x) y
如图 6-4 所示,令 Y=0，得法 线在 x 轴上的截距为
X yy x，
y
P(x,y)
QO
x
图6-4
由题设条件得
x yy x 0
2
即得曲线 y=y(x)应满足微分方程 yy 2x 0
设所求曲线方程为 y=y(x)则它在任一点(x,y)处的切线方程
为
Y y y' ( X x),
(5)
令 X=0，得切线在 y 轴上的截距为
Y y y'x
由题设条件得
y xy' x2 y2
即
y' y x2 y2
x
由于曲线过点（3，4），故得初始条件
y 4
(6)
x3
ii）求通解.
含量为
x
105 1602
3.9
即
此时含盐量约为 3.9kg.
*例5 某商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为pln3. 已知该 商品的最大需求量为1200（即当 p=0时，Q=1200），求需
求量 Q 对价格 p 的函数关系.
解 (i) 列方程并确定初始条件. 由需求价格的弹性定义及题设条件得
pdQ p ln 3
这是一个可分离变量的方程，分离变量后积分，得
ln x 2ln(100 t) ln C,
即所求通解为
C x (100 t)2
ⅲ）确定任意常数以求得通解.
将初条件（8）代入通解，得
所求特解为
10
C 1002
即C
105 ,
x
105 (100
t)2
.
ⅳ）所求实际问题的结果.
利用特解当 t=60 时，可以算得 60min 后，容器内盐