一次函数的应用(第1课时)教学设计

第四章一次函数

４. 一次函数的应用（第1课时）

一、学生起点分析

本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）

利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．

②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函

数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；

③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓

展学生的思维．

三、教学过程设计

第一环节复习引入

内容：提问：（1）什么是一次函数？

（2）一次函数的图象是什么？

（3）一次函数具有什么性质？

目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．

第二环节初步探究

内容1：展示实际情境

提供两个问题情境，供老师选用．

实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．

(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．

实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x

的关系如图所示．

（1）这是一次多少米的赛跑？

（2）甲、乙二人谁先到达终点？

（3）甲、乙二人的速度分别是多少？

（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式．

目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．

教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．

内容2：

想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k、b，所以需要两个条件来确定．第三环节深入探究

内容1：

例1在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．解：设b

=，根据题意，得

y+

kx

14.5=b，①

16=3k+b，②

将5.

k．

=

14

=

b代入②，得5.0

所以在弹性限度内，5.145.0+=x y ．

当4=x 时，5.165.1445.0=+⨯=y （厘米）．

即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米．

目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．

教学注意事项：

学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．

内容2：

想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．

求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．

2．根据已知条件列出有关方程．

3．解方程．

4．把求出的k ，b 值代回到表达式中即可．

目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．

第四环节 反馈练习

内容：

1．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，求它的表达式．

2．若一次函数b x y +=2的图象经过A （－1，1），则=b ，

该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）．

３．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，填空：

（1）=b ，=k ；

（2）当30=x 时，=y ；

（3）当30=y 时，=x ．

４．已知直线l 与直线x y 2-=平行，且与y 轴交于点（0，2），求直线l 的表达式．

答案：１．x y 3-= ２．)0,23(),5,1(,3-=C B b ． ３．（1）3

2,2-==k b ；（2）18-；（3）42-． ４．22+-=x y ．

目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．

第五环节 课时小结

内容：

总结本课知识与方法

1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k ，b 的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k ，b 的方程；（3）解方程，求k ，b ；4．把k ，b 代回表达式中，写出表达式．

2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．

目的：

引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．

第六环节 作业布置

习题４．５：１，２，３，４

目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．