6-4-一阶线性微分方程的应用举例

解 i)列方程并确定初始条件. 设所求曲线方程为 y=y(x)，则它在 P(x,y)处的法线方程 为
Y y 1 (X x) y
如图 6-4 所示,令 Y=0，得法 线在 x 轴上的截距为
X yy x，
y
P(x,y)
QO
x
图6-4
由题设条件得
x yy x 0
2
即得曲线 y=y(x)应满足微分方程 yy 2x 0
由（4）式可以看出，随着时间 t 的增大，速度 v 逐
渐接近于常数 mg , 且不会超过mg ，也就是说，跳伞后开
k
k
始阶段是加速度运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例 3 一曲线过点（3，4），在该曲线上任意点处的 切线在 y 轴上的截距恰等于原点（0，0）到该点的距离.
解 i）列方程并确定初始条件
设所求曲线方程为 y=y(x)则它在任一点(x,y)处的切线方程
为
Y y y' ( X x),
(5)
令 X=0，得切线在 y 轴上的截距为
Y y y'x
由题设条件得
y xy' x2 y2
即
y' y x2 y2
x
由于曲线过点（3，4），故得初始条件
y 4
(6)
x3
ii）求通解.
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
作业
P231 1, 3
这是一个可分离变量的方程，分离变量后积分，得
ln x 2ln(100 t) ln C,
即所求通解为
C x (100 t)2
ⅲ）确定任意常数以求得通解.
将初条件（8）代入通解，得
所求特解为
10
C 1002
即C
105 ,
x
105 (100
t)2
.
ⅳ）所求实际问题的结果.
利用特解当 t=60 时，可以算得 60min 后，容器内盐
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（其中 a 为加速度），得函数v(t) 应满足的方程为
m d v mg kv
(3)
dt
按题意，处始条件为
ii）求通解
v 0 t0
方程（3）是可分离变量后，得
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件；
(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解；
kv
dt m
考虑到mg kv 0,得
即
1 k
ln(m g
kv)
t m
C1
mg
kv
e
k m
t
kc1
或
v
mg
kt
Ce m (C
e kc1
)
k
k
这就是方程（3）的通解.
iii）确定任意常数以求得特解.
将初始条件v t0 0代入通解，得
C mg
k
于是所求的特解为
v
mg
(1 Hale Waihona Puke Baidu
kt
em
)
(4)
k
iv）实际问题的物理意义.
（1）
由于曲线通过点（2，3），故得初始条件
ii)求通解.
y x2 3
（2）
将方程（1）分离变量，得 ydy=2xdx=0，两端积分，
得
y2 2
x2
C1，, 即通解为
y2+2x2=C，
iii)确定任意常数以求得特解.
将初始条件（2）代入通解，解得 C=17，则所求曲
线方程为
y2 2x2 17
例 2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速
方程为
y x2 y2 9.
*例 4 容器内有 100L 的盐水,含 10kg 的盐，先以 3L/min 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合），
又以 2L/min 的均匀速率从容器中抽出盐水，问 60min 后 容器内盐水中盐的含量是多少？
解 ⅰ）列方程并确定初始条件. 本题用用微元法来建立微分方程.设在时刻 t，盐的含 量为 x(t)，依题意，注入容器的净水为 3tL,抽出容器的盐 水为 2tL，因此这时溶液的总量为
方程（5）是齐次方程，令 y u(x)x，则 d y u x d u ，
dx
dx
于是
u x du u 1u2 dx
即
du 1dx
1u2 x
两端积分，得 ln(u 1 u2 ) ln x C1
即通解为
y x2 y2 C
ⅲ）确定任意常数以求得特解 将初始条件（6）带入通解，解得 C=9,则所求曲线
(3)利用初始条件，定出通解中的任意常数，求得满足 初始条件的特解；
(4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.
以上四个步骤中列方程、解方程是重点.
例 1 一曲线通过点（2，3），在该曲线上任一点 P(x,y)处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 恰被 y 轴 平分，求此曲线方程.
含量为
x
105 1602
3.9
即
此时含盐量约为 3.9kg.
*例5 某商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为pln3. 已知该 商品的最大需求量为1200（即当 p=0时，Q=1200），求需
求量 Q 对价格 p 的函数关系.
解 (i) 列方程并确定初始条件. 由需求价格的弹性定义及题设条件得
pdQ p ln 3
Qdp
已知该商品的最大需求量为1200，故得初始条件Q p0 1200.
(ii) 求通解.
dQ Q
ln
3
dp,
ln Q p ln 3 C1
即所求通解为
Q Ce pln3 C3 p.
(iii) 确定任意常数以求得特解.
将初始条件代入通解，得C=1200，故所求需求量Q对价格
p的函数关系为Q=1200 3 p.
其浓度为
100+(3-2)t=100+t x(t) ;
100 t
在时间间隔t,t t内，抽出容器的盐水为 2dt，即
容器中盐的改变量是
x x(t) (2d t) 2x d t,
100 t
100 t
由此得微分方程
d x 2x dt 100 t
根据题设条件又知，初始条件为 x |t0 10. ⅱ）求通解.
度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零，求降
落伞下落速度与时间的函数关系.
解 i)列方程并确定初始条件.
设降落伞下落速度为 v(t)，降落伞
在空中下落时，同时受到重力 P
与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力
大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 小为 kv（k 为比例系数），方向与 v